第六回 割之又割 割圆术得徽率祖率开而再开 开方法解天元四元

勾股定理的证明，是背柴人的杰作。创造了“割圆术”、“重差术” 的数学大家刘徽很谦虚，说有道难题确实想不出，祖冲之的儿子把它解决了。当中国人用“天元术”解高次方程，津津有味地说着“物不知其数”时，欧洲还在睡觉。

同学们，说到这里，咱们华夏古算的种种，是应该再表一番了。

中国古算，自文明升华起，一直领先世界。诸般功绩，大家已经有所了解。

大致说来、中国的古算、大约可以化为这么几个阶段：

从上古结绳记事，发明十进制位值记数法，发现勾股定理，还有分数的产生，分数四则运算的运用如此等等，大约有两三千年时间，是数学萌芽和初步发展的阶段。

从这以后一直到元代中叶，这 1300 多年，是中国古算迅速发展繁荣的时期。这期间大数学家并起，连绵不断。

先是三国时期的赵爽、刘徽，接着是以计算圆周率著名的祖冲之父子， 他们生活在南北朝时代，再往下就是唐代的一行大和尚，到北宋的贾宪，南宋的秦九韶、杨辉，一时间人才迭出，成果累累。一直到元代“四元术”的产生，达到了中国数学发展的高峰。

这其中一直到清代，中国古算开始走入低谷，缓慢发展。而西方数学也开始输入，一直到鸦片战争以后，中西数学汇合，开始了现代数学的研究和发展。

咱们这回书，就单说那繁荣昌盛欣欣向荣成果累累的一阶段。

且说自《九章》成书以来，中国初等数学的体系初步形成，方方面面都有了成果。这本《九章算术》也是很为瞩目，许多人学习、作注。

给一本书作注，这是中国古代作学问的一种主要方法。这恐怕与中国书的简约概括凝炼有关。一个主张、一种学问、一种观点，往往就那么几句话， 看来是节约“纸张”，古时用竹简，挺费事。不过这给后人的理解也添了不少麻烦。

所以一部书成了经典，立刻就有许多人围着它作注释。你这么理解，他那么认为，典籍上的一句话翻来复去要被“炒”多少遍，反正写著的人早就作古，他也没办法发表意见，由着别人折腾吧。

不过有许多注，当然很有见地，往往发扬光大了原来的意思，更把自己的新鲜见解加进去，是一些很有价值、更见风采的好文章、好论说。

不过给数学专著作注，弊病恐怕小一些，数学是形式逻辑作用，一就是一，二就是二，可不能由着性子把正话说反，反话正说。

这位刘徽大师就是给《九章算术》作注作得最好的一个。咱们前几回中谈过，现在看到的《九章算术》就是经过刘大师整理过，注解过的内容。

《九章算术》是我国的一部最杰出的数字典籍，是一颗明珠，可与《原来》媲美，称得上是东西双璧，盖世有双。

所以整理注释《九章》的刘徽，自然是功德无量，给后代做了件大好事。何况在注解中，刘先生匠心独运，旁证博引，使得原先简约深奥的术文得到

了阐明，得到了解释。

这刘徽在注释中还有不少发挥创造，那更是对中国古算的发扬光大了。有些西方人不明究竟，总觉得中国古算注重计算，没有自己的理论体系。

刘徽就在注释中，清理古代数学体系，致力于把“术”文中算理的说清楚。不但说清楚，而且力图把各种数学方法、数学理论之间的关系找出来， 追根寻源。

所以刘徽的研究，就不是停留在“举一反三”和简单的类比上，而是深入探求普通的数学原理。刘徽力图用这些普遍的原理去说明和统帅各种方法，这样就形成了一种独特的理论逻辑体系。

不但要有理论，而且还要论证。这就和有些人认为的东方没有证明的看法完全不同了。刘徽曾经说过：“不有明据，辩之斯难。”也就是说，要论证的话，一定要有可靠的证据。他还主张“析理以辞，解体用图”。意思是用逻辑知识去推理，用几何图形去进行直观分析，两种办法结合起来，证明问题。

在注《九章》中，他就这样，用逻辑推理和直观推理的方法，把《九章》提到了新的理论高度。他不仅对书中有价值的公式、定理（就是“术文”） 都作出了合乎逻辑的证明，而且对各种算法中涉及的数学概念，也给出了严格的定义，形成一整套理论。

刘老先生虚怀若谷，知之为知之，不知为不知，从不装模作样、不懂装懂。《九章》中球的体积有错误，他发现了。但是经过长期的努力，他也是没能有结果。这时他不是用一个改进的公式去代替，而是实事求是地说真话： “敢不阙疑，以俟能言者。”意思是把这个疑难问题空缺在这里吧，等待以后能够解决它的人。

在《九章》注释的过程中，那些精彩的证明和解释发挥，当然都是好论文。但是最有成果的独家创造是他老人家附有“勾股章”之后的心得体会。后人看它很不错，就把这一部分单独成篇，起个名叫《海岛算经》。

