数学智能趣味训练

第一部分基本智能训练一观察力

观察力的培养，涉及到注意力、记忆力、想象力、思维判断力等诸多方面。从这个意义上说，观察力的培养实际上是一种综合能力的培养。

观察力的训练与后面将要进行的其他智能训练是相互渗透、相互交叉、相互促进的。同学们在进行训练的时候，切不可将各项智能训练截然分开。而要将它们有机地结合起来，全面掌握、灵活运用，以收到最大的训练效果。

【训练题 1】图案换鸡

请你仔细观察图中的各个图案， 然后判断，将 A、B、C、D 中的哪个图案去换鸡（即放

到鸡的位置），才能符合方框中原有图 案的排列规律？

【智能训练】

本题的图案初看确实有点“怪”，又像汉字，又不像汉字；又像图画， 又不像图画，似乎什么规律也没有。但我们进一步观察，或者说从多方面观察，就会发现这 8 个图案的共同特征——它们是轴对称图形。那么，组合成轴对称图形的左、右两半又是什么图形呢？取每个图案的左半边进行观察， 则会出现阿拉伯数字 1、2、3、

4、5、6、7、8（见图）。这就是说，每个图案都是由正、反两

个阿拉伯数字组成的轴对称图形，并按照自然数的大小顺序排列着。

所以，换鸡的图案应是 C。

【训练题 2】五彩缤纷的画板在画满横线、竖线和大小圆圈的画板上隐藏着14 个数字。现在请你回答，把这 14 个数字相加所得的和大呢，还是把这 14 个数字相乘所得的积大？

20 秒钟内能正确回答者为优，超过 20 秒者为良，超过 30 秒者为及格。

【智能训练】

和大还是积大？一般情况下，数字相乘的积总是比相加的和大。但也有特殊情况，例如 1×2×3＝6，而 1＋2＋3 也等于 6，这是积等于和的例子。还有 1×2×3×0＝0，而 1＋2＋3＋0＝6 的情况，这是积小于和的例子。也就是说，积小于和的情况的确存在，关键是看乘数中是否有“0”。如果你的眼睛敏锐，能从五彩缤纷的图案中一眼看出藏在左下角位置的“0”，那么， 你就会迅速回答：“和”大于“积”。

1. 是一个很特殊的数，它有许多不同于自然数（指 1、2、3、⋯⋯）的性质，同学们可要好好记住它。

【训练题 3】放水果

梨子、桃子和苹果按照不同的排列顺序摆放在六张小桌上。请你仔细看看图，然后在第 6 张小桌上把三种水果的排列顺序画出来。

【训练题 6】第 6 张小桌上三种水果的排列顺序如何，完全决定于前五张小桌上的排列顺序，因为第 6 种排列不能与前面的五种排列相同。

我们把梨、桃、苹果分别以 A、B、C 表示，并作如下比较，则不难找到答案。

第 1 桌 A、B、C 第 2 桌 A、C、B 第 3 桌 B、C、A 第 4 桌 B、A、C 第 5 桌 C、A、B

第 6 桌只能是：C、B、A

所以第 6 张小桌上三种水果的排列顺序是苹果、桃、梨（见图）。

【训练题 4】数积木请你数一数，

这堆积木一共有多少块？看谁数得 快。

【智能训练】

如果一块一块地数，肯定数不 快。一是积木较

多，二是受观察角度（视角）的局限，有些积木是看不到的。所以像这种情况的观察还得从总体出发，先求一堆积木（假定是完整的一堆）的总数， 然后减去缺少的积木数（这是能直接观察到的），就知道了实际的积木数。

