第九回 术精器利 微积分为变量搭脉西学东渐 徐光启与国际接轨

利用刚出炉的微积分，被预测的哈雷彗星一次又一次地出现。但微积分究竟是谁先发明？是牛顿，还是莱布尼茨？欧拉双目失明，还写出四百多篇论文！中国的梅文鼎家族一共出了五六位数学家。

且说笛卡尔、费尔马两位豪杰，用思维这把利剑，辟得一块个全新的数学疆域，真正是盘古开天地一般的功劳。

此话怎讲？原来所谓初等数学，也就是从盘古一直到 16 世纪这一段的数学，叫常量数学。

咱们在中小学学的，就是常量数学。它主要研究静止的量的各种运算。这些运算现在看来很简单，但却整整折磨了多少哲人的思维，达 4000 多年之久！

解析几何的方法一出，变量登上了数学的舞台唱主角。“两个未知量决定的一个方程，它对应着一条轨迹——一条直线或曲线”。费尔马的这番话就表示了变量的思想。

你想想，一个方程中有两个未知量，一个未知量变化了，另一个不也随着变化？这实际上还是一种函数关系的体现。

有人会说，那么不定方程中，未知量的个数大于方程的个数，未知量也固定不下来，也在变化，为什么不说不定方程的出现是变量数学的开始呢？那不定方程，人们的注意力集中在方程的求解，而并不关心未知量是不

是在变。

解析几何中，曲线的方程一旦用曲线描绘出来，立即得到一种几何的直观。人们从点的运动想到所对应的量的变化，变量的概念形成了。

老前辈恩格斯曾这么说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数， 运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微积和积分也就立刻成为必要的了。”

坐标系、变量、函数，是数学的一个转折点，也是变量数学发展的一个决定性步骤。

现在，咱们已经清晰地听到了那位巨人的脚步声了——牛顿，莱布尼茨。那牛顿、莱布尼茨的大名，现在是无人不知，无人不晓。说他们是巨人

当然不错；如果把他们当成是创建微积分的唯一的两位，那就不大对了。 数学和科学的巨大进展，都是建立在几百年中做出一点一滴贡献的许多

人的工作之上的。这时就需要一个人来走那最高的最后的一步。

这个人要有敏锐的透视，从纷纭繁杂的猜测中拣出有价值的想法；这个人要有足够的想象力，把零乱的思维碎片搭成系统的大厦；这个人要有献身的精神，不怕坐冷板凳，眼睛不能天天盯着大款。

牛顿，莱布尼茨正是这样的巨人，他们各自独立地跑完了“微积分”接力赛的最后一棒。

微积分的萌芽，是古已有之了。

咱们刘徽老先生的著名“割圆术”，就是把圆近似的割成边数很多，边长很短的正多边形，来计算圆面积。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆围合体而无所失矣。”

刘徽的的这一套，阿基米德在公元前 240 年左右也做过。阿基米德也“割”过圆。而且，他不但用内接正多边形去从内往外逼近圆，还用外切正多边形来近似，从外往内逼。一内一外，把圆周率的真值夹在中间，就能准确估计误差了。

面积体积计算很重要，17 世纪的工作开始于开卜勒。这位酒保被酒桶体积的计算问题吸引住了。不过他的工作比较粗糙。比如算圆面积，他把圆看成是无穷多个三角形，每个三角形的顶点都在圆心，底在圆周上，然后像正内接多边形的面积一样，用长乘以半径除以 2，就是圆的面积了。球的体积也是如此。

这里面实际上就是现在所说的积分。不管是刘徽、阿基米德，还是开卜勒，都是一样的思想，但是，每一种曲线的面积计算，都要用不同类型的直边形去逼近，一题一法、一题一变化，太烦。

而 17 世纪的一些人则采用了系统的办法，都用小矩形。比如计算 y=x² 之下，从 x=0 到 x=B 的面积（图见下页）：

■

首先将 OB 分为几份，构成一个个小矩形，用矩形面积之和逼近待求面积，当这些矩形的宽度 d 越来越小时，这个面积和就越来越接近曲线下的面积，“割之弥细，所失弥少。”

