第三回 逻辑朗朗 数学首次辉煌思维清清 运算同步灿烂

人们把“黄金比”看作美的密码。无理数的发现引发了第一次数学危机。在一条小舟上，希帕索斯被愤怒的毕氏门徒扔入水中。芝诺说： 神跑手绝对追不上乌龟。

说这古希腊位于爱琴海周围，不但包括希腊半岛，而且也包括爱琴海中各岛屿、克里特岛和与希腊半岛隔海相望的小亚细亚半岛的西海岸一带。荷马史诗中所讲到的特洛伊城，就位于小亚细亚半岛的西海岸。

史诗的作者是一位盲人——荷马，他把希腊文明的发生推到遥远的公元前 2800 年。

希腊人创造的灿烂文明，那可是现代西方文化的源头，对现代文明起了奠基的作用。才华横溢的古希腊学者们，在建筑、雕塑、天文、数学许多方面都做了大量开创性的工作，对世界许多国家的文化产生了深远的影响。就连现代的奥林匹克运动会，不也可以追根寻源到古希腊吗？

这爱琴海附近与大河流域的各文明发祥地大大不同。这块地方倒是不大，但海陆交错，山峦重叠，所以这地方以一个一个城邦为主。再说这块地方处处离海都很近，几乎没有一个地方离海岸有五十公里以上的。那爱琴海里的岛屿可是星罗棋布，有 480 多个，就像一个个跳石密布在海面上。航海的人就是船不太好也不要太担心，到哪都能看到岛，看到陆地。还有，那些大城邦如雅典，城里的人口多了，这粮食供应就要到外面去买。而尼罗河古埃及正与他们隔地中海相望，所以这笔外贸生意就做到了埃及。

古希腊和巴比伦两河流域也不远，陆路海路都可以走。所以这古希腊“对外开放”做得很好。那时候不但有很多人到尼罗河、巴比伦去做生意，还有不少有名的学者去访问、游历，他们好像应当是世界上最早的“访问学者” 了。

所以这古希腊虽不能说是物华天宝，却倒也是人杰地灵。吸纳了两大文明，地处爱琴海之边，不创造出优秀的文化，那就真有点对不起世界人民了。

那么这古希腊的数学为何也往往被认为是现代数学的奠基石呢？ 关键就在这“为何”二字。

原来这古希腊的仁人智士往往不但问“如何”，而且也经常问“为何”， 即不但要知其然，而且还要知其所以然。

比如，对等腰三角形，不少古代人都知道两底角相等；对于圆呢，也都知道被直径两等分，这就是所谓“如何”了。那么，为什么两底角相等呢？ 为什么圆被直径两等分呢？这“为何”的问题不是人人都想到做、都乐意做的事。而在当时古希腊，就弥漫着这么一种气氛，凡事讲究为何，讲究推理， 讲究证明。也许，现代意义上的数学就诞生于这么一种气氛之中。

比方说这古希腊数学第一个学派的祖师爷泰勒斯先生，他就有这种凡事讲证明的瘾头。

那泰先生乃小亚细亚西岸富裕之城米利都人氏，是希腊古代七贤之一， 生活于公元前六世纪。这泰贤人多才多艺，哲学家、律师、工程师、天文学家、数学家，各种职称都取得过。不仅如此，他还经过商，“下过海”。

话说泰勒斯有一年预见到橄榄油必定丰收，就把附近地区的所有榨油设

备都买到手，然后在大家都要用的时候再租出去，当然是狠赚一把。

当大家纷纷祝贺时，泰勒斯先生微微一笑：“我只不过想证明赚钱是很容易的。”

泰勒斯先生活得很潇洒，是个独身主义者。另一位七贤、古希腊著名改革家梭伦问他为什么不结婚，他第二天让人给梭伦送去个谎信，说梭伦心爱的儿子突然被杀身亡。然后他又到这位异常伤心的父亲面前，拍拍他的肩膀说：“我只不过想告诉你，我‘为何’一辈子不结婚。”有一次他夜观天象时失足掉在沟里，一位多事的老太太笑话他：“你连自己脚边的东西都看不见，还能指望看见天上的东西。”不知道泰勒斯有没有说“燕雀安知鸿鹄之志”，不过相信泰先生一定是很潇洒地笑笑。

当然我们不能把泰勒斯看成是只知插科打浑的东方朔。他可是一位很有学问的一代宗师。泰勒斯赚了不少钱后，就专心研究并到处旅游。

有一个时期他住在埃及，搞搞学术交流活动。埃及的法老想知道自己死后睡的那所“大房子”有多高。找了很久也没有人敢来测量这很高很高的金字塔。后来法老就请外国专家泰勒斯解决这个问题，他很愉快地接受了邀请。

虽然泰勒斯根本不可能到过中华大地，但是地测量的方法也是利用太阳的影子，和上回书里说的方法是一模一样。看样子咱们又要说那句老话了： 英雄所见略同。不过当时他这么一手，倒真是把周围的人都镇住了，佩服得了不得。