这《海岛算经》是我国古算中的著名经典的十分之一。在我国古算中， 共有十部书最有名最珍贵，叫做“算经十书”。

在“算经十书”中，《周髀算经》最古，《九章算术》最宏博丰富，其次为《孙子算经》。这三部价值最大，而其中又以《九章》为代表。

刘徽能以自己丰富的学识，为《九章》这本“算经之最”作注，自然是不简单，何况他所著的《海岛算经》也能算上一份，更加了不起。说到这里， 还不得不提另一位人物赵爽。

赵爽与刘徽是同时代人，不过不在一个国家，或者说那时是“一制三国”， 在三国时代。刘在魏国，被曹操的孙子管着；赵在吴国，是孙权子孙的臣民。

刘徽以注《九章》著名，而赵爽则以注《周髀》而著称。两人的贡献都很大，对后世的影响也很大。

赵爽又名婴，字君卿，他自己说是“负薪余日，聊观周髀”，也就是背柴火休息下来，研究研究《周髀算经》。有人根据他这一句话，说他是体力劳动者，平民数学家，看样子都不太像。真正是樵夫出身，哪有那闲功夫去看什么周髀？就是想看，也没那么多好条件。

对刘徽的一切也不太明白，只知他受了一次封，不过那是八九百年后的宋朝了。那时为了提倡恢复数学教育，在宋徽宗大观三年（1109 年）追封了历代“著名算数者”，一共 70 多位，而且还在孔庙的两侧走廊画影造形，享

受一下国家级待遇。

那追封的人中有“张衡西鄂伯”、“祖冲之范阳子”，等等。封建社会共有五等爵位：公、侯、伯、子、男，所以张衡得了个三等爵位，祖冲之是四等。刘徽得的是“淄乡男”，第五等。从中也可以知道，刘徽是淄乡人， 即现如今山东临淄或淄川一带人。因为以上所封的人大多符合籍贯。

花开两朵，各表一枝。我再说一说那赵爽的成就。

赵爽注《周髀》，首先第一件功劳就是证明了勾股定理。

在咱们中国历史上，有案可考的第一个勾股定理证明，就是赵先生。赵先生的证法是用了“弦图”，而且是彩色的。从下图可以看出，两个打阴影的正方形面积，就是勾的平方和股的平方。现在把三角形Ⅰ移到Ⅱ，三角形Ⅱ移到Ⅲ，又构成了一个新的正方形，它的面积正好是弦的平方。由此，定理得证。

不过，赵爽只在图旁写了一句话：“按弦图可以。”就像那位印度数学家写了一个字：“瞧！”

勾股定理的各种应用，始终是中国古算的一个特征，叫做“勾股术”。第四回中列出一些“勾股术”的公式，都可以用上

面的那种方法来证明。也就是想办法作一个图，然后割补、移位，这就叫“出入相补原理”，这是刘徽提出的思想，赵爽首先运用，日后更被许多人用得淋漓尽致，做出了不少好文章呢！

再说赵爽除建了这第一功以外，更从分数运算中，概括出“齐同术”。原来那《周髀》、《九章》中，虽然分数的加、减、乘、除都有很多的

例子，但是没有概括出运算的法则。

所谓“同”，就是把分母乘在一起，使分母不同的分数变得分母相同， 这也就是今天所谓“通分”的来历。

那么“齐”是什么意思呢？比如现在有两个分数：

a 和 d

b c

那么 bc“同”了以后，公分母有了，相应的分子也要变化，这就叫“齐” 了，即称 ac、bd 为齐。

a d a ac d bd

所以将 b 和 c 齐同，就是把 b 化为 bc ，将 c 化成 bc 。

这样齐同之后，就可以进行四则运算了。《周髀》、《九章》中的分数运算就是通过齐同后做的，只不过没说明罢了。

在《周髀》中，还有测量太阳高度的问题，大概的办法就是在地上立两根测杆，古代叫做“表”，然后计下两根“表”的长度，两表之间的距离， 两表留下的影子，这样，古人认为就能得出太阳的高度了。

这自然是错误的。因为如果两根测量杆离得较近的话，影子的长度就差不多一样了；而两根测量杆高有十万八千里，那么地球不是一个平面，是弯曲的，而这种测高的算理，是基于测量的基准面是个平面，所以也会错。

古人有测量太阳高度的雄心壮志，当然令人敬佩，虽然有错，精神可嘉。何况用来测一高山、高建筑，所说的一切就完全正确了。因为这时当然可以把测量的基准面——地面认为是个平面，两根“表”离得近嘛。

赵爽就给《周髀》中这么个方法作了注释，详细说明了求法。以后更由刘徽发扬光大，用来表海岛的高、远，著成《海岛算卷》，成一家之说。

那么，《周髀》上的“日高图”（测太阳高度的示意图），究竟是什么样子的呢？原图是早已没有了，但能根据赵爽的说明将其恢复。

赵爽根据“表”的距离、表高和景差——也就是两个影子（“景”）的差，得出以下求日高的公式：

日高＝ 表高×表距 ＋表高景差

刘徽在《海岛算经》中改测日为测海岛的高，公式是：

岛高＝ 表高×表距 ＋表高表目距的差

他测量的方法是这样的：

立两根一样长的标杆（“表”），使得和要测的海岛三点一线。然后“人目著地取望岛峰”，眼睛要趴在地下对准岛峰看，这样对于两个“表”就分别取得了 H 和 I 点。那么“表目距的差”就是 F1 减去 DH 了。

