第五回 群贤毕至 托勒密王再续前缘兼容并蓄 阿拉伯人又搭金桥

阿波罗尼斯的《圆锥曲线》如此完美，现在的大学课本都未能超过。罗马统帅说，自己是在和数学打仗。两千多年前测出的地球半径，和现在的相差不到 1％！《天方夜谭》里的哈里发，赞助了一下数学。

且说那阿波罗尼斯，也是古希腊亚历山大时期人。

这一时期的古希腊真可谓人才荟萃，众星捧月，把个古希腊数学描绘得花团锦簇，色彩班斓。

那古希腊的数学在亚历山大时代，也算是得过明主了，故而才有所发展， 有所灿烂。上回书中说过，一代雄主亚历山大大帝东征西讨，足迹所至，遍筑新城。这些城市中好多都叫亚历山大城，当然最大最有名的还是埃及的那座。

亚历山大很想让他的大帝国中的各种成份融成一炉，他特意让希腊文明和波斯文明能融合起来。一会儿他自己以身作则，娶波斯公主为妻；一会儿又下诏让欧、亚两大洲的人互相换个地方住住。还强迫他的几百名部将、几万名小卒与波斯女子通婚。看来，这位大帝挺喜欢搞世界一片红的。

不过愿望归愿望，待到他一驾崩，那个大帝国也就分裂成了三大块。欧洲部分变成安提哥那帝国，安提哥那原本为希腊将领；亚洲部分变成塞流卡斯帝国；埃及归希腊的托勒密统治。那塞流卡斯和托勒密自然也是亚历山大手下的部将了。

安提哥那统治下的希腊和马其顿渐渐为罗马兼并，在数学发展上变得无足轻重；塞流卡斯帝国的数学似乎也没什么特色。

但是在埃及的托勒密王朝，几代君主倒是挺把文化当回事，这些当权的希腊人继续亚历山大大学的建筑，还把许多知名学者都请来，由国家供养着， 端着铁饭碗研究学问。

再说，几代托勒密王都还比较对外开放，各种民族都可以到亚历山大城居住，贵族、平民和奴隶摩肩接踵。对外贸易、远征考察，使得文化的发展处于活泼的气氛中。

学者们分成四大部分工作：文学、数学、天文、医学。除了文学和数学挨不上以外，医学当然要用到数学。天文学就更不用说了。由此可见数学在当时的学术界是独占魁首。

亚历山大时期的希腊数学和古典时期的不同，虽然仍有抽象思维的光荣传统，不过更注重实际运用。数学家们积极参与力学方面的工作，计算重心， 研究各种机械，有时简直就是发明家。

欧几里德和阿波罗尼斯虽然都是亚历山大时代人，不过他们是古典希腊数学的集大成者，和亚历山大城的其他几位大数学家如阿基米德、埃拉拒色尾、希帕克、梅内劳斯、托勒密以及海伦、丢蕃都等等不一样。后面这几位是新时代，也就是亚历山大时代数学的开创者。

阿波罗尼斯既然能和伟大的欧几里德相提并论，当然是身手不凡。虽然他是一位很有名望的天文学家，但是更加非凡的是他的数学成就。《圆锥曲线》——β使他赢得了“大几何学家”的声名。

圆锥曲线，以前的几位包括欧几里德都有过研究，也都著β立说一番。

但阿波罗尼斯的书一问世，立刻光芒四射，成为这方面空前绝后（起码绝一千多年）的经典名著，这位阿波罗先生发了言，其他人也就只有闭嘴的份。按成就来说，这本书确实是古希腊几何的登峰造极之作。

阿波罗尼斯比阿基米德小 25 岁，大约公元前 262 年出生，曾在亚历山大学跟着欧几里德的门徒学习过，算起来是欧几里德的再传弟子了。

阿波罗尼斯先生研究的学问挺够档次。说起来圆锥曲线也就是椭圆、双曲线、抛物线、其实这些曲线的性质要比圆和直线来得复杂，没有一定的“透视”能力是得不出什么结果的。

其实圆锥曲线与人的实际联系很紧密，不研究透了那可就是要受制于它了。比如炮弹飞行的弹道自然是抛物线；汽车前灯照在地面上的影子，台灯照在墙壁上的影子，那就是双曲线子。以后大天文学开普勒（1571—163O） 更发现，地球的运行轨道，其他行星的运行轨道，都是椭圆。就是 1994 年那慧木相撞的大新闻中，自然也有椭圆。

人造卫星宇宙飞船，那也离不开这三种同曲线，速度一变，运行的轨迹也会变成三种中的某一种。

不过这三种曲线为什么叫“圆锥曲线”呢？原来阿波罗尼斯发现，用一个平面去截两个顶对顶的圆锥面，截的位置不同，就会得到不同的曲线。

如果截面平行于圆锥的底面，截得的是圆；如果截面平行于轴，截出的曲线就是双曲线；要是平行于母线去截，那么结果就是抛物线。除了上面几种情况，用其他方式来截的话，那就是椭圆了。我们这里讲的是直圆性，其实斜圆锥也能截出圆锥曲线，这也是阿波罗老先生的发现。

整个《圆锥曲线》共分八篇，487 个命题。和《原本》类似，这篇鸿篇巨制也有着严格的逻辑体系。但由于内容广泛，解释详尽，以及对许多复杂命题叙述奇特，读起来相当吃力。甚至可以说，这部光辉巨著比目前有关圆锥曲线的大学教科书还要完善得多。

