数学演义

第一回 混沌初分 大千世界识一二万物肇始 天圆地方自规矩

原始文明只能分辨 1、2 和“许多”。埃及人用|表示 1，用│││

│∩∩∩表示 34。炎黄始祖首创十进制位值记数，独领风骚数千年。《周易》八卦，现代电脑，有根有据一脉相承。补天女娲，治水大禹，无规无矩难成方圆。

自古以来，我国就流传着一个神话：在最古最古的时候，天地初分混沌开，有一个人，叫做盘古。他生在天地的中间，天每天高了一丈，地也每日厚了一丈，盘古也每天长了一丈。他老是顶天立地的生活着。经过了一万八千年，天极高，地极厚，盘古也极长。

这里讲的宇宙是不断膨胀中的，速度是每日二丈。这倒和现代的“大爆炸宇宙学”有些类似，不过我们现在倒不必去谈天体物理，还是看看这里的数学：一万八千年后，天长高多少？地长厚多少？这是个很简单的计算。天高暂且不论，地厚就是 18000 丈，合 6000 千米左右，这不正是地球的半径吗！

像这样的创世神话，全世界各民族都有。

《圣经》中说，大初的时候，地上全是水，无边无际，水面上空虚混沌， 暗淡无光。上帝说：“要有光！”这样就有了白天和夜晚。第二天，上帝说： “要有穹窿！”于是就有了穹窿。上帝称穹窿为天。

上帝如此这般辛苦工作了六天，天上就有了日月星辰，地上就有了万物生长，还造出了人类的始祖——亚当、夏娃。

看来，中国的盘古要比西方的上帝悠久得多，光开天辟地就用了一万八千年，远远超了纪录。

不知是不是咱中国人在很久很久以前，数学比他们学得好，早就知道了很大很大的数？

也许有人要笑：一万八千算个什么大数啊！咱小学二三年级的小娃娃， 哪一个不是十万百万地朝大了说，几亿几亿地往本上写？请不要着急，且容我细细道来。

且说在一个原始部落里，有两位智者，很受大家尊重，经常充当咨询顾问一类的角色。但他们之间却往往互不服气，于是决定在部落大会上搞一次智力竞赛。比赛的题目很单纯：谁说出的数大，谁就赢。

比赛开始了。甲先说出：“一。”

乙看了看甲，想了半天说出个数：“二。”

这回轮到甲再伤脑筋了。他拍了一会儿脑门，突然高兴地大声说：“三！”发言权又转到乙的手上。他绞尽脑汁，最后不得不沮丧地对甲说：“你

赢了。”

这个故事多少有些挖苦人，似乎只能算笑话，但却千真万确是原始社会对数的认识的一种写照。探险考古队员在本世纪到达某些原始部落中发现， 那里的人确实只能说出简单有限的几个数，最大的数不超过 5。

这样看来，现在的小娃娃要比原始时代的智者强得多。他们从呀呀学语开始，首先就分清了“一”和“许多”。随后就慢慢能扳着手指数出“一、二、三”来。到了两三岁，差不多就能数到“十”了。小学三年级就基本完成了对自然数的认识过程。

这么个认识数的过程和整个人类认识数的过程是基本一致的，只不过时间大大缩短了。这倒很像小娃娃在他母亲的肚子里孕育的情况，从头到尾重复了一遍生命从低级到高级的各个阶段，十分有趣而又十分令我们深思。

可以说，世界上无论那个民族，在最初的原始阶段，那几下蹒跚学步， 应该是基本一样的。

人类在最原始的时代首先分清的也是一和许多。随着社会逐步进化，人们当然需要更多的数和对数的认识。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊有没有少了。

或许最早的计数方法是用原始人个个都有的“计算器”——手来进行。比如，数羊的只数时，每数一只羊就扳一个手指头，这就叫做“屈指可数”。

当然也可能用的是小石子来进行数数。英语 Calculus（计算）一词，原来的含义就是小石头块。北美印地安人直到前不久还有用小石头块计数的。切不可小瞧这么一种方法！这样一种方法实际上不就是我们常说的“一

一对应”嘛！把羊群里的羊一只一只地和一块一块石头逐一对应起来，或者逐一扳下手指头，这就是所谓一一对应。这样，石头子有多少（或者手指头有多少），羊就有多少。

这种方法虽然历史古远，平平常常，大家好像也并不陌生，但真要用好用活，得出精髓，却真正能做出一篇轰轰烈烈的大文章。上世纪末本世纪初， 就有这么一位奇才，将此法用得出神入化，鬼斧神工，给数学史上平添一道炫目之光。这是后话，暂且放下不提。