泰勒斯当时还发现了不少几何定理，比如圆被任一直径二等分；等腰三角形两底角相等；对顶角相等；半圆上的圆周角是直角等等。

这些发现的意义倒不在这些定理本身，而是泰勒斯运用了逻辑推理，进行了证明。

海边的人对测量船与岸的距离自然很有兴趣，也很实用。泰勒斯就想了个绝妙的办法，进行测量。

首先他做了个两根杆的仪器，这两根杆子的夹角可以变化转动，我们把它们叫做 AC，AD。然后他站在岸上一个高处，让 AD 杆垂直指向地面的 B 点， 再调整两杆的夹角，使得沿着 AC 杆子看过去，正好指向船 P。最后，不改变角 DAC，让仪器绕 AD 转，再把 AC 杆指向地面上的那一点 Q 记下来。这样， 只要测出 B 到 Q 的距离就可以了，也就是岸上 B 点到船 P 的距离。

这里面用的是两个三角形全等的定理。

看，△ABP 和△ABQ，不就是两个“两角和一条也对应相等”的三角形吗？泰勒斯正是发现而且证明了这么条三角形全等的定理，而且用得也很灵活。我们的孔夫子当年曾授徒讲学，得弟子 3000、72 贤人。泰勒斯当年在希

腊也收了不少徒弟，创立了爱奥厄亚学派。其中有位高足，比他大约小 50 岁，是爱琴海的萨摩斯岛人，住在离泰勒斯的故乡利都城不远，出师后更树立起自己的学派，以至声名都大大超过其师。

他就是下面即将登场的赫赫的有名之人——毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯在米利都泰勒斯那里学了一段时期之后，就到处游历，当然是出洋考察，到埃及和巴比伦一带学数学，长见识，当然还有哲学和宗教等等。据说，他的数学是在埃及学的，而在巴比伦树立了他的宗教信仰，不过好像也受巴比伦数学的影响更大一些，熏陶更深一些。

这毕达哥拉斯学成归来，到老家萨摩斯岛一瞧，发现此地在波斯暴政之下不是个好去处，便打点行装又到得南意大利的克洛乔，这是个希腊的移民城市，从希腊本土跨海即到。

在克洛乔，他开始独树一帜，授徒讲学，开办学校。这学校不但研究数学、哲学和其他自然科学，而且是个组织严密的学术团体和政治团体。入这个团体挺严格，有一套秘密仪式，还有一套盟约，组织内讲授讨论的知识不能外泄，有些神秘兮兮的。而且这组织的人员还控制发展，大概是考虑其思想和组织的纯度吧。

这形成的毕达哥拉斯学派在学术上倒确实不错，但他们也太关心政治了，和贵族党派结了盟，以致当地的民主力量摧毁了学校，把他们的团体也弄得七零八落。毕达哥拉斯亡命邻近的米太旁登，公元前 497 年，也许是他七八十岁的时候，被害于此处。

这毕达哥拉斯有句著名的话：“万物皆数。”那意思是说，这整数是人和物质的各种各样性质的起因，是宇宙的要素，就像咱们心目中的原子一样。

虽然这在现在看起来有些荒唐，但咱们也不必太苛求他们啦。

你想，当时对自然的了解都很欠缺，所以当这些古人们看到“数”在自然界中无处不在，很觉有些神秘。他老人家教导大家说：“看看你自己的周围，世界上各处的秩序都得服从于和谐和度量，甚至是声音也得服从于数， 天上的星宿，地上的万物都得服从于它。”

确实，有些现象表面上看来完全不同，却表现出完全相同的数学性质， 给他们留下了深刻的印象。想给井然有序和谐地运动着的自然界一个完美统一的解释，这在今天看来也值得咱们称赞一声，相信自然规律嘛。

整数在毕达哥拉斯学派的心目中有如此崇高的地位，所以一区有新的数发现，那可是大大动摇军心的信仰危机，足足会使他们惊恐不已。此是后话， 暂且按下不提。

毕达哥拉斯对数学的看法，是认为数学上的东西，比如数和图形，都是一种思维的抽象，同实际的事物是截然不同的。咱们大家都学过几何上的“直线”，这种数学中规定的“直线”，您在实际中见过吗？肯定没有，现实中到哪去找没有粗细、只有长度的直线？哪里有什么无限长的线？也从来不存在直而又直的直线！

数学中的“直线”，只能是现实中那些“很直”（而不是直而又直）的东西，那些看起来没有粗细的“线”，所提炼出来的一个高度概括、高度抽象的概念！

咱们把这些抽象的概念归拢到一块，再用逻辑推理的方法让它们运动起来，就能产生许许多多新的概念，还有定理，建立起新的数学大厦。

就像在几何的学习中咱们看到的那样，从不多的一些概念和公理，能推出一系列新东西，这种推理方法就叫演绎推理，演绎证明。

使数学成为抽象性的科学，建立了演绎证明，这确实是了不起的一步。“逻辑朗朗，数学首次辉煌”，这首功当归于毕达哥拉斯学派，当然还

有他的老师泰勒斯先生。

毕达哥拉斯赫赫有名的几何发现，当然是西方人所说的毕达哥拉斯定理了。当然，咱们把它叫做勾股定理也决没有损害到他的知识产权。在我看来， 这个定理两种名称都能叫，都是咱地球村的宝贵遗产。当然，咱中国的勾股定理毕竟要早 500 年发现。

