第七回 刀光剑影 竟从方程求解引起冲天巨浪 却由文艺复兴开辟

欧洲一觉睡醒，拼命地搞知识进口。一位自学成才的数学家正为自家的发现洋洋得意，却险遭杀身之祸。使代数从几何中独立出来的韦达，不料还是破密码的能手。现代数学的帷幕正徐徐拉开⋯⋯

且说上回书中所说的那块地域，即现如今之欧罗巴洲，欧洲是也。

这西欧一块，现在是所谓“花柳繁华地，温柔富贵乡”了，算是个好去处。孰不知两千年前，当几大文明盛极一时之际，今天的欧洲一带只有原始的文明。住在那里的日耳曼人既没有文字更没有文化，是个“发展中国家”， “第三世界”。

后来发展了千把年，也还不能和咱中国一比。那时的大唐、大宋，早已是繁华昌盛，万邦来朝，俨然是世界文明的精华所在。

欧洲人自己说的幽默：当东方人穿锦戴银的时候，咱们老祖宗还围着树叶在树洞里呆着呢。

正所谓“三十年河东，三十年河西”，沧海桑田，如此而已。

那英法一带，虽早在罗马新闻社国统辖时就获得一些文化，但直到公元500 年，新的文化影响才开始在欧洲起点作用。

不过，这新的影响一开始却是不大妙。从公元 5 世纪中叶到 11 世纪，这六、七百年时间，是欧洲的黑暗时代，万恶的旧社会。那时，学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹。

要说有文化，也都在教会的修道院内。大部分的文化人都在院墙内研读圣经，侍奉上帝。就是墙外剩下的几个，又怎敢大胆妄为，离经叛道？大家都得统一在教会的权力下。

好像还是那么个理：圣经以外的知识，如果是好的，早就在圣经里；如果不合圣经，当然是坏的。好坏界限很明确，不由你分说，一切以圣经为准。

那时的数学主要是为了有点基础学学天文，好夜观天象，用占星术来预测吉凶祸福。现在有些人也喜欢看看自己、看看别人是属于什么星座，赶个洋时髦，其源都出于此。

那时有点名气的数学家中，有一位叫博埃齐（约 475—524），他写了两本教科书：《几何学》和《算术》。

那《几何学》也只是对欧几里德的《原本》支离破碎地摘抄了一些，可能还有错误，定理也没给出证明。奇怪的是还在这本书里含有算盘和分数的内容，可能是算命看星座要用得着。

《算术》的内容也是乏味枯燥，神秘兮兮的。就这么两本书还被当作宝贝，好几百年里一直作为教会学校的标准课本，一直用到 12 世纪。

这位博埃齐出自名门，还写了一些哲学书，而他则成为了中世纪经院哲学的奠基人。他理想高尚，又有点刚直不阿的味道，最后竟以叛国罪被斩。后来还有一位热尔拜尔（约 950—1003），法国人，教士。他幼年就聪

明异常，到西班牙的穆斯林学校学习过，很可能随之也把印度—阿拉伯数字带回了欧洲。

他手艺倒也不赖，能做做风琴，制制地球仪，造造钟表，令同辈五体投地，认为他是个鬼才。令人迷惑的是，这么一个有生气的人，在公元 999 年

竟被选为基督教的教皇。

就从这位教皇开始，希腊的科学著作，自然也包括数学著作，开始传入西欧。一个途径是通过贸易、旅游、留学，同地中海地区和阿拉伯人发生接触，吸收他们没见过的大量知识。

希腊文的、阿拉伯文的著作大量翻成拉丁文。那些当权人物不知是什么原因，也支持学者们出国取经。有一位老先生居然乔装打扮，冒充回教徒， 去阿拉人的地盘里偷学“真经”。这要是现在，是要被当作科技间谍的。

还有一个途径是战争。不过这场仗不是为数学去打的，那叫做十字军东征。

1085 年基督教徒攻占托里多城，那些基督教学者们立刻蜂涌而入，那里的阿拉伯著作可是多极了。又过了几年，基督徒又从阿拉伯人那里夺取了西西里岛。

那西西里岛大家当然都觉得耳熟。此处确实是个风水宝地，是东西方的天然会合处，几大文明的聚宝盆。希腊、罗马、阿拉伯，反复争夺，几度易手。基督教的学者在这里如获至宝，把大量的希腊和阿拉伯的手稿翻译成拉丁文。