“识”了数，还需要“记”。我们的先民为了探索记数之法，走过了一段漫长的道路。

说到“记”，不免要多说几句。所谓“记”，就是把一些信息用一定的方式在载体上留下痕迹，留下记号，并且能使群体中的成员了解其记的意义， 解读出原来的信息。

“记”的载体可以多种多样。从古代的绳、石、手指，到后来的甲骨青铜，绢帛竹简，一直到四大发明中的纸张的出现，再至现代的音碟光碟，电脑中的内存外存，软驱硬盘，林林总总，数不胜数。小孩子在树干上划个刻痕，标下身高，是“记”；做间谍的在窗台上放盆花，告诉同伙：安全如故， 亦是“记”，周幽王烽火戏诸侯，乱“记”一通，丢了周朝八百年江山；秦始皇焚书坑儒，毁“记”一旦。一部人类的文明史，实在是“记”的历史， 是“记”的发展史。

那么，先民又是如何开始记数的呢？

最早，当然是用语音这种载体。但一开始，对于两只羊和两个人所用的语音（词）是不同的——尽管他们都是两个。例如，在英语中有 teamofhorses

（共同拉车、拉犁的两匹马），yokeofoxen（共轭的两头牛），braceofpartridge

（一对鹧鸪），Pairofshoes（一双鞋）。你看，这里都有 2 这个数，但在不

同的对象中有不同的说法。把 2 这种共同性质加以抽象，并采用与任何具体事物都无关的某个语音来代表它，或许在很长时间以后才实现的。我们现在用的数词，起初很可能是指一些具体事物的，但是二者之间的这种关系，我们现在都不知道了。现在的数词，是有相同数目的各类事物，它们所具有的共同性质的一个抽象表示。因此我们可以说，数学在它的萌芽状态，就有了抽象性这么个特点。

用语音作载体，毕竟有个很大的弱点：它太容易消失了，不太牢靠，不

太稳定，有时还会产生不同的理解。怎么办呢？先民们就用当时能有的材料， 当时能有的条件进行着创造。

能用的材料当然首先是身边的一些物体，比如小石块啦，贝壳啦，等等。但随后最普遍的，恐怕就是结绳这种方法了。在没有文字以前，人们大都用这种方法记数，记事。春秋时期的古书《易经》上有“上古结绳而治”的记载。结绳记数最迟在新石器时代早期（约 8000 年前）就普遍使用了。

结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火。”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法。中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起。

有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳。看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话。传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守 60 天。为了让将士们不少守一天也不多

守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了 60 个扣。他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了。”回头我们再来看一件有趣的事情。在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，

它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：——“数”者， 图结绳而记之也。所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了。

和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是刻、划，在竹、木、龟甲或者骨头、泥版上留下刻痕，留下“记”号。《释名》一书中说：“契，刻也，刻识其数也。”意思是在某种物件上刻划一些符号，以记数。

我们国家 1974 年在青海乐都县发掘的原始社会末期的墓葬中，发现了

49 枚骨片，大小形状都差不多，是与小孩的小手指差不多大小，但很薄的一

个长方形。在骨片的中部两侧有刻口，有的带 3 个刻口，有的带 5 个刻口，

不少是带一个刻口的。如果一个刻口代表一个数的话，那么这 40 多枚骨片大约可表达从一到五六十间的任何一个自然数。当然，这些小骨片也可用来计算。十分有趣的是，公元 1937 年，人们在维斯托尼斯发现了一根四十万年前

的骨头，是狼惠子的小腿骨，七吋长，上面有 55 道深痕。这是到现在为止， 最早的刻痕记数的历史见证。所以今后诸位如果在荒郊野地里捡得几片骨片，可千万要仔细，莫错过了当一次业余考古家的机会。

随着刻痕刻印的发展，渐渐地就出现了纯粹的数字符号。这可是一项光辉伟大的成就。

说到最初的记数符号，不禁又想起了另一个笑话。

从前有个土老财，目不识丁，于是请了个先生教他儿子读书。

先生来了，先教财主儿子描红。描一笔，先生就数道“这是‘一’字”； 描两笔，先生便教道“这是‘二’字”；描三笔，先生又教道“这是‘三’ 字”。

“三”字刚写完，财主儿子便哈哈大笑，蹦着跳着去找他爹，连声说： “太容易了，太容易了，字我已经都会识了，不用请先生了。”土财主自然很高兴，辞了先生更省了钱。

不久，财主请一个叫万百千的人来喝酒，就叫儿子写请帖。不料过了许久，仍不见儿子拿帖来，只好到书房去看看。

到得书房，只见儿子满头大汗，见面就埋怨说：“这位客人的姓名也太古怪，什么不好叫，偏叫万百千，我一早到现在忙个不息，也才描了五百多划，干脆把扫帚拿来划，来得快一点。”