比起欧几里德和阿波罗尼斯，阿基米德在希腊的亚历山大时代更富传奇色彩，流传着他的种种趣谈。

要是认真说起来，阿基米德可真算得上是历史上最伟大的教学家之一。他是亚历山大时期数学的典型代表，成就最多，特点最鲜明。

大家会说了，前面那两位不也是亚历山大时期的数学家吗？不错，是这么回事，但是他们所做的事具有的是希腊古典时期的特点，是集古典时期之大成。

阿基米德大约在公元前 287 年出生于西西里岛上的叙拉古，当时希腊的

一个殖民城市。也就是说，那座城市都是希腊的移民。公元前 212 年，罗马入侵叙拉古时被害。

据他自己说，他老子是位天文学家。也算是书香门第，子承父业吧，他也搞起了数学这一行，而且还青出于蓝。阿基米德当然去过埃及留过学，因

为那是当时的文化中心。在亚历山大城，他结交了不少朋友，有些是欧几里德的门人，还有一位叫埃拉托色尼，是咱们马上就要见到面的另一位伟大的希腊数学家。

那阿基米德学成归国，就一直在叙拉古生活、研究。不过一有新发现， 就立刻与亚历山大城的学者们交流，征求意见。他的那些发现和创造也着实使他们同行们钦佩得了不得。如果当时有诺贝尔奖的话，一定是一致公认的首位获奖者，保不准还要闹个几连冠。

有些同学会说了，就是评诺贝尔奖，阿先生也不会有份，谁不知道诺贝尔奖里没有数学奖啊！

即使这么看，咱们上面的玩笑也还是错不了。要知道，阿基米德可是位大才子，全才，诸子百家无一不晓，十八般武艺件件精通。文可安邦，武能定国，的确十分厉害。

别的咱们不说，单道那人人知晓的浮力定律，不正是他老人家发现的吗？ 要不怎么叫阿基米德定律呢？这可是咱们上初中就首先佩服了一下的物理定律，能不能得诺贝尔物理奖？

要说这条浮力定律的发现，还有一个人人知晓的故事。

阿基米德本是叙拉古国王希罗的亲戚，再加上那么大的才气，自然是很得宠信。有一天国王觉得刚做好的金王冠不对劲，怀疑工匠掺杂兑假，是个伪劣产品，就叫阿基米德搞一下质量检验。要求也挺摩登，不能弄坏王冠， 是无损害检验，要求很高。

那时也没什么射线去照，也没有质谱议，就靠阿老先生的聪明脑袋了。老先生冥思苦想，菜饭不思也没弄个所以然。

这一天到浴室洗澡轻松一下。当他浸入浴缸看到他的部分身体被水浮起来，就突然领悟到解决问题的窍门。他兴奋得忘乎所以了，竟然光着身子跑到街上大喊：“我成功了！成功了！（eureka！eureka！）”

他发现浸在水里的物体，所受的浮力等于其所排出的那部分水的重量。利用这浮力定律就能测定金冠的真伪成份了。

阿基米德甚至还做了一个令人吃惊的天体运行仪，日、月和五个行星绕着地球运动，不仅可以观察天体运动，而且还能预报日食、月食！这是他在

《论制作球》这本书里讲到的。他还发明了一种从河里提水的螺旋提水器。杠杆，这种最简单然而也是重要的机械（我们的手指、手臂弯曲运动，

无一不是杠杆），最早作系统研究的，还是阿基米德。他的一本专著就叫做

《论杠杆》，不但“论”，还有“做”。

阿基米德给他的国王亲戚希罗殿下写了一封信，告诉他，一个人的力量也可以移动很重的重物。说到最后夸起了海口：给我一个支点，我可以举起地球。

希罗王不由得大为震惊，心想咱这亲戚本是谦谦一君子，恐怕不是热昏了头，就赶紧请阿老先生做个表演示范。

阿基米德就决定来手绝活，把国王的一艘重型军舰装满了人和物，靠在船坞里。然后用一套复杂的滑轮组把船连接起来。

只见这边阿“工程师”在岸上轻舒猿臂，那一边整个大船已缓缓起动， 慢慢拖上岸来。把一船军民、两岸观众惊得目瞪加口呆。

所以当罗马大将马塞路斯率军来攻叙拉古时，国王自然立即请阿老先生出山，匡扶汉室。

阿基米德设计许多武器。有可调整射程并且活动射杆的弩炮，能把重物射到靠近城墙的敌舰。有把敌舰从水中吊起来的大型起重机。还有一些大反射镜，把太阳光一聚焦，就使敌舰着火。

罗马人变得胆战心惊，一看见一条小绳索、小木块从城墙上抛出，就立刻大喊大叫：又来啦！阿基米德又要飞出一种新式武器啦。于是马上四散逃命。

马塞路斯久攻叙拉克不下，也就只好自我解嘲，幽自己一默，他对周围的人说：咱这是和数学打仗，他阿老先生在城里面拍拍脑袋，咱这军舰可就给拍完了。

不过，叙拉古城最后还是被罗马大军攻破了。破城的那会，马塞路斯下令保证阿基米德安全，大将军对阿先生还是挺佩服的。

大将军虽有严令，无奈阿基米德一介书生，怎敌得罗马士兵赳赳武夫， “秀才遇到兵，有理说不清”，最后还是死在罗马士兵的屠刀之下。

关于这位老先生的遇难，说法不一，有好几个版本。

版本之一是说城破之日，阿基米德仍在聚精会神研究问题，手上画着图， 脑里想着事。没想到一个罗马大兵突然闯进书房，命令他到马塞路斯那儿去。阿基米德说，容我把问题想个结果出来再去。那罗马大兵勃然大怒，立刻是刀剑相加叫他永远闭了嘴。