据说毕达哥拉斯在得出这条著名定理，兴奋得了不得，认为这是上天的赐予，曾向神供献顾一百头牛。所以这个定理在中世纪也叫做“百牛大祭”。

杀一百头牛这未免残忍了些，违反牛道主义，但也说明了这条定理在古人心目中的地位。那么究竟毕达哥拉斯是用什么方法去证明的呢？一般认为可能是下面这种面积割补的方法。

在下面的图形中，可看到两个一样大小的正方形，边长都是 a＋b。

第一个正方形分成六块，即两个以直角边为边的正方形和四个与给定的直角三角形全等的三角形。从第一个正方形中减掉四个三角形，剩下的面积就是 a²＋b²。

第二个正方形被分成五块，是一个以斜边 c 为边的正方形和四个与给定直角三角形全等的三角形。同样，从第二个正方形中还是去掉四个三角形， 就留下了那个以 c 为边的小正方形，所以剩余的面积是 c²。

两次剩余的面积应该相等（等量减等量嘛），所以当然就应该是 a²＋b²

＝c² 了。

当然这里还要说明，第二个正方形中间的那一块，确实是边长为 c 的正方形。边长是 c 不成问题，关键是要看四个角是不是直角了。换句话讲也就是要用到“直角三角形的三角和等于两个直角”这个定理。

一千五百年前的一位历史学家认为，毕达哥拉斯学派确定证明过三角形内角和等于 180°，初中的朋友们都知道，要证明三角形内角和，就要用到平行线的性质，所以呢，平等线方面的理论也就归功于毕氏学派啦。

著名的毕氏三数，在上回已经提过。这次回到了毕氏的领地了，自然也要道个分明。

毕氏学派用来计算这三个数的公式是：

m ² − 1

m， ，

2

m² + 1

2 ，

当然这里 m 必须是奇数，要不然后面两个式子可就算不出整数了。

这三项虽然可以构成毕氏三数，但却不是全部的数组。各位同学可以和上一回用的公式对照一下，动手试试，便知结果。

毕达哥拉斯们用几何图形的变换和分割得出了勾股定理，自然是心情振奋，所以就用几何图形这种好武器到处开拓，许多代数问题也因此而得到解决。

在他们那儿，完全用长度来表示数，根本没有适当的代数符号，用灵巧的几何程序去解决代数问题，也许咱们可以把这叫做“几何的代数”吧。

看看左面的图形，大家都会发现是初中代数课本封面所画的一个图形。用这么个图形不就能证明（a＋b）＝a²＋2ab＋b² 这个代数恒等式了嘛。还有像（a－b）（a＋b）＝a²－b²，4ab＋（a—b）²＝（a＋b）² 这样一

些式子，毕氏门徒都是用几何图形的剖分来证明的。 用几何作图解方程．也是毕代学派喜欢做的事情。

同学们都知道，给了你两条已知线段 a、b，要求作出一条新的线段 x， 使得 a：x＝x；b，我们可以用 a＋b 为直径作一个半圆，然后从 a、b 接头的地方作一条垂直线段就是 x 啦！

所以，这线段 x 的长，就是 x²＝ab 的解了。

毕氏学派的几何式代数倒是挺巧妙，但哪里比得上用代数符号，既简单又方便。

说白了吧，他们那种方法是“手工业作坊”，做出的东西倒很精致，也许还能算艺术品，但效率可差多了，要一题一法；我们用代数符号，那可是“大工业机械化生产”，一种方法就能处理一大批问题。

毕老先生对几何的这种偏爱，恐怕是内心里面那种追求和谐、追求完美的心理在起作用。而几何图形的美更能直接传达给每一个人。毕达哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的东西都具有共同的特性，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致。”

其实咱们每个人都在实践着毕老前辈的教导，比如说到哪一处名胜摄影留念，很多时候我们都是把自己放在画面的一侧，放在中间就不太好看了。当然也不能太靠边了，“过犹不及”嘛。一般来说大约站在画面的 0．618 处比较多，比较合适。

世界上绝大部分国旗都是矩形。大伙把这百多面国旗拿出来看看，匀称好看的也大多是那些边长之比接近 0．618 的。从古代起人们就似乎有这种感觉，这种矩形特别令人赏心悦目。

这样一个比就叫做黄金比，而一条线段分成这么两段的话，就叫黄金分

割。瞧，多值钱！多被人们看重！

那么这 0．618 黄金之比倒是如何发现的呢？这就要想到毕达哥拉斯的那段名言了：

假如 C 是线段 AB 的一个分点。

为了使 C 满足毕达哥拉斯所讲的“部分与部分以及部分与整体之间的协调一致”，显然应该有：

AB：AC＝AC：CB 如果 AB＝1，咱们看看 AC 应该是多少。设 AC＝x，那么就有：

1：x＝x：（1－x）

也就是方程 x²＋x—1＝0

接着解这个方程那倒不费力x＝

5 − 1 ＝0．618！

2

人们把它称之为“美的密码”，二千多年来如痴如醉。毕氏团体更是把含有这黄金分割点的五角星作为他们的徽记。五角星中的黄金分割点究竟有几个？其中的黄金分割究竟在哪里？好好的画上一个五角星，就立即会发现了。