用这种测量方法可以测量很高，以及底部不能到达的物体的高度。不但如此，还能测出海岛离观察点有多远。

那么这个测高公式是怎么得出的呢？是不是有证明呢？原本刘徽是有图有注，而“注”就是证明。到后来，就只有公式没有图和注了。

南宋的大数学家杨辉说过，“海岛算法，隐奥莫得其秘”。杨先生甚至将海岛置于座右，以推想“先贤作法之万一”。

到得清朝，李潢等数学家都尝试给出刘徽那时候的证明、不过经现代一些数学家的研究，觉得那些证明都不太符合当时的实际情况。

那么刘徽那时的“古证”，究竟是个什么样子呢？现代大数学家吴文俊先生根据各方面的分析，给出了这么一个古证的复原：

首先，对于矩形 AB，对角线上化一点 C，可以得到矩形 CI）的面积等于矩形 CE 的面积。

这其中的道理也不复杂，因为△ABD＝△ABE，而在这两个大三角形中， 各有两对小三角形，面积也是相等的，等量减等量，当然就得到所说的两个矩形面积相等。

在今天，这种方法就是所谓割补法，可以用来计算面积。而在古代，这就归纳成了一条重要的原理，叫“出入相补，各从其类”，这是刘大师的杰作，我们在前面就看到了用这条“出入相补原理”来证明勾股定理。

这么一来，“海岛高”就简单多了！ 矩形 JG＝矩形 GB 矩形 KE＝矩形 EB

两式相减 矩形 JG－矩形 KE＝矩形 GD，所以

（FI－DH）×AC＝ED×DF，

而 FI－DH 就是“表目距的差”，所以有表目距的差×（岛高－表高）＝表高

×表距，由此自然能得到岛高公式。

瞧，多么轻松，多么自然，更主要是符合当时的各方面实际。

《海岛算经》的第一题，就是这么个测岛高的问题。他老先生开头就是这么一句：“今有望海岛⋯⋯”所以后人、后生就把这本书起个名，叫《海岛算经》。

《海岛算经》只有九个问题，都是一些“测”和“望”问题。不是“望海岛”，就是“望谷”，“望松”，“望楼”等等。因为要“测”，首先必须用标杆“望”，而且都是两“望”两“测”，得到的公式，分母都像上面的一样，是两测之差，所以这一解题的招术就叫“垂差术”，是咱们中国古算一大创造，优良传统。

刘大师在给《九章》作注的序文中说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者，必用垂差。”

他那《海岛算经》里的九题，都是高的摸不着头，低的探不着底。而且要测的东西，底部也挨不上去。

这“出入相补原理”，可是当时的一大法宝。比如用来证有勾股定理。古代的中国数学家们，从刘徽、赵爽开始，一直到清朝的梅文鼎、李善兰都用这个法宝，设计出各种巧妙方法，不厌其烦一证再证，乐在其中。有位华衡芳老先生，设计出 22 图，来证这么个定理，真可算得上一绝。

还有第四回中说过，已知勾股之差和弦的长度，求勾、股，或者是已知股弦之和以及勾，求股、弦，等等，在《九章》中都给出了公式，而证明， 可就是刘徽用“出入相补原理”给出的啦。

这个原理在今天，对咱们还有用处，用面积相等来求长度，大家好好想想，见到过吗？恐怕不止一次吧。

刘徽用“垂差术”创造出的测量奇迹，西欧社会即使到了 15、16 世纪， 也望尘莫及。

却说刘徽另一件功劳就是圆周率的计算。

说到圆周率，大家都清楚，那不是 3．1415926 嘛！有人还会进一步背到小数点后面 100，300 位，倒也真算得记忆的好汉，好学的君子。

只是这圆周率的求法就不那么简单了。’首先是要确定一个计算的步骤， 计算的公式；然后是一步一步不畏艰难不怕繁杂去算，古时的计算工具，最先进的就是算筹；最后还要有一种科学的误差分析和误差估计的办法，算对了还是算错了，误差是多少，要有个明白的说法。

这么三件事可不是所有人都能认识到的。在一些人的脑袋里，似乎圆周率的计算很简单，画一个圆出来，半径当然是已知的，然后用一根绢子把圆周一围，得个尺寸，最后再相除一下，不就解决问题了吗？

岂不知你这样量圆周误差不但大，而且各人有各人的量法，误差还很随

意，不好控制。再说了，把一个长度量准了，可要受到测量工具的限制，没法准到多少多少位。

而大师刘徽就是认识到咱们所说的三个要点，做了这三件事的中国第一人！足可笑傲江湖，横刀立马，称雄天下。代表了当时乃至一千多年后的世界水平。

直接“量”，自然是不行，刘徽以前的人大致是用这个方法吧，或者比

它好不了多少，所以得出的圆周率大多是“周三径一”，或者是用 来近似。

刘徽慧眼独具，他采用的是“算”的办法，这样就达到了三个要求。 让咱们来看一下下页的图，这首先是一个半径为 1 的圆，内接一个正六

边形。

正六边形的面积当然好计算，就用它来近似代替圆的面积，而圆的面积就是π的值。当然用正六边形近似圆，很不精确。

不过不要紧，下一步是在此基础上作正十二边形，计算这个十二边形的面积。大家可以看到，图中那正十二边形的一部分（全部的 1/6），是一个四边形，这个四边形是两个三角形底对底（公用一底）构成的，面积好算， 是六边形的边长乘以半径，再除以 2。

这样十二边形的面积自然可以得到。

再一步，我不说同学们也会料到，就是再作正二十四边形。根据计算十二边形面积的方法，那当然要首先知道十二边形的边长，才能算出二十四边形的面积。

这个边长如何算？让咱们再看一看图。

因为 PT 是六边形边长之半，OP 是半径，那当然就能用勾股定理得出 OT； 然后从 OR 中减去 OT，自然就得到 TR；最后在三角形 PTR 中再用勾股定理， 就得到了十二边形的边长 PR。

