第八回 伽利略说 自然中处处有公式笛卡尔称 空间里点点入坐标

刚刚被计算机淘汰出局的对数计算尺，竟是耐普尔 400 年前的大发明，震惊欧洲。给近代科学造型的人，首先都是数学家。“科学产生于用数学解释自然这一信念。”悬赏十万马克的问题终于有了“说法”⋯⋯

上回说到，随着文艺复兴，思想解放，樊笼打破，现代数学的帷幕已徐徐拉开。自此以后 400 年，即从 1600 年 17 世纪到现如今 20 世纪之末，人类在数学上的创造和收获，不知要超过以往几千年的多少倍。

其实，就是到 19 世纪为止，300 年间的收获颇为可观，使得今日之数学， 分支林立。不用说圈外人对数学方方面面知之不多；就是各个分支的数学家， 也是隔行如隔山。

但千里之行总由足下起始，让咱们就从这现代数学的起步开始，看看这以前竟被有些皇上们视为占星之术的数学，是如何成为参天而立枝叶繁茂的大树的。

要说这现代数学，一方面是创建了许多新学科，使用了新的思想新的方法，诸如微积分、解析几何之类，是为高等数学的范畴。

而另一方面，则是初等数学的完善和严格。那几何自有古希腊的欧几里德作得锦绣一般文章，逻辑严密。而代数一门，却正是整理整顿的重点，自然，咱们这里说的是初等代数。

前面已说到，代数要成为独立的学科，符号化是关键的一着。韦达在这关键的一着中，也起了一个关键的作用：方程中的系数也用字母表示，这样就能讨论一类方程，而不是单个的方程。

所以韦达定理的得出就不是偶然的了。当然，咱们中学生现在知道的， 是一元二次方程中根与系数的关系，而韦达对三次方程中根与系数的关系也已经有了发现。后人又把这种关系推广到了一元几次方程中去，有了更一般的结论。

在符号这方面的进步一直在进行。

有两位英国数学家也有一定的贡献。一位叫哈里奥特（1560—1621）， 他曾几乎与伽利略同时，发现太阳的黑点，观察到木星的卫星。他按照韦达的办法，用元音代表未九，用辅音字母代表常数；但他改进了韦达的乘幂的记号。

韦达那会儿，A² 要写成 Aquad，A³ 要写成 Acub，麻烦，不清楚。哈先生就简单了，他用 aa 表示 a²，用 aaa 表示 a³，等等。他还是第一次用现在的大于、小于符号的人。

他的同胞奥特雷德在著作中很重视数学符号，给出了起过 150 个记号， 他所写的代数式和方程与现在的已相差不多了。

对韦达的符号有较大改进的是大名鼎鼎的笛卡尔。他用字母表中前面的字母表示已知量，而末后的一些字母，像 x，y，z 啦等等，表示未知量。笛卡尔表示乘幂，就和现在完全一样了；把乘方的次数放在字母的右上角，写得小一些。笛卡尔还发明了根号“ ”。但是，他老人家对 X²，还是写成

XX。

不过笛卡尔给出的都是正整数幂的表示。现在咱们使用的分数指数和负数指数的记法，就要归功于牛顿他老人家啦。

用现在这种记法表示乘幂，表示未知数和系数，你瞧瞧，多简单，多明了！实用的价值太大了，对数学发展的影响也太大了，不知为什么一直到 17 世纪才有个明白的“说法”，发展得也太慢了点。

不过，现代数学可就变成了符号的科学。有些人“玩的就是心跳”，咱这数学玩的就是符号。现在是后浪超前浪，常用符号已经有二百好几十种了， 对行人看了就好像进了“八卦阵”。

用了字母和符号以后，一些数学关系就能用符号、式子表示出来，既清楚明白，又深刻简单，重要的是把关系的本质表达出来了。

y=kX，这个式子咱们都见过，虽然它很简单，却反映了许多不同事物的共同本质。在计算路程时咱们用过它，在那时，K 是速度，X 是时间，Y 算出来就是路程了；上商场买东西，K 又变成单价，X 是数量，Y 就是总价钱了。还能有不少的用途，不少的解释。

不同的东西有了统一的反映，多伟大。

有了字母和符号，还能提高运算和推理的效率。为什么呢？因为用式子这么一表达，关系和量的表示简单而又突出，只要遵循一定的规则对这些式子进行变形，就很快能机械地算，还能代替想。

咱们在小学思考应用题，多难！在中学，同样的问题用立方程解决，真轻松！这不都是用式子的运算表代替想了嘛！思维机械化！

代数依赖于几何，这种从古希腊开始的认识开始逆转了，这就是韦达和笛卡尔开始的进步。笛卡尔看到了代数的巨大潜力，他说他是继韦达未竟之业的。

笛卡尔甚至认为，逻辑上的原理和方法也能用符号表示，而一切过程就能彻底机械化了，他把这一想法称作“通用数学”。

不过他对自己的这一想法还比较模糊，没深入讨论。对此有充分讨论的第一个人是莱布尼茨，咱们不久就要和他见面，暂且不表。

莱布尼茨的逻辑推理机械化思想后来竟成为上世纪一项大发明的基础。但在当时谁又能识见到其中的了不得，这也是形势造成的必然结果。而当时的一些人走的是另一条路，使得计算大大简单，成为轰动一时，影响几个世纪的大发明，这就是对数。

咱们现在好像是看不出那对数的重要了，要做繁杂的四则运算，函数运算，只要把口袋里的电子计算器掏出来，鼓捣一番，立马得结果。这要在 400 年前，别说四百年前，就是四十年前，人们都得把你当神仙、天外来客来看。

