五总结规律

规律，单从数学解题的角度说，它指的即是解同类题普遍适用的方法。掌握了这个方法，对于解同类题就十分容易了。

但是，规律这东西常常“躲藏”起来，不是一下就能从表面看出来的， 往往需要我们调动多项智力因素（如观察力、判断力、多角度思维和抓关键的能力等）才能把它“挖”出来。

万事开头难，但只要我们养成遇事寻找和总结规律的习惯，就一定会尝到甜头。

【训练题 30】 加减乘除与这四道加、

减、乘、除计算题相似的计算题我们经常可以遇到。请你想一想，这类题如何计算最简便？

【智能训练】

算术中的一些计算法则或定理，其实也是一种“规律”，这种规律，课本上已经为我们总结出来了，我们只需要重视它和灵活运用它就行了。

1234＋998＝（1234－2）＋（998＋2）

＝1232＋1000＝2232

（两个加数同时加、减同一个数，其和不变） 1234－999＝（1234＋1）－（999＋1）

＝1235－1000＝235

（被减数与减数同加一个数，其差不变） 64×0.125＝（64÷8）×（0.125×8）

＝8×1＝8

（一个乘数缩小多少倍，另一个乘数扩大相同的倍数，其积不变） 9÷0.125＝（9×8）÷（0.125×8）

＝72÷1＝72

（被除数扩大多少倍，除数也扩大多少倍，其商不变）

【训练题 31】速算猪羊牛马

请你算一算，图中的猪、羊、牛、马各等于多少？看谁算得快。

【智能训练】

求猪、羊、牛三数不难，因为算式不长，也许你认为没有找计算规律的必要。但求“马”这个数就比较复杂了，它等于 99999 个分数之和呀！如果按照通常方法计算，首先通分，然后一个一个数相加，真不知加到何年何月去！如果我们能找到它们的计算规律，那无疑将大大提高学习效率。

1

比较一下四道式子，不难发现：第一，四道式中，第一个加数都是1×2

；第二，任意相邻的两个加数都可以用下列基本式表示：

所以说，它们的加数都是按一定规律排列的。那么，得出的答数是否也有规律呢？

1

猪= 1×2 +

1

羊= 1× +

1 2

2×3 = 3

1 1 3

+ =

2 2×3

1 1

3×4 4

1 1 4

牛= 1×2 +

2×3 +

3×4

+ 4×5 = 5

比较一下每个答案与最后一个加数的关系，都具有下式的规律：

1 1 P

1×2 +⋯⋯+ P×q = q

根据上述规律，我们不难求得：

1 1

马＝ 1×2 +⋯⋯+ 99999×100000

= 99999

100000

你看，发现和总结规律，进而运用规律解题，是多么有助于学习。

值得指出的是，发现和总结规律也需要一定的时间。同学们切不要因怕耽误这点时间而放弃寻找规律的机会。“磨刀不误砍柴工”，这句话是很有道理的。

【训练题 32】小狗是啥数

请你仔细看看图，根据上面四个等式中乘数与积的关系，推算出小狗该是什么数。

【智能训练】

几道等式，左边乘数的数位是按规律增加的，而右边得数的相应规律也很明显，留待同学们自己去发现和总结。下面介绍一种规律，供同学们参考： 前面四个式的答数依次是 1、3、5、7 位数，所以小狗代表的数应是一个 9 位数，这个 9 位数的中间一个数应是 5，左、右对称效应为 4321，即 1234⑤ 4321。

【训练题 33】蝴蝶与小兔

图中有五道等式，请你按照前四道等式的规律，判断第五道等式中的蝴蝶和小兔各代表什么数？

【智能训练】

前四道等式的规律是：两乘数的十位上的数字相同、个位上的数字为互补数（两数字之和为 10）；积的千、百位上的数字（或百位上的数字）为， 乘数十位上的数字加 1 后乘以十位上的数字，积的十、个位上的数字为两个乘数个位上数字的积。