整个 12 世纪就是这么不停地翻，不停地学。欧洲人对这些著作如此钦佩，以至完全倾倒。他们见到了一片从未见过的绿洲，他们发现了真正的新大陆。这精神文明的大发现要比哥伦布的发现早上 300 多年呢。

这个时期就叫做大传播时期。

火种已经播下了，但要形成燎原之势，还需时间老人起起作用。所以 12、13 世纪那当口，思想还是受着严重的束缚。不过由于有了那么多的希腊书、阿拉伯书，总归有点生气，有点起色。

这其中最值得一提的一位，是 13 世纪初的斐波那契（约 1170～1250）， 称得上是欧洲中世纪最杰出的数学家。

斐波那契也被称为比隆的莱昂纳多，1175 年出生于比隆的商业中心，其父在那里经商。那时，许多意大利大商行在地中海一带的许多地方拥有仓库。就在他父亲当海关关员时，小小的年纪，他就随父亲到过非洲。做父亲的天天要算帐，当儿子的在旁边看久了，当然就有了兴趣。

后来斐波那契又到埃及，西西里、希腊和叙利亚去游历，当然是长了更多的见识，学了许多的数学，如果他要一直在欧洲，那肯定是没那么大出息了。

回到比隆，受到当局的重视。他确信印度——阿拉伯的那一套数学，是要比当时的欧洲优越。1202 年，契先生写了他的名著《算盘书》，咱们在前面已经见过一次面啦。

这本书虽然有许多是斐波那契的独立成果，但也受了阿拉伯和希腊材料的不少影响，当然这其中也有印度、中国的影响。阿拉伯所做的“金桥工程”， 从欧洲文明的大传播时期起，就发挥了巨大的效益。

斐先生之前，欧洲已多少知道一点印度一阿拉伯记数法，不过只在修道院的院墙内，被教士们研究玩赏。可怜的老百姓依然在用繁杂的罗马数字， 用着巴比伦的 60 进制分数。

从斐先生的光辉著作产生巨大影响起，欧洲人这才拨云见日，慢慢用起印度—阿拉伯记数法，用起印度人对整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法。

《算盘书》中的代数，他也照着阿拉伯人的样子用文字讲述，而不是用符号，比丢蕃都的立方程和中国的“天元术”都低了一截，未达水准。

各位同学，对于咱们大多数人来说，了解得较多的，就是以他名字命名的斐波那契数列了。

那斐波那契数列确实很重要，流传至今，中学的老师一讲到数列，必提起它的大名，不过就很少讲起这数列中的有趣故事啦。这故事可是斐先生自编的，用来引出问题：

假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年系繁殖成多少对兔子？

咱们自己拿着纸头，或者就在书边角上，简单推算一番．就可以知道， 按月排下来，每月的兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，233。

那 233，就是一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数。咱们自然还能往下算。下一个数就是 14＋233＝377。为什么呢？说起来

也挺简单：那 233 中包括两部分兔子，一部分是刚生下一月的兔子，那么在下一个月中不能生；一部分是生下已超过一个月的兔子，这一部分在下一个月都要再生一对兔子。把这两部分找出来，到底是多少，当然就能算出 233 后面应该是多少只兔子了。

其实，那第二部分的兔子数已经写在上面了，就是 144。从 144 增加到233，增加了 89 只新兔子，所以 144 对于 233 的下一个数来说，就是老兔子了。所以 233 的下一个月，应新添 144 只兔子。共计有 144＋233＝377 只兔子。

这自然是游戏之作，数学家们的呆想，实际中那能保证不死亡，永远这么生下去呢？

那么这 377 算出来以后，再往下的各项大家当然也能看出门道了。这个数列中，每一项总是前两项之和！自然，除去第一、第二项以外。

所以这个数列就叫作“递推数列”，也就是说，知道了前两项，就能推出后一项，能像滚雪球一样，逐渐滚大、滚多。

递推数列是种很重要的数列，斐波那契好像是头一份。所以在中学里要讲到递推数列时，当然首先要提到它。

那斐波那契数列，还有一奇妙之处，两个相邻项之比（小的比大的数）， 就与所谓“黄金分割”的 0．618 发生了绝妙的契合。请看：

1 2 3 8 13

2 ， 3 ， 5 ， 13 ， 21

我这里是依次把第 1 项与第 2 项，第 2 项与第 3 项，第 3 项与第 4 项， 如此等等，写成上面的分数之比的形式，得出一系列分数。

开始几个分数的值与0．618相差还多一些，到 13 ，

21

就是0．619了。再往下去， 34 ，就是0．618。

55

当然咱们这算的是近似的。可以证明，这列比值如

此无限继续下去，其极限就是 −1 +

2

，而这个无理数，

正是0．618的来历。

这 0．618，不但是“黄金分割”，很美，而且也很技术，很科学。此话怎讲？原来后世有“优选法”一说，研究的就是如何从一大堆数据中，好中选好，优中选优。此是后话，暂且不提。

