分数和百分数

对分数和百分数的认识比整数难多了，我们这里讲的分数和百分数主要

包括分数、百分数的意义；分数的性质；分数大小的比较；分数、百分数和小数的互化等．如果没有很好地建立分数和百分数的概念，那么解答有关分数、百分数的概念题、比较分数的大小或进行分数、百分数和小数的互化， 都会经常出现错误．但对分数和百分数的理解不是孤立地建立起来的，它是通过比较分数大小、进行分数、百分数和小数的互化等过程中逐步加深认识的。

例 1（1）判断题：把单位“1”分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫做分数．（ ）

（2）1 5 的分数单位是（ ），共有（ ）个这样的分数单位．

8

（3 1 2

）写出一个比 3 大，又比 3 小的最简分数（ ）．

1

）分数单位是 9 的最大真分数是（ ）．

（5） 3 5

4 和 6 比较，（ ）的数值较大，（ ）的分数单位较大．

5

）判断题：小于 8 的真分数有四个．（ ）

（7）40个1％等于（ ） 1 1

10 个，等于（ ） 5 个．

① 1 ，②

10

1

100

，③ 1 ．

1000

1. 判断题：大于

1 ，小于

11

3 的分数有无数个．（ ）

11

1. 判断题：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数，分数大小不变（ ）。

（12 4

8，要使分数值不变，分母应加上（ ）．

） 9 的分子加上

[解]（1）×

1

（2） 8 ，13

（3 1

2 3 3 4 3 5

） 2 ．或 5 、 5 、 7 、 7 、 8 、 8

（4） 8

9

（5 5 3

） 6 ， 4

（6）×

（7）4，2。

（8） 3

8

（9）

1 ．

100

（10）√

（11）×

（12）18． [常见错误]

（1）√

1

（2） 8 ，5．

（3）写不出或写的不对，如 3 、 1 等。

4 4

（4） 9

9

（5 3 5

） 4 ， 6

（6）√

（7）写不出。

4

） 8 ．

（9）

1 或 1 ．

10 100

（10）×

（11）√

（12）8。[分析]

产生上述错误的主要原因是对分数的有关概念不清楚。

1. 题之所以判为“正确”，是因为对分数定义中的“平均”二字没有引起重视．这两个字在分数的定义中是很重要的，如果不是平均分就不可能建立分数的概念．如表示下面各图中的阴影部分的分数都是错误的．