就这么一直做下去，边数翻倍，十二、二十四、四十八、九十六⋯⋯这些面积一个比一个大，一个比一个更接近圆的面积。这就是刘徽创造的、大名鼎鼎的“割圆术”。

所谓“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体， 而无所失矣”。

刘老先生的意思就是，“割”得越“细”，相差得就越少；一直不停地“割”下去，以至于不可割，就与圆完全一样，而没有误差啦！

实际上又怎么能没有误差呢？因为你没法一直不停地“割”下去，所以你就得估计一下误差，看看算到多少边形，就可以精确到小数点多少位。

想到这一层的人更少，也更不容易，但更加重要。请想一想，这么重要的一个常数，你对它的精确度心里没谱，能放心使用吗？要是用到关键的地

方，说不定会卫星落地，核弹误爆。

那么刘大师是如何估计误差的呢？让咱们回头再看看那张图。

刘徽又在 R 处添了一条切线，然后由 P、Q 作垂线，得到一个矩形，这一块矩形连同三角形 OPQ，构成的面积可就超过了圆的面积了。

所以如果咱算到正十二边形，那么圆面积就大于正十二边形，而小于这么一个齿轮形的面积。这么一来，圆周率的真值也就在这两者之间，它的精确度不就估计出来了嘛！

刘徽算到圆内接正九十六边形，得出它的面积为313 584

625

方寸，而正一百九十二边形是314 64

625

方寸，从而有：

313 24

625

＜100π＜314 169

625

两头数值之差，是 169 −

625

24

625

= 145 = 0.232，即100个π 625

按算到一百九十二边形来看，误差不超过 0．232，那么π本身就差不到0．003，所以刘徽就把圆周率之值取为 3．14。

这么一个圆周率的值，被人们称之为“徽率”。

刘老先生还再三声明，这个圆周率位数还不够，还不算精密，他继续求出正3072边形的面积，从而推得圆周率为 3927 ＝3．1416。

1250

这一下就可以放心了，那 3．14 的第二位小数是完全准确的，不是瞎蒙， 有根有据。

不过那 3．1416 的圆周率值，竟然打起了一场官司，有人认为它是祖冲之得出的。兴起这场争论的是清朝数学家李潢。后来参加笔战的人就越来越多啦，从解放前一直争到解放后，挺热闹。许多数学家都热闹过，大部分人都主张还算是刘徽阁下的。

说起来也是“是非成败转头空”，就算是刘先生的，与他也没什么大关系了。只不过争论一番，弄清发展的来龙去脉，也还是有益处的。咱们这也算是“古今多少事，都付笑谈中”。

话说那祖冲之自然也是一等一流的数学大师。到如今，也只有他老人家是第一个登月的中国人。

此话怎说？却原来祖老先生不但在中国，而且全球闻名，所以就把月球上的一座球形山，命名为祖冲之山。

大家若是中秋赏月，或是闲来无事看吴钩，那么吴刚嫦娥倒是见不着， 而是常常能看祖老先生了。

那祖冲之（429—500）是南北朝时代南朝的宋（420—478）、齐（479

—502）两朝人，比刘徽、赵爽晚了 200 多年。

祖冲之在刘宋朝廷被安排在政府的学术机构——华林学省工作，并“赐宅宇车服”，搞学术研究，是个享受国家津贴的有贡献学者。后来又调到各处任地方官，大约是县团级。晚年被提升为长水校尉，成为高级将领，而且给当局上书献策，谈谈治国方略，以图一展抱负。不过这些治国安邦的计划也没实现。

祖冲之最突出的成就倒不是政绩，而是数学了。他继承刘徽思想，通过

研究刘徽的注释和《九章》，水平自然不浅。

他认为徽率 3．14 不够精密，继续往下推求，用的还是“割圆术”，他的新结果是：

3．1415926＜“正数”＜3．1415927 所谓“正数”就是圆周率的准确值。但由于它是无理数，不能用有限小数或分数表示准确值，所以只能用有限小数不断逼近他，用一串有限小数逐渐地靠近那个准确值。

不但要用一串有限小数去逼近，而且要用上限和下限两个数（或两串数） 去“夹”，这样，圆周率这个无理数就被准确地描绘出来了。

因为这么一“夹”，就有了精度的衡量，“正数”（准确值）的大小范围明瞭了，这可是一种非常非常先进的思想，了不得，是现代数学才有的思想。而刘徽和祖冲之在那么遥远的年代就有此卓见，同学们，你看应当如何评价呢？

祖老先生把那个不足近似值 3．1415926，叫做“朒数”，而那个过剩近似值 3．1415927 叫做“盈数”。按他的话说，“正数在朒盈二限之间”，可叹，可敬！

祖冲之的这个圆周率，自然叫“祖率”，保持了一千多年的世界纪录。公元 1596 年，荷兰数学家卢道夫经过长期艰苦努力，把圆周率算到 15 位小数。1610 年他逝世后，人们在他的墓碑上刻上他的这个成果，并把这个数叫做“卢道夫数”。数学家墓碑都挺有职业味道，你说是不是？