可别光顾着笑话他们二位，说起来，咱们的先祖刚开始记数时，正是这么干的。

我们把世界上各个民族最早的记数符号归纳来看一看，最初的几个数差不多都一样，都是象形符号。

本世纪初发现的甲骨文，是我国文化史上的一件大事。上面的汉字约有4500 多个，可辨认的不足 1000，当中有不少数学方面的资料。其中代表 1、

2、3、4 的几个符号分别是：这是远在四千年前殷商时候的事了。

同样是远在公元前三千多年的古埃及，埃及人刻在石头上的碑文，也是象形文字，有时这些文字也写在其他材料上，比如纸草片、木头和陶器。其中代表 1、2、3、4 的分别是：

| || ||| |||| 它们都是一些垂直放着的木棒。

早期的巴比伦人，居住在幼发拉底和底格里斯两河流域，大体上就是今天的伊拉克。他们没有纸草片，恐怕乌龟壳也不多，甚至连便于刻划的石头也不容易找到，他们主要用粘土来书写。

用一支硬笔把文字压印在湿的粘土板上，硬笔的笔尖是一个锐利的等腰三角形。把硬笔稍稍倾斜，就在粘土板上印下一个楔形，然后把写好的书板晒干，使其坚硬耐久，便于长期保存。在从公元前 2000 年到公元前 200 年的楔形文字泥板上，表示 1，2，3，4 的是：

16 世纪初，西班牙一支探险队来到墨西哥的尤卡坦，发现了古时代玛雅人的有趣数字，这里面是这样表示 1～4 的：

还有大家看到的罗马数字，有时在一些旧钟表上还有，那上面写的是：

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ或Ⅳ

你看，尽管这些世界文明的发祥地，相隔遥远，当时只能是鸡犬之声不见，老死不相往来，但还是不约而同地创造出差工不多一样的几个最初的记数符号。这也和小孩一样，不管什么民族，最早的几年大家都差不多。

接下来，我们的祖先就会遇到土财主的儿子同样的问题了。

当数目不太多时，恐怕一开始还是采取财主儿子的方法。比如“23”， 就用│││││││││││││││││││││││来表示。

把这么多的记号写成长长的没有间断的一行，阅读起来就麻烦得很，这就自然需要把它分成较小的组。

如果我们习惯于用一只手来计数的话，那么很自然地把记号分成五个一组（直到现在，还有这样的习惯：做买卖侃价时，把一只手翻上几翻）。

这样，“二十三”就可以写成||||| ||||| ||||| ||||| |||

如果我们更老练一些，用两只手同时计数的话，我们就可以把它写成HHHHH。

如果这时同时又光着脚，把脚趾头也派上用场的话，我们又可以把数分成以二十为一组了。

你可能会说，这样还是麻烦，干脆把这成组的数再用一个新的记号来表示不就简单许多了嘛！

一点不错，咱们与老祖宗们想到一块了。而这正是进位制的开始！ 古罗马人创造的符号有点像逢五进一，不过也有整十整百的符号： Ⅰ＝“1” Ⅱ＝“2” Ⅲ＝“3”

V＝“5” L＝“100” D＝“500” X＝“10” C＝“100” M＝“1000”

记数时，采用的是加法和减法法则：即数值较小的符号位于数值较大的符号后头时，则两数相加；反之,则数值相减。比如：“VⅡ”表示“五加二”， 即“七”；而“IV”则“五减一”，也就是“四”了。

这样，1988 用罗马符号表示就是：

M C M L X X X V Ⅲ

你看，识数捎带着连加减法一块儿练了，实在太费神，如果眼睛不济再加上脑袋犯迷糊，就得全乱套。

比起罗马人来，尼罗河畔的古埃及就要先进了！比如“3224”，他们是这么写的：

■

想必大家也能破释这其中的密码：

头一个符号，代表一千，其实这是一朵莲花。第二个符号，表示一百，这是一圈绳子。

∩，自然是十，它画的是一副脚镣。 后面的四根竖线当然就更一目了然了。

不过，埃及当时是从右到左写的，而我们这里是按照现在的习惯从左到右了。

这已经是相当方便，相当不容易了。但更值得自豪的是我们中国人的创造！早在四千年前，我国刚刚进入奴隶社会时期，就出现了相当完善的十进制记数系统。在殷商时期的甲骨文中，便有从 1 到 10 的文字表示，以及“百”、“千”、“万”等相应的符号（见下页图）：

这最后三个字，与现在的“百”、“千”、“万”的书写已十分接近了。而且那“万”字是一只蝎子，想必那时这种小爬虫多得很。

甲骨上有着不少数字记录。比如，有一片甲骨刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”，意思是说在八日辛亥那天的一场战争中，消灭了敌方 2656 人。