三四十年前，搞工程技术、工程设计的人，最好的计算工具就是一把计算尺。所以那时的工程师，人们送给他一个雅号：拉计算尺的人。那时的计算尺也分档次，一把好的计算尺也要值一二百元，不比现在的一台电脑便宜多少（那时的一百恐怕要值现在的一千吧）。

这计算尺就是根据对数的原理制作出来的。所以正确地说，叫“对数计算尺”。

计算尺虽然赶不上电子计算器，可在几百年前，却也是最快的机械化运算工具。如何算得快，在古代还不十分迫切。到了 16、17 世纪的欧洲，工商业迅速发展，科学技术也蓬蓬勃勃。天文、航海、测绘、造船集中暴露出一个头痛的大问题：计算越来越繁杂，数据越来越多。

无数的乘除、乘方、开方、耗费了人们大量的极为宝贵的时间。再说， 有些事也等不得你慢慢地用老办法算啊，比如在大洋中航行的船只，总不能停下来算好经纬度后再开航吧！

一开始想的办法跟巴比伦古时候的办法一样，就是造出、编出各种各样的表格；平方表、立方表、方根表圆面积表三角函数表等等。但这只不过解决了一点点燃眉之急。

在这表格的海洋中，人们就这晕头晕脑过了许多年，直到 1544 年，有一位德国哥尼斯堡（前苏联把它叫做加里宁格勒）大学的数学教授斯蒂费尔

（1487—1567），在简化计算方面走出了重要的一步。

斯先生宣布自己发现了有关整数的一种奇妙性质，他认为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书⋯⋯”

那么，斯蒂费尔发现了什么呢？原来他把两个数列对照了一番，对比了一下：

1，2，3，4，5，6，7，9，10．11．⋯⋯

1，2，4，8，16，32，64，128，512，1024，2048⋯⋯

第一个数列在下不再多说了，第二个数列诸位也能看个大概，就是 2 的各次乘幂。

斯先生惊奇地发现，如果要计算第二行中两个数的积，只要在第一行中找到对应的两个数，这两个数的和所对应的第二行中的数，就是所求之积。比如要求 16×128，可找出，16 对应 4，128 对应 7，4＋7=11，11 对应

的是 2048，这就是 16×128 的积。

斯蒂费尔得到一个重要结论：通过这样的表，可以把乘除运算化为加减运算！用现在的话来说，就是用了这么条对数的性质：

Log2（M·N）=Log2M＋Log2n

Log ( M) = Log M - Log n

2 N 2 2

斯蒂费尔离伟大的发现只有一层窗户纸了，只要轻轻一捅，那么他的声名可就要远远超过现在。

斯先生究竟是什么问题，使得自己没有摘取发现的桂冠呢？原来他对自己的表格老有一个想不开的问题：16×128 是可以轻易得手了，但像 16×102 却找不到位置，无法用他的表进行运算。

正当斯蒂费尔感到智穷力竭之时，苏格兰的爱丁堡诞生了一位杰出人物，耐普尔（1550—1617），对数发明的金牌得主。

耐普尔出生在名门贵族，天资聪颖，才思敏捷，10 岁入圣安德鲁斯大学学习，算是少年大学生了，16 岁出国留学。公元 1571 年，耐先生学成归国， 深为研究天文、数学、机械时的复杂计算而苦恼。冥思苦索，终于在对数的发明上捅破了最后一层窗户纸，跨出了有历史意义的一步。

说起也很简单，耐普尔只不过是让任何数都找到了它的对应者。也就是相当于在上面的表中，密密麻麻地插进许多中间值，这么一来，大事成矣。 1594 年，耐普尔开始精心编制可供实用的对数表。经过 20 年的苦战，

一本厚厚的 200 多页的八位对数表终于诞生了！耐普尔在 1614 年发表了《奇妙的对数法则的说明》这本书，论述了对数的性质，给出了对数表的使用规则和实例。

耐普尔用 20 年的光阴，换来了人世间无数生命的延续。耐普尔的惊人发

明被整个欧洲热心地采用。被繁杂计算弄得头昏脑胀的天文学界，简直要为这个发现沸腾起来了，那激动，那赞叹，那惊喜，不亚于 20 世纪的计算机发明。

大数学家拉普拉斯就认为，对数的发现“以其节省劳力而延长了天文学者的寿命”。伽里略老先生更是眉飞色舞：“给我空间，时间及对数，我可以创造一个宇宙。”要是伽先生知道 20 世纪还有计算机这一说，那他肯定要创造十个宇宙了。

不过耐普尔的对数概念与现在从指数式引入是不相同的。先有对数，后才有指数概念的清晰表达，把过程反过来了，倒真是一个奇迹。

耐普尔的对数表还不太方便。后来伦敦的一位数学教授布里格斯（1561

—1631），专程到爱丁堡向这位伟大的对数发现者表示敬意。两人商定，就以 10 为底，规定对数，这就是今天所说的常用对数。

由于咱们的记数是以十为基数的，这种对数在计算上就有了优越性。又花了八年时间，布里格斯以其全部精力造常用对数表，在 1624 年终于大功告

成，从 1 至 20000 和 90000 到 100000 的 14 位常用对数表发表了。现在的诸位是不大看到对数表了。可仅仅在十几年前，书店里还经常出售一二十位的对数表，厚厚几百页。

