第一节 向量

向量就是矢量，它是具有大小和方向的量，与此相应的量叫标量，并无方向而只有大小。整个说来，自然地理过程属于不可逆过程，具有方向性， 并在某种意义上说，它们属于向量的范畴。我们首先从最简单的平面上的向量概念开始，加以讨论。

向量计算遵守着特定的法则，因此可以进行运算。两个向量之间的加法按平行四边形的对角线法求出，如图 5．1，V1 和 V2 分别代表着两个向量，它们之和 V1+V2 即为图中所示的对角线：如果一个向量与一个标量相乘，仍然得到一个向量，这个新向量的方向与原来的相同，其大小是原向量与标量之乘积。

在以单位向量 e1 和 e2 构成的坐标系中，平面上任意一个向量 V 可以分解

为一对有序的数 V1 和 V2 来表示：

→ → →

V1 

V = V1 e1 + V2 e 2 = V 

(5.1)

 2 

这样两个向量 V1 和 V2 相加又可以表示成：

→ → → → → →

V1 + V2 = (V1 e1 + V2 e2 ) + (V'1 e1 + V'2 e 2 )

→ →

= (V1 + V'1 ) e1 + (V2 + V'2 ) e2

=  V1 + V'1 

(5.2)

V + V' 

 2 2 

同样，标量 K 和向量的乘积为：

→ → → → →

K V = K( V1 e1 + V2 e 2 ) = KV1 e1 + KV2 e2

= K V1  =  KV1

(5.3)

V  KV 

 2   2 

由此，平面中的向量，可以看作是两次测量所确定的量，这就叫做二维向量。它说明，在平面中任何一个向量，均可以分解为两个特定的向量，并被看作是这两个特定向量相加的结果。另一方面，平面中任何两个向量又都可以通过平行四边形法则结合成为一个向量。但在自然地理面中，极少有二维向量这样简单的情况，我们所碰到的运动，至少也是用三次测量的结果来确定的，也就是说为三维向量，它是用三个一组有序的数来表示的，而且它的运算法则也是从二维向量推广而来的。

→ W1

W = W 

 2 

W3 

三维向量的加法及其与标量的乘法，也与二维向量一样：

→ → W1  W1' W1 + W1'

W + W = W  + W ' = W

+ W '

(5.4)

1 2  2 

 2 

 2 2 

W3 

→ W1

W3 '

KW1

W3 + W3 '

K W = KW

 = KW 

(5.5)

 2   2 

W3 

KW3 

这里我们举两个简单的在自然地理研究中使用向量分析的例子。其一， 假如我们考察一个停留在坡度为α坡面上的某个颗粒，并且施加一个力 F， 这时在一定的条件下，该颗粒就要发生相应的运动。坡面可以看作是一个山坡，也可以看作是一个河床，而外力 F 则是由外部所影响的力例如流水的运动。这时，颗粒本身的重量为 W，颗粒和坡面的接触面积为 A，表面和颗粒之间的粘聚力为 C，该坡度进行平面滑动摩擦的静止角度为φs（它的正切值等于静摩擦系数μs），如图 5．2 所示。

能够引起向下运动的“应力”是 F／A，W·sinα／A；而阻抗运动的力是（W·cosα／A）·μs 和 C／A，在颗粒移动开始的一刹那，引起运动的力正好与阻止它运动的力相平衡，即

F／A+W·sinα／A=（W·cosα／A）·μs+C／A (5．6) 消去 A 后，可以简化成

F+W·sinα=W·cosα·μs+C

根据向量的分解与合成的原理，F 与 W·sinα是两个向量，它的合力就是颗粒向下移动的力，当然阻止向下运动的力也是两个向量的合力。

假定暂不考虑外力 F 与粘聚力 C，而且假定坡度所处的角度正好为φs， 那么当颗粒开始移动时，

W·sinφs=μs·W·cosφs

∴μs=tanφs (5．7)

对于无粘聚力作用的表面来说，引起颗粒本身沿坡面运动所需要的外力，当坡度α恰好为Φs 时，这个外力是 0。换言之，当坡度α达到某一临界值后，不依赖任何外力，只是颗粒本身的重力的分力，就足以发生运动了。由此也说明了静摩擦系数的物理意义。

这对于野外习见的崩塌、滑坡现象，以及工程建筑上的边坡稳定问题等， 在进行力的分析时都是十分需要的基本知识。当然实际的状况要复杂的多， 但不管如何复杂，总可以运用简单的向量分析去解决它。

另外的一个例子是达尔黎培（Dalrymple）在 1968 年，应用向量分析， 结合地貌状况，对一个河谷谷边的九种部位作了描述，下图就是他所作的结果：

除此而外，在自然地理面中当然还有更复杂的多维向量。任何在地球表面上运动的物体，如大气的流动、洋流的运动、固体在表面的快速移动（如滑坡、泥石流、崩塌、雪

崩等）和慢速移动（如地体岩石和土壤的蠕动，包括连续蠕动、季节蠕动和随机蠕动等），均可认为是一个多维向量所合成的向量，因为它们都不

是单一力作用的结果，而是通过好几个力共同作用的综合结果。这些运动至少要受到重力、外力梯度、摩擦力、地转偏向力、引潮力等的共同作用，这些力分别有着各自的作用方向，因此在一定条件下，每一类物体的运动可以用这种几个一组的有序数来标识，当然如要象二维向量那样直接在平面上画出来，是不可能的，那就必须依靠抽象的思维，设想出对于二维向量空间的推广，在这个意义上来说，地球表面上每种物体的运动，是一个多维向量的合向量。如此看来，二维向量（n=2）和三维向量（n=3）就是 n 维向量的特殊情况。而最后物体运动的实际方向，就是各个分力的合力方向。