版本之二是说，正当阿基米德把用来测量太阳大小的仪器一日晷、球体等等准备带去给罗马大将军去的时候，几位罗马兵卒看见了他，以为那仪器里面装有金银珠宝，自然是乱剑齐下，掠金抢银，呼啸而去。

还有这么种说法，阿基米德在沙地上画图，对走得太近的罗马大兵说： “伙计，离远点，别靠近我的图形！”那位横冲直撞的大兵哪吃这一套，立刻请他一命归西。

这种高度戏剧化的插曲，咱们也是姑且听之。这说明阿基米德颇有众望， 人们喜欢给心目中的偶像涂上或是神秘或是传奇的色彩。

就像他光了身子从浴室跑上大街的那种忘我的状态差不多，阿基米德还有许多心不在焉的故事。有时他被强迫去洗澡，然后在身上涂油（这是一种宗教仪式），他就在炉灰上描画几何图形，用油在身上画图。如痴如醉，可称上超级“迷者”，那劲头恐怕大大超过现在的追星族。

这样一些心不在焉的故事往往使常人发笑，不过，阿基米德们之所以成为天才，那必不可少的才智就是能完全贯注于自己的问题，乐在其中而忘身外之忧。所谓“热爱是最好的老师”。

阿基米德还有个习惯，他把自己的定理送给亚历山大城的朋友们的时候，不写证明，希望这些朋友们能享受一番作出证明的乐趣。但这些朋友们不领这份情，直截了当引用这些定理，不耐烦去做什么证明。于是阿先生后来就想了个主意，在最后一组定理中放进两个错误，开开那些朋友们的玩笑。看来，类似计算机病毒的发明权应当归于阿基米德了。

阿基米德遇难后，那位罗马将军塞路斯十分伤心。下令好好安葬，优抚遗属。不过也许是做给活人看的，好像三国里的曹孟德。

但是那阿基米德的墓修得很别致，墓碑是一个内切于一个柱体的球体。这与他的一篇论文大有关系：《论球和圆柱》。

1965 年，在叙拉古建旅馆打地基时，挖出了阿基米德的墓，轰动一时。在《论球和圆柱》一书中，先进述定义和假定。第一个假定，或者说公

理吧，就是连接两点的线中以线段为最短。

在论及球的表面积、球的体积时，他得到了完全正确的结论：

球面积等于其大圆面积的 4 倍。球的体积与其外切圆柱的体积之比是2∶

3。

事实上他是把上面那么个图形绕虚线旋转，生成了一接于半球的圆锥， 面半球又内切于一圆柱。这三个圆形体（旋转体）的体积之比为 l∶2∶3。这一精彩的定理是阿基米德特别喜爱的一个结果。所以早就立下遗嘱，要把一个带有外切圆柱的球以及它们的比例（2∶3）雕在墓碑上。

使咱们更惊奇的是推出这一结果的方法。如果说结果精彩，那么方法更是精彩得无与伦比。

阿基米德竟然用了杠杆原理把上面所说的比例给推导出来。然后，又因为圆柱、圆锥的体积都是已知的，自然就能得到很难求的球的体积。恐怕连现在的学者都很难想起这么个绝招。而且在推导球的体积时，运用了现代微分、积分的思想。

不过阿基米德自己认为，这种方法只是用来发现定理，而不能算作严格的几何证明。

在《方法论》这篇论文里，阿基米德表达了他上面的这么个观点。

说起来这本书的发现，本身就有传奇色彩。这作品一直到 1906 年才在一

家图书馆里偶然发现的。手稿是 10 世纪抄写的羊皮纸本。确实是纸张紧张， 羊皮纸太贵，这羊皮手稿居然是擦过了后又重新利用的。所可庆幸的是，阿基米德的重要思想居然还能辨别出来。

为了说用杠杆原理，物体的重心等等力学方法可以发现许多定理，阿基米德又举了一个抛物线弓形的例子。不过他认为还必须用严格的数学方法去证明自己的发现。他用的数学方法就是所谓“穷竭法”，说起来是一种极限的思想。

这样一种严格性要超过牛顿和莱布尼茨了。而这两位是公认的现代微积分的创始人。

同学们不知还记不记得任意角三等分问题，咱们在前面给大家说过一个利用有刻度的直尺三等分角的作图法，那可就是阿基米德给出的方法。

下面咱们给大家谈另一颗亚历山大时代的数学巨星——埃拉托色尼。 说那位埃拉托色尼是公元前 284 年出生于地中海南岸的昔兰尼，只比阿

基米德小几岁，而且是好朋友。大约 40 岁时，它受埃及的托勒密三世的邀请， 来到亚历山大城给他儿子家庭老师（要在中国，恐怕要封为太子太傅了）， 同时兼任亚历山大大学的图书馆馆长。大约在公元前 192 年，他由于失明故意饿死。

埃拉托色尼是位全才加奇才，以古代最有学问的人闻名后世。头衔挺多， 数学家、天文学家、地理学家、诗人、哲学家等等。据说还是运动员，学生们常称他为五顶全能。

他还有个绰号叫β（beità）。这 ß 是希腊文里的第二个字母，所以那绰号的意思是“二号。”这“二号”到底是什么意思，一直是人们关心的热点新闻。

有人认为，那是因为他的博学和才华，被看作是第二个柏拉图，柏拉图

第二。

还有一种说法，说他虽然在各个领域里都很杰出，但都不能拔头份，只能屈居“二号”。还有人主张，那“二号”不过是他办公室的号码。反正咱们在这录以备考，留待同学们以后能探明真相，揭示谜底。