今天，这几乎已成了历史的陈迹，“老古董”了，不能不使人发出沧海桑田之慨！

耐普尔的天才和想象力简直使一些人认为他精神不正常。他预言过将来会有许多种穷凶极恶的军事武器，甚至还有图未的“在水下航行的机器”—

—潜水艇。他想象中的战车很像现在的坦克。

当然，咱们祖先在这方面的想象更加了不得，姜子牙那会儿就有习来飞去的宝物在空中拼个你死我活，大大超过今天的“爱国者导弹”。

耐普尔的小聪明也不少。邻居家的鸽子很使他心烦，他就跟邻居说，如果再把鸽子乱放，咱哥们可就对不住，要没收了。邻居笑他一笑说：要能抓住请老哥别歇着。他们认为耐普尔没那份能耐。

哪知第二天，鸽子都在耐先生的大袋里了。原来这位“能耐先生”略施小计，在自家的草坪上撒上了用酒沧过的豌豆，鸽子吃了，都成了酒中仙， 来了次“太白醉酒”。

这对数的发明还有一位并列第一名，就是瑞士的钟表匠比尔吉（1552—

—1632）。比尔吉完全独立地造出了对数表，在 1620 年，晚耐先生六年，发表了他的成果。比尔吉在业余时间建立若大功勋，令人赞叹，更加不易。

其实，耐普尔在运算机械化方面，还有一项现在被看作古董，当年可是风头出足的大发明——耐普尔计算尺。但是诸位可千万别把它和对数计算尺弄混了。虽然对数计算尺跟耐先生也大有关系，只是它根本不同于咱们在这介绍的耐普尔计算尺。

要说耐氏算尺，还得从 15、16 世纪流行欧洲的“格子算”谈起。这种算法主要用来计算多位数乘多位数。比如，318×589，就把 318 写在顶端，589

写在右侧，竖写。

然后打上 3×3 个方格子，在每个方格子里打上斜线。相乘时，逐位进行， 所得数的十位写在方格中斜线的上方，个位写在下方。诸位看图便知端的。

这种算法中，不必先考虑是从低位还是从高位算起。但是在把各部中间结果相加的时候，得从低位的结果加起，按斜格子相加。本题的结果就是 318

×589=187302。要不是印起来麻烦，还要打格网，恐怕现在还在用它。

这是现在笔算的一种早期形式，和现在笔算乘法的算理是一样的。在法国，又叫“百叶窗”算法。

其实，这种算法最早起源于印度。大约在十或 1l 世纪，不过不是这种样子，被阿拉伯人采用。改造成所谓“格子算”，是后来传到西欧的事了。

这种算法在 15 世纪传入我国，给起了名叫“写算”，大概是与我国一直流行的“筹算”相区别吧。这是明朝的吴敬在《九章算法比类大全》里，所用的名字。后来，程大位（1533—1606）在《算法统宗》里给它起了个中国特色的新名称：铺地锦。

你看，那横竖交错、斜线穿插的图形，像不像编织的一幅锦缎？咱们自己也不妨识一识。

这种在欧洲非常流行的算法虽然很好用，但是打格子毕竟麻烦。耐普尔在 1617 年，发表了《尺算法》，介绍了他又一项发明，那就是耐氏算尺了。这种算尺发明不久，在明末，又传入了我国，就改了个中国名，叫“算筹” 了。当然与古代的那些没刻度的小棒棒是完全不同的。为了区别，在人把它叫做耐普尔筹。至今在故宫博物院还有珍藏。

要做乘法的话，比如还是 318×589，那就把 3 号、l 号、8 号筹拿出来， 拼合在一起，按第五行、第八行、第九行的斜线相加，就得结果了，和格子算法是完全一样的。

所以，这耐普尔算尺只不过把格子算法里填格子的任务事先做好了，没什么大花样。但是，咱们不禁要问一句，这么简单的想法、改进，为什么只有耐先生一人想到呢？

许多风靡一时影响至今的发明：吉列剃须刀，回形针，拉链，钮扣，原理都不复杂，比常人的想法也往往只多那么简单的一步。看来关键在于想与

不想，而不在于简单和复杂。不去想，再简单的一步也出不来啊。

话说到这，在下倒想插入一段中国的事。几乎与耐普尔同时，中国也有一位颇有影响的数学家，叫程大位。

程大位在《算法统宗》里，给“格子算”起了个很富文学色彩的名字“铺地锦”。不过这本最主要的还是介绍珠算，能算得上珠算大全吧。

这本书一共是 17 卷，595 个应用问题，所有的计算都用珠算，当然有珠算的口诀，还有口诀的应用。其中的开平方、开立方珠算方法则是由程大位首先提出的。

《算法统宗》十分受欢迎。明清两代不断翻刻，“风行宇内”，“莫不家藏一编”，影响之大，在中国数学史上是少见的。

这珠算的发明和应用是和当时中国的商业活动的繁荣分不开的。咱们中国搞计算，一直是筹算，把算筹摆了一地来算帐，多不方便！这样，珠算就发明了。

算盘到底是什么时候在中国出现的，由什么人发明的，现在已不大清楚了。不过，至少是在元朝末年，14 世纪左右的事情。

中国古算，到宋元四大家发展到高峰，做出了“大衍求一术”、“天元术”、“四元术”这些世界第一的成绩以后，到明朝程大位那会儿，已经是停滞不前开始落后了。

当然，那珠算的发明还是了不得的功绩，一直到如今，珠算仍然在全球都很影响，尤其在日本更是如此。这与程大位的那本《算法统宗》传到日本， 是分不开的。而那耐普尔算尺，现在是真正的古董了，没多少人知道，更没有人用，怕是速度赶不上算盘吧，实践是检验真理的唯一标准。