斐波那契数列被斐先生说的生动有趣，很吊胃口，这也是那时的数学书常用的手法。恐怕那时的读者水平初等，板起面孔来教，效果更差。

比如斐先生还给出这样一题，咱们不妨放进脑子里，茶余饭后也能助点谈兴：

一个人经过七道门进入果园，摘了许多苹果。离开果园时，给第一个守门人一半加一个；给第二个守门人，是余下的一半加一个；对其他五个守门人，也如此这般，最后带着一个苹果离开果园。请问当初他一共摘了多少苹果？

看来这些守门人也是乱设路卡乱收费，雁过拔毛，非治理整顿不可。 斐波那契的才能受到皇上陛下弗里德里希二世的垂青，因此被邀请到宫

廷参加数学竞赛。皇上的四品带刀侍卫约翰阁下提出了三个问题。所以认真说起来倒不是竞赛，而是想考考咱斐先生的学力功底。

第一个问题是，求一个有理数 X，使 x²＋5 和 X²-5 都是有理数的平方， 当然咱们这里给出的是现在的符号记法。

斐波那契给出的答案是4 1 ，大家不妨验算一番。

2

这道题就是对咱们现在的诸君来说，恐怕也不太容易。

第二个问题是求方程 C²＋2x²＋10X=20 的解，这是个三次方程，斐先生

先用 的无理性论证了此方程无限，也就是没有能用直尺、圆规作出

的根。然后他给出了一个近似解，X=1．3688081075。不知他是不是用了中国的“开方术”。

13 世纪的欧洲数学，以斐波那契为代表，就这么慢慢地在巴黎、牛津、剑桥和那不勒斯等地的一些大学发展起来。星星之火，终于要成燎原之势了。

且说从 12 世纪的大传播开始，欧洲文明的火种已经播下了，文明之车也缓缓起动。

但这冲天之火却不能突然而起，黎明之前还真有一段黑暗呢。

首先是 13 世纪的基督教可真是不含糊，对异端邪说保持高度的警惕。少数的几所大学都受教会的控制，教授们不能自由地讲授。特别是哪方面发现有和教义相抵触的论调，那是立刻镇压，其残酷与恶毒的程度在历史上是空前的。臭名昭著的宗教裁判所直到现在被人们提起，还不寒而栗，万分憎恶。

还有那老天爷也和欧洲人过不去。14 世纪的下半叶，黑死病流行，扫荡了欧洲三分之一的人口。人们朝不保夕，哪还有心思去想问题，研究学问？再说了，长期在那种思想僵化的气氛里生活，你给他思考的权利，他也

展不开想象的翅膀，何况还有宗教裁判那座大山压在头上。

人们迫切需要一场思想解放的运动，挣脱枷锁，投入到生机勃勃的创造中去。

这场革命终于来到了，这就是从 1400 年到 1600 年左右的文艺复兴。欧洲被深深地震撼，知识和知识界的面貌也大大地改变，数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起。

这文艺复兴的圣地和源头自然是意大利。意大利能担此历史大任，当然

不是上帝随便掷的骰子，而是有方方面面的条件。

意大利南临地中海，生意做得很大，财富源源流入，还建立了不少大银行，钱多了，搞学问才有可能。再者，当时的意大利被战争弄得支离破碎， 正是促进个性解放，反抗教皇统治的大机会。战争解放了人民，鼓励知识分子造反。一场思想解放和文化启蒙运动从这里开始不是偶然的。

其他客观也很好，希腊的大量文稿又一次大量涌入欧洲，这次是土耳其人占了君士坦丁堡（1453 年），这些宝贵的手稿比十二、三世纪时得到的要好得多。

好事一桩连一桩。正当其时，中国的造纸术、印刷术又通过阿拉伯传入了欧洲。可怜的欧洲以前可是一直用的羊皮纸、草皮纸，这种纸可真是贵。实在没法想了，还要把写过字的羊皮纸擦掉重用。现在可好了，能用上棉纸和麻纸了。