像这样的资料甲骨文中还有许多，可以说已经达到当时的最高水平，领导世界新潮流。

不要把这当作笑谈，大家仔细把前面刚说过的埃及记数法看看，自然是能够明白。

在古埃及人那里，“三千”要用三朵莲花表示；两百呢，就用两圈绳子表示。多麻烦！

中国的就不一样了，有多少个“千”、“百”、“十”，就在这些单位的前面写上多少，多简单，多方便，多聪明！

再说，“二千六百五十六”，这里的“千”、“百”、“十”都是按从

大到小的顺序一溜排开，咱们就是把这些都省了，写成“二六五六”，不也是一样知道是多大嘛！古人有时也多是这么写的。只不过那些老前辈们都是竖排写字写惯了，把“二六五六”这么一竖起来，就有点不太好认了。也难怪，咱老祖宗从一开始就用竹简写书写惯了，那竹简只能是竖排。

回头咱们再说说这“二六五六”。11

你仔细瞅瞅，这和现如今的记数方法是不是一码事？只不过现在用的是阿拉伯数字罢了。

这现在的记数方法可真算是先进，是记数这方面的一大发明。先进在什么地方呢？第一点，它只用了十个符号。这第二呢，就是有了数位的概念， 比如说同一个 3，写在百位上和写在千位上，意义就不一样：一个是“三百”， 一个是“三千”。

这么个聪明的办法现在就叫做位值记数法。

话说到这会，有些朋友可能心里还有些不踏实，总觉咱们的古人在记数时中间还要夹上一些“万”、“千”、“百”这些单位，和现在记数法毕竟不太一样。

大家放心，待往下细细一看，便知这发明位值记数法的冠军宝座，稳稳是咱中国人坐的。

且说秦始皇一统天下，倒是忙了不少事：书同文，车同轨，修长城，统一度量衡。忙得心烦意乱，就想出都城到处转转。于是就浩浩荡荡排起仪仗顺着当时的高速公路——那时叫驿道——一路游去。

这一天来到东海之滨，始皇帝初观沧海，不免大放豪迈之情，手舞足蹈， 一不留神把腰里佩带的算袋失落水中。算袋就变成了乌贼鱼，所以乌贼又有算袋鱼之称。

你可知，这算袋有何用处？内装何物？

原来这算袋是一只丝质的小口袋，里面装的是算筹。

这“算筹”是些什么物件？秦始皇为什么时时要把它带在身边？其实看看这两个字的结构就能猜出个大概了。

筹，是竹字头，就是一般粗细、一般长短的小竹棍。黄河流域一带当时是茂林修竹，竹子多得很，所以我们的祖先写字用竹简，吃饭用竹筷——古时叫“箸”，又是竹字头。

那么，这算筹又是干什么用的呢？就是用来计算的。那时没有纸张，古人们就用这些小竹棍摆成不同的行列，表示不同的数，进行计算。

《说文解字》中有这样的话：“筭长六寸，计历数者，从竹，从弄。言常弄乃不误也。”

这“筭”，是算的古代写法，竹字头，下面一个弄字。弄，就是运算， 你看，多像把一些算筹摆在地上进行计算的情况。

算筹起源于周朝，后来运用了很长时间。所谓“决胜千里之外，运筹帷幄之间”，就更有了计划、指挥的意思啦！直到现在咱们还常说“请仔细筹划一番”，这根源就都起于算筹。

这算筹起先是用竹子做成，《汉书》上说长六寸，径一分。古时候尺小一些，大约合现在 14 厘米左右。后来看看不行了，摆一个算式要用好大面积， 就逐渐缩短了。这形状呢，也有了改变。一开始是圆柱状的，会乱滚，后来就有了方的，三棱形的等等。算筹的材料也来了个百花齐放，有骨制的，木

制的。不过，就是秦始皇，恐怕也不会用金做的。你想想，把那金做的沉甸甸的一大把放在算袋里，挂在腰上，多累人！

大家看到此处可能会小吃一惊：皇帝还要亲自计算？是的，那时不但搞天文历法的要用算筹，就是一般的文武大臣，腰里都佩着一个算袋。而且是法律规定，不佩不行。上朝的时候，皇上问你话，说不定要叫你把算筹拿出来，当面算算帐。那时的知识分子士大夫阶级，腰里佩个算袋，可是个时髦玩意儿。

要用筹来算，首先必须能用“筹”把数摆出来。一开始，是这么摆放的： 古人写字是从上到下，竖排。而这摆数，就是从左到右了。

那么现在摆一个 l、2、3，看看如何：

这一看，毛病就出来了。

几根竖放的棍子摆放在一起，数位与数位之间很容易搞乱。中间的间隔一乱，就难以说清是 1、2、3，还是 2、l、3，还是 1、5⋯⋯

怎么办呢？“山人自有妙计”。古人除了上面提到的摆法（叫纵式）以外，还有一种横式摆法：

这样一来，就好办了，相邻数位纵横交错摆放。古人有这么个说法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