这毕氏门徒们对几何形体之美是如此神魂颠倒，弄得对什么样的几何体都要给个“说法”，以符合宇宙的和谐之美。

比如像正多边体，它们确实对称，均匀，所有的面都是正多边形，而且还是都一样的多边形，有着一种均衡、对称的韵律美。像立方体（也就是正六面体），有四个三角形面的正四面体，有八个三角形面的八面体，都是咱们平常经常看见的。

毕老先生们就把它们和古代人认为的四种原始“元素”神秘地联系在一起：四面体代表火；二十面体代表水；八面体代表气：六面体能很稳地放在地上，就让它代表地了。

怪不得他们的学派弄得神秘兮兮的，原来做学问的时候就有着这毛病。追求美、追求和谐自然不错，不过一旦“唯美”了就过了“度”，反而把本来是美的弄成不美了。

毕氏学派也很崇尚数字之美。他们把 6 叫做完全数，因为 6＝1＋2＋3， 而 1、2、3 是 6 的全部真因子。

28 的全部真因子是 1，2，4，7，14，而 28＝l＋2＋4＋7＋14，所以 28 也是个完全数。

人类对完全数的寻找可真是费了劲。直到 1952 年，才知道 12 个完全数， 它们都是偶数，其中头三个就是 6，28 和 496。

那么奇完全数是否存在呢？这就成了数论中一个著名的还没有解决的问题。

现如今咱们有不少人，要电话号码拿汽车牌照，以至于结婚、开张，都想弄个吉利的数码讨个口彩，什么“168”啦，“1898”啦，为弄个数码花钱托人。要是摊上个“184”，定有几天几夜睡不着。

不过喀们这些个可爱的土迷信要是到了毕达哥拉斯那儿，可真算得上粗俗不堪土得掉渣，连讲究个迷信都没那份水平。

那么毕达哥拉斯们又把什么数看成是大吉大利的呢？这就是亲和数。亲和数总是成对的，毕达哥拉斯提出的一对亲和数是 284 和 220。

为什么称它们为亲和数呢？因为，220 的真因子是 1，2，4，5，10，11， 20，22，44，55，l10，其和为 284；而 284 的真因子是 1，2，4，71，142， 其和为 220。

你瞧，这两数倒亲亲密密，关系不浅，所以那时就把这两个数分别写在两个护身符上，两个佩带护身符的人一定能平平安安万事顺利友谊地久天长。这洋迷信还真上点档次，有点学术水平。

奇怪的是，从毕老前辈以后，很长一段时间都没有发现新亲和数。直到136 年，法国数论大家费马才宣布 17926 和 18416 是另一对亲和数。又过了两年，法国数学家笛卡儿我到了第三对。

瑞士数学家欧拉其志不小，他想一劳永逸地解决这个问题，虽然不太成功，但他仍然才气非凡地在 1747 年给出了一个 30 对亲和数的表，后来又扩

展到超过 60 对！

在这漫漫的寻宝历史中，还有一件趣事，一个十六岁的意大利男孩帕加尼尼，居然在 1886 年发现了被人们忽视的、比较小的一对亲和数：1184 和1210。现在，已经知道的亲和数有 1000 对以上。

尽管亲和数、完全数被毕氏派笼罩了一层神秘迷信的色彩，可这毕竟开拓了数论——这门古老而又年轻的数学学科的道路。

毕氏数学“学会”不但从真因子这方面去研究数，而且他们把整数看成是一些几何图形的排列。他们常把数在沙滩上用小石子排成某个图形。

1，3，6，10．⋯⋯这些数叫三角形数，因为相应的点子能摆成正三角形。这第四个三角形数特别使他们神往，因为这 10 等于 l＋2＋3＋4，而这四个数更是神秘地被认为是构成宇宙的基础呢！

在沙滩上不断地摆弄这些三角形，时间久了当然看出门道来了，三角形数不就能写成 1，l＋2，l＋2＋3，l＋2＋3＋4 吗？

这从图形上来看是很清楚的呀！慢慢地又得出了一般情况

1＋2＋3＋ ＋n＝ n(n + 1)

2

得出这样一个数列的和已经相当不容易了，但毕氏门人更有绝招，正方形、正五边形，他们都用石子来摆弄一番，得出了更多数列方面的发现。

瞧瞧下面的一些正方形，就是 2500 年前爱琴海滩上的杰作，数一数就能知道，分别是 1，4，9，16⋯⋯这些数当然就叫正方形数了。用咱们现在的话来说，就是自然数的平方项：1²，2²，3²，4²⋯⋯n² 在某一个正方形中（比如说第三个）打上一条斜杠，正方形不就变成两个三角形了？所以，两个相邻的三角形数的和，就是个正方形数，用现在的记法就是：

(n − 1)n + n(n + 1) = n2

2 2

这正方形数的花样他们还能变出更多。比如说把这正方形的点阵分割成一把一把曲尺，就像我们在图里看到的那样，您再仔细看看，每一把曲尺里都是多大的数？从里向外一数就可以明白了，不就是 1，3，5，7，⋯⋯，奇数数列！

