§1.2 偶然误差的处理

在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。

一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值

对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。

在相同条件下，对某物理量 x 进行了 n 次重复测量，其测量值分别

为x1，x2 ， ，x n 。用x表示它们的算术平均值（简称平均值），得：

1 1 n

x = n ( x1 + x 2 + + xn ) = n ∑ xi

(1 − 1)

当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值将无限接近于真值。所以，平均值x又称为测量结果的最佳值，常把它作为测量的结果。

二、算术平均绝对误差

真值无法得到，误差也就无法估算。由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。然而当测量次数很多时，“偏差” 会接近误差。在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。

在多次重复测量中，每次测量值xi 与平均值x的差，取绝对值，用Δxi 表示，则有

△x1 = ｜x1 - x｜, △x2

取

= ｜x2 - x｜， ，△xn

= ｜x n - x｜；

1 n

∆x = n i∑ ∆xi 。 (1 − 2)

称∆x为算术平均绝对误差，简称为算术平均误差或平均绝对误差。测

量结果表达式可写为

x = x±△x。 (1 - 3)

三、标准误差——方均根误差 a

在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度， 标准误差就是均方根误差。物理量 x 的标准误差用σx 表示，它的定义是： 当测量次数无限多时，有

σ x =

(1 − 4)

测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：

σ x = 。 (1− 5)

(1-5)式是 n 次重复测量中单次测量的标准误差，n 次测量结果平均

值x的标准误差又称为平均标准误差，用σ x 表示，则上式应写成：

σx

x =

当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为

x = x ± σ x 或x = x ± σ x 。 (1 − 7)

四、相对误差

我们把测量结果及其偶然误差写为 x±Δx 的形式，其中 x 是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；Δx 是绝对误差， 它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。在对同一对象采用不同精度的仪器或测量方法来测量时，Δ x 能够表示出测量的不同精确度。但对不同对象进行测量时，却反映不出不同的精确度。例如，用米尺测量两物体的长度，测量结果为：

x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，两者的绝对误差相同，均为 0.05cm，但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。因此， 引入相对误差，它可以评价上述两测量结果精确度的差别。相对误差通常用百分比表示，所以又称为百分比误差。相对误差 E 定义为

E = ∆x = ∆x × 100% 。 (1 − 8)

x x

(1-8)式中的 x 通常取平均值，也可以用公认值或理论值代替。例 对某电压测量的数据处理(见表 1-1)。

表 1-1 电压的测量

次数

1

2

3

4

5

测量值 Ui(V)

10.03

9.98

9.99

10.02

9.97

平均值U(V)

10.00

绝对误差(V)

0.03

－ 0.02

－ 0.01

0.02

－ 0.03

相对误差(E)

0.3%

0.2%

0.1%

0.2%

0.3%

平均绝对误差

∆U =0.02V E=2%

标准误差

σv =0.03V E=3%

平均标准误差

σU =0.02V E=2%

1

U = 5 ×(10.03 + 9.98 + 9.99 + 10.02 + 9.97) = 10.00(V)；

1

ΔU = 5 [|0.03|+|-0.02|+|-0.01|+|0.02|+|-0.03|]

= 0.02(V)；

σ U =

1

5 − 1

[(0.03)2 + (−0.02) 2 + (−0.01) 2 + (0.02) 2 + (−0.03) 2 ]

= 0.03( V);

σ = σ U = 0.03 = 0.02( V) 。

在计算过程中，误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐，误差的尾数只进不退。

本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、标准误差、平均标准误差来表示时，其对应的测量结果为

U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。

五、间接测量的误差估算

物理实验中的被测量 N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。我们称 N 为间接测量量或复合量。

计算间接测量量值时，是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。由于各直接测量量的平均值均有误差，因此计算的结果也必然具有一定的误差，这称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形式。

设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系： N＝f(x，y，⋯) (1-9)

x，y，⋯表示直测量。对上式求全微分，得：

∂f dy

dN = ∂x dx＋ ∂y ＋

(1- 10)

式中，dx，dy，⋯和 dN 都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别用Δx，Δy，⋯和ΔN 代替它们，则绝对误差公式表示为

∂f ∂f

△N =| ∂x | △x+| ∂y |△y +

(1- 11)

(1-11)式称为函数误差算术传递的基本公式。将(1-10)式两边平方后略去高阶小项，得

(dN) 2 = ( ∂f ) 2 (dx) 2 + ( ∂f ) 2 (dy)2 +

(1－12)

∂x ∂y

用标准误差σ2 ，σ 2 ，σ 2 ， 代替(1 - 12)式中的(dN)2 、(dx) 2 ，

(dy) 2 ， ，得标准误差传递的基本公式：

σ N =

(1- 13)

根据(1-11)式和(1-13)式，我们把常用函数的误差算术传递公式和

标准误差传递公式列成表 1-2 以备查用。

表 1-2 常用函数的误差传递公式

函数式

算术传递公式

标准误差传递公式

N=x+y+

△ N=△ x+△ y+

σ N = σ2 + σ2 +

x y

N=x － y

△ N=△ x+△ y

σ N = σ2 + σ2

x y

N=x · y

△N N

=

△x x

+

△y y

σN =

N

σx 2 σy 2

( x ) + ( y )

N = x

y

△N N

=

△x x

+

△y y

σN =

N

σx 2 σy 2

( x ) + ( y )

N =

xk yl

zm

∆N =

N

∆x ∆y ∆z k x + l y + m z

σN =

N

 σ  2  σ  2

k x  + k y 

 x   y 

  • k



σ  2

z 

z 

N = k x

∆N = 1 ∆x N k x

σN = 1 σx

N k x

N=Kx

△ N=K ·△ x

∆N = 1 ∆x N k x

σN = σ x

N x

N=sinx

△ N=|cosx|△ x

σ N =|cos x|σx

N=lnx

∆N = ∆x

x

σ = σ x

N x

例 测得一金属圆柱体的质量 m=162.38±0.01g，长度 1=39.92± 0.01mm、直径 d=24.927±0.002mm，求其密度和误差

m 4m 4 × 162.38 3

ρ = = = 8.335(g·cm )

v πd 2l 3.1416 × (24.927)2 × 39.92

若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：

Δρ = Δm + 2 Δd + Δl

ρ m

= 0.01

162.38

d

+ 2 ×

l 0.002

24.927

+ 0.01

39.92

= 0.0004

Δρ = 8.335 × 0.0004 = 0.003(g·cm3 )

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3

若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：

∆ρ =

ρ

 0.01  2 

0.002  2

 0.01  2

=  162.38

+  2 × 24.927

+  39.92

= 0.0003;

σρ = 8.335 × 0.0003 = 2.5 × 10−3 ≈ 0.003(g·cm3 ),

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3