那印刷术的应用更是一件了不得的大事，一点不比现代电子计算机的发明逊色。试想想，不用印刷，光靠手抄，一本一本传抄，那还了得！敢再过过这种日子吗？

1482 年，译成拉丁文的《原本》第一次印刷出版了。

这么多条件凑在一块，真是“天时、地利、人和”了，单等那伟大人物登高一呼。正像有人那么说过的，这是一个需要巨人而又产生巨人的时代。果然，就有了所谓“文学三杰”——但丁、彼特拉克、卜伽丘，和“艺

术三杰”的出现。那后面的三杰就是达·芬奇、米开朗基罗、拉斐尔。

达·芬奇虽然是大画家，但他的博学多才更是著名。他还设计过直升飞机！说他是个科学家一点也不过份，他写过几何方面的著作。

更伟大的科学家自然是哥白尼（1473—1543），伽利略（1564—1642）、开卜勒（1571—1630），一时间群星荟萃，把旧世界的思想禁区扫荡得人仰马翻，一塌糊涂。

同学们也许会犯迷糊，咱们好好的数学演义，要谈什么文艺复兴、“日心说”“地心说”有什么用？其实咱们的数学，要发展要进步，全要有个环境，有种氛围作基础，万事万物也都是这个理。咱们在这多说道一番，就是明白一下数学发展的道理和道路所在。

要知道，经过文艺复兴这么一解放，知识分子们可是大开眼界。希腊知识体系里的那种崇尚自然，探讨自然，追求完美和自由研讨的作风，成为新的价值观，新的价值标准。

欧洲人这时感觉到，自然界是按照数学方式设计的，设计得非常的和谐优美。而这些正是希腊学者的主导思想。

再说了，文艺复兴的扫帚一到，中世纪的文化和文明自然被扫得支离破碎，各种教会建立的哲学、思想基础上崩瓦解。人们迫切要一个新的基础， 而数学是唯一被大家公认的真理体系。

按照那时的普遍看法，上帝是按数学方式设计了大自然，上帝是一位至高无上的数学家。文艺复兴时许多科学家是神学家，用自然代替圣经作为他们的研究对象。

“世界是按上帝的计算创造的”，这就是他们的新信仰。希腊思潮冲击了愚昧的基督教世界，知识分子们既被希腊世界所深深吸引，又不敢（也许是舍不得）做基督世界的彻底叛臣，他们就把两个世界的教义溶为一体了。一出有声有色的现代数学的大幕就要徐徐拉开了。不过咱们先别忙看最

精彩的部分，而是把目光转向这场运动初期的一些时期。

却说那文艺复兴对欧洲文明、对数学的影响当然是不言而喻，可是在初期，数学上却并没有什么辉煌的成就。辉煌的成就还需要人们在各方面为它作好出现的准备。

那初期一阶段，对现在比较有意义的事情，就是各种代数符号的出现。符号的使用对代数来说具有什么样的意义，不说大家也清楚。

首先咱们看一看等号的使用。发明现在这种等号的是英国人雷科德。雷先生（1510—1558）写出了 16 世纪最有影响的教科书，是用英文，而不是拉丁文写的，这可是一个进步。

1551，他写了本《知识的城堡》，是介绍哥白尼的“日心说”的。还有一本《知识的捷径》，是《原本》的一个节略本。而现在等号的第一次使用， 就是他在《智力的磨石》中的创造了。

对这个符号，雷科德说的也很精彩：“再也没有别的两件东西比它们更相等了。”他所说的两件东西，就是指组成等号的两条平行线。

加号和减号，一开始是用 P 表示加，M 表示减，这是意大利人帕奇欧里在 1494 年的一本书里使用的。咱们现在用的“＋”和“-”，是一位捷克人

维德曼。这是 1489 年出版的一本书里的记法。

此外，乘号是 1631 年由奥特雷德在他的著作《数学之钥》中第一次使用

的；除号是瑞士人雷恩在 1659 年首先用的。还有根号，如此等等。

这些符号一一地使用，就等着代数的彻底符号化了，而这已是不太遥远的事了。

在这伟大时刻到来的前夜，不想在三次方程问题上却发生了一场极具戏剧化的大风波。两位数学家变成了不共戴天之敌，到了动刀动枪玩命的程度， 真正是数学史不多见的。

这两位主角，究竟是哪里人氏？缘何成仇？请大家莫急，我给大家说个他细。

话说 1512 年，法国军队越过阿尔卑斯山，占领了意大利北部，征服者无情地烧杀抢劫，离米兰不远的布雷西亚城也遭到了攻击。

虽然是英勇抵抗，结果还是被法国破城。不幸的居民们一起逃到大教堂避难，在神圣的教堂里是不能有暴力行为的，这是当时的一般规矩。

妇女、儿童、伤员都聚集在一起，指望万能的主帮他们渡过这一关。在这拥挤的人群中，有一位十多岁的小男孩尼古拉，同他的当邮差的父亲在一起。教堂里的人，心中自然是七上八下。