埃馆长留考百世的伟业共有两大项，不可不提： 一是所谓“埃拉托色尼筛”。

这么个筛子主要是用来筛出素数（也就是质数）的。平时咱们有体会， 要从小到大列出个素数表，如果用笨办法，把自然数挨着个一个一个判断是否素数，挺费事。数字小一点还好办，大一些就难了。

下面将两千多年前埃先生发明的绝招教给你，如果要筛出从 2 到 n 中所有的素数的话，那么：

先从小到大写出从 2 到 n 的全部自然数。接着标出第一个素数 2，划去后面数中 2 所有的倍数；再看，2 后面的第一个没划去的数是 3，它是第二个素数，标出它，再划去后面 3 的倍数。

如此这般，如果 P 是一个素数，标出它，并划去后面所有 P 的倍数，排在 P 后面第一个未被划去的，就是下一个素数。重复这个过程，有限次就能得到 n 以内的所有素数。比如：

这是一张 30 以内的素数表。有些划两道杠的，就是被消灭两次了。

这么一个程式化的划去和寻找的过程，很适合编好程序用计算机自动筛出素数。一般，这种寻找方法就叫筛法。

素数在整个自然数中的分布是很稀的，似乎是越来越稀。有人计算过， 在前 10 亿个自然数中，只有 50847534 个素数，约占 5％。素数的故事太多了，难题趣题也不少，容我以后再慢慢说起。

再说那埃馆长的另一项伟大功绩就是丈量地球了。虽说古希腊人早就知道地球是个球形的（他们甚至最早提出了“日心说”），不过丈量这么大的球，别说想了，听听也叫人害怕，叫人咋舌。

这丈量倒不真是弄根绳子一段一段去量地球的“腰身”，而是想了个极妙的方法，得出了地球的半径。

他在赛尼城，也就是现在埃及的阿斯旺观察到每年夏至那天的中午 12 点，太阳光几乎正在天顶，。因为当时的太阳光能直射入当地的一口深井， 井底能看到太阳。

一点也不偏斜同日同时在亚历山大城太阳就斜射。用一个日晷那样的简单仪器（或者就是中国人用的“表”），就能量出太阳在亚历山大城的投射

角α是 360°的 1/50 即：

β＝360°× 1

50

＝7.2°

而亚历山大城正好在阿斯旺的正北，也就是这两个城市正好在同一个子午圈上（经线），所以咱们就能得到上面的那张示意图。

看看图就知道了，现在 AB 的圆心角α是 7．2°。只要再清楚 AB 的长度， 那么地球的半径 OA 就算出来啦！而 AB 的长度就是两城的距离。

他估算出赛尼城到亚历山大城的距离是 785 公里。当时他估算的方法挺

奇特，那时的骆驼队一天才走 100 个视距段，每个视距段合现在的 157 米，

从亚历山大城到赛尼城要走 50 天。故两城相距 5000 个视距段。即：

157 米×5000＝785 公里

设地球周长是 S，用点小学的知识，就有：

S 360

= 785

7.2

∴S = 360×785 = 39250公里

7.2

地球的半经随之得出为 6330．64 公里，这与现在算出的数据 6371 公里

简直就可以说没有误差！不到 1％！这种方法确实是盖了帽了，而且是 2000 多年前的古人想出的，绝对盖帽！

埃拉托色尼还提出了经度纯度的概念，用经纬网绘制世界地图。对倍立方问题，他设计了一种作图仪器，也很方便。

希腊的亚历山大时代，三角学的研究也十分发达。这也反应了与古典时期不同的风格，更注重实际的应用。那三角学的发展，绝对就是天文学的需要。

因此，当时的三角首先是球面三角学，您想想，整个天球给人的感觉不就是个球嘛。

三角学的奠基者也许是大天文学家希帕克（公元前 140 年左右人），他所确定的平均太阳月（月球绕一周的时间），与现在测得的数值相比，误差不超过 1＂（1 秒）。

希帕克最大的成就就是给出了角的正弦函数表。当然，当时给出的是一种“弦表”，也就是一个圆，从 0·5°到 180°，每隔半度的所有圆心角所对弦的长度。如果诸位有兴趣，可以动手画一个圆，那么已知弦长是很快能得出圆心角的正弦的。

后来亚历山大城的托勒密（各王族没什么关系）写了一本被称为《大汇编》的书，系统总结和充实了三角和天文方面的成果。这部书一共 13 卷，包括了上面讲的弦表。

最重要的是他讲解了构造弦表，推导弦表的方法，主要的根据咱们在几何中也学过：圆内接四边形中，两对角线之积等于两对边之积的和。现在这就叫做托勒密定理。

《大汇编》一书，在哥西尼和开普勒之前，一直是标准的天文学大全。不过因为他是个“地心说”者。所以后来哥白尼的“日心说”被视为正宗的以后，就有些全盘否定墙倒众人推的意思了，不把他的成就当回事。

且说自从毕氏学派发现了 、 、 这样的新数，一时间好像天塌

地陷，日月无光。许多学者一看被毕老先生奉为神明数的严谨体系出了这么大漏洞，都觉得那算术代数没什么搞头，不是真正的数学。

于是纷纷把研究方向对准几何，认为那才是没得说的纯数学，绝对的“阳

春白雪”。至于算术问题代数问题当然是进不了神圣殿堂，被看作贩夫走卒者所为。碰到实际的算术代数没法不去解决了，也都把它变成几何问题用几何方法去解决。那时候不是有“几何代表”一说嘛！

