四、著书与交往

1845 年，李善兰还撰著了《四元解》 2 卷。

《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于 1303

年，全书分 3 卷，24 门，共 288 个问题，最主要的问题是四元术。四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。

四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至 4 个。

四元术开头处总要有 “立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即

相当于现代的

“设 x，y，z，u 为××，○○，△△，**。”

天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推广。

朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法， 其步骤可简述如下：

例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二行式，这相当于求解

（7 + 3z - z ²）x + （ - 6 - 7z - 3z² + z³） = 0

 2 3 2 3 4

（13 + 11z + 5z - 2z ）x + （ - 14 - 13z - 15z - 5z + 2z

） = 0

或将其写成更一般的形式A 1x + A 0 = 0

B x + B = 0

 1 0

其中 A0，B1 和 A1，B0 分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”， 都是只含 z 而不含 x 的多项式。

朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内二行相乘、外二行相乘、

相消。”也就是F（z）=A0B1-A1B0=0。

此时 F（z）只含 z，不含其他未知数。解之，即可得出 z 之值，代入上式任何一式中，再解一次只含 x 的方程即可求出 x。

李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大。

1848 年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德历”中的二次差内插法。

李淳风，岐州雍县（今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元 665 年行用。麟德历引进了刘焯（544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均

匀运动。

刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为

t ( △₁ + △₂ ) t t ²

T = T0 + l · 2 + l (△1 − △ 2 ) − 2l2 ( △1 − △2 )

由上式可求任一时日太阳实行度与平行度之差 T，式中的 t 系指某节气初日与所求时日的间距。l 为一节气的日数，对于秋分后到春分前的各节气，

l = 16 ×10 = 14.54日，对于春分后到秋分前的各节气，

11

l = 17 ×10 = 15.45日。

11

它们分别是秋分到春分，和春分到秋分的每一个定气日数平均值的约数，其准确值应分别为 14.76 日和 15.68 日。T0 指某节气太阳实行度与平行度之差。

△1 和△2 分别为某节气后相邻两节气的 T0 之差。 T0（“衰总”）、△1 和△

₂（“躔衰”）均可由刘焯皇极历的日躔表查得。

1851 年，李善兰与著名数学家戴煦相识。

戴煦，字鄂士，号鹤墅，又号仲乙，浙江钱塘（今杭州）人。15 岁入杭州府学，以后便绝意进取开始数学研究与著述。青年时期与同里谢家禾共同研治数学。1826 年，完成《四元玉鉴细草》若干卷，项名达（1789—1850） 读后即“命驾见过，引为忘年交”，遂成为终生的学术挚友。中年以后，进入数学创作的兴旺时期。1837 年，校刊谢家禾《谢谷堂算学三种》。自 1845

年至 1852 年，凡八易寒暑，共完成数学著作 4 种 9 卷总名《求表捷术》。其间与项名达学术交往频繁，两人“共定开方捷术”。1845 年至 1846 年，项氏分别为戴煦《对数简法》、《续对数简法》作序。

戴煦于 1852 年称：

去年和李善兰交了朋友，⋯⋯起因在于我把我末写完的书稿请他雅正， 但是，李善兰对我书稿中的余弧和切割二线互求的方法非常欣赏，再四催促我完成书稿，今年他又寄信给我问及此事，于是，我就谢绝杂事，关门抄录， 用了一个多月完成了书稿。哎呀！朋友的帮助，难道是可以少的吗？”

戴煦和李善兰在一起互相讨论了李善兰的《对数探源》、《弧矢启秘》和戴煦未完槁的《外切密率》等书的内容。

李善兰和友人在学术上相互切磋，取长补短。他与数学家罗士琳（1774

—1853），徐有壬（1800—1860）也“邮递问难，常朝覆夕又至。”

徐有壬，字君青，亦字钧卿。浙江乌程（今湖州人）。他一生的主要活动在于仕途，曾任云南布政使，并以镇压太平天国农起义而终其一生。

徐有壬对数学有浓厚的兴趣，因此，他与李善兰等同时代的数学家也有

广泛的交往。