四几何游戏

【训练题 75】数图形

请你数一数，图中有多少个正方形？多少个三角形？

【智训能练】

如果从整体上去数，比较复杂。可以利用该图是一个对称图形的特点，只数其中的一部分，然后相乘，并注意加上几部分组合在一起时所构成的新正方形和新三角形。

共有正方形 20 个，三角形 68 个。

【训练题 76】越切越多

一个正立方体有六个面、八只角、十二条棱。当按如图所示切去 4 只角时，请你想一想，还剩几只角，几个面，几条棱？

【智能训练】

这就像回答那

道大家较熟悉的智力题——一张桌子 4 只角，锯去一只角后还剩几只角

——一样，不能简单地用减法求解，而必须思考去掉角后剩下部分的实际情况。而且，这里还需要发挥空间立体想象能力，把这个画在平面上的立方体透视图在头脑中再现出来。并使去掉角后剩余部分的图象，通过想象思维，形成一个新的立体图形。

当然，你也可以找块橡皮泥，捏成一个正立方体，然后照图所示切去 4 只角，就能直接观察还剩多少角、面和棱了。这一方面能培养你动手的能力，另一方面，也可以检验你通过想象回答问题的准确性。

正确答案是： 12 只角， 10 个面， 20 条棱。

【训练题 77】直线分图形

请你画一条直线，把这个图形分成面积相等的两块。

【智能训练】

怎样画呢？先动手试画还不行，还得动脑子想。首先要想到两点确定

一条直线。所以，找中两点，就成了解题的关键。

如图，先把图形分成一长方形和平行四边形。用画对角线的方法找到 A、B 两交点。过 A、B 两点画直线即可。

【训练题 78】羊圈与猪圈

用一道弯曲的栅栏将一块正方形场地分隔成羊圈和猪圈。请你想一想，羊圈与猪圈的周长是否相等？羊圈与猪圈的面积是否相等？

【智能训练】

羊圈的周长等于正方形的两条边长加栅栏之长；猪圈的周长也是如此计算，所以两圈的周长是相等的。

但是否周长相等，面积就一定相等呢？那可不一定。从图中就可直观看出，羊圈面积小，猪圈面积大。所

以，我们要分清周长与面积的不同概念以及不同的计算方法和计量单位。

【训练题 79】火柴图形

数一数，图中的三角形、正方形、六边形和十二边形各由多少根火柴杆围成，哪个图形的面积最大？

【智能训练】

这些图形都是由 12 根火柴杆围成的，也就是说，它们的周长相等。尽管它们的周长相等，但它们的形状却不相同，所以面积不会相等。实践和计算结果都证明，在相同周长的几何图形中，越接近圆形的几何图形面积越大，所以在实际生活中，为了节省材料（也为了坚固），常常将盛东西的容器制造成圆形。

