欧拉的成果

欧拉的一生，获得的成果众多，涉猎的范围广泛，包括：几何、代数、数论、分析、微分方程、变分法、力学、声学、光学、热学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等等。他是复变函数论的先驱者，变分法的奠基人，理论流体力学的创始人。

在微积分方面，继牛顿和莱布尼茨提出微积分后，出现了许多数学成果，但联系不紧，有待整理。欧拉通过《无穷小分析引论》、《微分学原理》、

《积分学原理》等著作，把前人的成果加以总结定型，并注入自己的见解，构成了 18 世纪微积分的主要内容。

欧拉澄清了函数的概念，基于量的代数关系，给出了函数概念的新定义。他提出一个表示三角函数与指数函数间关系的著名的欧拉公式。指出了如何利用点变函数去计算实积分值。他是复变函数论的先驱者，复变函数论在数学及流体力学中有广泛的应用。

他研究了二元函数的极值，给出了全微分的可积条件，引出了很多函数的无穷幂级数和无穷乘积的展式。

他首先把导数归作为微分学的基本概念，提出了二阶偏导数的演算，并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论。他给出了用累计积分计算二重积分的方法，并讨论了二重积分的变量替换问题。

在微分方程上，欧拉深入考虑了一般常系数线性微分方程的求解方法，开创了这类方程的现代解法，极大地丰富了诞生不久的微分方程理论。他研究了微分方程的幂级数解法，解决了那些不能用通常积分求解的微分方程。

在变分法的研究中，他给出变分问题的一般解法，奠定了变分法的基础。欧拉在微积分方面，用形式化的函数理论，把微积分从几何学的束缚中

彻底解放出来，使其建立在算术和代数的基础上，从而为完整实数系统作为微积分学的基本论证打开了通道，把微积分“带大成人”。

在初等数学领域，欧拉的《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积分与初等代数的杰作；《对代数的完整介绍》系统总结了代数学理论，标志初等代数发展史的基本结束。

欧拉在 1735 年解决了“哥尼斯堡的七桥问题。”

波罗的海岸边的哥尼斯堡，是一座古老的城市，它风景秀丽，气候宜人，建筑优美，风俗淳朴。一条河流，穿过市区，形成两个小岛。哥尼斯堡人利用这个天赐的自然条件，把两个小岛打扮成美丽的花园，为城市又添一景。

为了方便人们游玩，他们造了 7 座桥，把小岛和河岸连接起来。

从此，一对对情侣手挽手、肩并肩去那美丽的小岛，促膝谈心，窃窃私语，柔情万千；一队队老者去那芳香的花园，欣赏风景，锻炼身体，延年益寿。

不知是谁提起，哪个人能一次走过 7 座桥，每座桥只走一次，还能回到出发点。可是没有人成功。

从此，哥尼斯堡七桥问题传开了，吸引了无数的游客。他们一方面来欣赏游玩，一方面想碰碰自己的运气，亲自走一走，希望找到答案。他们在 7 座桥上走过来，又走过去，日复一日，年复一年，都失望而归。

七桥问题成为欧洲闻名的难题。

当欧拉得知七桥问题时，也产生了极大的兴趣。他想，既然那么多人都走不通，是不是不可能存在那样的走法呢？于是他用“穷举法”检查所有的路线，说明他的设想是正确的。

欧拉又进一步地用“位置几何学”进行了证明。

这一天，哥尼斯堡花园依然游人如潮，他们欢声笑语，使小岛呈现勃勃生机。很多人还是在桥上走来走去，似乎非要找到正确的答案不可。桥上，有一位从彼得堡来的独眼青年，向热衷于七桥问题的人们郑重宣布：“一个人要一次过 7 座桥，而每座只走一次，这是不可能的。”

哥尼斯堡七桥难题，终于解决了。

欧拉对现代数学语言也作出了贡献，许多常用符号都起源于他。1734 年，用 f（x）作为函数的记号;1736 年，倡导用π表示圆周率，用 e 表示自然对数的底；1748 年，创用了正弦 sin，余弦 cos，1753 年创用了正切

tag；1755年创用Σ表示求和；1777年创用i表示 − 1；还建议以 a、b、

c 记作三角形的边和 A、B、C 记作它们的对角，大大简化了三角公式。

在应用数学方面，欧拉以微积分为主要数学方法，对力学、光学、声学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究，取得了重要的成就。

在力学中，他继承和发展了丹厄尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学和船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》于 1759 年获巴黎科学院奖金。

他还把数学应用于天文研究，创立了关于月球运动的第二种理论。

欧拉认为一个科学家“如果是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。”

欧拉是数学上最多产的科学家，他一生中共发表论著 500 多种，加上他

生前没有发表和出版的手稿，多达 800 种以上。欧拉逝世后，数学史家把他

的著作编成全集出版，竟达 72 卷。

欧拉的著作，包含了很多开创性的成果，并且在表述上思路清晰，条理性强，富有启发性。他的行文优美流畅，淋漓尽致地表露了自己的思想和发现。有人赞誉欧拉是“数学界的莎士比亚”。