没想到，法国兵一拥而入，见人就砍，乱冲乱杀，香烟燎绕的大教堂顿时成为血肉翻花的屠宰场。后来，尼古拉的母亲在她丈夫的尸体旁找到了这个气息奄奄的男孩。

小尼古拉的头盖骨被劈，腭部和舌头也被砍伤，离死是不远了。当母亲的也只得把他弄回家，心想就看这孩子的造化吧。

没料想他居然活了下来，没有钱医伤，就用嘴舔舔伤口，也算是命大。但是舌头上的伤使尼古拉一辈子咬字不清，大家给了他一个塔尔塔里亚（结巴子）的绰号，以后久而久之，就成了他的大号，真名反而没人记得了。

塔尔塔里亚的妈穷得叮◻响，砸锅卖铁攒了点钱，就送他进了学校。他只学了 15 天，恐怕是没钱交班费了，只好打道回府。

临走时顺手牵羊带了本字帖（他刚刚学到字母 K），就开始了他的自学

生涯。没钱买纸笔，就在墓碑上画画写写。他不但学会了字母表中的其他字母，而且还学会了拉丁文和英文。

穷人的孩子懂事早，塔尔塔里亚明白，自己这伤残之驱只怕是肩不能挑手不能提，只有靠脑瓜子挣碗饭吃了。所以他学得格外勤苦。

23 岁那年，他开始以教别人数学来谋生，并且还能贴补贴补他母亲。也许那时搞“家教”，收入还不算低。

后来，他离开老家，到意大利各地，最后还到过威尼斯。请他讲课的倒不少，数学、技艺他都教，不过还是个穷教师，勉强度日。

但是这位大难不死的人总算有个机会扬名天下了。数学家弗里奥要和塔尔塔里来次数学对抗赛。

那时的学者们往往一有发现便严守秘密，然后向对手挑战，这是一个很好的显示实力的机会。所以这种对抗赛进行得不少了，很平常。

那么，弗里奥如何偏偏要找塔尔塔里亚过招呢？

原来，弗里奥是波洛尼亚大学数学教授费尔洛的得意门生。费尔洛教授有一样镇山之宝，那就是一些三次方程的解法。费尔格把他的心爱之物密传给他的高足弗里奥和女婿。

那位弗里奥有此一宝，自然是万分珍视。谁曾想在 1535 年，塔尔塔里亚宣布，他发现了三次方程的解法。弗里奥勃然大怒，他断定这位自学起家的乡巴佬是有意招摇撞骗，于是，立马向塔尔塔里亚下了战表，约定 1535 年 2

月 22 日举行“对抗赛”，倒也挺有点像骑士的决斗，不过不是用剑，而是用笔。

“决斗”的这一天，双方应该到公证人面前，每个人交给对方 30 道题，

规定在 50 天里解出这些题。谁能解得多，解得快，谁赢。而且，每解一题还能得到五个铜板。

比赛开始前的几天，塔尔塔里亚得到了消息，弗里奥的确知道 x³ 十 px=q 这种方程的解法。

塔尔塔里亚不由得倒吸一口凉气，心想，咱自己的底细自己明白，三次方程也只能解一些特殊情况。自己说都能解，那也是“广告做得好”，小吹了一次牛。

不过，塔尔塔里亚很快就镇静下来，闭门不出，独练解题内功。正如他自己所说的：“我运用了自己的一切努力，勤勉和技巧，以便得到解这些方程的法则。结果很好，我在规定的期限前十天，就是 2 月 12 日，就做到了这一点。”