再把它们加起来，不就是个正方形吗？于是有：1＋3＋5＋7＋⋯＋（2n

—l）＝n²

且说毕氏学派把学问发展到这份上，就觉着相当满意了。很对得起自己， 也很对得住和谐完美的宇宙了。

“万物皆数”，在他们看来确实是颠扑不破的真理了。当然，他们心目中的“数”，是完美、和谐、有着种种美妙表现的整数。

那么当时难道就没有分数？当然不会。做买卖，搞贸易，测天量地，不可避免会出现“零头”，要把一个单位，比如说一块钱啦一尺长啦，分成几分之几。就是日常生活，拿了一块面包分给几个孩子吃，也要平均分一下， 这样久而久之，当然会有分数的概念了。

但是毕氏学派并不把这些分数看作是一类新的数，而是把分数看成两个整数的比：

p q

这么一来，一切都还是整数的天下，完美无缺的世界当然会永远继续下

去。

p

毕氏学派把分数看成是 倒也很对，我们现在也还是这么看的。

q

而且这么一来，也没有古埃及人和巴比伦人那一套繁杂的表示了，当然是一大进步。

把数和图形联系起来是华达哥拉斯们的一大爱好，什么三角形数啦，正方形数啦等等，从中还发现了不少美妙的性质。那么这整数之比又用什么图形呢！当然也有办法。

用一条直线，上面标上单位，哪一个分数不能在这条直线上找到一点呢！

p比如说 ：

q

要表示的话，就把 0 到 1 那段线段等分成 q 份，再取其中的 p 份，不就成了？这样，每个分数（按照毕老的意见，是“整数之比”），都对应着直

线上的一个点。

在这些老前辈看来，直线上的点就这么用完了，不是整数点，就是分数

的点。所以，像 这样的无理数居然能在直线上表示出来，对他们来说，

简直是不能忍受的大打击。

这 的发现很可能也是在研究直角三角形时产生的。

等腰直角三角形是一个常见的三角形了，如果两条直角边都等于 1 的

话，那么用毕达哥拉斯定理，当然能得出斜边应该是 2 的平方根，也就是

。

当然那时候这 也不是咱们现在这种表示，大家也都把它当成是一个

有限的小数，那里想到会出什么事呢？比如巴比伦人，就是用一串六十进制的分数来表示的：

l＋ 24 ＋

60

51

60²

10

＋ 60³

想法大家都差不多，但是用毕氏学派的惯用语言来说，那就是 肯定也是两个整数之比，绝对错不了，否则宇宙不乱了套？

这毕氏一派毕竟是讲究推理，讲究证明，2 开平方到底是个什么样“整数之比”，总想问个明白。这种正面寻找的工作究竟做了多少时候，想了些什么办法，有哪些人从事这项课题，又拔了多少科研经费，咱们现在都不清楚了。不过虽然一直都没找到这“整数之比”，也都觉得不会有多大的问题。

这一天，毕氏的一位门徒希帕索斯先生，又把这个问题拿出来考虑一番。猛然间想到，既然大家都认为它是一个整数之比，那不防设它为 m 。

n

约去 m、n 的公因数，则 m、n 之中至少有一个是奇数。

m 2

如此一来，2＝ n 2

，从而m

² ＝2n²

是偶数；

m² 既是偶数，那么 m 必然也是偶数，因此 n 是奇数。

m 既然是偶数了，那么可以设它为 2p：m＝2p，这样就有 4p²＝2n²，约去2 就得到 n²＝2p²，n 又变成偶数了。

如此一来产生矛盾，那数之比，不可能是分数。

的地位就十分清楚了：根本不可能是两个整

一个新的数发现了。一种新的证明方法也从此得到了运用，这就是上面所用的反证法。不过希帕索斯并没有因为这两项成果得到什么科学奖，却被他的同伴们引到了茫茫的大海上。

话说这希帕索斯的发现在学术讨论会上一公布，顿时是议论纷纷，那惊愕的程度不亚于原子弹爆炸。

其实咱们细想一下也并不奇怪。实际生活中谁会用到 ？分数足矣！

如果你去买 斤糖，售货员小姐不给你一个“卫生球”才怪呢！说不定还

要喊保安。再说了，她也没法称啊！就是拿最精密的天平，也绝对称不出来。

人们的直觉中，根本没有无理数的地位，只有当演绎推理的方法一应用，

大家这才张开吃惊的嘴巴。在这里，我们看到了另外一种数学之美：逻辑美。再说这毕氏门中之人自然都不是无能之辈，一开始当然是不相信，都想

找找希帕索斯的发现是不是有些毛病，挑出点错。可日子一久，在那铁的逻辑推理面前，都只能哑口无言。

一边是苦心经营多年的和谐完美的数的大厦，一边是不容怀疑、被他们的当作锐利武器的逻辑推理，这真叫“以子之矛，攻子之盾”，学派陷入了两难境地，思想混乱，信仰危机。

这就是历史上常常说起的“第一次数学危机”。

痛苦万状的毕氏学者们真不知怎么办是好。照理来说，痛痛快快地承认， 向真理投降，不失为大丈夫气概，学者风范。但细细一想，却万万不可。且不说心目中那神圣和谐的宇宙秩序倾刻瓦解，就连学派的地位也岌岌可危， 闹不好会全盘崩溃、树倒猢狲散。