算盘就说到这里，请大家再随我回到欧洲。

且说此时此刻，欧洲真正进入了一个英雄世纪，大家群起，人才迭出， 很有些像希腊时代和中国的宋元之际。

这英雄的 10 世纪，大致可分为两个主要时期：1670 年之前和 1670 年之后。前一时期最著名的人物有意大利的伽利略、德国的天文学家开卜勒，法国的费尔马、笛卡尔、德沙格、帕斯卡。所有这些人都对微积分的发展作了准备工作。而 1670 年后不久，朱顿、莱布尼茨相继创建了微积分。

微积分的发明真正使数学进行了一次脱胎换骨，研究常量为主的初等数学的历史基本结束了，人类从此进入了变量数学的时代。

咱们一切还是从伽利略、开卜勒开始。有人说他们都是物理学家、天文学家，至多不过是用用数学，难道还真有什么大的贡献？值得咱们在这本书里和他们碰碰面？

实际上，那位意大利大物理学家伽利略（1564—1642），他干的差事， 按照现在的说法，他的职称，一直是位数学教授。伽利略是个破了产的佛罗伦萨贵族的儿子，一开始他学医，“不为良相则为良医”。

他在比萨大学学医时，有几次到大教堂祷告，就观察到一个别人熟视无睹的现象：大教堂的大挂灯来回摆动的周期与摆动的幅度大小无关。当时没有计时的手表，想必他是搭着自己的脉来计时的吧。

后来他父母亲也同意他改换门庭，去研究科学和数学。二十五岁时，伽先生被聘任为比萨大学数学教授。据说在这期间，他就在那有名的斜塔上做了个有名的实验，证明和亚里士多德讲的相反，重物体并不比轻物体降落得快。

伽先生得到这么一条定律：不管物体是重还是轻，其下落的距离与下落时间平方成正比。这也就是咱们现在所常常说的自由落体公式

S = 1

2

gt ²

其实，伽利略可能根本就没有爬上过比萨斜塔去抛什么彩球。他自己这么说过，他是这样考虑问题的：

要去考虑无穷多个不同的重量，不同的形状的物体是怎么降落的，是不可能的。可是看一看不同的物体在空气降落的速度，和在水里下降的情况就不一样了。在空气里下降，几乎能同时落地；在水里下降，不同的物体差异可就大了。

“当观察到这点之后，我就得出结论：在一个完全没有阻力的介质中， 所有物体以同一速度降落。”因此，伽利略是在做了仔细的观察之后，抽出了最主要的东西，在自家的脑袋里做了这么一次理想的实验。真空条件，到哪里找？只有脑子里才能构成这么一个实验场所。

当然，实际的物体是在有阻力的场所中落下的，对于这些，伽利略是怎么说的呢？他的回答是：“⋯⋯因此，为了科学地进行处理，必须割掉这些困难（空气阻力，摩擦力等等），在无阻力的情形下，发现并且证明这些定理之后，再按实际经验所给予的限制来应用这些定理。”

他这么想，正像一个数学家干的事了。数学家从线上，去掉分子的构造， 去掉颜色和厚度，而得到了线的基本性质，然后就集中研究这些性质。咱们不是给大伙说过嘛，几何上的线、面、体，实际中哪里去找？只存在于你的脑袋里，你的抽象思维之中。

数学的抽象方法确实离开了现实，但是说也奇怪，当回到现实时，它却比所有因素都考虑进去更为有力！伽利略正是这样一位用数学方式、数学思想研究问题的科学家。

不但如此，伽利略在研究自然时，更是把着重点放在描写自然，用公式去说出规律。

这可与那时传统的方法、亚里士多德的研究方法、看问题的方法不大一样了。那中世纪的教会对希腊的学说根本就是绝对排斥，不过对亚里士多德先生却情有独钟，奉若神明。亚里士多德那严密的逻辑，说的头头是道。他总是喜欢强调强调事物的终极原因。不管有没有实际的根据，反正是把那看起来是对的“终极原因”先提出来，然后推理一番，得出一个完整的体系。所以教会拿他当护法大师来供可就是一点也不奇怪了。伽利略同时代的人还是如此。

比如说，球为什么下落？亚里士多德说是因为它有重量；那它为什么又只落在地上，那是因为任什么物体都要找到它的“自然位置”，而重物的“自然位置”，就是地球的中心。亚先生这么一说，算是把球下落的“终极原因” 找出来了，他自认为很圆满。重的东西为什么下落得快？亚先生的解释是重的有更快地回到它的自然位置的本性。

你现在瞧瞧这一切觉得挺可笑，可那时大部份人都把这当回事，觉得是个很神圣很自然的回答。

伽利略完全不同，他坚持用公式来说明一切，用“量”的精确代替“质” 的含糊。

像公式h =

1 gt

2

² ，它只说明物体下落与路程的关

系，没说它为什么下落。

公式，只是描写，不是解释。

用数学家的头脑去研究物理、力学，这就是伽利略成功的原因。这就是一种科学方法的出现和创造首先是用抽象的眼光看世界，得出最本质的；而后再用数学公式对现象进行描绘。今天咱们对这一套是太熟悉了，是科学的方法，也是研究科学的方法。可是在伽利略时代，真算得上石破天惊呢。

大师说过，我之所以看得远一些，是因为我站在巨人肩膀上的缘故。牛顿之所以成为巨人，也正是站在了伽利略的肓膀上，全盘接受了他的那套科学方法。

牛顿还说，在自然事物研究中，近代人则排除物体的形式和玄妙的质， 努力把自然现象放在数学的控制之下。他的科学名著就叫做《自然哲学的数学原理》。

伽利略、笛卡尔、惠更斯、牛顿，还有哥白尼、开卜勒，这些为近代科学造型的人，都是以数学家的身份去探索自然的。“科学产生于用数学解释自然这一信念”。科学，被数学化了。