就是说个位以纵式表示，十位以横划表示。百位是纵的（“立”），而千位则是横的（“僵”）；这样，千位和十位看起来是相同的，万位和百位也是如此。

那么现在摆起来就不会乱了。比如，6614 这个四位数用算筹表示是： 遇到某位数是零的时候，最早的方法是不放算筹，让

它空位。比如 86021，就这么摆：

后来才改用圆圈（O）来表示：

现在咱们可以很放心地说一句：这位值记数法咱中国人早就发明、早就用上了。这块金牌非我莫属。

这种位值记数再加上十进制，就叫做十进制的位值记数法。

说到进制，大家都还记得前边给大伙说过的五进制、二十进制。

五进制就是逢五进一，最初用得很广泛，直到现在，一些南美部落还是用手计数——“1，2，3，4，手，手和 1”，等等。

而玛雅人则是以二十进制为计数原则。这恐怕是因为玛雅人鞋子发明得太晚了。不过，格陵兰人也有这种进制的痕迹：它们用“一个人”代表 20， “两个人”代表 40。

其实，逢几进一里的这个“几”，除了一以外，随便什么自然数都成。

这里面一要看当时的环境，二要看实际需要。这个话题很长。

上古时候中国野兽很多，黄河里面的水族，尤其千奇百怪无所不有。其中有一种类似河马的动物，身上有黑白相间的花纹，也常常随波上下。

有位智者伏羲氏，偶然在晴朗天气到河边观赏，看见这马上的花纹陆离斑驳，黑自分明，心中忽然有感。自从做了部族首领，常常为内政外交许多事操心，又无法记忆计算。用打绳子结来记事吧，也不够用了。他便模仿这兽身上的黑白长短条纹，创造了两种长短线条，互相配搭，成了八个不同样子的记号，用来代表一些事物，名为“八卦”。

后来黄河里这种兽绝迹不见了（恐怕是没划野生动物保护区），后人便认为马是不会生在河里，除非是龙马；马身上不会有花纹，除非背上驮了什么图。这就是所谓“河图”的来由。再传下去，就又有了洛水里出现的一只神龟，背负“洛书”，这就叫“河出图，洛出书，圣人则之”。也就是说圣人伏羲根据“河图洛书”，画成八卦，这就是《周易》（也就是《易经》） 的来源。

《周易》的研究现在可是个大热门，感兴趣的人、赶热闹的人都不少。不过我们现在只单单说一说“八卦”的组成。

这古圣人认为，世上万事万物归根结蒂是由阴阳两种基本元素构成的， 就把它们画成两种卦爻（念 yáo），一阳一阴，阳爻为“——”，阴爻为“—

—”。

把阳爻和阴爻每次取两个排列，就成四象：

每次取三个呢，就有了八种不同的排列，就叫八卦了：

八卦代表不同的八种基本自然物：乾为天，坤为地；巽为风，震为雷； 坎为水，离为火；艮为山，兑为泽。

四对物质两两相对，相反相成，即所谓天地、风雷、水火、山泽，表示的符号也正好是相反的。

德国数学家莱布尼兹（1646—1716），几千年后看到八卦大吃一惊：想不到自家辛辛苦苦多少年创造出来的二进制，竟让中国人大大抢先一步！

为何有此一说呢？因为二进制就是“逢二进一”。十进制，“逢十进一”，只要用到 0～9 十个数码，所以“二进制”，就只要用 0、1 两个数码，多一个都不要。因为你要表示 2，就需要在高一位上用“l”表示，逢二进一嘛。比如说“二”，写成二进制数就是：10；“三”呢，就写成：11；“四”

在二进制里就表示成 100。

莱布尼茨老先生把“——”（阳爻）看作 1，阴爻“——”当作 0，这样一来，八卦就是二进制数了：

二进制码：000 001 010 011 100 101 110 111

十进制码：0 1 2 3 4 5 6 7

后来周文王姬昌被有名的暴君纣王拘押在羑里地方，他倒不显得着急， 而是用心研究起伏羲氏的卦来，演成六十四卦。这就是现在的《周易》。太史公所谓“文王厄而演周易”，就是讲周文王在羑里遭受困厄，反而成就了一番学问，发展八卦成六十四卦。相信朋友们现在也能依次写出这六十四个

二进制数，再对照一下六十四卦，倒也不失为一件有趣的事。

这里我们想给大伙提供点帮助，看看如何写出一个二进制数。

比方说“二十七”这个数，因为它含有十三个二，再加上一个一，所以在“个”位上就可以写上“l”，而在上一位（右边第二位）就可以暂且写上“13”。

不过这“13”还要继续往前进，因为“13”比二大得多。所以我们看看“13”里有几个二，就向前进几（向右边第三位）。用除法一除，可以知道“13”里有六个二，还多一个一，这样第二位就写“1”，而第三位可暂时写上“6”。