于是这帮有着责任感的弟兄们决定再做努力，邀请那位闯祸的哥们作最后的谈判。

会谈是在平静海面的一条小舟上进行的。希帕索斯真理在握，自然力图再一次说服大家，但船里的诸位哪能不明白。

不明白的是那位希帕索斯先生，大伙的目的是要他放弃“邪说”，以后少说废话。希先生还想辩个究竟，但见七八只手一起伸过来，来了“一、二、三”，听“扑嗵”一下，请他一了百了。

数学史上一位悲壮的殉道者就这样产生了。

崇尚“美”的毕氏门徒，就这样否认了“真”，违背了“善”。

看来不管什么改革运动，有些人不是不明白要改革，但他更明白改革要改到自己头上。所以反对起来最起劲。

不过也有人说，希帕索斯的那帮弟兄看在多年的情份上，饶他一死，但立即革出教门，请他马上离开家乡，自我流放。

然后就造了一座假坟，断了其他人的是非之心。

这毕达哥拉斯学派的功功过过咱们已经明明白白，成败是非咱们也已一清二楚。

真可谓：伟哉毕氏学派！创千年数学之基业，开逻辑证明之先河！

悲哉，毕达哥拉斯学派！置伟大发现于不顾，入“唯美”迷途而不返。由于他们不承认无理数，所以他们认为，结构严密的数学大厦只能是几

何。是啊，正方形的对角线在几何图形中一点没困难，一点没毛病，但是一到了代数、算术中，要用一个他们认为不可能存在的数去表示，确实使这些老先生既头痛，又迷糊。

于是，几何在希腊数学中占有特殊地位。代数和几何分成了截然不同的两部分。

一边是遭到他们冷落的代数和算术，许多方面的问题在那会儿都用几何方法去解决。古希腊的学者们对“算”没什么兴趣，认为那不过是商人们关心的事，哪能进入神圣的数学殿堂！

一边是备受青睐的几何。用严密的逻辑，严格的推理，把它构筑成一座令人赞叹的宏伟建筑。一直到欧几里德，集希腊数学之大成，以不朽名著《几何原本》登上了当时的最高峰，我会在第四回中详细介绍。

上回书中说到中国的墨子谈到的分割问题，与古希腊倒也有一段瓜葛。这也并非说有什么产权官司好打，只不过是异曲同工而已罢。

那墨老先生是说，把一个物体从中间分开，丢掉一半；再从中间分开， 再弃去一半；如此这般分下去，最后剩的就是一点了。

墨老先生是公元前五世纪人，和希腊的学者们完全是同时代。那么他的希腊同行们是如何看待这个问题的呢？

话说到这儿，也该讲个故事给大伙听听了。不过，这次的故事还是个进口的，虽然都是些洋名号，聊起来倒是挺有趣。

那希腊雅典，本是神话的沃土，什么太阳神阿波罗，战神阿雷斯，雅典守护神雅典娜，如此等等，真是丰富多彩，琳琅满目。

内中单道一位善跑之神阿基里斯，虽然没有与咱中国追太阳的夸父在什么运动会上一决雌雄，相信他俩恐怕也是不分伯仲，一天之内绕地球几圈没问题。

这一天，不知为的是啥，阿基里斯居然要与乌龟比一比高低。为了表示大度，决定先让乌龟跑上一百里。

比赛尚未开始，有一位智叟在旁放了话。他说阿基里斯永远追不上乌龟！ 各位观众一听愣了神，纷纷请智叟说个明白。

这位智叟不慌不忙说了一番话：“咱们现在就比方阿基里斯跑的速度是乌龟的十倍。那么当阿基里斯跑完开始的一百里的时候，乌龟又向前爬了 10

里，等阿基里斯追上这 10 里，乌龟又向前爬了 1 里；等冠军阿基里斯再追上这 1 里，乌龟又走了 1/10 里⋯⋯，如此一来，你们说阿基里斯能追上乌龟吗？”

众人想想这道理还真对。后仔细一想，与真实的情况又大不一样啊！被智叟弄得一头雾水，脑门子想疼了也得不出个所以然，只有作鸟兽散回家睡觉。

这种似是而非、充满着矛盾的问题，就叫“悖论”。“悖”，就是有悖常理的意思。这就是历史上有名的“芝诺悖论”。

提出这悖论的芝诺是公元前 495 年到公元前 480 年间的数学家，也是位哲学家。他和他的老师都是毕达哥拉斯派的学者。

芝诺先生是位大学问家，当然不会不明白阿基里斯实际上一会儿功夫就能上乌龟。他提出这么个问题，正说明他想得深刻，问得高明，把人们原来模糊的东西，很清楚很尖锐地展现出来。

那人们又模糊在什么地方呢？这就是无限与有限的关系。

阿基里斯要追上乌龟，就要不停地跑下去。在这不停地跑（也就是“追”） 的过程中，他追的路程依次是：

100，10，1，0．1，0．01，0．001，⋯⋯这是无限多个距离，越到后面越小。

有人说了，后面数字哪怕再小，总是个有大小的数，那阿基里斯和乌龟不就还是存在距离吗？比方说，从头数第 10000 个数，是 10^-9997，（1/10⁹⁹⁹⁷）， 不有大小吗？

