七、素数论

1865 年，李鸿章在南京建立金陵机器局。这年，李鸿章由江苏巡抚升任两江总督，将其在苏州办的制炮局迁到南京。金陵机器局的机器主要购自英国，主要技师为英国军医出身的马格里。该局所造枪炮是供淮军“剿捻”使用。

1866 年，李鸿章资助李善兰重刻《重学》 20 卷，并附《圆锥曲线说》3 卷出版。这一年，在北京的京师同文馆内添设了天文算学馆，广东巡抚郭嵩焘（1817—1891）上疏举荐李善兰为天文算学总教习，但李善兰忙于在南京出书，到 1868 年才北上就任。

1869 年，李善兰被“钦赐中书科中书（从七品卿衔）”，1817 年加内阁侍读衔。

1872 年，李善兰发表了题为“《则古昔斋算学》十四”的《考数根法》，

这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根， 就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。

李善兰说： “任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”，

即：

第一：屡乘求一法， 第二：天元求一法， 第三：小数回环法， 第四：准根分级法，

用以对已给的数 N，找出最小的指数 d，使 ad-1 能被 N 整除，这里 a 是与 N 互素的任何自然数。

李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。亦即，若 ad-1 能被 N 整除，而 N 是素数，则 N-1 能被 d 整除；但 d 能除尽N-1，未必 N 一定是素数。

李善兰还进一步指出，若 N 非素数而 d 也能整除 N-1，则 N 的因整必具Kp＋1 的形式，内 p 为能除尽 d 的数，k 为自然数。只有任何具有 kp+1 形式的数都又能除尽 N 时，N 才肯定是素数。