这堆积木从总体上看，是一个规则的长方体，这个长方体所含的总积木数是：

4×5×3＝60（块）

减去缺少的 5 块，得： 60－5＝55（块）

【训练题 5】钟盘上的三角板

钟盘上如图摆放了三块直角三角板。请你想一想，哪块三角板的斜边长一些？

【智能训练】

如果我们的观察仅停留在三条斜边上，那就很难找到准确的解答。因为三条斜边的长短关系，并没有直观地表现出来。

这样就需要我们把观察的

面扩大一些，思路更开阔一些，想出一些办法来求解。我们把钟面简化如上图，这时可以看出，三角形的两条直角边与钟面上的另二条直线构成一个长方形，三角形的斜边成为长方形的一条对角线，另一条对角线则如虚线所示。很明显，几条对角线都是相等的（同一圆的半径相等），所以，三条斜边也相等。或是把钟盘看成一个立体的、指针可以转动的圆形物体，而不是把它看成是一幅平面的不能活动的图画。这样，我们可以让指针转动起来。很明显，指针的尖端将落到每个三角形的直角顶点上。这样，指针和三角形的斜边就成了长方形的两条对角线。既然指针长度相等，那么三条斜边的长度也相等。

如果用数学语言来说，解这道题的关键在于作“辅助线”。只要能正确地画出辅助线，往往就使问题变得清晰明白起来，能较直观地看出它们之间的相互关系。所以，同学们在解题的时候，要养成多动手的习惯（参看后面的〔动手训练〕）。

【训练题 6】对面的数字有一个立方体，

它的六个面上写有

1、2、3、4、5、6 这几个数字。图 A、B、C 是从三个不同角度观察立方体时见到的情形。请你想一想， 立方体上数字 1、2、4 的对面分别是什么数？

【智能训练】

观察离不开思维活动（综合分析、推理判断），在这道训练题中充分体现了这一点。“1”对面是什么？让我们作如下观察分析：

从图 A 看，与“1”相邻的两个面是“2”、“4”；从 C 图看，与“1” 相邻的两个面是“3”、“5”。这就是说，与“1”相邻的四个面上的数字是2、4、3、5，那么，与“1”相对的面上的数字只能是 6。

同理，从图 A、B 可知，与“2”相对的面上的数字只能是 3。

既然“1”、“6”相对、“2”、“3”相对，那么，与“4”相对的只能是“5”。

【训练题 7】三个方向看模型请你想一想，当你从

顶上、左边、右边三个方向去看左上角的立体模型时，见到的平面图形分别是 A、B、C 中的哪一个？

【智能训练】

从顶上看，应是第一

横行的 B；从左边看，应

是第二横行的 C；从右边看，应是第三横行的 C。

一个正立方体，无论从哪个面去看，都是一个正方形。但如果不是正立方体，则从不同侧面观察，会得出不同的图形。立体图形都是由平面图形组成的，由立体图形想象出不同侧面的平面图形，反过来，由不同侧面的平面图形想象出立体图形来，可以锻炼我们的空间想象能力，而空间想象能力的培养对于我们学习几何和解答某些应用题是十分重要的。

本训练一开始就给出了答案，是因为这种训练有一定的难度。但同学们决不要满足于现成答案，而要仔细观察分辨，找出错误图形与正确图形的区别来。

【训练题 8】先找后算

从前面的《三个方向看模型》一题，我们已经学会了从不同侧面看同一个物体的方法。在本

题中，图 A、B、C 就是分别从顶上、正面、侧面去看同一个物体时所得到的平面图形。现 在，请你找一找， 这个物体是 1、2、

1. 图中的哪一个？

并请你算一算，这个物体的体积是多少？（A、B、C 图中的数字，表示两点间的长度）

【智能训练】

此题的训练不仅在培养观察力和空间想象能力，而且培养我们将平面图形与立体图形相结合进行实际计算的能力。仔细比较从顶面、正面、侧面观察到的 A、B、C 图与物体 1、2、3 相应各面的异同，得到的答案是：A、B、C 是物体 2 的三个不同面的平面图形。

怎样计算物体 2 的体积呢？

我们可以把物体 2 分成三部分，一部分是个侧面是三角形立方体，它的体积是：1×1×3×1/2＝1.5（立方单位）二部分是个正立方体，它的体积是： 3×3×3＝27（立方单位）