伽先生在比萨大学竭力攻击亚里士多德的科学，年轻气盛，发表起看法见解毫不迟疑。那比萨大学也是知识分子成堆，脑袋都还长在亚里士多德的肩膀上，对伽利略自然是百般挑剔，看不上。

那时他已经开始写出重要的数学论文，一些能力差的人挺忌妒，留短飞长。一气之下，伽利略决定跳槽。第二年，1592 年，他又接到了帕多瓦大学的聘书，依然是数学教授。那里有比较自由宽松的环境。

在那里，他写了一本《力学》，继续他的实验，当然还得教教书，一晃就是 18 年。在这期间，大约是 1607 年，就是在帕多瓦，他听到荷兰磨透镜

工人里珀沙姆发明了望远镜，就自己动手做了一个放大 30 倍的望远镜。

这人类历史上有意义的第一望，简直令伽利略也吃惊得合不拢嘴：那平常姣洁无瑕的月亮竟然是坑坑凹凹的麻婆，惨不忍睹；原来看起来是个光棍汉的木星（九四大新闻之明星），却早已成家业，拖儿带女，有四个卫星绕着它转悠。

伽利略这一望，给哥白尼的“日光说”以有力的支持，望出了大名堂。尽管他离开帕多瓦大学后，受一位大公爵的保护，在佛罗伦萨任宫廷首席数学家，可也触怒了罗马教会。

终于在 1633 年，他的传世名作《关于两大世界体系的对话》出版后，第二年，罗马教庭再次传唤他去。在刑具威逼之下，强迫他放弃“日心说”。教廷现在对这次审判很害羞地平了反。

他被软禁起来，禁止发表著作。但是思想是禁止不住的，他的《关于两门新科学的探讨和数学证明》写好后，秘密运到荷兰，于 1638 年出版。

牛顿的“数学原理”，伽利略的“数学证明”。都说明数学在开辟现代科学时的举足轻重。数学，是现代科学的开山巨斧，思想锐器，科学家们的精神支柱。

伽利略在这篇名著中，还第一次探讨了无限的世界。他在书中说了这样一番话：

“平方数的个数不小于所有数的总数；所有数的总数也不大于平方数的

个数。”

所有数，就是所有的自然数；平方数，指的是自然数的平方。

不知同学们可解其中之味、话中玄机。要知道，这短短两句话，真是亘古未有之论，暂且留给大家慢慢消受领悟一番，待等到与康托大师见面时， 再提不迟。

伽利略的大作中，唯独没有提到开卜勒那著名的行星运动三定律，看来伽先生也挺妒忌开卜勒的伟大发现。

比起伽利略来，开卜勒可不太走运。

开卜勒（1571—1630）出生于德国的一个小城市。老爸是个酒鬼。先当兵，后来就开酒馆，开卜勒从小就得当酒保。老天爷对这孩子也太不照顾， 小开卜勒不幸得了天花，后来就落下了残疾，眼神也不济。

尽管如此，他还是进图宾根大学学习，这是培养教士的，开卜勒原先很想在教会吃口安稳饭。

后来，有一位跟他关系不错的数学和天文教授，私下里教他哥白尼的“日心说”理论，使他对天文学大感兴趣。图宾根大学的头，看他对教会有些不地道，就在 1594 年，打发开卜勒去奥地利的格莱茨大学任教。

这在开卜勒倒是件好事，在那里有一位著名的宫廷天文学家，是鲁道夫二世的御前占星师。开卜勒就跟着他当助手，天天夜观天象，主要是行星运动的研究。后来这位老师去世了，开卜勒就接替了这个老师的位置，也要为鲁道夫二世算算命。

为皇帝算命，开卜勒也是没办法，只好认了。好在占星术有助于谋生， 也是当天文学家研究行星运动的好借口，他也觉得自得其乐了。

开卜勒从老师那儿接受了大量的行星运动的观察资料，进行了大量的计算。那时耐普尔的对数还没有发表，就差那么几年，没那份福气享受神奇的发明。所以就只好啃哧啃哧慢慢算，不过比他的欧洲前辈好多了，总算有了十进制小数，又有了“格子算法。”

经过反复的试验，多次的失败，他终于在 1609 年发表了行星运动的前两条定律。十年后，又接着来了条第三定律：

1. 行星绕着太阳在椭圆轨道上旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。

2. 连接行量与太阳的线段，在相等的时间间隔内扫过相等的面积。

3. 一个行星绕太阳运动的周期的平方，与椭圆轨的长半轴的立方成正比。

这些定律都是在大量的数据中总结归纳出来的，和伽利略的那种理想的实验，大胆的假设的有些不同。当然伽利略也不仅仅是用一种方法。

开卜勒要比哥白尼更革命，更大胆。当然在采取“日心说”这一点上他们是相同的。开卜勒的运动轨道是椭圆，行星的运行速度也不是匀速的。这些都和传统，和哥白尼的认识不大相同。“日心说”更加可靠、令人信服了。因为如果按哥白尼一开始提出的一套方案，实际观察的结果也并不比“地心说”好多少呢。

当然，即使经过了开先生的工作，地球绕着太阳转在那时还是叫人想不通，想不通的人还都是些知识分子。比如地球自转，那为什么扔一个东西到空中，还是落到原地，而不是落到西边一点的地方呢？如此等等，有的问题还挺专业。