下面对“6”就可以如法炮制了。用算式表示可以看得更清楚：

最后一次除，商是 1，不能再被 2 除了，所以最高位就是“1”（即第五位，从右数）。其余各位依次取余数。

这样“二十七”写成二进制数就是 11011。

大家可以看到，这办法的主要原则就是不断除以二，叫做“除二取余”。而且我们也能清楚，这二进制各个数位的单位依次是：

⋯⋯2⁶，2⁵，2⁴，2³，2²，2¹，1

就好像十进制各数位是：⋯⋯10⁶，10⁵，10⁴，10³，10²，10，1

二进制数位的单位弄清楚了，把二进制数化成十进制数也就容易了。 不过，同一个数，用二进制表示就长得多了。比方上面所说的“二十七”，

用十进制表示是两位，用二进制表示就是五位。而且数越大，位数增加得越快。

所以在 17 世纪莱布尼茨老先生那会儿，这二进制倒未见得有什么风光。一直到本世纪中间，这二进制忽然大红大紫，风头十足，原因何在呢？说起来很简单，也只是时势二字罢了。

原来在 20 世纪中叶，发生了一场轰轰烈烈、至今仍方兴未艾的大革命： 计算机革命。

这计算机中的逻辑电路都是由开关型的电子器件构成，它们只有两种状态：“开”和“关”。

这样的两种状态的器件一是比较可靠，二是实现比较容易。所以我们就用“开”表示“l”，用“关”表示“0”，其他数码就不能表示了，这样就必须用二进制记数法来表示数。

再者，咱们通常进行逻辑推理，常喜欢说：“‘是’就是‘是’，‘非’ 就是‘非”’。也就是在下判断的时候，对就是对，错就是错，没什么含糊。

这就是所谓“二值逻辑”。“对”，可以用“1”来表示；“错”，可以用“0”表示。许许多多的命题以及命题之间的关系，都能用一个数学式子和数学式子的演算来实现，而这些演算都是用二进制记数的。

因此，电脑在本世纪 40 年代的发明，必然使二进制风云一时。

话说到这会儿，这二进制咱们聊得也差不多了。不过，有时它还是使人

有些不习惯，不明白。其实，这二进制不但老早中国就有，现在全球风行， 就是澳洲的一些原始部落里还从古到今一直用到现在呢！

兴许是识数太少的原由，所以澳洲东部昆士兰的土人是这么计数的：“1， 2，2 和 1，两个 2，多多。”您瞧，这不就是用了“逢二进一”吗？只不过数到 4 就停下来了。

阿根廷火地岛的一个部落，用的是所谓“逢三进一”，三进制；而南美的一些部落则是用四进制。

这里的“二”、“三”、“四”，我们就把它叫做计数的“基”。

前面谈过五进制，它的基就是五。是古代用得很广泛的记数法。而现在最常用的十进制，基就是十了。

也难怪，谁让咱们人类都长着五个手指头呢？要是女蜗造人多捏了一个手指头，现在流行的可就不是十进制了。

还有一种大家都知道一点的，就是以 12 为计数的基。

咱们都了解，一打（dozen）是 12 个，一箩（gross）是 12 打。这些都

是英国人常用的。古代的一英磅是 12 盎斯，1 先令是 12 便士，1 英寸是 12 英分，l 英尺是 12 英寸。

这也许是由于一年大约有 12 个朔望月；也可能是因为 12 能被许多整数整除。

二十进制就是 20 为基的记数法，曾被广泛应用，它使人想起人类的赤脚时代。这种记数法，曾由美洲印第安人使用过，在高度发达的玛雅文化中更有完整的表现。

就是在欧洲各国的语言中，也能发现这种进位制的痕迹。法语中常用四个 20 代替 80，用四个 20 加 10 代替 90；格陵兰人则用“一个人”代表 20， “两个人”代表 40，英国人也常常用 csore（20）这个字。