三部分是个圆锥体，它的体积是：π（ 1.2

2

2

） ×3×1/3＝0.36π（立方

单位）

（圆锥体体积＝底圆面积×高×1/3） 物体的总体积是： “一部分”＋“二部分”－“三部分”

＝1.5＋27－0.36π

＝28.5－0.36π （立方单位）

求这种较复杂物体的体积，往往采用“化整为零”的方法，先恰当地划分出几部分，然后把几部分相加减。重要的是“划分”要恰当，使各部分相

对规则完整，从而简化计算。

【训练题 9】请你看仔细请你仔细看看

图，图 A 和图 B 上的直线分别平行 吗？图 C 的三角形边线直不直？图 D 的圆形圆不圆？从图 E 中能见到几个立方体？

【智能训练】

按照我们看图以后的直觉来说，图 A 的斜线互不平行；图 B 的横线也不平行；图 C 三角形的边线不直，图 D 的圆圈不圆。但实际情况怎样呢？图 A 的斜线和图 B 的横线是分别用两块三角板相靠，推移着画出来的，当然应当是平行线；图 C 的三角形每边都是靠着直尺画的，当然会是直的；图 D 的圆圈是用圆规画的，也一定是圆的。

为什么眼睛看到的与实际情况会有这么大的出入呢？这就是人们常说的“错觉”。错觉产生的原因是多种多样的，这里产生的原因是因为观察物画在影响视觉的背景图形上。也就是说，背景图形使眼睛产生了错觉，从而作出错误的判断。

所以我们在作数学练习，特别是考试的时候，草稿纸一定不要乱涂乱画， 尤其不要在写过的草稿纸上画几何图，防止错觉使你作出错误的判断。

图 E 中能见到几个立方体呢？眼睛盯着小圆圈，会见到三个平放着的立方体；眼睛盯着小黑点，会见到三个仰放着的立方体。这说明从不同角度观察会得出不同的结论。这一点，我们既要“利用”它，学会全面地、多角度地看问题；又要“警惕”它，防止因观察角度错误（特别是在解应用题的时

候）而作出错误判断或是钻进牛角尖里，白白浪费时间。二推理判断

判断力的培养训练实际上就是逻辑思维和推理能力的培养训练。而我们的学习，是完全离不开逻辑思维和推理判断的。对于数学来说，计算题也好， 应用题也好，在解题过程中，只要哪一步出现了逻辑错误（或叫“不合逻辑”），就不能得出正确的答案。

所以，我们在作这项训练的时候，要特别认真，要有耐心，要循序渐进地步步推理，不能望题生畏，也不能急于求成。通过训练，固然可以学到些推理判断的一般方法，但更重要的还是养成推理

判断的好习惯。

【训练题 10】有辫子的和没有辫子的春天到了，百花

盛开。小红和班上同 学一起去郊游。回家 后，姐姐问小红：“你

们一共去了几位同

学？”小红想了想，调皮地说：“去的同学中，有的有辫子，有的没辫子。没辫子的加上有辫子的，再加上没辫子的与有辫子的人数相乘的积，所得的结果是 34。”

聪明的姐姐想了想，笑笑说：“哈，我已经知道了，你们一共去了十位同学，对不对？”

“对，姐姐真聪明。”小红跑过去抱住了姐姐。

亲爱的小读者，请你想想，姐姐是怎样推算出来的？

【智能训练】

首先，我们可以根据题意肯定，有辫子的和没辫子的人数必为正整数。也就是说，这两个数不可能是 0 或负数。同时，进一步推理，可以肯定这两个数均为偶数：因为如果这两个数均为奇数，虽然他们的和为偶数，但是他们的积必为奇数。这样由偶数加奇数所得的和不可能出现偶数 34；这两个数也不可能是一个为偶数一个为奇数，因为偶数与奇数之积虽然为偶数，但是偶数与奇数之和（“没辫子的加上有辫子的”）必为奇数，这样，奇数“再加上”偶数，也不可能出现偶数 34。