据此可以推断：

蝴蝶这个数，十位上的数字为 8（与另一乘数十位上的数字 8 相同），

个位上的数字也为 8（与另一乘数个位上的数字 2 互补）。

小兔这个数，千、百位上的数字为（8＋1） ×8＝72；十、个位上的数字为 8×2＝16。

所以蝴蝶代表 88，小兔代表 7216。

【训练题 34】算得巧

想一想，图中四道算式，怎样计算最快？

【智能训练】

4×7×（12×25＋25×88）

＝4×7×25×（12＋88） （乘法分配律）

＝4×25×7×（12＋88） （乘法交换律）

＝100×7×100

＝70000

8×（80＋65＋45＋35）

37×11－37

＝37×ll－37×l （一个数乘 1 等于原数）

＝37× （11－1） （乘法分配律）

＝37×10

＝370 12340÷5÷2

＝12340÷（5×2） （三个数连除，如果先算后面二

＝12340÷10 个数，则将后二个数括起来后，

＝1234 括号里的除号要变成乘号）

请仔细注意算式后括号里的文字，它已经把各题速算的方法（或规

律）

了。记住了它，以后遇到同类问题就可 “举一反三”了。

【训练题 35】揭开奥秘

请你画一画，图 中六个图案，哪些能 一笔画成，哪些不能 一笔画成？画成和不 能画成，奥秘在哪里？

【智能训练】

我们先从一笔画的规律谈起。这个问题，早在 18 世纪即为著名数学家欧

拉提出并圆满解决了。问题的提起，首先是因为当时的哥尼斯堡城有一条河， 河中有两个岛，在两岛之间架有一座桥，两岛与两岸之间架有六座桥（见图左），要想不重复地一次走遍所有的七座桥，而后又回到原出发点，能行吗？

欧拉把两岛和两岸看作4 个点，然后用 7 根线（代

替 7 座桥）把这 4 个点连起来（见图右）。这样就把当时闻名于世的“七桥问题”变 成了一笔画问题：只要能不

重复地一笔画完这个图，也就能按要求一次走完七座桥。

欧拉经过研究，最后得出结论：这个图不能一笔画成。并总结出了能够一笔画成和不能一笔画成的规律：

首先，应该懂得；一笔画图案中的连接点分为奇点和偶点。所谓奇点， 就是与奇数根线条相连的点；所谓偶点，就是与偶数根线条相连的点。

如果这个图案上的点全部是偶点，则可一笔画成，并能从任意一点出发， 最后又回到这个点；

如果这个图案上的点仅有 2 个奇点，也可一笔画成，但必须从一个奇点

出发，最后在另一个奇点上结束；如果这个图案上的奇数点在 3 个以上（包

括 3 个），则不能一笔画成。

现在我们再回过头来看欧拉的一笔画图案，这图案上的 A、B、C、D 四个点全是奇点，当然不能一笔画成了。

那么，本训练题中的 A、B、C、D、E、F 六个图案，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成就很容易判断了。

请你先判断，并且动手画一画，然后再看下面的答案： A、D 图案能一笔画成，并可从任一点开始画；

B、E 图案能一笔画成，但必须从两个奇点中的一点开始； C、F 图案不能一笔画成。

【训练题 36】一分为二

请你试一试， 在 A、B 、C、D、

E、F 六个图形上各画一根直线，将各图分别分成面积相等的两部分（不

要求形状相同）。并请你归纳一下，能 按要求分成的图形 有什么共同特点。

【智能训练】

我们可以这么思考，画一条直线，已有的规律（定

理）告诉我们，“两点决定一条直线”，这就是说，只要找准了两点，这条直线就能确 定了。

仔细看看图，可以发

现，这些图形整体上虽不规则，但却能分成规则的两部

分。如图 A 可分成平行四边形和正方形，图 B 可分成两个平行四边形， 图 c 可分成等边三角形和长方形；图 D 可分成等腰梯形和正方形；图 E 可分成两个正八边形；图 F 可分成平行四边形和正方形。这就为平分图形打下了基础，因为平分规则图形显然比平分不规则图形方便得多。