而以巴比伦古代那会儿，就是以六十进位制为主了。直到现在，咱们计算时间，计算角度，也还是这么用着。

咱们中国虽然是以十进制为主流，不过也还有其他的一些。比如，咱们古代记时辰，也是分一天为 12 个时辰。

这记时用的 12 个字分别就是：

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。这十二个字就叫“地支”。

夜里 11 点到 1 点，就叫子时，每个时辰合现在两个小时。依次类推，就能出丑时、寅时、卯时等等。哪位同学有兴趣，也不妨算一算，自己是何“时” 出生的。

亥时一过，新的一天又开始了，就又是新子时。这 12 个字循环往复，轮回使用，正反映了一种周而复始的现象，一种周期性的运动。

不过，它也可以看作是“逢十二进一”，是一种十二进制记数法。 可能有人会说，这“逢十二进一”，进的那高一位的“数”在哪呢？

这里给大家打个比方。比如说有一块自动日历表，那么每到夜里 12 点（也就是“子夜”）就会咔嚓一声，日历框里换了个新的日子。而时间呢，依然是从 0 点开始重新往前去。您看，这新的一天不就等于往前进的一位吗？

不过我国古代最早是把一日分为百刻，是用十干来记时。后来才把一日分为 12 辰，用地支（12 支）来表示。

十干，也就是平常所说的天干，一共有 10 个字：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。

魏晋时还有“甲夜、乙夜、丙夜、丁夜、戊夜”的说法，就相当于后世的一更、二更、三更、四更、五更。这就说明了记时是用过天干的，因为一日百刻，甩十干比较方便。

那么记日又怎么办呢？早在夏代，就用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这 10 个字来记日。

不过，大家也可以看出来，这种词法十天一轮换，太短，容易把日子弄混了。

后来，人们就想了个办法，把天干的 10 个和地支的 12 个字配合起来， 依次组合，比如“甲子”，“乙丑”，“丙寅”，“丁卯”，等等。

有心人动手亲自这么一搭配，就会发现点小问题：

天干只有 10 宇，而地支有 12 个字，等到天干的最后一个字“癸”和地

支中的第 10 个字“酉”搭配成“癸酉”后，天干的 10 个字已经用完了，地支还余两个字“戍”，“亥”。

怎么办呢？就把天干 10 个字依次重新再使用，配合成“甲戌”，“乙亥”， “丙子”，“丁丑”，等等。以后不管是“干”，还是“支”，用到最后一个字了，就都这么从头循环使用。

那么，这么一搭配，会出现多少个不同的情况呢？什么时候再出现一开头的“甲子”呢？

这个问题倒也不复杂，是个求最小公倍数的问题：10 和 12 的最小公倍数是 60。

因此，上面的正确答案就是 60，共能配合成六十组，循环使用，就叫做“六十甲子”。

这种干支搭配最早是用来记日的，殷商武乙时期（约公元前 13 世纪）的一块牛胛骨上，就刻有完整的六十甲子。

后来到了东汉建武三十年（公元 54 年），就开始用来记年了。直到现在，

咱们中国的日历上，还有这种记年方法。这记年，也是 60 年一轮换，所以叫“六十花甲子”。因此，如果一个人一辈子遇到两个甲子年，或者是其他两个相同名称的农历记年，那他肯定超过了六十花甲。

不用我说，大伙也明白，这六十次一轮回，当然也可以看作是“六十进位制”。

所以，我国的记数方法是既很先进，又很丰富。既有占有主导地位、在全球发明最早的十进制位值记数法，又有沿用至今的“二进制”、“十二进制”、“六十进制”等等其他记数法。真可谓源远而流长，历久而弥新。

这盘古开天地，天高地厚的答案，古人总算给了我们一个交代。顺理成章，老祖宗随后自然而然要问天，问地，问自己，这天像什么物体？地是什么形状？

让咱们看看周公和商高的一席话，便知究竟。

这周公是周武王之弟，名旦，是一位很有本事、很有贤德的人。武王死后，其子尚小，就由周公摄政，主持一切。

周公旦礼贤下士，甚至于“一沐三握发，一饭三吐哺”。也就是说他勤于接待，洗发时三次握着头发停下来不洗，吃饭时三次吐出食物，急忙迎客， 殷勤待土。这就是所谓“握发吐哺”的来历了。

话说这高商亦是当时的一位算学大家，“高级知识分子”。周公也经常

和他讲论算学。这一天周公与商高又见了面，行一番“吐、握”之事，彼此按周礼躬让一阵，就开了讲。

周公很虚心地向商高请教：“我听说，大夫很精通数的艺术。是不是请您谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上的，地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您，这些数字是从哪里来的？”

商高施了一礼，回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形，而方形则是用矩（带边的丁字尺）作出来的。而矩的制作出于‘九九’ 乘法表。一个矩形沿对角线对折起来，如果勾长三单位，股长四单位，那么弦长一定是五单位。昔日大禹治水，就是用这样一些方法。”

周公听了很感叹，又接着说道：“数这门艺术真是了不起啊！我想再请教应用矩的道理。”

这里的矩，是一种工具，所谓“不以规矩，不成方圆”，有点像现在的丁字尺。

商高一听到这话题，更来了劲，不由得侃侃道来： “把矩平放在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把矩竖立