不错，你说的有几分对。如果阿基里斯走到这时停下来了，那两者之间确实从理论上说有这么点点小距离。

但是现在阿基里斯是继续地往下追！所以两者的差距肯定比这要小！ 阿基里斯不停地这么追下去（就像我们在前面所说过的那样），无限地

追下去，那两者之间的距离可就比你给的任一个很小很小的差距还要小。 比方说，你说现在阿基里斯和乌龟相差 1/10¹⁰⁰⁰⁰⁰，那么因为继续无限地

在追，两者之差肯定比它小。

如果你还有兴趣举一些很小的数的话，回答还是一样。这样一来，两者

之间的距离就只能是零了，也就是神跑手追上了乌龟。

这里的关键就是“无限”，无限地在追！中途停下来可就不成了。

通过无限的过程，一直往小里变化的正数可就变成一个固定的常数了。在古代华夏，差不多与芝诺同时，也有对无限的思考。

一位是咱们前面提过的墨子。

另一位是庄子。老庄先生有句名言： “一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是把长一尺的木棒，每天取

下前一天所剩下的一半，一万年也取不完。

这墨子说的也是把东西一分为二，不过他是说，老这么分，无限地分， 分到最后就没有了，变成一点（“零”）。

通过芝诺悖论的分析，当然大家知道墨子的话是对的。那庄先生呢？他的话对吗？

如果真是只取一万年，停下来不取了，那自然是还有这么一小段（不是一点），倒也真是没取完。

不过古代这“万世”，意思也就永远不停地取下去。这么一来，庄先生可就要“梦蝶一场空”了，说的就不对了。

这无限与有限还真是不一样。所以就像咱们的圆脑袋不能往方帽子里套一样，那无限的问题也不能用有限的框框去套。

话是这么说，可事到临头又会不自主去套以前现成的框框。比如说，那阿基里斯追上乌龟的距离之和应该是： 100＋10＋1＋0．l＋0．01＋0．001＋⋯⋯

这么多个有限的数！无限多个！加起来照咱们以前的框框，应当是无限大了！但答案自然不是无限大。

瞧，那后面的小数之和：

0．1＋0．01＋0．001＋⋯＝0．1 就是循环小数 0．l，而 0．1＝1/9， 是个有限数！

当然，并不是所有无限个数的和都是一个有限数： l＋10＋100＋1000＋⋯⋯

这就是无限大了。

所以，无限的世界与有限的世界不一样，具体问题要具体分析。

奇妙的无限世界并不神秘，而彻底揭开这神秘的面纱，已经是离古希腊2000 多年后的 19 世纪了。

让咱们回过头来再谈一番古希腊，然后聊 19 世纪不迟。

再说这古希腊数学，从公元前 600 年泰勒斯首开证明先河，到公元前 300

年，著名的欧几里得《几何原本》的问世，可谓是成就辉煌的 300 年，英雄

辈出的 300 年。

在这 300 年中，有三个不同的发展方向，我们已经谈了其中的两个。其一，是泰勒斯开头，毕氏学派高擎大旗，后经希波克拉底、欧多克斯

等人不断努力，形成一股讲求严密和逻辑推理的主流。最后汇入到欧几里德的《几何原本》中去，使其成为傲视千年的经典。

其二，以芝诺悖论为开篇，有关无穷小、无限以及求和过程的各种概念的萌发，代表了古代对极限思想的认识，其中又以欧多克斯的穷竭法最合理， 最先进。而其余的学者，往往只能用迷朦的眼光看着自己的问题。一直到现代，微积分发明之后，才得最后的解决。

那么，这第三个方向又为如何呢？这倒可以从古希腊几何中的三大难题或说趣题谈起。

这三大难题也许大家都知道一些，因为它们很有名，而且有名有了几千年。

这是三个著名的作图问题：

化圆为方问题。就是作一个正方形，让它与一个给定的圆面积相等。三等分角问题。就是给你一个任意角，把它分为三等分。

倍立方体问题。给你一个立方体，让你作一个新的立方体，体积是原来的两倍。

这三个问题名气之大，可以说是上下几千年，纵横几万里。它的有名居然是因为统统作不出图！是古希腊所谓几何三大作图不可能问题。

不过，咱们要说得周全一些的话，是尺规作图不可能问题。这尺和规是人类老祖宗最早的作图工具。

所谓大禹治水，是“左准绳，右规矩”，这是前面说过的老话了。不知古希腊人让哪一位神灵执规拿矩的，反正不会没有。

在古代，这国家元首级的人物才拿有规矩，可见这尺规在古人心目中神圣的地位。“规矩”一词在以后更转化或规则、准则的意思，也可知用尺规作图是当时作图的主要手段。

尺规的作用这么一神化，立即变得崇高伟大。喜欢事事讲理由、处处要严格的希腊人又给自己作图立了个“规矩”：只准用直尺和圆规去做几何中的作图题。

而且这直尺是没有刻度的，直尺和圆规也不能使用无限多次。实际上作图，谁又能用无限次尺规去画图呢？但是希腊人做这么个限制，说明他们考虑得周密：不但实际上不允许你无限次地使用作图工具，而且想象中的无限次使用也不允许。