我们再进一步分析，平行四边形、正方形、长方形、正八边形都是中心对称图形。而中心对称图形有一个特点，就是经过对称中心（点）的任意直线都必然平分该图形。因此，过两个中心对称图形的对称中心点所画成的直线，也必然同时将两个中心对称图形各分成两半。当这两个中心对称图形连在一起的时候，这条直线就自然地将整个图形分成面积相等的两部分了（等量加等量，其和相等）。

图 A、B 、E、F 各分成两块后，全都成了中心对称图形。通过画对角线的方法找到两中心对称点，再将这两点连起来，符合题目要求的直线就画成了（图 F 为等量减等量，其差相等）。

图 C 中的三角形和图 D 中的等腰梯形不是中心对称图形。这种图形，不是过某一点所画的任意直线都能平分其面积的，故这个“点”无法确定。尽管另一个“点”是对称中心点，但一点不能确定一条直线。所以图 C 和图 D， 不能用一条直线平分其面积。

【训练题 37】哪根皮带长

如图所示，图中所有轮子的大小是相等的，轮子与轮子之间的距离已用火柴杆表示出 来。

请你想一想， 套在轮子上的皮

带，哪根长一些？ 你能发现求皮带长度的规律吗？

【智能训练】

我们将原图稍作简化，并画上辅助线和阴影线。这时不难看出，将图 A 的 4 块阴影面积，图 B、图 C 的各 3 块阴影面积分别加起来，都刚好等

于一个整圆。

所以各图的皮带长度都

应当是以各轮轴中心点为顶点的多边形的周长加上一个

圆轮的周长。这就是求封闭型皮带轮皮带长度的规律。由于图 A、B、C 以各

轮轴中心点为顶点的多边形

的周长相等（都为 12 根火柴杆长），各圆轮的周长也相等，所以三图中的皮带一样长。

【训练题 38】巧数圆球

正六边形棋盘中规则地摆满了小圆球。请你想一 想，用什么方法 数，才能又快又准确地知道盘中共有多少个小圆球？

【智能训练】

如图所示，把原图划分成三

个平行四边形，则每个平行四边形有圆球 8×9＝72（个），总共有 72

×3＋1＝217（个）。还有其他的好方法，请同学们再找找看。

【训练题 39】一千零一层的难题

图中 A、B、C、

D 四堆积木都是规则堆放的。A 堆 5 层，B 堆7 层，C 堆 9 层，D 堆

1001 层。

你是否能通过对A、B、C 三堆积木的

计算，为计算 D 堆积木找到一种简便的计算方法？

【智能训练】

A 、B 、C 三堆积木，如果一层一层地硬算，则有： A 堆： 1＋2×2＋⋯⋯＋5×5＝55 （个）

B 堆： 2×2＋⋯⋯＋8×8＝203 （个）

C 堆： 3×3＋⋯⋯＋11×l1＝501 （个）

我们不难发现，D 堆积木与 A、B、C 三堆积木一样，都是按一定规律堆码的：下一层的积木比上一层的积木，每边都多一个。

我国北宋时期的大科学家沈括早就研究了这种堆码方式，并总结出它的计算规律：

堆码总数＝M×R＋K

其中：M 为堆码的中间一层的物体个数R 为堆码的总层数K＝（R×R×R－R）÷12

好，下面我们就用上述方法来计算 D 堆积木： M＝ 501×501＝251001 （个）

R＝ 1001 （ 层 ） K＝（1001×1001×1001－1001）÷12

＝83583500

总数＝M×R＋K

＝251001×1001＋83583500

＝334835501 （个）

上述四堆积木，恰好都是奇数层（5、7、9、1001）。如果是偶数层，可以先去掉最上一层或最下一层，然后按上式计算。当然最后别忘了加上先去掉的那一层的个数。