对所有这些，哥白尼和开卜勒都只用了一句话来回答：咱这么做，数学

上更简洁。上帝设计世界当然要来用更优秀更简洁更优美的理论啦。“上帝是最好的数学家。”

开卜勒 1619 年那篇关于第三定律的著作，就叫《世界的和谐》，表达了对上帝数学设计的伟大所表示的由衷钦佩。

所以一开始只有数学家支持日心论是不奇怪的。只有数学家，而且只有相信宇宙是按数学方式设计的数学家，才能打破樊笼第一关，把科学建立在数学的基础之上，尽管还会时时出现上帝的身影。

为了得出行星运动第二定律，开卜勒当然要计算椭圆的面积。那时候微积分还没有创立，他所采取的是比较原始的分割、近似、相加求和的思想。开卜勒还用这国法去求出许多几何体的体积。这实际上是一种粗糙的微积分方法，所以开老先生也是微积分的前驱者之一。

他老人家是在见到当时的酒桶体积计算很拙劣时，发生了这方面的兴趣。这也许与他早年当酒保的工作有关吧。

开卜勒是伟大的，可是他的个人生活却十分不幸。他经常受天主教的各种迫害，老娘被认为是巫婆，第一个妻子疯了，而最喜欢的儿子又死于天花。据说，他的第二个妻子更没给他带来什么好运。他的工资还经常被拖欠，看起来那位鲁道夫二世也是不咋的。1630 年，他去领取拖欠已久的工资，走在半道上就去世了。这在今天，恐怕要上“焦点时刻”了。

他给上帝寻找到“世界的和谐”，上帝对他却太不和谐了。 下面咱们再来看看上帝对待另一位天才人物帕斯卡究竟如何。

帕斯卡大家非常熟悉，中学物理的第一册就有帕斯卡定律，那是他 23 岁时的发现。不过他最大的贡献是在数学领域。

他被公认为数学史上的神童，1623 年出生在法国克勒芒。上帝给了他一个早熟的脑袋，不过身体一直不好，1662 年就去世了。短暂一生放出的光芒却照射了人类几百年。

他的父亲也是一位数学家，觉得孩子太小不能知道得太多，甚至把数学修书全都藏了起来。不料越不让他学，那小帕斯卡就越觉得神秘好奇，小小年纪，就发现了平面几何的许多定理，比如三角形的内角和定理。

帕斯卡的老爸大为感动，14 岁时，就带他参加每周一次的法国数学家聚会，科学沙龙。后来这科学沙龙就成了法国科学院的胚胎了。那参加沙龙的人物也都大名鼎鼎，笛卡尔，费尔马，德沙格，还有后来的科学院院长梅森。

16 岁，1636 年，这位神童发现了一条名垂青史定理：

若一个六边形内接于一条圆锥曲线，那么每两条对边相交而得的三点在同一直线上。咱们从下面的图可以看得很清楚。

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16 岁的帕斯卡是这么想问题的：

首先，这条定理对圆是成立的，完全可以证出来。那么，如果把圆变换成其他圆锥曲线，比如，像抛物线、椭圆、双曲线，问题不就解决了吗？

帕斯卡正是这么做的，变换的方法就是“射影”。说句通俗点的，就是打幻灯片。要是诸位有兴趣，不妨试一试，在一块玻璃板上一画上圆和内接六边形，然后用点光源（就是发光的光源最好像个点，不能是电棒），往玻璃后面一照，那么墙上就有图形的射影。

下面就看你的屏幕（墙）与玻璃块是个什么关系了。如果两者平行，那么投影还是圆；如果不平行，就是椭圆，或者是其他圆锥曲线。

当然，那直线不管你怎么照射，得出来的永远是直线，直线上的点自然也不会被射到线外去。这样，六边形还是六边形，只不过形状有些变化，而那个结论当然也是成立的。

这可是一种很先进的思想，就是让图形从一个形状连续地变到另一个形状。而在这种连续变换中，哪些东西会变，哪些又不会变，是个十分重要的问题。

比如咱们刚刚做的投影变换，不变的是直线；变的是圆。而圆在这种变换中，又只能变成其他一些圆锥曲线。

一门新的学科就这么产生了，它叫射影几何。它着重于图形的位置和相交方面的性质，而不是像欧氏几何那样，着重考虑图形量的方面的性质。

不过，帕斯卡的这一辉煌成果，竟引起了许多人的怀疑，不相信这是一个 16 岁孩子的思维，而认为是帕斯卡父亲捉笔代刀。但是帕斯卡三年后，又发明了第一架机械计算机，能自动从个位进到十位，从低位进到高位，有点像现在电表里的那个计数盘。

接踵而来的一系列成就，更使人惊叹不已。31 岁那年，他又对赌博时两个赌徒如何分赌全的问题有了浓厚兴趣。这个分赌金的问题，卡当和塔尔塔里亚也都考虑过，没有进展。那位卡当还为此写一本书。帕斯卡在朋友的鼓励下决定一试身手，他把自己的解法告诉费尔马，两人不谋而合，想的都对。又一门新的学科，概率论就这样起步了。

帕斯卡在考虑概率时，要讨论从几件东西中，取 r 件，一共有多少可能的情况。这样，他就又得出了举世闻名的帕斯卡三角形。这种由数字一层一层叠起来的三角形咱们前面就说过，叫贾宪——杨辉三角形，咱们中国要比他早 500 年了，“五百年前是一家”。

