百科全书式的天才

前面说到牛顿和德国的莱布尼茨同时独立地完成了微积分学，微积分的创立是数学上的重大突破，为近代数学的发展开辟了广阔的道路，在数学史上具有划时代的意义。今天，微积分学和在它基础上建立起来的许多数学分支，已经成为科学技术和生产实践中必不可少的数学工具。

微积分的建立不是偶然的。

从社会背景上看，16 世纪以来，欧洲处于社会变革的风暴中，马丁·路德的宗教改革打破了欧洲天主教会一统天下的局面，德国农民战争沉重地打击了封建统治，尼德兰资产阶级革命推翻了西班牙的殖民统治。17 世纪 40 年代，英国爆发了举世瞩目的资产阶级革命，最终建立了资产阶级共和国。

这些革命和斗争，极大地解放了生产力，促使科学技术的发展突飞猛进，特别是与生产实践密切联系的力学、天文学和数学，取得了更加辉煌的成就。

从数学本身的发展来看，自笛卡儿创立了解析几何以后，把变数引入了数学，数学就进入了一个新时代。由于力学的发展，要求准确地求出运动物体的瞬时速度，天文学和几何学的发展，要求求出曲线某一点的切线、极大极小值、曲线围成的面积等等，这都是当时的数学所不能解决的。许多数学家进行不断的研究，做出了不同程度的贡献。

意大利的卡瓦列利曾以无穷小概念作积分计算；法国的费尔马求函数极大极小值的方法，已经接近微分法，并且他还论证了一般的整数幂函数的面积问题；牛顿的老师巴罗在解决切线问题和曲线围成的面积时已经走到微积分的边缘；华里斯还用级数插入法求出了双曲线的面积。

这些人都从这一个侧面或那一个侧面接近了微积分，是微积分发现的先声和准备。牛顿和莱布尼茨就是在这样的基础上建立了微积分的。

莱布尼茨是德国的百科全书式的天才，他不仅是微积分的创始人之一，而且也是数理逻辑和计算机理论的先驱。

1646 年，莱布尼茨出生于德国东部的莱比锡城，父亲是一位哲学教授，

这位教授还没有来得及对儿子进行良好的教育，就在儿子 6 岁那年逝世了，但他为儿于提供了博览群书的条件。

幼年的莱布尼茨，学习勤奋，思维敏捷，15 岁就考入莱比锡大学，学习法律和哲学，逐渐地对数学和其他自然科学发生了浓厚的兴趣。1666 年，他发表了第一篇数学论文“论组合的艺术”，这正是近代数学分支——数理逻辑的先声，显示了莱布尼茨的数学才华。

莱布尼茨获得法学博士后走出校门，投身外交界，1672 年他作为大使出访法国巴黎，开始了政治生涯。但他依然没有放弃对数学和其他科学的研究，继续孜孜不倦。在巴黎，他和荷兰科学家惠更斯相识，在惠更斯的指导下，利用业余时间钻研了笛卡儿、费尔马等人的著作，逐渐地步入了数学殿堂。

这一时期是莱布尼茨一生中科学研究工作的旺盛时期。他敢想敢干，一往无前地探索，不屈不挠，从数学、物理、化学、机械学到生物学、医学等领域都有不少真知灼见。

1673 年，他改进了法国帕斯卡发明的简单计算器，制作出能进行加、减、乘、除和开方运算的计算机，因此，被选为英国伦敦皇家学会的会员。

1676 年，莱布尼茨到汉诺威，在不伦瑞克公爵的王家图书馆任顾问兼馆长。他博览群书，独立创立了微积分的概念与算法，同英国的牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学的基础

牛顿大约在 17 世纪 60 年代完成了微积分，1671 年著有《流数术》一书，

但到 1736 年才出版，公开发表。

牛顿创立微积分的方法是所谓“流数法”，把数看成是运动的，是无限小元素的流动构成的。

牛顿对微积分的研究，对数学思潮影响巨大，它使不变量的数学转换成变动中的数学，使宏观量的数学进入了微观量的数学。

由于微积分处于起步阶段，牛顿对某些步骤缺乏精确的说明，对某些概念的理解也是模糊的。他在使用无穷小的概念如有关表达式时，产生了无穷小既等于零又不等于零的悖论，使其他数学家们迷惑不解，把它称为“神秘的微分运算”。

莱布尼茨在 1673 年～1676 年间也独立地创立了微积分。

1684 年在《学术学报》上首先发表了微分法的论文，认为一种求极大极小和切线的新方法，也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。