“决斗”的这一天终于到来，双方准备停当，披挂上阵，虽比不上临潼斗宝，却也正是华山论剑。公证人一声令下，两条好汉各自亮招。

果不其然，弗里奥出的 30 道题，全是 x²＋px=q 这种形式的方程。

塔尔塔里亚成竹在胸，身手不凡，两个小时内当场做完，诸位看客惊得大跌眼镜，感叹之声不断。而那位弗里奥，在规定的 50 天里，对于对方给出

的 30 道题，连一道也没解出，全军覆没，大失水准。

塔尔塔里亚一炮打红，名噪意大利。登门者络绎不绝，希望他公布秘密。但塔先生自然是守口如瓶，只准备以后发表在自己的大作里。

这时来了位波伦亚的人物卡当，此人脑子绝对好使，多才多艺，但人品却不敢恭维。

卡当是那个时代最有才华的人物之一，但他那异常的性格更使人吃惊。

1501 年，他出生于帕维亚，是一位法官的私生子。他是个易动感情的人，性格多变，职业也多变，还是位财徒。

他时而醉心于数学，时而又对占星术有浓厚兴趣。他对占星术酷爱到编基督的星占表，被控为邪说而监禁起来。出狱后，丢了帕维亚和波洛尼亚大学的饭碗，迁到罗马，成为有名的占星学家。

据说，卡当曾预言过自己要在某一天死亡。为了保持他这个星相家的荣誉，他在 1576 年的那一天自杀了。

公平点说，卡当是有大才之人，与中国的秦九韶差不多，才优而品劣。他写了许多学科的著作，他的最大一部著作叫《大衍术》，是专讲代数的第一部拉丁文巨著。这书里的方程有了负根，甚至还谈到虚数的计算。

这位卡当和秦九韶一样，是位志大心大，心雄万夫的人物，恨不得天下学问统通姓卡，所以卡当很想获取塔尔塔里亚的神来之笔，把三次方程的秘密收罗进自己的《大衍术》。

他前往威尼斯，请求塔尔塔里亚告诉他这个秘密，并答应不载入自己的著作，当时自然是少不了拍马谄媚，灌灌迷魂汤。

当请求遭到拒绝，卡当就从谄媚转为猛烈的侮辱，大骂结巴子不够意思， 并又心生一计。

这一天，塔尔塔里亚收到了从米兰来的信，信中说：“一位高贵的先生听到了好多关于著名数学家的传言，特请他前来会晤，以便当面承教。”

塔尔塔里亚对这顶高帽子非常的满意，就动身去了米兰。哪知见到的不是“高贵的先生”，还是卡当其人。卡当再次做了拍马屁的饱和密集轰炸， 弄得塔先生晕乎乎的特舒服。

卡当再一次庄严地起誓：我在任何时候对任何人也不公开这个由于塔先生的友爱，而传给我的这些法则和秘密。

塔先生感动得声泪俱下：“如果我不信任这个誓言，那咱自己也是个不值得信任的人了。”没说的，塔老哥立刻让卡当老弟遂了心愿，口传秘法。这是 1539 年的事。

过了几年，卡当的卓越著作《大衍术》出版了，在这本书里他违背了自己的誓言，详尽叙述了解三次方程的理论。这一招使两位著名的数学家变成了不共戴天的仇人。

“我自己的代数著作中最好的装饰品被这个贼子背信弃义地窃走了”， 塔尔塔里亚气得浑身打颤，于是向卡当下一战表，再用传统的对抗赛决一雌雄，并建议互换 31 个题，在 15 天内解出。

卡当先生哪能在这种场面露怯，立马表示没问题，赛就赛。塔尔塔里亚在七天里就解出对方提出的大部分题，并马上把解法寄到米兰。而卡当和他的弟子费尔拉里过了五个月才把他们的解送来，而且，按塔先生的看法，都是不正确的。

塔先生得手之后，决定再下一战，和卡当公开辩论，以大白真相于天下。他宣布：“要求我的对手卡当和费尔拉里于 1545 年 8 月 10 日上午 5 时，在米兰市圣玛利亚教堂举行公开学术辩论。”

指定的时刻到来了，只有费尔拉里一人出席。按塔先生的描绘，他是一个有着“优美的声音，招人喜欢的面孔，巨大的才能和魔鬼般性格的青年人”。塔先生独在异乡为异客，只和他兄弟两人单刀赴会，而那边却是战将如

云，气势上已是胜他一筹。

辩论开始了，塔尔塔里亚首先证明卡当所解的一个题目不正确，并想转入正确的解法，却不料费尔拉里那帮人立刻起哄。塔先生请求先让他把话说完，可是徒劳无益。

费尔拉里马上抢上讲台，在找出塔尔塔里亚的一个错误之后，就开始了冗长的谈论。他说卡当是从某种渠道从费尔洛那里得知方法的，并反诉塔先生剽窃费尔洛的成果。也难怪，当时他们都是私相授受，谁能弄得清这笔糊涂帐。