在如图四个图形中，十二边形最接近圆形，所以它的面积最大。

【训练题 80】哪块面积大

比较一下就可以知道，这些图形的周长是不相等的。那么，它们的面积也各不相等吗？

【智能训练】

这些图形都画在规则的方格纸上，计算面积比较方便。平行四边形的面积等于底边乘高；梯形的面积等于上、下底之和的一半乘

以高；三角形面积等于底与高乘积的一半；正方形面积则等于两边长相乘。计算结果表明，每个图形的面积都是 64（平方单位），这就是说，它们的周长不等，面积却相等。

【训练题 81】三个三角形

有如图所示的三个三角形，其中 B 是等边三角形。如果图中的三个圆面积相

等，那么，这三个三角形的面积也相等吗？请在半分钟内回答。

【智能训练】

判断的关键在正确认识三角形底边上的高。

A 是钝角三角形，底边NP 的高是 h1；B 是等边三

角形，底边 QP 的高是 h2； C 是钝角三角形，底边 QP 的高是 h3。

三个圆面积相等，也就是说三圆的直径 h1、h2、h3 相等。

A 与 B 三角形等底等高，B 与 C 三角形同底等高，故此三个三角形面积相等。

【训练题 82】倒出一半

长方体铁盒里盛了满满一盒水，水重 4 千克。请你

往金鱼缸里倒进 2

千克水，在没有其他称量器具的情况下能做到吗？

【智能训练】

将长方体铁盒

朝一边倾斜，使水慢慢流进

金鱼缸。当水平面刚好处于图示位置

（a 为铁盒底边线，b 为铁盒上口边线）时即停止倒水。此时倒出的水和盒中剩下的水刚好各为一半。

【训练题 83】巧测角度

在正六面体的相邻两个面上各画一条对角虚线 AB 和 BC，请你想一想， ABC 所形成的夹角是多少度？

【智能训练】

AB 和 BC 分别在立方体的两个面上，它们所形成的夹角实际在立方体的里面，要直接量出此夹角来，可从 A 点开始，将立方体切开，使 AB 和 BC 同处在一个切开的平面上。