当然，现在计算圆周率，可不是用这种方法。不是方法不对，而是用这种方法太慢。从这我们也可以想见刘徽、祖冲之的计算工作是多么繁重，要知道，计算中要有多次开平方呢！

祖冲之还给出了分数形式的“约率”、“密率”，

密率是 355 ，约率是 22 。

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约率，就是精确度差一些的；密，就是精确度好一点的。

圆周率看起来是个简单的问题，其实真不简单，它往往反映了当时的数学水平和数学思想。

祖冲之的家庭真算是书香门弟了，他的先辈有搞建筑工程的，有写诗作文的，也都有历法研究的根底。他的儿子、孙子都精通历法。

尤其是儿子祖◻，更是了得，很可以说“青出蓝而胜于蓝”。他造过当时的计时工具——漏刻。在梁天监十三年（514 年），去搞治淮工程，后来工程被水冲垮了，就被逮入狱，不知是不是判的是渎职罪。出狱后遇到一位高人给他讲授数学，恐怕是得益非浅。

祖◻的拿手绝活就是计算体积。

许多体积问题咱们在《九章》都已见到“术文”了，都很正确，只有唯一一点遗憾，就是球体的公式不对。

这一点刘徽老先生已经发现。那么如何解决呢？他想了一个关键的办法，就是在一个正方体里，纵横交错内切两个圆柱。那两个圆柱相交的公共部分，就是他所说的“牟合方盖”，像个做得不太好的灯笼，或是两把底对底的方形伞。

这么个图形不太好想象，要发挥一下大伙的水平了。这个圆形名子怪， 样子也挺怪。那么刘徽先生为何出此怪招呢？

原来他天才地发现，如果用一个平行截面去截它的话，不管这个截面是

上去一点，还是往下截一点，截出的总是一个正方形！

如果在这个“牟合方盖”里再内切一球（实际上也是原正方体的内切球）， 那么再用截面平行去截，截面就是一个正方形含内切圆。那个内切圆就是球的截口。

■

正方形与内切圆的面积比是 4：π。而现在任意一个平行截面都是这样的形状，都是 4：π，你说说，“牟合方盖”与球的体积之比是不是也是 4： π响？因为体积，咱们可以看作是这无数平行截面垒积而成的！

刘徽在这里提出了一个很重要的思想，就是两个几何体，如果用任一个平行截面去截，截得的两个截面的面积比总是 a：b，那么这两个几何体的体积之比也是 a：b。

现在如果这个比是 1：l，也就是两个截面积相等，那么自然两个几何体的体积就应该相等了。这正是祖◻提出的著名判断：

幂势既同，则积不容异。

幂势，即作面积讲；而积，就是体积了。祖◻的这一段话后来就被命名为“祖◻原理”，在计算体积中有极重要的基础作用。不过，咱们也看到了， 刘徽也有着同样光辉的发现和应用，所以还是叫“刘祖原理”为好。

但是刘徽在得出了“车合方盖”和球的体积之比之后，他就想计算出那个怪物的体积了。不过进展很不顺利，他对这个“方圆相缠，浓纤诡互”的复杂圆形没有了办法，只有“以俟能言者”了。

祖◻看到这个问题后，自然也是想了半天，后来他灵机一动，于脆去计算从正方体中去掉“牟合方盖”后，所余下那部分的体积。如果能算出来， 那么“牟合方盖”的体积只要两下一减就得到了。

他成功了！用的也是“刘祖原理”！他首先构造了一个容易算体积的方锥，而后再去截！

这成功确实不容易，难怪他在得出了球的体积之后，得意洋洋地说：“等数既密，心亦昭晰，张衡放旧，贻晒干后；刘微循故，未暇校新，夫岂难哉？ 抑未之思也。”

意思是张衡、刘徽都按着旧套子去干。这有什么难的？那不过是没好好想罢了。

这么重要的“刘祖原理”，西方一直到 17 世纪意大利数学家卡瓦列利才发现，他们那一直把它叫做“卡瓦列利”公理，好像是不太公平吧！

祖代父子还有一本高级专著：《缀术》。据说是“旨要精密，算氏之最者也”，曾经被当作当时数学专业的必修书，要学四年。

但是曲高和寡，“学官莫能究其深奥，故废而不理”，这部好书就在北宋天对、元丰年间（1023—1078）失传了。也正是个“把阑干拍遍，无人会， 登临意”。

魏晋南北朝时期，虽然战乱频繁，但数学成果倒不少。当时有一本著名的算经，叫《孙子算经》，大约是公元 400 前后的产品，全书三卷，作者已经不详了。

《孙子算经》之所以有名，是因为有一个著名的问题：物不知其数。

即所谓：“今有物，不知其数。三、三数之余二；五、五数之余三；七、七数之余二。问物几何？”

也就是说有一堆东西，3 个 3 个数余两个；5 个 5 个数余 3 个，7 个 7 个

数也余 2 个，问你一共有多少个物体。

翻译成数学语言，无外乎是被 3 除余 2，被 5 除余 3 如此等等，所以我们今天用方程列出就是：

N＝3x＋2 N＝5y＋3 N＝7z＋2

这里 N 表示物体总数，X、y、z 分别表示被 3、5、7 除后所得的商。三个方程，四个未知数，那么有解的话，就肯定不会唯一的了。这类方程叫不定方程，同学们想必均已知晓。