时间拖到了吃中饭，教堂也很快空无一人。辩论本当在第二天继续，可塔尔塔里亚看看势头不妙，卡当很可能雇黑道人物对自己下毒手。

于是在夜里，塔尔塔里亚和他的兄弟用雨衣裹住身子，惶惶如丧家之犬， 急急如漏网之鱼，逃出米兰了。

历史对塔先生似乎也不太公平，那著名的解三次方程的公式长久地叫做“卡当公式”。历史也有点欺负老实人。不过现在人们都称为“塔尔塔里亚- 卡当公式”了。

塔尔塔里亚自己也不是无可非议、完全老实。他出版的阿基米德著作的一些译本，实际上是抄别人的；他自称发现了斜面上物体的运动规律，那也是掠人之美。

塔尔塔里亚如何解出 x²＋px=q，可能有不少人有兴趣，现在咱们来看看他的做法。

首先他设 x= ³ t − ，一个未知元 X 变成了两个未知元 t 和 u，似乎是变烦了。实际上他很可能在解了许多具体的三次议程后，看看都具备这么个形式，所以在讨论一般情况时，就作了这个假设。

那么下面就用根据已知的 p 和 q 把 u、t 求出来。为此，他又作出了一个新的独创假设：

P = 3³ u

把 x 和 p 代入原方程，得：

+ 3³ tu (³ t − ³ u ) = q,

大家自己化简，就可以得到：

t-u=q

这么一来就有了

3 u = p，

t − u = q。

把 u（或 t）解出来代入第一个方程，得：

t ² − qt −

( p) ³ = 0]

3

由此t q

q ₂ +

p ₃ ；u q

2 2 3 2

再把t和u的值代入x =

x =

• 3 u中，就得到公式：

−

卡当也是个身手不凡的数学家，在他掌握最上面的解法后，又进一步找到了解下列完全三次方程的方法：

x³＋ax²＋bx=c

卡当是这么想的，如果通过换元，把平方项消去，不就变成了塔尔塔里亚的形式了吗？这样一种化归的思想，化未知为已知，是数学上常用的方法。

他想了很久，发现只要用y - a 代替x，就能达到目的啦。

3

他的学生费尔拉里，通过更复杂一点的变换，得到了四次方程的求根公式。

费尔拉里的变换，可以把一个四次方程，变成三次方程，这样就得到了答案。很自然地，大家都在想，那么用变换的方法，把五次方程化成四次， 或者更高次的化成低次的，那么，所有高次方程的求根公式，不都是能得到吗？

大数学家欧拉，在 1750 年作过这种尝试，结果失败了，30 年后，另一位数学家拉格朗日也尝试了一下，也失败了。

后来人们才发现，一般的五次或五次以上的方程，是求不出、给不出一个像二次、三次方程那样的求根公式的。

大伙看到此处，不免有些疑问，容我详细说明：

这求不出、给不出求根公式，并不是说任一个五次以上的方程都是这样， 一些特殊的高次方程，比如说 x⁶ 十 px³＋q=0，大家就能给它一个求根公式。而对于一般的五次、六次等等，你可就做不到这一点啦。此其一也。

其二，没有一个一般的求根公式，并不说明方程没有根，方程的根还是存在的。方程的根一定存在，这需要证明；而任一个几次方程到底有多少根， 也很值得研究。这两个问题以后都得到了完满的解决，此是后话。

这第三点，大家不免会问，前一回中不是说过，中国的秦九韶、朱世杰， 不都是解过五次以上的高次方程吗？尤其是那秦先生，更解过一个高达十次的方程，令咱们吃惊。那么，中国当时的解法，是不是仅仅对一些特殊的高次方程而言的，没有一般性？

不是这样。中国的解法能解出任何一个高次方程来（有实根的）。那么这与刚刚说过的五次以上的高次方程没有一个一般的求根公式，矛盾不矛盾呢？

一点不矛盾，两者考虑问题、解决问题的方法完全不一样。

那西洋塔尔塔里亚、卡当一路的方法，是先得出一个一般的求根公式， 以后的使用和求解就方便了，把具体的方程的系数代入公式，一次性解决问题。想法好是好，只不过碰到五次以上就卡了壳，得另想招了。