如果矩形的宽度都是 d，那么根据抛物线 y=x² 中 x 与 y 的关系，这些小矩形的高分别为 d²、（2d²）、（3d²），等等，一直到（nd²）。所以矩形面积之和为：

d·d²＋d（2d）²＋d（3d）²＋⋯⋯＋d（nd）²，l） 即 d³（l²＋2²＋3²＋⋯⋯＋n²）。

1

这括号中的自然数平方之和为 6 （2n

所以，这面积就为

³＋3n²

＋n），

d ³（

2n³ ＋3n ² ＋n

6 ） 2）

d是 1 OB的长，再次代入OB，就有： n

OB3 1 1 1

（ 3 ＋ 2n ＋ 6n² ）

现在再按这些人的说法，认为当 n 无穷大时，最后的两项可以忽略，那么这待求的抛物线下的面积就求出来了：

1 OB³

3

同学们能看懂这些，看了之后可能很满意了：任何曲线形的面积似乎都能这么算。

但是仔细考虑一番就会看到有两个麻烦。麻烦之一是为什么 n 无穷大时，最后两项能够略去，没有理论基础，没有证明，只是直观地觉察到。

麻烦之二是从 1）式变到 2）式，不同的题目要用不同的方法，也是个很不方便的大问题，有时单靠技巧还不一定得出结果。

这个困难困扰了 17 世纪所有的数学家。但是牛顿和莱布尼茨却找出了一个解决的通道。相比较而言，牛顿似乎想得更清楚一点。

简单来讲，牛顿的思路大致是这样的：

比如上面抛物线的求积中，求出的面积是 1 OB³ 。

3

如果OB再伸长或缩短一些，也就是说OB不固定，是个变化着的x，那么上面抛物线的面积计算仍然一样算，可以得到是 1 x ³。

3

这样，算出的面积S =

1 x ³，也是个函数S =

3

1 x³。

3

既然是y = x² ，通过求积过程变化得到的，那么反

过来，y = x² 是不是也可以通过对S =

运算而得出来呢？

1 x³进行某种变化

3

经过研究，这种变换果真被牛顿找到了，就是求出当 x 变化时，S 的变化速度。S 随着 x 的变化而变化，自然有个变化速度问题，那么这个速度如何求呢？

这能不能用 S 除以求出来呢？那当然不行。因为对等速运动时的情况， 用距离除以时间这样常量数学的公式是可以的。现在 S 随着 x 变，不是等速变化的，常量数学就没戏了。

十六、十七世纪，正有大量的变速运动的问题要求解决。牛顿是这么考虑的：如果让 x 的变化很小，比如只增加△x 这么一点点，那么 S 也有一点点增加，就用△S 表示。

因为△x 很小，所以这一小段内，S 的变化可以认为是匀速的。这时，变化的速度就可以用△S 除以△x 来表示：△S△x。

如果△x 充分的小，那么这速率算得就越精确。当然，这样算出的速度， 每一点都不一样，是一种瞬间的速度。这个速度也是变，不是常量。

这么一种求速度的运算，要用到求极限的方法；让△x 无穷地小，看看

△S△x 怎么个变化。

经过牛顿的努力，像S = 1

3x³

这个一个函数式S随

x变化的速率算出来了，就是y = x² ！

从y = x² ，通过求面积，能得到S =

1 x³ ，这种

3

变换叫积分；而从S =

1 x³，通过求速率，又能求得

3

`y = x² ，这种变换叫微分，又叫求导。

大伙看看，微分、积分是不是一种可逆的过程？可逆的变换？实际上也完全可以看成是可逆的运算。

大家可能会说，四则运算都起码有两项，现在微分只是

对S = 1

3x³

进行变换，能叫运算吗？

当然能。其实，咱们在初等数学里也有这种只对一项进行的运算，比如求相反数，求倒数。当然，现在运算的对像可有了质的变化，不是数，是一个函数！

牛顿和莱布尼茨找到了这么一种互逆的关系，就解决了大问题。求面积、

求体积时常用的求和方法，现在可以用微分的逆运算来求了！

而不是像以前那样，每求一个面积之和，都要算一个特殊的和式。

那么这样倒过来的求方便吗？自然方便。比如说你要是知道对函数 y=x⁴ 的微分结果是 y=4x³，那么你立刻就可以知道 y=4x³ 的“面积”就是 y=x⁴，不必像以前那样求和。

而微分运算的较好算，所以，我们今算几类（而不是几个）函数的微分， 反过来，对许多函数的“面积”就立马可得。

这么个互逆的关系就叫牛顿—莱布尼茨公式，是微积分基本公式，微积分的金桥工程。

牛顿太伟大了。年下在这里只说，伟大的牛顿在数学中的大贡献，而且只说了这大贡献中的一小部分，当然最主要的部分。

这位牛顿老先生在中学的教本里只被描绘成一个伟大的物理学家，物理学的祖师爷。如果咱们听听伟大的莱布尼茨的说法，也许就更清楚更全面了：

“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半！”

一个构造了近代物理世界的人，同时又干了数学的一半！真神人也！英国诗人波普，用诗这么表达：

自然和自然的规律沉浸在一片黑暗之中， 上帝说：生出牛顿来，一切都就得明朗。

大数学家拉格朗日也说，他是历史上最有才能的人；也是最幸运的人， 因为宇宙体系只能被发现一次。

波普简直把牛顿当成红太阳了，就他的作用而论，或许还不算过份，不过牛顿对自己的评价却十分廉虚：“我不知道世间把我看成什么样的人；但是，对我自己来说，就像一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到格外高兴。在我面前是完全没有被发现的真理的大海洋。”真所谓：“我之所以比别人看得远些，那只是由于站在巨人的肩上的缘故。”