这个问题现在可以用同余的知识来解决。当时的《孙子算经》是这么给出招“术”的：

将三三数之的余数，乘以 70；五的余数乘到 21；七七之余乘以 15。然后相加，再减去 105 的若干倍，即得答案 23。

这其中的 70，21，15，显然是关键之数。其诀窍就在于，70 是 5 和 7 的倍数，而被 3 除则余 1；21 是 3、7 的公倍数，而被 5 除余 1；15 呢，不用说是 3、5 的公倍数，而被 7 除余 1 了。所以如果问题中各数的余数是 a、b、c 的话，那么 70a＋21b＋15c，便是所求的一个答案。大家不妨推敲一番，便知奥妙。

那么为什么又要减去 105 的倍数呢？因为 105 是 3、5、7 的公倍数，从最初的和数中，减去 105，仍然是一个答案，另一个解。而算经中之所以减去，是为了求得这个问题的最小正整数解。

这一套算计真是奥妙，后人更给它编了一首诗，朗朗上口，十分好记：

三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝； 七子团圆正月半， 除百零五便得知。

正月半者，十五之谓也。

这个大名鼎鼎的题目后来由秦九韶发展为“大衍求一术”，在 1876 年德

国一学者发现孙子的解法与 19 世纪高斯的理论和解法完全一致，故而这一杰出的成就为世界瞩目，被称作“中国剩余定理”。

《孙子算经》是一本当地的普及读物，雅俗共赏，多为游戏性质的趣题。著名的“鸡兔共笼”便在其中：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔几何？

孙子的算法真是妙不可言。他设想鸡免的足通通减少一半，成 47，也就是小鸡一律金鸡独立，只有一条腿了；而小兔前爪举起，剩两只爪了。

那么这样一来，47 就是兔头的二倍加鸡头数，从中减去总头数 35，得名义头数 12，也就是兔的数目。剩鸡的数目当然是 23 啦。

此外还有这样的趣题：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？

诗一般的意境自然能提兴趣，吊胃口，孙子的心理学掌握得不错。咱们在埃及的莱因德纸草卷中，已见过这个问题的类似情况。只不过在那里是 7

的乘方，咱们这儿是 9 的乘方。九，阳数之最也，算是中国古代的极品之数了。

且说那历史车轮转到隋唐时期，隋朝虽然很短暂，但却很繁荣；而盛唐

时期更是古代中国空前鼎盛时代，后代一直津津乐道所谓“贞观之治”、“开元盛世”。

经济各方面发达了，学术研究文化事业当然也跟着繁荣。在这么一个情况下，数学教育也制度化，中外数学交流也比较多。

咱们中国的数学教育有悠久历史。孔老夫子的教育内容有所谓“六艺” 的说法，即礼、乐、射、御、书、数。也就是要学会礼仪、音乐、射箭、架车（“御”）、计算等本领、很有培养复合型人才的远见。

据说周秦以来，小孩子六岁及八岁入学，就要学数学的基础知识。

隋代建立了最高学府——国子寺，和亚历山大的大学差不多。其中就设立了明算学，也就是数学系了。主持数学系的有算学博士 2 人，算助教 2 人，

招入学生 80 名。不过这位算学博士（系主任）的级别很低，只是从九品下， 简直够不上级别，最末一级。

到了唐代，最高学府叫国子监，也有明算科，也有明算博士主持工作。唐初明算科，分为两个层次，好像专科、本科，或者像大学、研究生那

样，都要学七年，学的教科书就是“算经十书”，其中第二个层次要学《缀术》，那时这本书还没有失传。

学习期满要进行考试，从算经中出十道题，答对六道才算及格。有时还加口试，规定“得八以上为上；得六以上为中；得五以上为下”。

这样的教育制度不但影响到宋朝，而且还连制度带教科书一起出口到日本、朝鲜。不知当时是不是按照现在一些大国的做法，搞一个什么“三○一” 条款。

中国和印度的古代数学好像也是互通有无，相似的地方很多，有的完全一样。有趣的是，相似的地方，印度一般晚于中国的记载。

比如印度的文集中，也有圆周率 3927 和 22 ，

1250 7

这些都是刘徽和祖冲之的创造，印度的记载要晚。

不但正确的很相似，而且《九章》中两个误差很大的公式，在印度的《平面积量法》这本书里也记载着，完全一样。对的方面相似还好说，错也错的一样就不大可能了。

就好像阅卷的看到两位学生的试卷锗的一样，那他就要认为是作弊了。当然咱们可不能说印度的数学有什么这个那个的嫌疑，只不过中印两方面， 数学肯定有着很密切的交流。诸位也许记得，印度的数学符号，不是也传入过中国吗？

却说中国古代文学中，有唐宋八大家，那当然流芳千古；但咱们中华古算史上，倒也有鼎鼎有名的宋元四大家，将古代数学推上了前所未有的高峰。

这四位前辈倒也是“聚得拢，散得开”。

何谓聚得拢？却是因为他们都是同时代，相差不到 50 年，同时都卓有成就。

那又怎称得上散得开？那是由于这四大家的当时既没有现代火车、飞机的交通便利，又没有计算机联网查询，可以方便地进行学术交流。他们都处于宋、元交替之机，兵连祸结，天各一方，没个安生日子过，各人顾各人钻研学问，但都对高次方程的解法做出了大贡献，你说奇也不奇？

这其中首先一位是秦九韶（约 1292—1261 年），咱们大家也大略知道一点他的大名，秦九韶公式嘛。也就是外国人所说的海伦公式，求三角形面积

的。

秦九韶是南宋人。那时南宋小朝廷内争激烈，腐败不堪。秦先生聪敏好学，“星象、音律、算术以至营造（建筑）无不精究”，“游戏、■马、弓剑莫不能知”。

可能是他精力太过剩了，对那腐败的政治也多想参与，“出污泥而有染”，品行很不好。他是个官迷，还是个贪官，到琼州（海南）做官仅仅百多天， 老百姓就盼他早死早好。照这么看来，要是现在被反贪局抓到，非杀头不可。