所以，我们可以判断：有辫子的和没辫子的人数不仅为正整数，而且是两个偶数。既是两个偶数，两个数就必为 2 的倍数，两个数的积则必为 4 的倍数。

根据以上的逻辑推理，我们现将 34 分解成一个偶数与 4 的倍数之和，以便从中发现可供进一步推理判断的线索：34＝30＋4×1 34＝26＋4×234＝ 22＋4×3 34＝18＋4×4

34＝14＋4×5 34＝10＋4×6

34＝6＋4×7 34＝2＋4×8

在这八个等式中，只有 34＝10＋4×6 可以继续分解为

符合题意的“两数和与该两数积相加等于 34”的算式，即：

（4＋6）＋4×6＝34

而其他 7 个等式都不可能做到。

所以，可以准确地判断出：一共去了 10 位同学（4＋6）。

【训练题 11】小熊、刺猬与小兔

请你想一想，小熊、刺猬和小兔分别代表什么数时，能使这个有趣的乘法竖式成立？

【智能训练】

我们先选取竖式的一部分（图中虚线范围）来进行推理，则有：

将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别代进 A，只有当A＝7 时，才能使乘积出现两个相同数（BB），即：

既然如此，小刺猬就只能是 0，才能使乘积的百位数为 1。整个算式为：

用具体数字替代未知数，然后看演算结果是否符合题意，是进行数学推理的一种手段。运用这一手段时，要注意全面性，将可能出现的情况都要考虑到，然后排除掉不符合题意的部分，使推理判断准确可靠。

【训练题 12】动物与数字

仔细看看图，然后想一想，每种动物各代表什么数时，能使五项等式都成立？

【智能训练】

乍一看图，有点复杂。其实经过观察分析后并不复杂，总共只有4 种动物兔、鸡、羊、

马，也就是说，只求 4 个数字。

题图第二行是个减法等式，从这个式中我们可以推知马代表 0，因为等量相减，其差必为 0。

再看第四行的除法等式，从这个式中我们可以推知鸡代表 1，因为等量相除，其商必为 1。

再看整个加法竖式的个位数，从上往下数是：羊、马、鸡、鸡、马。因为已知马代表 0、鸡代表 1，所以可推知羊代表 8。

这样题图的第一横行可写成“兔＋兔＝18”；第三横行可写成“兔×兔

＝81”，无论从哪个式中都可知推知兔代表 9。

【训练题 13】借 4 还 1

爱开玩笑的小红对小惠说，“如果你借了别人 4 本书，只

还给别人 1 本书就够了，因为最近我有了一个重大发现：1 等于 4。”

小惠连连摇头：“那怎么可能呢？”

小红说：“我举个例子给你看。”并拿出纸笔写了起来：

甲有 2 本书，乙有 8 本书，丙的书减去甲的书刚好等于丙的书的 4 倍减

去乙的书。用算式表式，就是： 丙书－甲书＝丙书×4－乙书

即：丙书－2＝丙书×4－8 丙书－2＝丙书×4－2×4 丙书－2＝（丙书－2）×4

（等式右边的变化依据是乘法分配律）

把等式两边同时除以（丙书－2），则可得：1＝4（等式两边同时乘以或除以一个数，其值不变）。

小红写完，诡秘地一笑：“你看，这不是 1 等于 4 吗？我可不是瞎说， 是按照逻辑推理的方式一步步推导出来的，你说是吗？”

小惠想：谁都知道 1 不等于 4。但按这么推导，结果又必然是 1 等于 4， 问题究竟出在哪里呢？

【智能训练】

我们在进行推理判断时，总是依据一些已知条件（公认的常识或定理、定律等）进行逻辑推导的。如果引用了错误的已知条件或是错误地引用了已知条件，得出的结论都将是错误的。我们这道题之所以得出了 1 等于