到了亚历山大时代，情况大不一样了。算术和代数都有了独立的发展， 被大家当会事了，有了独立的地位。

比方说那位咱们大家都知道的海伦（约公元 1 世纪左右人），也就是提出海伦公式的那一位，就是用文字叙述来解决代数问题，而不是用几何的方法。他解决过这样一个问题：给定一个正方形，其面积和周长的和是 896， 求其一边。

用现在的记法，这个问题就是求方程 x²＋4x＝896 的解。

海伦在方程两边加上 4，配成完全平方，然后再开方，就得出了结果。他并不进行证明，而是说一步一步如何做，做哪些运算。这种风格就是一种古埃及和古巴比伦人解决问题的风格。有人说他是阿拉伯人。

顺便也给同学们聊聊海伦公式。大家都知道，海伦公式是这样计算三角形面积的：

这里 a、b、c 是三边，S 是周长之半。

海伦说用这个公式测量计算三角形土地的面积，就不要跑到地中间去取高了。

不过这个公式实际上是阿基米德的。但海伦在几本著作里都引用了它， 还进行了证明。历史就是这要样，错了就错了，张冠李戴的事多了。不过现在是阿老先生的帽子被海伦工程师戴去了。这点发明权小纠葛咱们就说到这里。

还有一本书叫《希腊选集》，也是一本习题集一样的书。其中大多是一元线性方程，还有一些二元的和三元三次方程。

这本习题里的一些问题倒是挺有趣，就是给现在学生做，也还有意义。比如说有这么一题：六个人分一堆苹果，其中四个人分别分得 1/3、1/8、

1/4 和 1/5，第五个人得十个，只剩下一个给第六人，请问苹果总数有多少？ 另一个问题是今天小学中典型的工程问题：

我要建房子，需要 300 块砖。你单独一天就能完成，但是你儿子一天只

能做 200 块，你女婿一天能做 250 块。你们一齐工作，多少天可以完成？ 这两个问题叫现如今的中学生做，肯定是用方程了；小学生们也能做出

来，是分数应用题。

不过当时是用文字叙述的方式去解决，比较灵活，不太有规律。

正如有一位先生所说过的，代数方法解决问题，好像是机械化生产，不但生产的批量大，而且把思维过程也机械化了。

那么这代数学符号，从历史上来说，可以分为三个阶段。第一阶段，是文字叙述代数，也就是对问题的解，不用缩写和符号，而是写成一篇论说文。

第二阶段就有些进步了，称为简化代数，即对某些常出现的量和运算采用了缩写的方法。

最后一个阶段叫做符号代数，解决问题，多表现为各种数学符号（包括未知量的符号，运算的符号等等），这些符号有更高的抽象性，好像与要解决的问题所说的内容关系不大似的。

咱们可以看到，刚刚说过的两个问题，它们的解法就属于第一阶段的。

实际上全球各种文明，都有这么一个阶段，咱们中国也不例外。

文字叙述代数，在世界许多地方，存在了好几百年。尤其是在西欧。一直到 15 世纪还是文字叙述式的代数。符号代数在西欧的第一次出现是在 16

世纪。然而直到 17 世纪中期，还没有普及。

咱们初等代数课本中的大部分符号化的内容，看样子还没有四百年。 话说到这，咱们一定要提到丢蕃都了。他是公元三世纪人，曾活跃于亚

历山大城。丢蕃都在数学上的杰出贡献，就是把代数的符号化过程推到了第二个阶段。

提起丢蕃都，当然要说一下他那著名的墓志铭，这篇墓志铭概括了他的一生：

“过路人，这里埋着丢蕃都的骨灰，下面数目可以告诉你他活了多少岁。“他生命的六分之一是幸福的童年。 “再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。 “再过了五年，他感到很幸福，有了一个儿子。 “可是这儿子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。 “儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世生涯。

“请问：‘丢蕃都活了多久？几岁结婚？几岁生孩子？’”

这段墓志铭奇特，新鲜，挺有职业习惯，临死了也没忘出个题目给大家吊吊胃口。

要解出这么一题，不费举手之劳，有初一的水平就可以列出一个一元一次方程来。就是小学生，也很容易地使用分数知识来解答。

答案是，丢蕃都老先生 84 岁高寿，33 岁结婚，38 岁得子，晚婚晚育， 算得上标兵。

丢蕃都老先生写过三部书。最重要的一部就叫《算术》，共 13 卷，现在

看到的只有 6 卷了。

这本书大约有 130 多个一次、二次方程的问题，其中有些还是三次方程， 有些是不定方程。

什么是不定方程呢，就是方程的解有许多，一般是无数多个。一般都取整数解。丢蕃都求解时规定为有理解。西方把不定方程称为丢蕃都问题。

为什么这么命名呢？这丢老先生既不是解不定方程，提出不定方程的第一人，也不是用非几何的方法解二次方程的第一人，如何有此光荣呢？

原因就在他是采用代数符号的第一人。

丢蕃都给出了未知数、未知数的幂（一直到六次）、减、相等和倒数的缩写符号。

据说他用来表示未知量的记号是 S，就像我们用 X 一样。这 S 是个希腊字母。丢蕃都把未知量称做“题中的数”。他说的也是大实话，当然是题目中的数，意味着还不知道。