不过照一位美国史学家说，他无疑是“那个民族、那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

秦九韶的学术伟大在什么地方呢？

首先是创建了“大衍求一术”。大家当然能记得咱们刚说过的“中国剩余定理”，也不会忘记那三个关键的数：70、21、15。

这三个数之所以重要，是因为它们除以某个数余 1，而又是另两个数的倍数。比如 70，是 5 和 7 的倍数，但又被 3 除而余 1。

这样的数如何找？如何求？当然有规律可寻，不能瞎碰。秦九韶正是找到这求法，把它称为“求一术”，求一个被某数除余“一”的数。

正因为这么个“求一术”是普遍适用的，所以“孙子问题”就不限于 3、5、7 了，也不限于三个数了，可以是很多个数。

这“大衍求一术”记载在他写的《数书九章》中，反映了中国古代在一次剩余问题的解法方面有着极为辉煌的成就。19 世纪介绍至欧洲，引起很大轰动。

《数书九章》是 1247 年写成，约 18 卷 20 万字，堪称煌煌巨制。它记载秦氏的另一项代表中国乃至世界中世纪最高成就的东西是一元高次方程的解法——秦九韶正负开方术。

中国的开方术，是世界上发明最早的主要算法之一。《九章》中多位数的开平方、开立方法则，是全球最早、最完整的记载。

古代巴比伦的繁杂数表诸位当能记得，那其中就有立方表、平方表，他们就是借助这表来进行开方运算的，烦，没一般方法。古希腊亚历山大时期约 400 年，才有几个开平方的例子。

开平方的一般笔算方法现在初中已经不学了，用计算器按按挺方便。但笔算依据的公式大家都学过，就是（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²。同样，开立方就靠公式（a＋b）³ 的展开式。

这开方的一套程序自《九章》以来，又经不断改进，算法比较简便了， 但本质都相同。后来又发展成一套高次方程的数值解法（不是用求根公式解），到秦九韶一代更到成熟地步，从而达到当时世界水平的顶峰，谱写了中算史上极其光辉的一页。

秦先生的光辉著作中共有 20 多个高次方程问题。最复杂的有高达十次的方程，那是一个所谓“遥度圆城”题，也就是测量一座圆城。不过秦先生有些好大喜功，这个问题用三次方程就能解决了，他偏要卖弄。可能是性格使然，也可能是为了说明十次方程的解法。

牛顿—拉弗森是西方数学啧啧称道的解高次方程的好方法，但是它的原理却同中国的开方术解法是完全一致的。不过却比咱中国晚了 600 年以上。那开方的办法既如此重要，人们自然想到开四次方、五次方等等应依据

什么开，照今天的眼光来看，就是看看(a+b)⁴、(a+b)⁵ 等等各项展开的系数。

秦九韶自然是知道这一套的，否则他的七次方程也没法做，没法求根。

但比他更早的是北宋人贾宪所做的贡献。可能会有人问了，这北宋人能算得上你刚才所说的宋元之际的四大家吗？

那自然是算不上。但贾宪活动于 1022—1054 年间，生平和著作都已失传。而他的知于世，全靠着另一位大家、四大家之一的杨辉，在他的《评解九章算法》中记载的。

杨辉的几本著作写于 1261 年—1275 年间。那么他在《评解》又记述了贾宪的什么功劳呢？这就是用来开方的关键图——“开方作法本源图”。这张图就是一一列出了(a+b)ⁿ 这样一个二项展开式的各项系数，你说紧要不紧要？

在这个二项式中，如果 n＝0，那么系数当然只是 1；若 n＝l，那么展开后的系数就是 1．1；而 n＝2 和 n＝3，分别就是 1、2、l 和 1、3、3、1。如此等等，n 逐次增大，系数的个数也逐次多一个。

贾宪把这些系数依照 n 的不同，一层一层从上往下放好，就成了一个三角形。所以就叫它贾宪三角形。也把它叫做贾宪一杨辉三角形。本来嘛，这个三角形能传播天下，多亏了杨辉的功劳，杨辉不掠人之美据为己有，应该大大表扬。

这贾宪一杨辉三角在西方叫帕斯卡三角形，不过晚咱中华 500 多年了。但是就是在西方，就算不知道贾宪的成果，叫帕斯卡三角形也不对，还有比帕先生早 100 年发现的。

杨辉的生平、年月也不大清楚，是钱塘（今杭州）人。他做过官，比秦九韶好多了，是个清官。

虽然生平事迹没多少人知道，但他的著作很多，流传至今的也有不少。他的《评解九章算法》共 12 卷（1261 年），现在都残缺不全了。杨辉是把

《九章》的 246 问提出 80 问进行评解，按由浅入深的顺序，分类讲解，有图有算草，十分细致。

现如今的幻方，也就是在一个棋盘格子里填上数，使纵列横行以至对角线上的各数之和都各各相等，完全相同。这在古代叫做“九宫”，河图洛书就是一种幻方。

杨辉在《续古搞奇算法》中给起了个名叫“纵横图”，记载了 13 幅图。

咱们现在看到的图就是一个四阶幻方，你看各行之和不都是 34 吗？各列也是如此，还有两条对角线。

最重要的是杨辉叙述了这纵横图的构造法，如何填数，如何对换，对构成规律已有了发现，可以说是前无古人的。

虽然幻方这个问题很古老，但它却是勃勃兴起的组合数学的重要内容呢！

杨辉还是个优秀的数学教育家，他主张循序渐进，精讲多练。他的许多著作都是写的教科书。所以咱们的数学教育研究会可以选杨辉为首任名誉会长，尊为祖师爷。

这秦九韶、杨辉两位南宋末年的数学家咱们说完了，那就再聊聊元初的两位数学家。这两位创“天元术”、“四元术”，都是解高次方程的，一位叫李冶（1192—1279），一位叫朱世杰，稍后李先生二十多年。

