十一、李善兰与华蘅芳

1882 年 12 月 9 日，李善兰卒于北京，享年 72 岁。

李善兰早年在家乡娶妻许氏，无子；晚年在北京纳妾米氏，仍未得子；乃过继外甥崔敬昌为嗣。敬昌字吟梅，曾任江海关文牍。

李善兰的一生以 1852 年为界，1852 年以前，李善兰创立了尖锥术，在他的尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根、长叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走

上近代数学的道路。但是，1852 年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分学介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪流中。

在清末数学界，李善兰与华蘅芳（1833—1902）的关系是脍炙人口的。华蘅芳，字若汀，生在无锡南延乡荡口的一个小官僚家庭。

无锡是江南的富庶之区，地灵人杰，富有文化传统。华蘅芳 14 岁那年，受同乡徐寿的影响，立志探求新的知识。一次，他从徐寿那里借到一本明代算学家程大位（1533—1606）的著作《算法综宗》，爱不释手，朝夕研读，书中所列难题，硬是被他一个个地攻破了。这次学习，使他尝到了学习算学的一些甜头，竟由此对算学产生了浓厚的兴趣，简直到了入迷的程度。他一钻进书房，便整天不出门，还经常到书坊去搜求数学书籍。华蘅芳青少年时代对数学有了相当多的了解，无师自通，通过自学，对上自秦汉下至明清时期的中国古代大量算学著作进行了比较全面、系统的学习和钻研，从中汲取了丰富的营养，为攀登数学科学的高峰打下了坚实的基础。

一次，华蘅芳得知上海有个名叫李善兰的数学家，正同外国天文数学家伟烈亚力合作，一起翻译一部叫《代微积拾级》的数学著作，便千里迢迢，来到上海登门求教。

华蘅芳的诚恳、坦率和好学，使李善兰很受感动。李善兰不仅认真回答了他所提出的一连串问题，而且还主动向他介绍了当今世界数学研究的情况，使华蘅芳眼界大开。最后，李善兰慷慨地将自己已经译出的《代微积拾级》手稿借给了他，让他抄写，供他研习。

华蘅芳如获至宝，回家乡后便足不出户地攻读。由于当时国外的数学水平远高于我国，所以华蘅芳遇到了许多困难。一年过去了，还是弄不明白。这可真把他难住了。他鼓起勇气，二赴上海向李善兰再次请教，李善兰不厌其烦，耐心地向华蘅芳进行讲解，鼓励他要“反复钻研，持之以恒”。

上海之行，鼓起了华蘅芳继续钻研的风帆。经过认真努力的钻研，终于找到了学习的秘诀：不求之过急，一步一个脚印地向前探索。这样一来，局面逐步打开了，不到一年，他便领会了《代微积拾级》的精神实质。

华蘅芳的数学成就主要有开方术、积较术和数根术三个方面。

在《开方别术》等著作中，华蘅芳提出求整系数高次方程的整数根的新方法——“数根开方法”，李善兰评价说：

“并诸商为一商，故无‘翻积’、‘益私’不特生面独开，且较旧法简易十倍。”

“数根开方法”的缺点是不能求方程的无理数根。

在《积较术》等著作中，华蘅芳讨论招差法在代数整多项式研究和垛积术中所起的作用。其中“诸乘方正元积较表”和“积较还原表”，分别定义了两种计数函数，与所谓第一、二种斯特林数都有关系，从而给出一组乘方乘垛互反公式和若干组合恒等式，是为计数理论的中心问题，在组合数学和差分理论中都有一定的意义。

在《数根术解》等著作中，华蘅芳指出： “有单位之数根（即素数），即可求两位之数根；有两位之数根，即可

求四位之数根。”他的具体方法是：“以单位之数根 3、5 与 7 连乘，得 105，以两位之数求等（即公约数），其有等者可以等数约之，故非数根；其无等者除 1 之外俱不能度，故为数根。”这就是今天数学中的“筛法”，如是便