我们的 x²，丢蕃都把它记为△^y，这是希腊词“乘幂”的头两个字母，x³ 呢，就写成 K^y，也是希腊文“立方”的头两个字母。

x 的四次方、五次、立次方，就采用“组合”的方法了。x⁴ 是△^y△；x⁵ 是△k^y；x⁶ 是 k^yk。

这些符号虽然没有清楚地写出来未知量 S，但丢先生的意思隐含地含有那未知量了。

出现这一套符号当然了不起，但更了不起的是他使用三次以上的高次乘

幂！古希腊的数学家从不考虑三个乘数以上的乘法，因为这种乘积没有几何意义。

但是在算术中，在代数中，这种乘积当然有意义。丢番都是采取这种观点的。这说明他老先生把算术、代数当个“人”看了，有独立的“人格”了， 不再是几何的附庸品。

这在希腊数学中可以说是一个大进步。不过在咱们中国就没有这个问题了。中国算术几何一直是平行发展的，而且中国古算一直强调“算”，更实用。中国的几何也一直和应用关系密切，不像古希腊那样，形成一个严密的逻辑体系。

同学们眼下当然能看清，古希腊的几何虽然严密有序，统一完整，但它狭隘了人们的视野，使他们的头脑接受不到新思想新方法。它的内部就埋伏下使自己死亡的种子。

如果没有亚历山大文化开阔了希腊数学家的眼界，那么它那狭隘的活动领域，局促的观念，美学上那至美至善的要求，就会窒息了活泼的创造，还谈什么发展。

回头咱们再看一看丢蕃都老先生是怎么表示一个代数式的。

要看懂他的代数式，还要能看懂希腊人表示的数。希腊人表示数，就用希腊字母，比如说 1、2、3、4 就用α、β、γ、δ表示。10 是用 L 表示。所以 13 就表成 Lγ表示。

这样表示有很大的缺点。看样子，聪明的希腊人也不是事事都聪明。 所以丢老先生的代数式现在看起来就有些别扭。对于 13x²，他当时表示

成△Lr，把系数“13”放在后面了。

ο

常数项就用M 表示。

比如：△

ο

^y r M LB

表示x²

• 3＋12

k^y α△ ^ylysβ 表示x ³tx² ·13＋x·4

大伙看到了吧，他的式子中，加号省略了。遇到减号怎么办呢？他把表达式中所有的负项聚到一起，前面放个减号，他的减号是“∧”。

所以 x⁶-3x⁴＋x²-4x-2，就是这么个样子：

k ^y ka△ ^ya∧△ ^y △γS ο Mβ

看惯了就一样，和现在的代数式差别不大。只是数也用字母表示，容易弄混。

丢先生另一项值得一提的成果是关于毕氏三数的。

毕氏三数的式子，毕氏门人早已所记载：

M ² − 1

M， ，

2

M ² tl

2

（m为奇数）

咱们在第三回就已经见过面。但这组式子不能表达出全部毕氏代数组来。比如 8，15，17 就不在上面的式子中。

于是丢蕃都致力于寻找构造毕氏三数的一般法则。他找到了这种法则： 如果 m、n 是两个正整数，并且 2mn 是完全平方，那么：

m + 2mn，n + 2mn，m + n +

就是一组毕氏三数。他究竟是用何法宝得到了这些式子，现在也只能是

历史之谜了。

这位老先生虽然是个解题能手，使人看了目不暇接，但没有什么一般的方法。他的大作看起来有点像药方单子，只告诉你怎么做。欧几里德、阿基米德、阿波罗民斯著作中的那种严密有序的证明是一点也看不见了。

希腊的数学就这样分成了不同的两块，很使后人迷惑一阵，不安一阵的。不过，更不幸的是随着希腊文明的衰落，希腊数学也渐渐落下了它的大

幕。

首先是罗马人的铁蹄，阿基米德被一个罗马大兵杀害就标志着那希腊数学的下坡。罗马人所向披靡，一直杀到亚历山大，把那号称世界第一的图书馆付之一炬，五十万份手稿一扫而光。看来凯撒大帝很有点秦始皇的威风。这一东一西两地火可就把两个文明都害苦了。

所幸的是还有不少书，图书馆收藏不下了，存放在神庙里，这些书就逃过了一关。

不过好景不长，过了 400 年，随着基督教得势，其成为罗马帝国的国教， 那座神庙也被来上一把火，三十万种手稿再遭劫难。

不但焚书，而且坑儒。狂热的基督教徒袭击屠杀异教徒，有点像当年的党卫军。

不知大家是不是还记得给欧几里德的《原本》作注释的泰奥思。他一直为希腊的数学经典，比如《原本》、《大汇编》作注解。

他的女儿希帕提娅，数学、医学、哲学都很了得，也为丢蕃都的《算术》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线》作过注释。她可是世界上第一位女数学家。

公元 415 年 3 月，她被狂暴的基督徒在亚历山大城的街道上抓到，撕成碎片，因为她不肯放弃她的信仰。

新崛起的回教徒也不示弱，好像要与罗马人展开一场焚书比赛。公元 640 年，他们征服埃及后，给亚历山大城的文明以最后一击，残留的书籍立刻无保留地烧掉。理由很充分：如果这些知识在可兰经里已经有了，那就没什么保存的必要；如果可兰经里没有，那就是违反可兰经的，也要烧掉。