只有在平均分的情况下才能出现分数。

1. 题要写出1 5 的分数单位并不困难，但往往容易把它的分数单位的个

8

数误写成5个，因为问的是1 5 5

8 所含的分数单位，而不是指 8 所含的分数单位．

1. 题因为再找不出一个分母为3 1 2

的分数使它比 3 大，又比 3 小，所以有的学

1 1 2

生找不出这个最简分数．最容易找的应该是 2 ，因少 3 于一半， 又 3 大于一半，这

1 2

是很容易判断的．当然，比 3 大又比 3 小的最简分数有无数个．

9

）题如果忽视“真分数”就容易误写成9 ．

1. 题答错的原因是因为“数值”和“分数单位”的概念模糊．因为

3 5 9 10 3 5 3

4 和 6 通分后得和，所以 12 ＜ 12 ；所以 4 ＜ 6 ； 4 的分数单位是， 的分数单位是，所以的

较大，即分母小的分数单位反而大。

1. 题之所以判为“正确”，是因为只想到分母为8 4 3

2 1 5

的分数 8 、 8 、

8 、 8 ．分母不为8的而小于 8 的真分数还有无限个，例

5 5 1 2

如 9 、 11 、 3 、 5 ．

1. 题是因为对于小数数位间的关系没有掌握，故写不出．40 个

1 ％即为40％，或0.4，

1 为0.1，所以40个1％等于4个 1 1

等于4个

10

1 ，等于2 1

10 5

10 ． 5 为

1. 题没有看出其中两块三角形只能拼成一块小正方形，故错写成

4 ．

8

1. 题产生错误的原因和（7）题基本相同．因为十分位的一个单位

是 1 ，十位上一个单位是10，

10

1 相当于10的

10

1 ．

100

1. 题产生错误的原因与上面（6）题是一致的，误认为 1 与 3 之

11 11

间只有 2 ．

11

1. 题判为“正确”的原因是对于分数的基本性质中的“零除外”没有引起足够的重视。

2. 题也是因为没有很好掌握分数的基本性质，误认为分子加上 8，

   分母也要加上 8．而要使分数的大小不变，分数的分子和分母都应乘以或除

4

以相同的数（零除外）． 9 的分子加上8，分子得12，即4×3 = 12，所以，

要使分数值不变，分母也应是 9×3=27，27 比 9 多 18，所以分母应加上 18． 通过上述分析，我们发现，产生错误的主要原因是对于分数的意义、分

数的基本性质没有很好理解和掌握，而分数意义和性质的理解和掌握又必须通过大量的实例去领会，单纯靠死记硬背是难以达到这一目的的．

例2（1）七成五 = （ ）％ = （） =

20

3 = （） ．

（） 小数

（2）0.5 = （） = 3÷（ ） = （ ）∶10 = （ ）％．

16

（3）3÷4 = （） = （） = （ ）％．

8

（4）4 1 = 4 3

小数

= 3 （） =

108 ．

2 （） 2 （）

[解]（1）七成五 = 75％ = 15 = 3 = 0.75．

20 4

（2）0.5 = 8

16

= 3÷6 = 5∶10 = 50％．

（3）3÷4 = 6 = 0.75 = 75％

8

（4）4 1 = 4 3 = 3 3 = 108 ．

2 6 2 24

[常见错误]

这类题的解答错误是填不出或填错了数． [分析]

产生错误的主要原因是对分数（包括成数）、小数、百分数的互化；除法与分数的关系；假分数与带分数的互化；分数的基本性质及比与除法的关系等知识没有理解和掌握．

如以（1）题为例，七成五就是十分之七点五即为 75％，化成分数为

15 3或 ，化成小数为0.75．

20 4

例3（1）甲数是40的 2 ，乙数的 2 是40，甲数是乙数的（ ） ％．

5 5

5）甲数是乙数的 ，甲数比乙数少（ ）％．

8

4 1千克的 和（ ）千克的 相等．

5 5

1 1

）从甲地到乙地，甲每小时行全程的 8 ，乙每小时行全程的 7 ．行

完全程乙比甲少用（ ）小时． [解]（1）16％．

（2）37.5％．

（3）4．

（4）1． [常见错误]

（1）求错了甲数与乙数而写错了百分数．

（2）3％．

（3）1．

（4） 1 ．

56

[分析]

这里都由于没有正确理解题意而产生了上述一些错误．（1）题的甲数

是40× 2 = 16，乙数是40÷ 2 = 100，所以甲数是乙数的16％．（2 ）题

5 5

5 3甲数是乙数的 ，那么甲数比乙数少 ，而不是3％．（ 3）题1千克的

8 8

4 4 4 1

5 是 5 千克， 5 ÷ 5 = 4 千克，所以括号内应填4．（4）题应先求出

1

甲、乙各行全程要多少小时．甲每小时行全路的 8 ，行全程要8小时，乙

1

每小时行全路的 7 ，行全程要7小时，所以行完全程乙比甲少用1小时．

例4（1）把

• 3

0.6 、 5 、

60.6％和0.67用“＞”连结起来

（2）在4.6、4 5 、

8

• •

4.67 和467.5％四个数中，最大的数是（ ），

最小的数是（ ）．

1 2 7

）在 、 、 、

1. 中，（ ）分数值最大，（ ）分数值最

2 3 9 13

小．

（4 7 • • 、八成五、87.6％、0.87各数按从大到小的顺序排

）把 8 、0.8 7

列，排在第二个的数是（ ），排在第四个的数是（ ）．

（5）把 、5.75％、5 3 、

•

• •

按从大到小的顺序排列，并用“＞”

5.75

连接起来是（ ）．

5.75

4

（6）下列各式排列正确的是（ ）．

1. ％＜

4 • • 4

＜0.16 B．

• •

＞0.16 ＞1.6％

25 25

C． • • 4 4 • •

0.16 ＜ 25 ＜1.6％ D．1.6％＞ 25 ＞0.16