牛顿老前辈说的都是大实话。如果咱们和他同时代，这么说很可能被认为是狂妄。可是今天看看，那爱因斯坦的大发现，不就包括了牛顿的物理世界，而且有更高发展吗？

至于站在巨人肩上，那更是千真万确了。要是没有从希腊到意大利，从公元前到公元后的无数大师构成一道天梯，他牛顿恐怕是摸天无门了。

在牛顿受影响较大的那些人们中，最显眼的就是他的老师伊萨克·巴罗

（1630—1677）。巴罗小时候讨人厌，不过从剑桥毕业后，就成为大学问家啦。数学、物理、天文学都很高成就。许多微积分的知识，比如求两上函数的积和商的微分法则，x 的幂函数的微分，以及至关重要的微积分基本定理， 他都写在著作里。当然他的有些东西说的含糊，没有像牛顿后来所概括的那样，清楚而又普遍。

他是担任剑桥的卢卡斯讲座教授的第一人，1669 年，巴罗先生自动让贤，以高尚的精神把这一席位让给他的学生伊萨克·牛顿。他是最先识出牛顿的超人才能的人之一。

不过小时候的牛顿可是不太怎样，既不是神童，也没进重点学校上学， 除了在机械方面有兴趣外，其他好像没有什么特殊的才能。他在 1642 年的圣诞节那天出生在英格兰的一个小村庄里，父亲是农民。

他进入大学学习，但那份几何答卷是有缺陷的。1661 年开始在剑大学之一学院上学，倒也安静专心。刚结束大学课程，可怕的鼠疫就在伦敦地区蔓延，他离开剑桥，在家乡渡过了 1665 年和 1666 两年。

在这两年里，他得到了解决微积分问题的一般方法，做了他的第一个光学实验：白光是由各种颜色的光混合而成的。那举世闻名的万有引力定律， 虽然早有人提出过，但在牛顿手里，被构造成一座雄伟力学大厦的基础。

牛顿 1667 年回到剑桥，他的老师巴罗让贤，牛顿遂担任了卢卡斯讲座数

学教授。不过听他课的学生很少牛顿看来不是个好教师。牛顿在 1672 年发表了他的光的颜色的论文，不料遭到猛烈的攻击，过了三年，他的另一篇论文又一次落到同样下场，牛老先生想想挺寒心，觉得很无聊，发誓生前再也不发表论文。

他对这些无聊的争论很厌恶，所以才有这么种极端的反应。不过后来他的好朋友们再三劝说，不发表可是人类的一大损失啊！他这才发表了一些。怕事还是有事。他的微积分方面的思想发表推迟，结果又引起他和革命

尼茨大师在这方面优先权的大争论。不但这两个人争论，而且双方的朋友都参加了争吵；不但双方的朋友参加进来，而且英国和欧洲大陆的数学家分成了两派。

不但分成了两派，而且英国和欧洲大陆的数学家停止了思想学术交流。因为牛顿的微积分主要使用了几何方法，所以在他死后差不多 100 年中，英国人继续以几何为主要工具。而西欧的数学家继续发展莱布尼茨的那一套， 并且改善进步了。

这事闹得实在太不咋样，影响太大，坏影响！它不仅使英国的数学家落在后面，而且使数学家损失了一批最有才能的人，他们应该可以作出的贡献。两位大师的晚年心境都不很愉快，到死都没弄清楚，留下一块病在心上。

说起来实在是一场天大的误会。牛顿被以前的事弄怕了，很厌烦发表自己的成果。不过他也很想让好友们知道他在干什么。所以在 1665 年到 1687

年间，把微积分方面的一些发现通知了他的朋友。特别在 1669 年，他把《分析学》这篇论文送给恩师巴罗过目，而巴罗还给其他人看了。

而莱布尼茨于 1672 年到过巴黎，1673 年更访问了伦敦，并和一些知道牛顿工作的人通信，然而，莱布尼茨直到 1684 年才在《学艺》杂志上发表微积分文章，太有“瓜田李下”之嫌了。英国的绅士们把他描绘成剽窃者也算事出有因。