不过，帕斯卡那条著名的内接六边形定理倒确实受过高人启发。那就是他的同僚德沙格（1591—1661），射影几何的另一位奠基者。

画家们画画要讲透视，实际上也就是图形的投影；此外，如何把地球睥图投射成一个平面的地图，这里面也很有学问。射影几何就这么提上了日程。当然那时没有这四个字的名称。

德沙格先是位陆军军官，后来又成了一名工程师，建筑师。他通晓阿波罗尼斯圆锥曲线的著作，总想来一个新招，不是一个一个的证明圆锥曲线的定理，而是归归类，证它一批。新招终于被他发现了！这就是前面所说的投影的方法，看看图形在这样的连续变换下，什么性质会变，什么又不在变。德沙格就教帕斯卡民用这种高招，能把圆锥曲线的许多问题简化成数几

个基本命题。而帕斯卡这么一试，果真灵验，这样就有了那帕斯卡的“神秘的六边形”定理。要知道，这定理的推论就有 400 多个呢！

不过德沙格本人却不太走运，甚至还招来许多抨击。连笛卡尔也写信给他，说你那磋商方法搞不出什么新名堂。但是当笛卡尔老人家看到了德沙格的证明后，又马上推崇备至，高！

德沙格把他的射影法写成一本书，印成 50 份，送给他的朋友。朋友们可

能都心不在焉，书都弄丢了。直到 1950 年，在巴黎国立图书馆才发现了一本， 孤本。

那么他的朋友们为什么又都心不在焉呢？笛卡尔又为什么一开始说他弄不出什么名堂呢？原来，当时笛卡尔正在用代数的方法来研究几何，收获不小，大伙的焦点一起盯在了这儿。

用代数方法研究几何，把几何图形用代数方程表示出来，通过对方程的研究和变换来掌握图形，这个好主意可不是人人都能想到的。

想了几千年，也没有人能想到一招，却被一位青年军官“南柯一梦”得出了结果，成了现如今被称为解析几何这一门的鼻祖。

话说这笛卡尔出生于 1596 年，法国的一个名门望族。小时候身体不好， 早上要睡睡懒觉。后来养成习惯，那早晨的懒觉，变成了想问题出成果的好时光。他自己也说过，大部分东西是在床上想出来的，特有灵感。

这恐怕是正中同学们下怀，睡懒觉有了好理由。不过大家要睡请各自方便，出不了成果可别怨笛卡尔先生没教睡法大全。公鸡孵不出小鸡别怨鸡窝不好。

再说笛卡尔 20 岁大学毕业，就去巴黎当律师，曾和前面提过的梅森在一块研究研究数学。过了一年，1617 年，这位贵公子心里静不下来，忽然从了军，当了兵。真有点安邦治国建功立业的大志，横刀立马叱咤风云的气派。这兵一当就是九年，有时还逛逛巴黎，狂欢作乐一番，来点公子哥的小

脾气。但他一直研究数学。一次在荷兰布莱达，看到大街上贴招贤榜，围观的人议论纷纷，对那榜上的几道数学题没法下招。笛卡尔揭下此榜，很快解决。这使他自信自己的数学才能，从此静下心来钻数学。

不过笛卡尔最有兴趣的，还是研究科学和寻求真理的一般方法。人们说他是近代第一个杰出的哲学家。同时他对整个自然界都在探索，力学的、光学的、生物的实验，他做了许多，是第一流的物理学家。

也不知怎么，一不留神成了个数学家。倒有点像现如今有些写书的朋友说过的，一不留神能闹出本红楼梦来。

所以他就开始寻找这种一般的方法。但他不久就断定逻辑本身是无结果的，“与其能用来探索未知的东西，不如说用来交流已知的东西”。

就这么找来找去，据他自己说，在 1619 年 11 月 10 日，多瑙河旁的一座军营里，躺在床上的他思维这么一聚焦，立刻悟出了这种方法，这就是数学方法。“众里寻他千百度，暮然回首，那人却在灯光阑珊处。”

据说那天晚上他躺在床上久久不能入睡，望着天花板发呆。突然看到一只苍蝇在天花板上爬来爬去画曲线，这条曲线到底怎么个表示？如何描绘？ 一时间倒有些摸不着头。再想想那飞逝的流星，飞奔的骏马，不都在画着曲线吗？

昏昏然入了梦乡，好像看见那苍蝇还在爬，和那相邻两墙的距离也是一会大些，另一会小些。有门了！灵感来了！他顿时领悟到，要是知道苍蝇与两墙之间的距离关系，不就能描绘苍蝇的路线吗？

这故事虽然有点玄乎，但是就是当真也无伤大雅，咱们就让它在似与不似之间吧。

那故事里的两堵墙，看起来就是现在所说的坐标系的两根轴了！X 轴和 Y 轴。现在这样一种坐标系，就叫做笛卡尔坐标系。

对于坐标系，咱们不只是在课本里见过面，每个人周围都有不少。那影剧院里的座位，地球仪上的经纬网，不都是要用两个数，才能表示一个确定的点吗？到图书馆找书，每本书的位置也能用第几排、第几层、第几本这三个数表示出来。这里用到三个数，因为书放在了一个立体空间中，两根坐标轴不够了，得添上一根竖起来的，这就叫三维空间。

其实不知大家意识到没有，小学、初中就知道的数轴，一根轴，也构成

了一个坐标系。但是它只能表示直线上的点，用一个数就够了，就叫一维空间。

咱们住在单元房，诸葛亮的八卦阵，城市里纵横交错的道路，无一不是坐标系。我们在实际运用时，都有意无意地用坐标系的语言来说出其中的位置的。

有人说了，那城市的街道不标准，不都是横平竖直的，不相互垂直，怎么还算平面坐标系？其实，平面的坐标系不强求你一定要把 X 轴 Y 轴互相垂直。你画斜了试试，看看能不能表示出平面中的点？