总之一句话，是要烧。就这样，亚历山大城的浴室整整用这些羊皮纸书烧了六个月的水。

经过这三次“文化大革命”，希腊的文化就革得一命呜呼了。希腊的数学家被消灭了，但他们的工作成果终于传到了欧洲。

说起来叫人哭笑不得，把希腊成就传到欧洲，从而逐步发展成现代数字的，也还是阿拉伯人。

且说公元 640 前亚历山大城的一把火，自然是有些头脑发昏。不过那是统治者所为，当然要和人民区别开来。

在一百多年里，阿拉伯人从一个游牧民族通过不断征战，建立起一个从印度经过波斯、美索不达米亚和北非直至西班牙的大帝国，开始定居，创造自己的文明。

到了公元 755 年，这个大帝国又分裂成两个国家。东部王国以巴格达为首都；西部王国以西班牙的哥尔多华为首都。经过充满宗教狂热的征服之后， 他们对种族和教派是宽大的，兼容并蓄，吸引了希腊人、波斯人、印度科学家以及犹太人和基督徒，共聚一堂，文化的来源十分丰富。巴格达那里也设立了学院、图书馆、天文观察台。

这其中有一位哈里发（国王），叫哈龙·兰希的，也算得上开明君主。

在他的赞助下，许多希腊经典被译成阿拉伯文。而印度的文化和数学著作也不断传入巴格达，印度数字就是这么着引入了阿拉伯数学，变成了我们现在所说的阿拉伯数学。这位君王还因为《天方夜谭》而为大家所熟知。咱们以后看《天方夜谭》时，可以留心一下他的大名。

他的儿子马姆也是个爱学问的人，并且马姆本人就是一位天文学家。那座天文台就是他建立的，并且还测量了地球子午线。

这位哈里发在位 20 多年（809——833 年），把《原本》和托勒密的《大汇编》都翻成了阿拉伯文。这些希腊手稿，就是作为和平条约的一个条件， 从拜占庭帝国的皇帝那得到的。当然，随后其他一些希腊学者和印度学者的著作都有了阿拉伯译本。

后来传入欧洲的就是这些译本，而希腊的原著早已失传。没有阿拉伯学者的工作，大量希腊和印度的科学就会在漫长黑暗的中世纪无可挽回地消失掉。

在马姆当哈里发时期，许多学者写了数学、天文学方面的著作，其中最著名的是花拉子密写的关于代数学的论著和关于印度数学的书，这些书于 12 世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响。

这位花拉子密（名字挺怪的）生于花拉子模，也就是现在的写乌兹别克

（以前苏联学者把他说成是苏联的光荣，现在是没这份荣耀了），后定居巴格达。他那名字的意思是“花拉子模人摩西之子穆罕默德”。

咱们现在学的代数这门课，英文叫 algebra。这英文名称就是起源花拉子密。

花拉子密关于这门学科的论著，其标题是“AI—iabrw’almuqabala”。这个标题要直接翻译的话，就是“重新结合和对立的科学”。

“al—jabr”，原意是复原，根据花先生的上下文，那就是移项，即从方程一边去掉一项，要使方程的平衡“复原”，必须在另一边加上这一项。而“Al’muqabala”，意思是“化简”，对消，比如把 3X 与 4X 并成 7X，或从方程两边消去相同的项。

“al—jabr”又有“接骨者”的意思，后来通过西班牙传入欧洲，就变成了 algebrista，意思还是接骨郎中。那时的理发师们也常常自称为“algebrista”，因为接骨和放血是中世纪理发匠们的副业，倒和中国某些地方的理发匠相似，剃头再加个第二职业：按摩、正骨、治脱臼。

不过以后遇到这“algebra”，可别再当成理发匠，现在这已经是正儿八经的“代数学”了。

花拉子密先生把未知量叫作植物的“根”，解未知量就叫“求根”。 比如他说过这么一题：“根的平方和十个根等于三十九”，也就是 X²＋

10X＝39 这个方程。他给的解法是：“取根数目（10）的一半，也就是五； 然后让它自乘得二十五，把这与三十九相加得六十四；开平方得八，再减掉五，余三，这就是根。”这实际上就用配方解一元二次方程。

这种解法与丢蕃都的解法差不多。这也是当时数学的特点：没什么独创性，可能是希腊典籍太多，翻译都够翻一阵的。

穆斯林的数学家们，在几何法代数中倒也继承了希腊的传统。有位叫海牙姆的（1042—1124），是位伊朗人，他就指出过，三次方程一般不能化成二次方程来解，但可以用圆锥曲线来解。海牙姆算是花先生的后生了，花先生约为 780—850 年间人。

阿拉伯学者一般把他们自己看作是天文学家，这也是当时的世界潮流， 古中国就把数学家们称为“畴人”，畴人者，观天之人也。

所以伊斯兰教学家们对三角学表现了浓厚兴趣。现在使用的六种三负角函数就归功于他们。还有一位 15 世纪的波斯皇族天文学家，他甚至编制了一

个间隔为 1＇的正弦表和正切表，精确到 8 位小数！这也许是世界上最早的 8 位小数数学用表。

总的来说，他们工作偏重实际，缺乏证明创造性的东西不多。但最值得一提的是，阿拉伯文化保存了那多文明的精华，当这些宝藏有朝一日被发现、被发展时，立刻掀起了现代文明的大潮。这也许是阿拉伯人的“金桥工程” 吧。

那阿拉伯世界汇集的的诸多文明之中，自然也有古恒河一脉。

且说那古印度，也是四大文明古国之一，5000 年文明史亦当之无愧。在印度的莫恒卓达罗有一座 5000 年前的城市废墟。这座城市有着宽广的街道、布满全城的排水系统、公共游泳池，带洗澡间的公寓等等。建造这么一座宏伟的城市当然要用基本的数学知识。

不过后来这块土地变化就比较大，先是波斯大军在公元前六世纪入侵； 不久又是亚历山大大帝到此一游（他征服印度时间不长，败退）；以后有印度本国皇帝的统治了，但公元 450 年，匈奴人先来，然后是阿拉伯人、波斯人。