这中国的想法，从《九章》那儿开始，就是所谓“开方术”这三个字， 开平方、开立方、开四次方等等，咱们中国研究得都很透彻。而这种方法解高次方程的实质，是一种所谓迭代的思想。也就是先估算出一个近似的根， 而后根据给的方程和法则得一个迭代公式，将近似根代入公式而得出新的近似值，再代入，再得之，使得这个近似根一步比一步更精确。

有人说，哪有公式法求根来得好。其实，真正实用的还是这种迭代法， 何况五次以上的方程还根本没有求根公式呢。

迭代法是现代计算方程根的一种主要方法，因为根据迭代的公式，很容易编成程序，上计算机运算。咱们中国用来解高次方程的那种“开方术”， 就和 600 年后牛顿迭代法是完全一样的。

这解方程、讨论方程的解，一直到 19 世纪，都是代数学的主要问题，甚至变成了唯一的问题。不过咱们都知道，代数要真正地从算术中独立，要使

人相信代数得出的结果也像几何那样可靠，要使代数也变得严密，变得有规律，那么，一套完整简单的符号，是非常重要的。

咱们都知道，这代数的符号系统，大致经历了三个发展阶段。而那希腊亚历山大时期的丢蕃都老先生，还有咱中国的秦九韶、朱世杰诸前辈，都把这符号发展到一定的高度，但是还不够简洁，还没有彻底符号化，所以只能算是第二个阶段，初级阶段。

而韦达（1540—1603），这个咱们每位中学生都熟悉的数学家，在这方面就做出了更大的贡献。也许咱们能说，是韦达才真正把代数从算术中分开。

韦达先生是个专业律师，研究数学是他的业余爱好。早先，一开始，韦达最大的兴趣是从政，治国平天下。所以就在议会里工作过，还当过一位亲王的枢密顾问官。

后来，在 1584 年，韦达先生下了野，归耕垅亩，就安心专门搞了五六年数学，还自费出版了自己的著作，这也是显示扬名的好机会。

关于韦达，倒也有些趣事。有一位国家的大使向国王亨利四世夸口，说法国没有一位数学家能解决他的同国人提出的需要解 45 次方程的问题。于是

韦达被召入王宫，几分钟内就给出了两个根，后来又求出了 21 个根。他把负根漏掉了。

韦达大扬国威，也使那位提出问题的数学家大为佩服，亲自骑着牲口长途跋涉拜访韦达先生，两人切磋学术，大有相见恨晚之慨。

韦达的才能在治国安邦上大展宏图。那时法国和西班牙开仗，韦达破译了西班牙的密码，使得法军对西班牙的动态了如指掌，不到两年功夫就打败了西班牙。

可怜的西班牙菲力普三世，败了还不知道怎么败的。弄得一头雾水犯迷糊，还向教皇告御状，说法国在对付西班牙时用了魔法，与基督教的惯例不符合。

那么韦达在符号方面究竟有多大的贡献呢？在韦达以前不也有不少人， 比如丢蕃都、卡当、秦九韶、朱世杰等等，不也用了符号表示吗？

这话说得也不错。但是韦达之前，一般用不同的字母，表示一个未知量的各次幂；而韦达用同一个字母，而把它的各次幂适当用其他符号说明一下。

更不一般的是，以前未知量的系数都只能是常数。比如咱们前面看到过的三次方程 x²＋px＋q=0，实际在塔尔塔里亚那会儿，系数和常数不是写成 p 和 q，而是一些具体的数字。咱们不过为了说话的方便，反映反映塔尔塔里亚解法的实质，把这些具体的数字写成字母 p 和 q。

把系数用字母表示出来，就有了一般性，意义可就不一般了。

韦达充分体会到这一点，他充分认识到，如果一元二次方程写成 ax² ＋ bx＋c=0，那么所处理的就不是一些单个的二次方程，而是整整一类，所有的一元二次方程！

他曾经这么说过，代数，是处理一类事物、一类形式的运算方法；而算术，是同数字打交道的。这样，代数就一下子成为研究一般类型的式子和方程的学问啦！一般情形可就包括了无穷多的特殊情形，咱们的思维就真正能机械化了，而不是见一种特殊情况，想一种招术。

代数真正的独立出来了。当然，符号的完善和简化，还要进一步的努力。现代数学的帷幕已经拉开，序曲已经奏响，波澜壮阔千变万化既广泛又

深入既抽象又生动的数学大潮在向我们涌来。

让咱们迎接这个伟大时刻的到来吧。欲知后事如何，且听下回分解。