李冶是北方人，住在金国，中进士后曾当过州官。后来蒙古军破了城， 李先生就隐居起来，研究学问。大元得了江山，忽必烈下诏让他做官，李冶以老病推托了。

1248 年，秦九韶的著作问世仅一年，李冶的《测圆海镜》就问世了。这本书最重要的是提出了“天元术”，说的是如何立方程，表达一个方程。

怎样表示一个方程，这在代数上很重要，大致分三个阶段，最后一阶段就是符号代数阶段。而李冶创“天元术”，也大致到了这么个地步。

所谓“天元术”，就是天元为未知数，以“太”为常数。把一个一元高次方程，用算筹形式表达出来。表示的是各项的系数。

具体是这样的，首先写下元字（或太字），然后摆上一次项的系数，在“元”的旁边。x2 的系数摆在一次系数上面，次数每增一次，层次就高一级。“元”下面一层摆“太”，即常数项的大小。太下面可放 X 的－1、－2、⋯⋯ 次幂的系数。

这就是我国古代方程的表示方法，大家倒可以用火柴棍当算筹，摆上试试。

虽然秦、李两人一南一北，毫不相识，但他们所用的符号倒是相同的， 令人吃惊。

李冶及秦九韶的方程式都是一元的，系数也允许有负数。这表示系数的算筹上要是斜放一杠，就表示是负的了。

一元高次方程的解法当然还用“开方术”。那么多元的问题自然会被人思考。这方面卓有成就堪称大家的就是朱世杰了。

朱世杰客居北京附近，后来就靠数学名家的声望和技艺周游讲学 20 余年，到得扬州，“踵门而学者云集”，上门求学的像云一样汇拢。

他的发明中至少有两项可得全国科技特等奖，或者世界数学菲尔兹奖。首功是立方程，立四元高次方程。朱世杰所著《四元玉鉴》（1303 年）

中，创制“四元术”，把“天、地、人、物”分别当为四个未知数，好像现在的 x、y、Z 和 u。和“天元术”相通，这种四元方程也是用算筹布列成一个系数的阵，只不过不像一元，布的是长长一列，它是四元，布成的就是一个方形，矩阵。

就如上图：“太”居中央，是常数项的位置。四周环列“天、地、人、物”，最靠近太的四个方格，是天、地、人、物四元的一次项，其余的方格就像填表格，或者是坐标系中找点一样，比如 Z 格向上，u² 格向右，交叉处就是 u²Z 的系数的位置。

这种布列方程的办法确实很奇特，不过因为位置有限，再多的元就不好

放了，再说，像三元的交叉项 Xyz，xy²z 等，就不太好放，当然朱先生也想了办法怎么放。

朱世杰多元高次方程组的华彩乐章是“相消之法”，就是消元，把方程组经过变形得到一个一元的高次方程，然后用“开方术”对付它。

这多元一次的方程组当然好消元，而高次的高比较麻烦了。

为了说明白，咱们就按现在方程的记法，用朱大师的消法，来看一看一个二元高次方程组如何消元。比如对于 X、y，咱们现在要消去 y。如果两个方程中 y 的次数都是一次，就可写成 A（X）y＋B（X）＝0 及 C（X）y＋D（X）

＝o，这里 A、B、C、D 都是 X 的多项式。

这种一次的很好消，代1入即是，即用y＝ − B(x) 代

A(x)

入第二个方程。

如果 Y 的次数是二次、三次甚至更高，比如像

A（x）y ² ＋B（x）y＝0＋C（x） = 0

A（x）y ² ＋E（x）y＝0＋F（x）＝0

就可以先消 y² 项，得一个一次 y 式，再进行消元。三次的也可类推。如果两个方程中 y 的最高次不一样，那么就可以给次数低的方程乘上 y

的适当次数，使两个方程中 y 的次数一样高，便于消元。

这消元的杰出成就再加上开方术解法，就基本上完全解决了多元高次方程的解法问题。当然，还有一点小小麻烦，方程何时有实解？如何判断？在中国，这个问题解决得晚。

一直到清朝，有汪莱其人研究了这方面问题。那时离宋、元高度发达的数字已有 500 余年了。宋、元时代那遥遥领先的中华古算，竟在明代被埋没

了 300 多年！至此以后，中国的数学就开始从顶峰下滑，从远远领先的位置变成大大落后的局面，可惜啊，中华古算！

但凡万事万物，总有消就有长，希腊数学也是如此。就在这两大数学体系，另一地方的数学成就却在缓慢上升，最后进入快车道，形成完整的现代数学体系。

这块地域在何方何处？如何缓缓上升？又如何快速增长？ 欲知后事如何，且听下回分解。