所以这么一来希腊、巴比伦、中国的数学对印度的数学，就相互影响相互作用你中有我我中有你，有很多也输到阿拉伯去。这地方好像是一个东西方文明东西方学术的集贸大市场了，或者换个时髦说法，是技术市场，信息交流中心。

要谈到印度的数学，当然要说一说现在所用的“阿拉伯数字”和“位值记数法”。

那“位值记数原则”自然是咱们中国首屈一指，享有世界第一的美誉。不过佛国天堂的印度也是这么种记数原则。

这也许与他们的书写材料有关。据一位德国史学家的意见，古印度是一块小黑板上用笔蘸一点白颜料写字，或者是用小棍在一块撒有红粉的白板上写字。在这两种条件下写数字，写的地方很小，而字要写得比较大，不然看不清。写完之后擦去再重写。

这么一来，写字的空间太小，用位值原则记数好像是节省了地方。印度的记数法也是 10 个符号，十进位。这种记数法的优点当然不言而喻，易读易写，不占地方。

印度的 10 个数字最初用梵文的字头表示，后来逐渐演变，到公元 8 世纪， 印度数学中的 1、2、3 就同现在通用的差不多了；而“七”这个数字，那时写作 6，这时，印度数学中有了零这个符号。

8 世纪印度数学传入中亚，经阿拉伯人的改造，到 12 世纪传入欧洲。欧洲人只知道这种数学是从阿拉伯国家传来的，所以就称为阿拉伯数字。其实， 同学们都已明察其中来龙去脉。所以，当今记数的数学符号，公平正确地说， 应当叫印度—阿拉伯数字。

14 世纪，我国印刷术传入欧洲，英国在 1447 年出版了欧洲第一批印刷

书籍，其中的数字符号已和现在差不多了。到了 1522 年出版的一批书中，数字已完全和当今一样。从此数字的写法渐渐固定下来，苦难的欧洲终于摆脱

了其他进位制、其他记数法的折磨，开始享受这种简便有效的“十进制位值记数法”。

19 世纪的法国数学大家拉普拉斯曾如此感慨：“用九个符号表示一切的数，使符号除了具有形式的意义外，还有数位的意义，这一思想是如此简单， 以致无法理解它的奇妙程度。就拿希腊学术界中最伟大而又最有天才的阿基米德和阿波罗尼斯两人来说，他们也没有想出这种记数法，可见这一成就是多么不容易呀。”

中国在这方面虽然世界第一，不过好像并没有传播到世界各地，要不然， 现在的记数符号也保不准是用中国的那一套。

不过印度数码倒是传入过中国。在唐代开元六年（718 年），有位在司天监任职的天文学家奉命把印度的《九执历》译为汉文。其中就有“天竺算字”。“天竺”，是古中国对印度之称谓。当时的零，是用点表示的。可惜当时没有把印度数码的写法传刻出来，以致印度数码没有在中国流传下来。印度人计算加法是从高位加起。因为他们在可以擦了再写的黑板上演

算，要进位，很容易擦掉高位上原来的数字，再重写，就跟打算盘一样。做乘法，尤其是多位数乘法，已经和现在的计算程序差不多了，后经阿拉伯人传入欧洲，在那里被改造成现在的笔算形式。

古印度的算术问题多用“试位法”解的。其中有一种美妙的方法叫反演法，就是倒过来推，像现在的逆推法。

在公元六世纪，有一个用诗表现的题目，用的是反演法： “带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，按照你正确理解的反演法，

什么数乘以 3，加上这个乘积的 3/4，然后除以 7，减去商的 1/3，自乘，减去 52，取平方根，加上 8，除以 10，得 2？”

根据反演法，我们从 2 开始往回推。于是，（2×10—8）²＋52＝196；

196 开平方得 14；14×3/2×7×（4/7）÷3＝28，这就是答案了。

印度人在无理数问题上与希腊人不一样，他们倒不去管那些逻辑上的麻烦，理论上的尴尬。反正是把它看成一个数，然后想办法加加减减。

对于无理数这和，比如

+ =

+ =

• ，他们认为是：

照今天的记号，是：

这是婆什迦罗（约 1114—1185）在他的著作中所给的无理数之和的定义。

光有定义还不行，还要有“算”的法则。究竟怎么办呢？婆什迦罗继续教导大家：

“较大的无理数除以较小的，所得之商开方，再加 1，和数取平方，然后乘以较小的无理数，其根即为所求。”

也就是 + =

比如前一题，就有 + = = 3

这些知识多半来自婆什迦罗的《丽罗娃提》。据说这部著作是以他女儿的名字命名的，让他女儿高兴高兴。

婆什迦罗还用分割、剖分证明了毕氏定理（勾股定理），这就是右边这个正方形。婆什迦罗画了这张图，只写了一个字：“瞧！”正所谓仅著一字，

已得风流。这个证明中国很早就有了。我们在这里还是简单地写个式子，帮助大家进一步明确一下（这里 a、b 是直角边）；

c² = 4( ab) + ( b − a) ² = a² + b²

2

说起来古印度虽然对几何不太系统研究，不过了解得挺早，那是为了造祭坛。有一类经书叫《绳法经》，讲的就是应用几何知识造祭坛，也有圆方问题的解。几何成了宗教的侍女，无可奈何。

印度数学在婆什迦罗以后完全倒退了，一直到现代，才又放出光辉，出现了一位奇才怪才、难以理解之才。此是后话。

欲知后事如何，且听下回分解。