三、尖锥术

1840 年，鸦片战争爆发。帝国主义列强入侵中国的现实激发了李善兰科学救国的思想。他说：

“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也， 推原制器之精，算学明也。”

“异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震慑，奉朝贡。” 从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。

1842 年 5 月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦，乍浦离李善兰的家乡硖石只有几十里的路程。他耳闻目睹侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，奋笔疾作《乍浦行》一诗：

“壬寅四月夷船来，海塘不守城门开。官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。 夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。”

“饱掠十日扬帆去，满城尸骨如山堆， 朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”

表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。

1845 年前后，李善兰在嘉兴陆费设馆授徒，得以与江浙一带以数学家为主的学者顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813— 1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。

19 世纪 40 年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思想，得出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是 19 世纪中国数学界最重大的成就。

李善兰认为： “元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥； “平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥；

“立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥； “三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，⋯⋯ “从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。” 因此，“诸乘方皆有尖锥”， “三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体，而成凹形。乘愈多，则

凹愈甚”（图 1）。

“尖锥之算法”乃是

“以高乘底为实，本乘方数加 1 为法，除之得尖锥积”。又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”， “诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。

这样，对于一切自然数 n，乘方数 Xn 都可用线段长表示，它们可以积迭成 n 乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图 2）。

在《方圆阐幽》中，李善兰取 X2=10-8 及 X2=2×10-8，用“分离元数法” 归纳得二项平方根展开式

^∞ (2n − 3)!!

1 − X ²

= 1 − ∑

n=1

(2n)!!

X 2 n 。

然后在四分之一个单位圆内应用尖锥术计算以X ²ⁿ 的系数 (2n − 3)!! 为底的诸2n

(2n)!!

乘尖锥的合积（图 3），得

π = ∞ (2n − 3)!!

4 1 − ∑ (2n + 1)·(2n)!!

从而获得圆周率π的无穷级数值。

在《弧矢启秘》中，李善兰又用方内圆外的“截积”与尖锥合积的关系

（ 图 4） 得 到 ： “正弦求弧背”即反正弦的幂级数展开式

∞

a = sin a + ∑

(2n − 1)!!

sin2 n+1 a

_n=1 (2n + 1)·(2n)!!

然后用直除、还原等方法得到其他诸多三角函数和反三角函数的幂级数展开式：

a = tga − 1 tg³a + 1 tg5a − 1 tg⁷a+Λ ,

3 5 7

a ² = sec² a − 6 sec⁴ a + 46 sec⁶ a − 44 sec⁸ a+Λ ,

9 90 105

a ² = 2versa + 1 (2versa)² + 1 (2versa) ³ +Λ ,

12 90

sin a = a − 1 a ³ + 1 a ⁵ − 1 a ⁷ +Λ ,

3! 5! 7!

tga = a + 1 a ³ +

3

2 a ⁵ +

15

17

315

a ⁷ +Λ ,

sec a − 1+ 1 a ² +

2

5 a⁴ +

24

61 a ⁶ +Λ ,

721

versa =

1 a ² + 1 a ⁴ + 1 a ⁶ + 1 a⁸ +Λ ,

2! 4! 6! 8!

其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖

锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线与此截线可相为比例。”（图 5）

即是说 x1y1=x2y2，或 xy=c（这里 c=bh 为常量）。然后，根据这些性质得出了对数的幂级数展开式

∞ 1

lgn = lg(n − 1) + u∑ k ，

k=1

式中的u即李善兰所谓“诸尖锥定积之根”lge，亦即

1

1n10 。

从以上可以看出，李善兰所创立的尖锥面是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所围成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向的底线和高线。这样的底线和高线具有平面直角坐标系中的横纵两个坐标的作用。

而且，这种尖锥面是由乘方数渐增渐迭而得。因此，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。于是李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，这实际上就给出了这些尖锥曲线的代数表示式（以高线为 x 轴，底线为 y 轴）。

平尖锥 b （直线），

y = h x

立尖锥 y = b

h2

x ²（抛物线），

三乘尖锥 y = b

h3

x³（立方抛物线），

⋯⋯ 同样，

对数合尖锥 y（h-x）=bh（等轴双曲线）。若以底线为 x 轴，高线为 y 轴，则对数合尖锥曲线的方程为 xy=bh（图 5）。

再则，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式

∫ ax ^hdx =

ahn+ 1

0 n + 1

和逐项积分法则

∑(∫

a xⁿdx) = ∫

∑a xⁿ dx 。

∞ h

h=1 0

_h  ∞ 

0  n=1 n 

李善兰建立在尖锥术基础上的对数论独具特色，受到中外学者的一致赞

誉。英国传教士伟烈亚力（1815—1887）说： “李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文

森特的格雷戈里（1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。” “倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之

时，则只此一端即可闻名于世。”

顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土李（善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土之受欺而不悟者”。