得到两位数的素数 21 个。

华蘅芳还指出，随着自然数的位数增加，素数的间隔愈稀，但素数的个数是无穷的。他用诸乘尖堆法证明了费马素数定理（1640），与欧拉（1707

—1783）证法相似。但是他还是不能像李善兰《考数根法》中那样指出费马定理的逆定理不真。

华蘅芳的数学成就受到当时数学界的高度评价。李善兰赞他：“独务精深”，“空前绝后”；不过，华蘅芳的开方术、积较术、数根术，比起李善兰的尖锥术、垛积术、素数论来讲，还是略有逊色。

华蘅芳对近代科学包括近代数学的翻译工作比他的数学著述更有成就和影响。

华蘅芳在同外国人合作译书的过程中，发觉傅兰雅精于数学，又“深通中国语言文字”，于是决定继李善兰、伟烈亚力翻译《代数学》、《代微积拾级》之后，同傅兰雅合译西方近代数学书籍，以“补其所谓”。20 余年间，出版了以下 7 种：

《代数术》（英国人华来士撰，原载《大英百科全书》第八版，1853） 25 卷，1872 年初刊；

《三角数理》（英国人海麻士撰， 1858） 12 卷， 1878 年初刊；

《代数难题解法》（英国人伦德撰， 1878） 16 卷， 1829 年初刊；

《决疑数学》（英国人加洛韦撰，原载《大英百科全书》第八版，1853；英国人安德森撰，《钱伯斯百科全书》新版，1860）10 卷，1880 年初刊；

《合数术》（即《代数总法》，美国人白尔尼撰， 1863） 11 卷，1888 年初刊；

《算式别解》（一作《算式解法》，美国人休斯敦、肯内利合撰，1898） 14 卷，1899 初刊。

译成未刊者还有《相等算式理解》、《配数算法》等。

在上述各书中，华蘅芳介绍西方数学家的代数学、三角学、微积分学和概率论，所含数学知识比李善兰的书丰富，内容也比较新颖。如《决疑数学》是中国第一部编译的概率论著作，介绍了人口估测、人寿保险、预求定案准确率和统计邮政、医疗事业中某些平均数的方法，令人耳目一新；还详细叙述了西方概率论史、涉及著名数学家约 30 人，这就增进了中国数学界对西方数学界的认识和了解。《代数难题解法》和《算式别解》都是原书刚刚出版，第二年就译出刊行，及时反映了当时西方数学的水平。

在关于李善兰的学术研究方面，中国著名的数学史专家李俨（1892— 1963）在 1955 年由科学出版社出版的《中算史论丛》的第 4 集（全书共 5 集）书末附有李善兰、华蘅芳二人的年谱，是了解李善兰活动的重要资料。

在文化大革命期间，由于众所周知的原因，中断了对李善兰的研究工作。粉碎四人帮以后，数学界和数学史界又重新开始研究和评价李善兰的数

学成就，介绍和研究李善兰数学成就的文章有：

李迪：十九世纪中国数学家李善兰，载中国科技史料，3（1982），3，第 15—21 页。

罗见今：《垛积比类》内容分析，内蒙古师范学院学报（自然科学版）， 1982，1，第 89—105 页。

王渝生：李善兰的尖锥术，自然科学史研究，2（1983），3，第 266—

288 页。

王渝生：李善兰——中国近代科学的先驱者，自然辩证法通讯，5（1983）， 5，第 59—72 页。

在大学教育中，80 年代初，历史系所开的中国近代史课程中，还没有近代科学技术的内容，到 80 年代中期，大学历史系中国近代史教材普遍增加了有关近代中国文化的内容，并把科学技术和教育列为一节来讲述，甚至电大教材也增加了这一内容。例如：中央广播电视大学龚书铎等主编的《中国近代史纲》一书，第十三章，近代中国的文化，第四节就是科学技术和教育，内中用 1/10 的篇幅对李善兰的数学成就和西方科技书籍的翻译成就进行了介绍。