但切开毕竟不是简便的方法。简便的方法是：连结 A、C 画一条对角线，这样， ABC 就形成一个等边三角形，尽管这个等边三角形“藏”在立方

体内，但我们不难想象和推断，

∠A、∠B、∠C 均为 60°。

【训练题 84】放大多少度

请你想一想，用 2

倍放大镜分别观察 1 厘

米长的小棍和 30 度的角时，小棍和角各放大了多少倍？请你在 5 秒钟内问答。

【智能训练】

如果你答小棍和角都放大了 2 倍，那就错了。因为角是不能放大

的，原来是多少度，放在任何倍数的放大镜下观察，仍然是多少度。所以正确答案是：小棍放大了 2 倍（变成 2 厘米长），而 30°角依

然是 30°角。

【训练题 85】放大了多少倍

有七块相同大小的正方形纸片，将其中的6 块组合成一个正立方

体后，还剩下一块纸片。剩下的正方形纸片放在放大镜下观察时，面积放大了 16 倍，请你想一想，用同样的放大镜观察立方体时，该立方体的体积放大了多少倍？

【智能训练】

正方形面积放大了 16 倍，是否立方体体积同样放大 16 倍呢？

我们设原正方形边长为 1，则面积为 1 平方单位。放大后的面积为 16 平方单位，则边长为 4。

对于边长为 4 的正立方体来说，它的体积为 4×4×4＝64 个立方单位。相对于放大前的正立方体 1×1×1＝1 个立方单位来说，放大后的体积扩大了64 倍。

所以，对于放大倍数问题要区别长度、面积、体积等不同情况具体分析，才能获得正确的答案。

【训练题 86】钟面找角度

指针从 3 点正开

始，经过 3 小时后指向

6 点正。请你想一想，在这段时间里，时针

（短针）和分针（长针）各转动了多少角度？

【智能训练】

钟面是一个圆，一个圆为 360°（周角）。时针每小时转 1

周，3 小时

转动 360°× 1

×3＝1080°。

×3＝90°；分针每小时转一周（360°），3 小时转 360°

【训练题 87】小狗赛跑

两只小狗赛跑，一只沿大圆跑一圈后回到 A 点，另一只跑完两小圆后回到 A 点。

请你想一想，当

两只小狗同时起跑，而且速度也相同的话，谁是冠军得主？

【智能训练】

求谁是冠军，就是看谁花的时间少。变换一下行程问题公式，可得：时间＝距离÷速度。这里，两只小狗的速度一样，时间的多少就看所跑路线的

长短了。

设小圆的半径为 r，则大圆的半径为 2r。

小圆的周长＝2πr 两小圆周长之和＝2πr×2＝4πr 大圆的周长＝2π（2r）＝4πr

由此可知，两只小狗所跑距离相等，故将同时跑回 A 点。

同时，这也形象地证明了“圆的周长与半径成正比”这一几何定理。

【训练题 88】三人分饼

三个月饼，小月饼的直径为大月饼的一半。现在要求按面积平均分给三个人，但只许切一刀，想一想，该怎样分？

【智能训练】

要求按面积分配，所以先得弄清大小月饼之间的面积关系。

设小月饼的半径为 r，则大月饼的半径为 2r。

2 2

两个小月饼面积之和＝πr ×2 ＝2πr

2 2

一个大月饼的面积＝π（2r）＝4π

这就是说，大月饼的一半刚好等于 2 个小月饼的面积之和。

因此，只要过大月饼的圆心直切一刀就行了：大月饼的两半刚好为 2 份，

两个小月饼合起来为 1 份，共 3 份。这里，我们也可直接得到启示：圆的面积与半径的平方成正比。

【训练题 89】4 片叶轮

4 片叶轮像 4 个“，”标点符号，组成一幅奇特的图案。假定图中每条虚线为 2

厘米长，请你在 1 分钟内回答：4 片叶轮的总面积是多少？

【智能训练】

观察力强的同学在 1 分钟内回答是可能的。

仔细观察一片叶轮，并想象将虚线 MN 延长至 P，将小半圆 A 填补

到 B 的位置，则叶轮刚好是半径为 2 厘米的大半圆，4 片叶轮（大半圆）相加，则刚好组成 2 个大整圆。

2 个大整圆的面积＝πr ×2＝8π

【训练题 90】蚂蚁吃蜜

正立方体纸盒的 B 点粘有一团蜂蜜，小蚂蚁闻讯后即从 A 点爬向 B

点。

请你想一想，怎样爬路线最短？

【智能训练】

两点之间以直线距离最短。但在立方体上直接画出不在

同一面上的两点之间的直线是做不到的。于是，应当考虑将立方体展开，让两个不同的面处在同一平面上，这样直接连结 A、B 两

点就行了。

如图所示，可用两种方法展开，因此，最短路线可画出两条来。

【训练题 91】小白兔提水

小白兔从家（A 点）出发，到河边提了水后去浇蘑菇（B 点）。你能为它设计一条最短的路线吗？

【智能训练】

解题的关键仍然在灵活运用“两点间直线最短”的基本定理。但是怎样灵活运用呢？

如图所示，先找到 B 点的对称点 C（以河边为对称轴），连接AC 交河边于 D。折线 ADB 即

为从 A 到河边再到 B 的最短路线。

【训练题 92】蚕宝宝的路线

有一个空心纸筒，A 点在筒壁外，B 点在筒壁内。请你想一想，蚕宝宝从 A 爬到 B，怎样走路线最短？

【智能训练】

这道题虽然难度大一些，但只要综合运用前两道训练题的解法，也就化难为易了。

首先，设想将纸筒垂直剪开，展开成一个平面。虽

然 B 点在另一个面上，但仍

可应用找对称点（C）的办法，很快确定 D 的位置。

所以在筒壁外从 A 至 D，在筒壁内从 D 至 B，便是蚕宝宝的最佳路线。值得指出的是，画展开图也好，找对称点也好，都离不开动手作图。希

望同学们重视动手的训练。【训练题 93】立体铁丝框

请你找一根小铁丝，对照图示立体框架进行弯拆，看看哪个框架能用一根铁丝弯折成功？

【智能训练】

铁丝是一根“线”，由线可以围成“面”，由面可以组成“体”，

通过训练，可以加深我们对线、面、体的理解，同时培养我们探求规律的兴趣。

弯折的结果，你会发现，只有框架 D 能用一根铁丝弯折成功。这就很自然地给我们提出一个问题：为什么其他几个框架都不能用一根铁丝弯成，而只有框架 D 能弯成呢？

其实，这也是个“一笔画” 问题。只不过把平面的“一笔画” 变成了立体的“一笔画”罢了。

请同学们重温下前面的“训练题 34——奇妙的图案”，然后由自己得出规律性的结论来。