1686 年，又发表最早的积分法的论文“潜在的几何与分析不可分和无限”。他把微积分称为“无穷小算法”。

牛顿和莱布尼茨研究微积分的方法差不多，在研究中都遇到一个无穷小既为零又不为零的问题。

如果要说区别，那就是牛顿建立微积分，主要是在力学研究的基础上，运用几何方法实现的；而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上，运用分析学方法实现的。

牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较高；而莱布尼茨所创立的微分积分符号，又优于牛顿，被后来的数学工作者承认，一直沿用至今，有力地推动了高等数学的发展。我们今天使用的“函数”、“坐标”等数学名称就是由他开始的。

牛顿和莱布尼茨都是在总结前人成果的基础上，通过不同的途径，引进了微积分的一般概念，得出运算法则。特别是发现了两种运算之间的互逆关系，应用它解决了力学、天文学和数学上的一些重大问题。

从微积分的建立过程看，牛顿和莱布尼茨是同时发现的，但是当时的人们否认莱布尼茨的优先权，牛顿的实验物理学讲师凯尔更指控莱布尼茨是剽窃者。

在这场微积分发现的优先权问题争论中，莱布尼茨蒙受冤屈，主要是人们不了解事实的真相，另外牛顿在科学上贡献巨大，本人又担任皇家学会会长，可能使莱布尼茨在争论中居劣势。1716 年莱布尼茨在汉诺威逝世时，朝廷竟不闻不问。

后来英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题成立了评判委员会，肯定了牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同而已，实质是一样的，宣布了莱布尼茨的微积分也是独立发现的。莱布尼茨对科学真理执著追求，在科学的园地里辛勤耕耘。1693 年，他发现了机械能的能量守恒定律。1700 年被选为巴黎科学院院士。

他还建议普鲁士国王弗里德希一世建立柏林科学家协会，自任第一任会长。这一协会即为皇家科学院，培养出大批科学英才。莱布尼茨的数学成就还涉及了高等数学的许多领域。他对变分法的建立以及在微分方程和某些特殊曲线的研究上都做出了重要贡献。

莱布尼茨还是著名的哲学家，并以“单子论”闻名于世，他认为现实世界是由形成先定和谐的无数个精神活动实体——单子组成的。

莱布尼茨在学术研究的同时，为了加快科学的发展，积极倡导世界性科学文化交流，特别是加强欧洲和中国的学术来往，并且设想建立一所世界科学院。

当时，西方盛行“欧洲中心论”，看不起世界各地的文化成就。这是一

种偏见，中国是四大文明古国之一，四大发明等很多方面都走在世界前列。莱布尼茨以他的见识和胆略非常崇敬中国的思想文化，他说：“中国是

一个大国，它在版图上不次于文明的欧洲，并且在人数上和国家治理上远胜于欧洲。在中国，在某种意义上有一个极其令人敬佩的道德，再加上一个哲学学说，或者有一个自然神论，因其古老而受到尊敬。这种哲学学说或自然神论是从 3000 年以前建立的，并富有权威性，远在希腊人的哲学很久很久以前。”

他还对那些蔑视中国哲学的欧洲学者说：“我们这些后来者，刚刚脱离野蛮状态，就想谴责一种古老的哲学，真是狂妄之极！”

莱布尼茨致力于科学事业和社会公务，勤奋过人，和牛顿一样终生未娶，在青壮年时代取得了伟大的成就。在莱布尼茨逝世后，他的遗稿分类整理为神学、数学、哲学、历史等 40 多个项目，影响巨大。

由于历史条件的限制，他自己的阶级局限性和世界观局限性，青年时代的那种大无畏的革命精神没有能够保持下去。他否认数学来自生产实践，这使他妨碍了视野，限制了成就，科学事业不断地迷失方向。到后来学问多了，地位高了，名望大了，却变得越来越保守。

在晚年，他热衷于研究宗教和神学，和牛顿一样，为上帝大唱赞歌，为剥削制度辩护，在科学方面就没有什么作为了。

在科学上没有平坦的大道，只有不畏艰险，沿着陡峭山路攀登的人，才有可能到达光辉的顶点。

科学真理的发现，决不可能是哪一个“天才”的独创，也不是什么悟性的想象物，而是在生产斗争和科学实验的基础上，在许许多多前人辛勤劳动的基础上，通过科学家本人辛勤耕耘的结果。