起来，可以测量高度。倒立的矩可用来测量深浅，而平放的矩则可用测出距离。

“让矩旋转，可以画出圆形；把几个矩合在一起，可以得到正方形和长方形。”

接着，他又谈到了天和地： “方形属于地，而圆形则属于天，所以天是圆的，而地则是方的。方形

的数是标准，从方形的数可以推出圆形的大小来。 “天像一个笠子。天的颜色是蓝的和黑的，地的颜色是黄的和红的。可

以用一个按照天的数制成的圆盘来表示天，朝上的一面像外表面一样，是蓝色和黑色的；朝下的一面像内表面一样，是红色和黄色的。这就是天和地的形象再现出来了。”

商高随后又发表了一番议论：“对地有所了解的人是聪明人，而对天有所了解的人则是圣人。‘矩’和‘数’结合起来，就是指导和统治万物的东西。”

周公听得都入了迷，隔了好一会才回过神来，不由得感慨地说：“这确实是太妙了。”

这一段记在《骨髀算经》上的故事，大约已经有三千年左右了。这说明人们很早就认识了几何图形。最早认识的，就是正方形和圆形。而且在周朝以前，就有了车辆，所以当时不但认识了圆，而且能造出圆。

这商高确实了不起！他不但认识到勾三股四弦五，而且还是个天文学家， 有了天圆地方、天像个笠子盖在地上这样一种初步认识。古代的许许多多数和形的知识就是从天文观察和测量中得来的；古时许多天文学家就是数学家，而数学家又同时是天文学家。

商高大夫还提到大禹的事。其实，太史公司马迁也说过，夏禹治水时， 是“左准绳，右规矩”。

你瞧瞧，咱们这位禹王爷不但运筹帷幄、指挥策划，而且还是位高级水利工程师，左手拿着水准工具和绳子，右手带着规和矩去测量放线。真是事必躬亲，身体力行。

不过，战国的一位学者，把这规与矩的发明推得更早：“古者，倕为规、

矩、准、绳，使天下仿焉。”

这“倕”，是传说中距今四千五百年黄帝时的能工巧匠。

不管怎么说，反正人们对这方面的认识是够早够远够先进的了。而所有这些发现、发明，也都是与生产的不断发展，文明的不断进步、一代一代人的不断继承紧密联系的。

比如说，20 年前在湖北，发现了一批几十万年前的旧石器。其中的“石核”，就是经过人工打击而成的球状石器。古人正是从这样一些活动中，逐渐形成了几何观念。

而六七千年前古人所做的陶器，更有许多的类型，有尖底瓶、筒状的器皿、盘、大小不等的球、纺轮，等等。这说明那时已具有了圆、球、圆柱、圆台、同心圆等等几何观念。

读者如假日有空，倒真可以到西安半坡、山东大汶口这样一些遗址去看看，凭吊一番先民们的丰功伟绩，艺术修养。那陶器上的几何图案确实描画得简练生动，抽象概括，而且有着很好的对称美，倒不是今天的每一个人都能画出来做出来的。

咱们华夏的先民们在黄河两岸创造着这一切，那两河流域的巴比伦人和尼罗河畔的埃及人，也同样勤劳辛苦，发展着自己的文明。

且说埃及位于非洲东北部，东临红海，北濒地中海，西南是浩瀚无垠的撒哈拉大沙漠。如果不是尼罗河从北向南贯穿它的全境，埃及早就成了寸草不生的沙漠了。难怪古希腊历史学家希罗多德把埃及称为“尼罗河的赠礼”。尼罗河是埃及人的生命源泉。他们靠耕种尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖

的田地谋生。肥沃的淤泥给他们带来了丰收，同时也需要他们要有丰富的天文知识，预报洪水到来的日期。

泛滥后的土地年年要重新划界，需要测量，需要计算，需要工具。这样， 初步的几何认识就在劳动中产生了。

有关尼罗河的文明，人们知道得很早。在很长一段时期内，埃及一直是西方研究古代历史最丰富的宝库。

说起这其中的原因，倒有点是歪打正着。埃及的法老们生前为了扬威， 修建了不少庙宇；死了以后呢，更是大造坟墓，这就给后世留下了许多极其丰富多彩的壁画和雕刻。

再说，尼罗河两岸气候异常干燥，他们留下来的许多纸草片，也就不会腐烂。要知道，这纸草片可就是那古埃及人的百科全书，记下了他们的文明和创造呢！

古埃及人的纸草片就这样留传下来。而西方人也一直认为那里的数学起源最早，最先进。一直到上个世纪，考古学家们在两河流域挖出了五十万块刻着文字的粘土书板，这才大吃一惊，想不到巴比伦人的数字，水平更高， 也更独特。

这正所谓：山外有山，天外有天。欲知后事如何，且听下回分解。