其实，只要把平面编成个网网，把空间隔成个鸽子笼，不管你编的线怎么弯怎么曲，坐标系就被你编成了。就说有无数多种形形色色的坐标系，也是千真万确的事。

咱们要是回到笛卡尔那里去看看，就会惊奇地发现，这位解析几何的老祖宗最初的平面坐标系，就是两根斜交的直线构成的，而不是今天在课本里看到的那样。

平面上的点能用一对有序的数表示，而平面上的图形能用方程来描绘， 现在的初中生已经知道一些了。一次函数、二次函数的方程，能在坐标系中作出相应的图形，代数的语言有了直观的几何解释。

而平面上的圆，又能用代数方程来研究，很清楚地知道了圆心和半径。代数，终于从希腊时代的附庸地位一下子变成了完全独立的部门，代数变得比几何更重要。

不过，笛卡尔老先生倒并没有把这若大的发明太当回事。那时候，他把这一套东西都当成附录，附在他的哲学论著《方法论》的后面，突破附庸的大创造又当了一次附庸。

《方法论》是笛卡尔居住于荷兰 20 年中完成的，那里安静自由的学术环境很适合他的胃口。1649 年，瑞典女皇邀请他去讲授哲学。这位年轻的女皇非得要每天早上五点开讲，笛卡尔勉为其难，身体不能适应，懒觉没法睡了。几个月后，染上了肺炎，不治逝世，终年 54。

在笛卡尔叙述了解析几何基础的同时，另一位法国数学天才费尔马也注意到这门学科。两人卷入了优先权之争。

费尔马说，他在 1636 年给罗伯瓦的一封信中说到，他有这方面的概念已

经七年了。而 1637 年笛卡尔才发表他的著作。笛卡尔当时已完全知道费尔马的许多发现，但否认他的思想是从费尔马那里来的。

没有知识产权法庭断这件官司，所以就打起了笔仗。罗伯瓦、帕斯卡等人站在费尔马一边，而米道奇、德沙格站在笛卡尔一边。一时间信来信去， 争个不休。后来就慢慢平息下来。

1660 年，笛卡尔死后十年，费尔马写了一篇文章，指出笛卡尔的一个错误。但他接着说，他是如此佩服笛大哥的天才，即使有瑕庇，他笛先生的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。

费尔马（1601？—1665）确实要比较谦虚一些。他是一位卑微的律师， 业余时间就全用在数学研究上了。他一辈子发表的著作不多，恐怕是没钱自费出版，但他和第一流的数学家经常通信交流。

他还有个僻好，喜欢在书边上写注记，许多重要的发现就这么记着的。他的数论方面的许多贡献就是记在一本丢蕃都的书边上。数论，是费尔马先生最杰出的工作，奠基者。

其中记下了最有名的一个，就是费尔马大“定理”：不存在正整数 X、Y、Z、n，使得 Xⁿ＋Yⁿ=Zⁿ（当 n＞2 时）。

大家知道，当 n=2 时，就是勾股定理了，有解，毕氏三数就是答案。费尔马发现 n=3 时就来了麻烦，所以就有了上面的猜测。费尔马在书边

写道：“我确实找到了一个极妙的证明，但页边太窄，写不下。”

看来有没有证明只能是天知地知了。后来许多数学家都寻求这“极妙的证明”而一无所获。这样 100 年过去了，费尔马大“定理”成了著名的世界难题，人类仍然没能突破。

第一次具有历史意义的突破是在 1779 年，由欧拉先生做出的，他成功地证明了当 n=3，n=4 的情况。大约在 1825 年，勒让德和狄利克雷独立地证出了 n=5 的情况。八年之后，一位完全是自学成才的法国妇女索菲娅，竟然也取得了不小的成果。

历史过了 100 年，n 才被推进到 100。公元 1850 年和 1853 年，法兰西科学院两次悬赏 2000 金法郎，征解费尔马猜想，也不过把指数的上限推到 216。

日历又翻过 50 年，德国数学家佛尔夫斯克给哥廷根科学院留下十万马克，悬巨赏再次征解。一时之间，各种证明纷至沓来，统统不对。费尔马定理如此著名，恐怕就在于发表了许多错误的证明。

借助于电子计算机，n 的上限被推进到 4000 万！但当然不能算是证得了定理。

1993 年 6 月，英国剑桥牛顿数学研究所举行了一个学术报告会。一位英国皇家学会会员。美国普林斯顿大学教授维拉斯，应邀作了一系列演讲，演讲题目是“椭圆曲线，模形式，和伽罗瓦表示”。从这个题目，听众猜不透他到底要得出些什么。

然而在 6 月 23 日他的最后一个演讲结束时，他终于推出了费尔马大定理。在场的数学家纷纷举起相机记录下数学界的这千金一刻。很多报纸纷纷报导，报导这数学发展中的巨大里程碑。

虽然他的证明有 200 多页，许多细节要逐个检查，但专家们认为他是对的，证明的思路是对的。证明中他采用了许多不同分支的最新思想，采用了许多当代名家的思想、结果和技巧。采百家之花，方得芳香之蜜。他的工作是一项意义深远的贡献，是本世纪一项重大科学成就。

费尔马老先生页边寥寥数语。引得 400 年中无数英雄竟折腰，得出了好多成果，真正是能下金蛋的老母鸡。

费先生的声名之大，全因这大定理增加了份量，往往忘了他也是解析几何的奠基人。

欲知后事如何，且听下回分解。