1. 的错误结论，问题就在推导过程中引用已知条件时出了错。请看：

   “丙书（丙书－2）×4

把等式两边同时除以（丙书－2）” “把等式两边同时除以（丙书－2）”，按照数学的一般定理，等式两边

同时扩大或缩小多少倍（即将等式两边同时乘以或除以一个数）时，该等式仍然成立。但是，可别忘了，引用这一已知条件时，等式两边同时乘以或除以的这个数不能是 0。特别是除以一个数时，无论被除数是算式或单个的数， 这个数（除数）都不能是 0，因为 0 做除数是没有意义的。应当说，这也是已知条件之一，必须同时作为推导的依据。

而我们这道题中同时除以的这个数——（丙书－2），恰好等于 0，所以就出现了错误的结论。

怎么知道“丙书－2＝0”呢？这只要稍加计算就行了： 丙书－2＝丙书×4－8 移项（或作算术推导），得： 8－2＝丙书×4－丙书

即：6＝丙书×3

所以：丙书＝6÷3＝2（本） 代入：丙书－2＝2－2

＝0

这道题，实际上是一道“诡辩题”，表面上看来，逻辑推理是正确的， 但实际上却存在着错误。多进行这种训练，可以使我们的逻辑思维更周密、更严谨。

【训练题 14】说谎国里问讯难

话说唐僧师徒四人去西天取经的路上经过一个“说谎国”，按照这个

“国”的规定，男人在每星期一、 二、三说谎，女人在每星期四、五、六说谎，其他日子则都说真话。

对于“说谎国”的规定，他们早有耳闻。可一路上只顾昼夜兼程，谁都忘记了今天是星期几。要是搞不清今天是星期几，就很难与这个“国”的人打交道，因为你无法判断他（她）们说的是真话还是假话。为此，唐僧命八戒先去打听一下，问问今天究竟是星期几。

八戒领命而去。不一会，遇到一个男人，便连忙上前施礼打问。那男子望了八戒一眼，并不直接回答，只说：“昨天是我说谎的日子。”说完头也不回径自走了。八戒无奈，只得再往前走，忽见一女子飘然而至，连忙上前施礼喝喏：“女菩萨开恩，能告知我今天是星期几么？”岂料女子“扑哧” 一笑：“昨天是我说谎的日子。”说完扬长而去。

这下可难住了八戒！他急忙去找悟空。悟空听罢，抓耳挠腮，双眉紧皱⋯⋯ 忽然眼睛一亮：“哦，原来今天是星期⋯⋯”

八戒听了好不高兴，禁不住问道：“猴哥，你是怎么推算出来的呢？” 亲爱的小同学，你能回答吗？

【智能训练】

我们先假定今天是星期一。按照题意，星期一是男人说谎、女人说真话的日子。女人说“昨天是我说谎的日子”，而按照假设，昨天是星期天，应是男、女都说真话的日子。显然假设与题意发生矛盾，故此假设不能成立。如果假定今天是星期二或三，同样也会发生假设与题意不相符的矛盾，

所以这两种假设也不能成立。

于是我们很自然地假设今天是星期四。女人说“昨天是我说谎的日子”， 按假设，昨天是星期三；按题意星期三是女人说真话的日子。那么女人说的“昨天是我说谎的日子”就是谎话，这又符合女人在星期四说谎的题意。所以今天是星期四的假设，用女人的话来验证，是成立的。

那么，用男人的话来验证，是否也成立呢？

按题意，男人在星期四应说真话，男人说“昨天是我说谎的日子”，昨天是星期三，按题意确是男人说谎的日子。可见男人说的是真话，这就与今天是星期四的假设相一致。

至此，可以知道，当假设今天是星期四时，无论从男人或女人的话来分析，结论都不会与假设相矛盾。因此可以肯定，今天是星期四。

当然，作为训练，你不妨再分别假设一下今天是星期五、六、日，仿照上述方法逐一进行分析，看看假设与题意是否发生矛盾。