错误的科学史

只用直尺和圆规能等分一个角吗

古希腊有三大作图问题：（一）三等分任意大的一个角；（二）绘制体积是给予的立方体一倍的立方体；（三）绘制面积与给予的圆相等的正方形。但是，并不是用什么方法都行，条件是只用直尺和圆规，也就是说只能利用直线和圆。

如果用比圆复杂的曲线，就可以解决第一个和第二个问题，也可以三等

1 1 1

分一个直角。因此，再进一步用 2 、 4 、 8

的方法逐渐分割，然后适当

地加以组合，就可以取得任意一个角都非常近似于 1/3 的角。第三个问题， 也可以通过用正多边形与圆内接或外切的方法，取得近似的面积。这些解决方法，古希腊时代就已经想到了。

但是，希腊人的理想是，只用直尺和圆规绝对准确而不是近似地解决这些问题。2000 多年来，无数人想攻克这些问题，但没有一个人成功。取得成功的报告不少，但仔细一调查，不是演算有错误，就是骗人。

1837 年，美国数学家 P·L·旺采尔（1818～1848）严密地证明，第一个问题只用直尺和圆规是绝对解决不了的。他使用代数方程式表示图形的解析几何学的方法，研究了只使用直尺和圆规绘制的图形可以用何种方程式表达的问题。

结果，他证明，只有次数是二的倍数的方程式，如 2、4、8、16、32⋯⋯ 等，才能只用直尺和圆规绘制图形。

就是说，可以用二次式、四次式等表示的图形，才能用直尺和圆规作图， 而三次式不能作图。但是，角的三等分，却是与三次式相对应的作图。因此， 不管作多大努力也是徒劳的。

旺采尔同时还证明，第二个问题也不可能解决。就是说，与第二个作图相对应的方程式是 x3-2=0，这也是三次式，所以，不能作图。

第三个问题，到 1882 年，德国的 C·L·F·林德曼（1852～1939 年）解决了。他证明，把圆变成正方形，绝对需要通过作图求出圆周率π的值。林德曼证明，不存在根是π的代数方程式。不但次数不存在，说起来连方程式本身都不存在，所以，不言而喻，只用直尺和圆规是不能作图的。

就这样，古代遗留下来的三大作图问题，都以不能作图的结果得到了解决。虽然如此，至今还不断有人埋头钻研这些作图问题。