谁先推出三次方程的求根公式

解代数方程是古典代数学中基本的组成部分。我们知道：形如a0xn+a1xn-1+⋯+an=0（a0≠0）的一元 n 次方程，必定有 n 个根，这就是著名的代数基本定理。这是德国大数学家高斯在 1799 年第一次给出证明的。然而，高斯的证明以及其他的一些证明方法纯属非构造性的。也就是说高斯仅仅肯定了根的存在，而并未给出具体求根的方法。因此，在高斯的前后，人们对解方程的方法曾作了长期的艰苦探索。

早在数千年以前，古代巴比伦人曾研究过这样一个有趣的问题：求出一个未知数，使它与它的倒数之和等于已知数。这个问题如果用现代的记号来表述的话，也就是需要求出这样的x，使xx = 1，x + x = b。毫无疑问，从这样的两个方程中就可以得出关于 x 的一个二次方程式，即 x2-bx+1=0。据说，

b b 2

古代巴比伦人解决这个问题的过程是先分别求出 2 与（ 2 ），再求出

b 2

( 2 )

1值，从而求得了上述方程的解答是x = b ±

b 2

( 2 )

1。不难看出，

古代巴比伦人早就会用配方法来解一元二次方程了。

二次方程的求解有了很完美的代数方法，人们可以很方便地根据求根公式求出它们的全部根。人们自然会想到三次、四次以至高次的代数方程是否会有类似的求根公式，即能不能把一个方程的根用该方程的系数经过有限次的使用加、减、乘、除、开方运算得到代数式来表示呢？

阿拉伯人奥玛尔·海牙姆曾利用圆锥曲线对特殊的三次方程如x3+Bx+c=0 提出了几何解法，但是这种方法只能得到表示未知数的线段长度，而不是理想的求根公式。

1494 年，著名的数学家柏沙尔曾断言：一般的三次方程是不可能求解的。这个论断既代表了当时一般人的认识，又刺激了人们对寻找三次方程求根公式的强烈兴趣，以至于使寻找三次方程的公式解法成了当时数学界十分时髦的课题。

在寻求三次方程求根公式的研究中，16 世纪意大利数学家作出了很大贡献。

当时，意大利有一所欧洲最大也是最著名的大学——波罗尼亚大学。波罗尼亚大学教授齐波·德尔·菲洛在 1514～1515 年期间，把三次方程全部简化为三种简单类型：x3+px=q，x3=px+q，x3+q=px，其中 p、q 均为正数。菲洛对上述方程进行了系统的研究。不过他从未发表过他的解法。据说，这与当时的社会风俗有关。在菲洛那个时代，人们对自己的发现常持保密态度，而总是先将问题提出，向同行或周围的人挑战，并以此为自豪。据载，在 1510 年左右，菲洛把他精心研究的关于三次方程的解法秘密地传授给了他的学生安东尼奥·玛丽亚·菲奥和他的女婿。

尽管菲洛的发现暂时没有公布于众，但是数学的发展，导致寻求三次方程的求根公式，已被提到了议事日程。菲洛去世后不久，意大利威尼斯的数学家塔尔塔利亚重新发现了菲洛教授的方法。菲洛的学生菲奥听到这个消息后十分惊讶。于是在 1525 年，菲奥向塔尔塔利亚发出邀请进行数学竞赛。一天，威尼斯城风和日丽，一场引人瞩目的数学对抗赛开始了。竞赛双方分别

各出了 30 道关于解三次方程的题目。人们纷纷估计，这将是一场旷日废时的“马拉松”式的竞赛。可是，出乎人们的意料的是比赛开始仅两个多小时，塔尔塔利亚轻松而自信地宣布：菲奥出的 30 道题目他全部解决了。而塔尔塔

利亚出给菲奥的 30 道题，菲奥连一题也未解决。这场数学对抗赛，塔尔塔利亚以 30：0 大获全胜。比赛的结果，大大震动了当时整个数学界。

塔尔塔利亚找到三次方程的求根公式时，年仅 25 岁。在当时的数学界，他确实享有盛名。许多人慕名登门求教，然而一概遭到冷遇。塔尔塔利亚墨守成规，对自己的发现仍是守口如瓶。但在一大批向塔尔塔利亚登门求教者中，有一位来自米兰的医生名叫卡丹，他以自己勤奋好学的上进精神和过人的聪明才智，赢得了塔尔塔利亚的好感。卡丹对塔尔塔利亚再三央求，并发誓永守秘密。卡丹的苦心诚意，终于使他如愿以偿。塔尔塔利亚把三次方程的公式解法写成了一首语言晦涩的诗赠给了卡丹。1542 年，卡丹和他的学生费拉利在迪拉纳维访问的时候，进一卡打听了菲洛的解法。他们充分肯定了菲洛和塔尔塔利亚的解法是相同的。

卡丹背弃了自己对塔尔塔利亚许下的永不泄密的诺言，于 1545 年出版了一本代数名著《大法》。在这本书里，卡丹总结了前人的结果，将一般形式的三次方程的求解公式公诸于众了。卡丹在这本书中作了如下一段说明：“菲洛差不多在 30 年以前就发现了这个法则，并把它传给了他的学生菲奥，菲奥在与塔尔塔利亚竞赛的时候，使塔尔塔利亚有机会发现了这一法则，塔尔塔利亚在我的恳求下把这方法告诉了我，但保留了证明。我在获得这种帮助的情况下，找出了它的各种形式的证明。这是很难做的。”

