六、垛积术

1858 年 12 月，徐有壬任江苏巡抚。

1860 年，徐有壬邀请李善兰作其幕宾。

4 月 13 日，太平天国忠王李秀成部攻克苏州，徐有壬被杀。太平军占领苏州后，李善兰留在苏州的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽。从此他“绝意时事”，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。

徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4 卷。自杜德美（1668—1720）将π、sina、versa 的展开式传入中国之后，许多数学家以不同方式进行了深入的研究并获得了大量结果。其中有些结果彼此相同，从八线互求的角度来看杜德美弧求弦矢之后，明安图（1692？—1763？）首先给出弦矢求弧式， 项名达首先给出弦求割矢式，李善兰首先给出弧求割线及其反求式。即：

第一：已知 a，求 seca

第二：已知 seca 求 a

在此基础上，徐有壬给出其余 9 式。

李善兰在上海期间，与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。1861 年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建安

庆军械所，并邀著名化学家徐寿、数学家华衡芳入幕。李善兰也于 1862 年被聘为幕僚，并兼管书局的工作。他一到安庆，就拿出印行了没有多少册而在战火中毁版的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科学技术方面的活动。

1864 年 7 月 19 日，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰等也跟着到了南京。他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到曾国藩的支持和资助，于是有金陵刊本《几何原本》 15 卷和 1867 年金陵刊本《则古昔斋算学》24 卷问世。

1867 年刊行的《则古昔斋算学》收录李善兰 20 多年来的各种天算著作， 计有：

《方圆阐幽》1 卷（1845）

《弧矢启秘》2 卷（1845）

《对数探源》2 卷（1845）

《垛积比类》4 卷

《四元解》4 卷（1845）

《麟德术解》 3 卷（1848）

《椭圆正术解》2 卷

《椭圆新术》1 卷

《椭圆拾遗》3 卷

《火器真诀》1 卷（1858 年）

《对数尖锥变法释》1 卷

《级数回求》1 卷

《天算式问》1 卷。

其中，《垛积比类》一书，是李善兰的另一杰出数学成就——垛积术。在中国数学史上，北宋沈括（1031—1095）首创隙积术开垛积研究之先

河。

隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。沈括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式：

垛积体数目式体积

h h

V隙 = b [（2b＋d） a＋ （2d＋b）c] + b （c - a）

其中 a 和 c 分别为垛积体上、下宽度，b 和 d 分别为垛积体上、下长度，h 为垛积体的高度。

元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题， 分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为

n  r + p − 1 =  n + p

∑ p   p + 1

r=1

  

n  r + p − 1

(p + 1)n n + p

和 ∑ p  =

p + 2 p + 1  ,

_r=1   

m m!

其中 n  = (m − n)! n! 。

 

清陈世仁（1676—1722）、汪莱（1768—1813）、董祐诚（1791—1823）等人继续研究，有所成就。

汪莱在 1799 年所写的《衡斋算学》第四册推求的一个重要组合公式

Cⁿ =

m! n!(m − n)!

论证时，借用了传统的垛积知识，试以C² 为例，他说：

“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三

角堆形。”就是说：从 m 个元素中每次取 2 个的组合数，可以看作先确定 1 个元素后将其与其余元素相配，得组合数为

（m- 1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其余元素相配，得组

m−1

合数（m - 2）；依次类推，组合数每次递少一数，故得组合总数为 ∑i，

i−1

这就是一个（平）三角堆，即公差为1的一阶等差级数，其和为 1 m（m - 1）。

2

同理，

C ³ ，

C ⁴ ， ，

C ⁿ 则分别对应一个二乘、三乘、 、（n - 1）

乘三角堆。

董祐诚有《垛积求积术》 1 卷（1821），他以连比例四率法并结合垛积求积术求得“有通弦，求通弧加倍几分之通

弦”，即

l 2 n−1

= (2n − 1) −

(2n − 1)[(2n − 1) ² − 1² ]

3!4r ²

l³ +

(2n − 1)[(2n − 1) ² − 1² ][(2n − 1) ² − 3² ]

5!4² r ⁴

l⁵ −Λ ,

和“有矢，求通弧加倍几分之矢，”

b2 n

= n2

2!

(2b) −

n ² (n² − 1² ) 4!r

(2b) ² +

n² (n² − l² )(n² − 2²)

6! r ²

(2b)3−Λ ,

等两个展开式。

其中 l 为通弦，l2n-1 为倍分弦，b 为矢，n 为倍分矢，r 为圆半径。李善兰集前人之大成、发扬创新，撰《垛积比类》， “所述有表、有图、有法，分条别派，详细言之”，

自成体系，别立一帜。除三角垛和三角变垛包含了朱世杰落一形和岚峰形两类垛积外，又创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，其求和公式分别为

n  r + p − 1 ^{2 p} p ² n + 2p − a

∑  = ∑   

_r=1 p  _q=0 q  2p = 1 

和

n m−1

n + k

∑ r ^m = ∑ L^m−1  ，

r=1

k

k=0

m + 1

其中“李氏数”可作如下归纳定义：

L^m = （k + 1）L^m-1 + （m - k + 1）L^m-1，

k k

并有性质

m

k-1

∑L^m = (m + 1)!。

k=0

三角自乘垛的中心，是被称做“李善兰恒等式”的组合公式

n + p ^{2 p} p ² n + 2p − a

  = ∑   。

 p  _q=0q  2p 

该式驰名中外，自 20 世纪 30 年代以来不断引起数学界的广泛兴趣。我国数学家章用（1911—1939）、华罗庚（1910—1985）和匈牙利数学家图兰·帕尔等人都研究和证明过它。

乘方垛积计算问题相当于求自然数的幂和公式，这在数学史上是一个古老的题目，同时又是通向微积分学最基本和最普遍的公式——幂函数的定积分公式的阶梯。

李善兰把 m-1 乘方垛积分解成 m 类共 m！个三角 m 变垛或者说是 m 类 m！ 个组合数之和，从而得出了自然数的 m 次幂和公式。更进一步，李善兰以 m-1 乘方垛积迭成底为 b，高为 h 的 m 乘尖锥，先有

^h  r 

bh m−1

 n + k

bh m−1

m  i − k

V = ∑b

 m =

∑Lm−1 

 =

∑L^m−1 Ⅱ1 +

。

r=1 h

hm+1 k=0 k

m + 1

(m + 1)! _k=0 ^k i=1 n

然后取极限，即得 m 乘尖锥积为

V = Lim V =

m−1

∑Lm−1 = 。

锥 n→∞ 垛

(m + 1)! _k=0 ^k m + 1

这就是著名的尖锥求积术公式，它的确渊源于中国传统数学中垛积术和极限方法。