用尺和规确实能作出许多的几何图。也许是太多了，古希腊人认为它们简直是无所不能了。所以对于尺规不能作的图，自然吃惊。

比如说等分一个角。两等分，也就是平分，是很容易用尺规办到的事。所以大家很自然地想到将角三等分。再说了，将一条线段任意等分，是件再简单不过的事了，为什么对角要说“不”呢？

但是，用直尺和圆规确实不能三等分角，这是早已得证的了。现在还有许多人在撞运气，试图想各种办法，用尺规作出来，那真是所谓“痴心妄想”。奉劝诸位不要虚耗精力在这类不可能问题上。

对一些特殊的角，比如 90°角，用尺规那是可以三等分的。但对 60°角就不行了。不过我们要用一把有尺度的直尺，那任意角都可以三等分。

比如对任意角 x，将角的底边向左延长，而以为 o 为圆心，取半径 r 作一半圆。在直尺上刻 A、B 两点，使得 AB＝r。

然后呢，就保持 B 点在半圆上，滑动直尺，使 A 点在角 x 的延长线上， 同此，直尺还要通过 x 角的终边与半圆的交点。

最后按住直尺，画一直线，那么角y就是 1 x。

3

有兴趣的朋友可以自己证明这一点。

这种方法古希腊人也早就知道了（多聪明），但他们的游戏规则却宣布这么做不算。

巧妙的方法还有的是。古希腊的尼哥梅德斯（约公元前 240 年），设计了一种工具，可以画出一种叫蚌线的图形来。用这个“蚌”，就能三等分一个任意角。

什么叫蚌线呢？大家看一看图就可以明白，就是从直线一点 O，画出无数射线，与直线 RS 相交。在这些射线上都从交点起，截取相同长度的线段 a， 那么这些线段端点的几何轨迹就是蚌线。

下面我们就可以享受一下发明的成果了。

从∠AOB 的 OB 边上取一点 K，作 KL⊥OA。再按点 O，直线 KL 作出蚌线， 并且线段 a＝ZOK。过 K 作 KN∥OA，交蚌线于 N，再连结 ON，就大功告成了：

■

∠NOA 1 AOB

＝ 3 ∠

如果咱们作出 MN 的中点 P，连结 PK，就能很轻松地证出结论。

关于三等分角，从古到今想的办法真叫“不计其数”。古希腊的人在想， 近现代的人也在想。不过不是用尺规作图，而是发明一些工具，或者突破对尺规作图的限制。

比如说在上世纪（对数学来说这并不是个古老的年代，我们大部分人只有在大学才学到一点点本世纪的数学），有位叫斐耳科斯基的先生给出了一种“渐近”的方法，按照他的方法，你作图的次数越多越准确。如果无限多次作下去（这自然是不可能的），就可以精确地得到所求等分线。

回头再说说化圆为方。

如果圆的面积是πr² 的话，那么所要作的正方形边长就是

r，所以问

题的关键是 能不能用尺规作出来。直到百多年前人们才最后确定 是不

可能用尺规作出的。

不过不用尺规方法就多了，而且也挺简单：

r先以已知圆作底面，以 为高作一个直圆柱，

2

然后把这个直圆柱放在平面上滚一周，得到一个长方形。这个长方形的面积就等于已知圆的面积πr²。最后把长方形变成等积的正方形，就比较容易做了。

在三大不可能作图问题中，最具传奇和文学色彩的要算倍立方体问题。据说在公元前五世纪的雅典，原本欢乐活跃的都市突然变得死气沉沉。

却道为何？原来此地正受瘟疫袭击，千树薛荔，万户萧疏。

幸存下来的人用虚弱的身体匍匐在太阳神的神殿下，祈求阿波罗高抬贵手，放咱们下界百姓一码。

一片哀告声上达天廷，阿波罗终于有了怜悯之心，传下神谕：“只要诸位把神殿的立方体祭坛扩大一倍，那么悲伤和忧愁将一去不回，歌舞升平的日子就会到来。下界的愚民们，好好干吧。”

雅典人听了以后自然很高兴，立刻重新做了个立方体祭台，边长是原来的两倍。认为这满足了阿波罗的要求。

谁知瘟疫仍然疯狂肆虐，大家似乎觉察到太阳神的震怒。是不是没给他老人家把事办好？于是，立刻再请各方高士到祭坛前紧急研究，这才发现体积竟然是原来的八倍，而不是两倍！

后来这个问题就成了文人雅士们津津乐道的话题了，自然也发明了不少工具，想了不少不用尺规的办法。

这三大问题好像谈不上有什么实际意义。但是，数学的难题往往有这样的特点，它们能激发起研究的兴趣。有时虽然问题本身并未解决，但是却发展了丰富了其他一系列问题，甚至于能启动一门新学科！大数学家们都把这样的难题叫做“能下金蛋的母鸡”。

这三大不可能问题虽然最终证明是不可能的，但却引发了对圆和直线以外的曲线进行研究的兴趣。而卓有成就蔚然而集大成者，就是后面与各位见面的阿波罗尼斯！

希腊人在古代就对这些复杂的曲线有那么多深刻的认识，广博的知识， 与那只能下金蛋的母鸡大有关系！

与同学们谈了多时希腊数学，当然要攀登一下它的高峰《几何原本》。欲知后事如何，且听下回分解。