塔尔塔利亚知道这件事情以后，非常恼火，他抗议卡丹的背信弃义，并于第二年发表著作《种种疑问及发明》，对卡丹辜负他的信任一事提出了谴责，并发表了他自己的方法。

关于谁先求出三次方程求根公式的争议，使塔尔塔利亚和卡丹之间发生了公开的冲突。卡丹的学生费拉利竭力为他的老师帮腔，在塔尔塔利亚与费拉利之间前后许多次的通信，都是互相谴责以至于双方肆意谩骂的程度。

1548 年，双方在米兰举行了公开的数学比赛与答辩，并决定以此来评定谁是谁非。结果由年轻聪明、又善于舌辩的费拉利获胜。且塔尔塔利亚由于失败而名落孙山，陷入了悲惨的境地。从此以后，三次方程解法，被人们肯定为卡丹的成就。直到现在为止，仍然在一般的教科书及文献中称为“卡丹解法”或“卡丹公式”。

自从卡丹发表了三次方程的解法以后，由于费拉利与塔尔塔利亚的引人注目的一场辩论，对三次方程的求解问题引起了数学家们广泛的注意和极大的兴趣。经过不少数学家的努力，又进一步完善了对这个问题的认识。

在卡丹发表了《大法》以后不久，费拉利通过适当的变量代换，把解任意四次方程问题归结为解一个三次方程的和两个二次方程的问题。在停滞了800 年以后，人们在短时期内连续取得了三次、四次方程求解问题的完全解决，吸引着人们更上一层楼，把精力集中到用根号解任意五次方程的问题上去。当时各国数学家先后都投入了这项研究。但是留下的全是失败的记录。

自塔尔塔利亚之后，经历了 300 年的时间，几代数学家的心血付之东流。究竟是什么原因？这一直是个使人困惑不解的谜。

为了求解一般的五次方程，许多优秀的数学家为之奋斗，枉然地耗去了许多精力，可是尽管许多人在这个问题上碰了壁，然而却从未怀疑过这种求

解方法是否存在。直到 1770 年，法国著名的数学家拉格朗日才开始认识到求

解一般五次方程的代数方法可能是不存在的。他在一篇长达 200 多页的文章

《关于代数解法的思考》中，系统地分析总结了在他以前人们关于二、三、四次方程的一切解法，以及他所创造的求解二、三、四次方程的统一方法，他指出上述解法对于解五次方程是无效的。拉格朗日开始意识到根的排列与置换理论是解一般五次方程的关键所在。这就开创了用置换群的理论来研究代数方程的新阶段。

在拉格朗日研究的基础上，1824 年，挪威青年数学家阿贝尔，利用置换群的理论证明了次数高于四次的任意方程不可用根号求解。当时阿贝尔年仅22 岁。

“当 n＞4 时，方程 xn+a1xn-1+a2xn-2+⋯+an-1x+an=0 的系数 a1、a2、a3、⋯ an-1、an 满足什么条件时，它才可以用根号求解，否则肯定不可能用根号求解呢？”这个问题的解决，是由法国数学家伽罗华给出的。1828 年伽罗华 17 岁的时候，把自己写的论文《关于五次方程的代数解法问题》提交给法兰西科学院，可是当时法兰西科学院的一些著名数学家对他的论文不仅没有认真审阅，反而把它一再丢失。最后，在 1831 年伽罗华第三次写好了论文送交审阅，而当时的法兰西科学院的一位院士对文稿竟然下了“完全不能理解”的结论。伽罗华只活了 21 岁，生前，他的论文未能得以发表。这位默默无闻的

青年数学家的遗作，直 14 年后，即 1846 年，伽罗华的手稿《关于方程用根号解的条件的记录》才由法国数学家柳维尔刊印在他自己创办的《数学杂志》上。伽罗华从很简单却又很深刻的思想出发，给出了一个方程可以用根号求解的条件，同时也证明了不能用根号求解的方程的存在。1870 年，也就是伽罗华死后 38 年，法国数学家若当根据伽罗华的思想得写了一本巨著《论置换与代数方程》。在这本著作中，伽罗华的思想得到了进一步的阐述。

至此，从古代开始到 19 世纪中叶为止，用代数方法解 n 次方程的问题才算得到了彻底、圆满的解决。

应用阿贝尔、伽罗华的研究成果，人们还解决了公元前留下的初等几何的几大难题，譬如用伽罗华理论证明了圆规、直尺不能三等分任意角；也不能用圆规、直尺作一个新立方体，使之为给定立方体的两倍。不仅如此，阿贝尔、伽罗华的研究引起了整个代数学的重大飞跃，使代数从“古典”范畴过渡到“近世”范畴。

时至今日，人们对卡丹、费拉利和塔尔塔利亚的那场争论已渐渐忘却了。可是他们在三次以至四次方程解法的探讨方面所作出的共同努力和贡献，将永远铭记在代数学的史册上。在一些文章资料中，指责卡丹剽窃了塔尔塔利亚关于三次方程的解法，这是不尽确切的。从《大法》一书的记述中可以看出，卡丹和费拉利不仅坦率地指出了得到三次方程解法的渊源，肯定了菲洛、菲奥和塔尔塔利亚的成果，而且他们自己在三次方程解的系统探讨和证明、以至应用到四次方程的解法方面所作出的贡献也是不可抹杀的；从卡丹向塔尔塔利亚请教一些特殊形式的三次方程的解法到卡丹把三次方程的求根公式的公开发表，其间经过了近十年的时间。在这期间，卡丹对三次方程的进一步研究所作的努力，更是不容忽视的。

卡丹的《大法》一书，从特殊到一般形式，从推导到证明，系统地介绍了三次和四次方程的问题，因此，无疑是代数方面的经典著作。