其实，那莱布尼茨先生也不喜欢发表文章。后来，人们在他成百页的笔记本中才发现，莱布尼茨 1675 年就独立地得到他的微分法。

虽然牛顿的工作做在前，在 1665 年得到了大部分成果，但发表更后，直

到 1687 年才公开发表在他的巨著《原理》中。

说起来，连这本《原理》都是他的朋友哈雷的力劝才出版的。1684 年哈雷再三敦促劝说，经过两年的艰苦劳动，1687 年哈雷协助牛顿编辑，还自掏腰包付印出版。

这本书给牛顿带来巨大的声望，但它很难懂。他告诉朋友说，他有意使它难懂，“免得遭到数学知识浅薄的人的抑制”。牛顿先生确实是一想到争论头就胀，挺害怕。就说这本《自然哲学的基本原理》，写到第三册，指责又来了，这次是虎克。气得牛先生封了笔，哈雷又得好说歹说劝解一番，这才有了结果。

这本影响巨大的书发表后两年，牛顿进入议会。再过十年，1699 年，被提升为造币厂厂长。1703 年被选为皇家学会主席，连连被选一直到死，搞了点小小的终身制。又过了两年，被皇家封为爵士。总算在生前得到了莫大的荣誉，成了英国的国粹，国宝。

1727 年这位一代伟人去世，终年 84 岁，按照现在的规矩，下联合国旗向他致哀都应该。

却说英吉利海峡另一侧的莱布尼茨（1646—1716），咱们早已“见过面”。比起牛顿来，莱布尼茨聪慧而早熟，从小就是神童。他于 1646 年出生于

德国莱比锡城。从儿童时起，就自学拉丁文，希腊文，不到二十岁，就熟练掌握了教科书的数学、哲学、神学和法学知识。

15 岁进莱比锡大学，研究法律，可在答辩了关于逻辑的论文之后，得到的却是哲学学士学位。那莱比锡大学又以他年青，胡子短为借口，不授给他博士学位。莱布尼茨立刻迁到纽伦堡，写了一篇法学方面的杰出论文，献给美因茨的选帝候。选帝侯大加赞赏，命其重修法典，然后又派他做外交使节， 到巴黎，到伦敦。

这倒挺有点像李太白，“十五好剑术，遍干诸侯，三十成文章，历抵卿相”，颇有些入世用世达则兼济天下的气慨。

1672 年 3 月先生出使巴黎，遇到不少数学家，科学家，尤其是大物理学家，数学家惠更斯，更是亲自给他讲解数学，激起了他对数学的浓厚兴趣。虽然他 20 岁时就发表过数学论文，但他说自己直到 1672 年还基本上不

懂数学。这自然是他的自谦之词，但是也可以看出受高人指点后的确不一样， 对数学的理解更加深刻了。

1673 年他又出使伦敦，遇到另外一批杰出的人才，切磋磨砥，大有收益， 那数学的兴趣更浓了。他研究了笛卡尔，研究了帕斯卡那吸收进去的原料经过天才脑瓜的聚合反应更以理倍的能量负外散发。

后来，莱布尼茨到汉诺威工作，当了另一位选帝侯的图书馆馆长，空闲的时间当然就多了。学者的天才得以尽情发挥，莫不是“日试万言，倚马可待”，写在成各种学科的论文盈千累万，也算是著作等身了。

他涉猎的范围太广泛了，尽管卷入了各种政治活动，包括为他的东家活动英国王位，但他并没放弃科学兴趣，他研究了逻辑学、力学、光学、数学、气体学、航海学，加上当今宠儿计算机。如果要说“家”的话，那么他毫不含糊地就是哲学家、法学家、历史学家、语法言学家，逻辑学家，大数学家。

草草一算，照现今来说，可算得上七栖八栖明星，数一数二“大腕”。看看咱们的莱“大腕”，再想想当今一些人物，拍了几部影视片再在歌坛上“炒”它一曲，居然就称什么两栖三栖，倒也觉得挺滑稽。不过也许那些“腕们”自己幽自己的默，外带着涂个三花脸逗咱们一笑也未可知。

莱布尼茨与牛顿各自独立地跑完微积分的最后一棒，但他的微积分却与牛顿的微积分有明显的不同。牛顿是用几何的语言叙述他的成果，而莱布尼茨的理论则用代数的妙语来表达。

莱布尼茨是历史上最大符号学家之一。他所创立的微积分符号远远优于牛顿的符号，优于牛顿的几何方法，这对微积分的传播和发展有极大的影响。英国的数学界落后了欧洲 100 年，原因也正在此。

他所引入的许多的微积分符号现在通行世界。比如，对一个函数求微分， 也就是求函数对 x 变化率，他引进的微分符号就是“d”。

对函数求积分，莱布尼茨引入的积分号是“∫”，是个伸长的 S，也就是和“sum”的第一个字母。积分就是以求面积之和引入的。

所以要是对函数y = f（x）积分，求曲线y = f（x） 之下，从0到x间的面积，就可以写成∫ xf( t)dt。

结合咱们以前给大家看过的图，就很好理解，因为

x在变；所以这算得的面积∫ xf( t)dt也随看x变，是x的函数。

咱们也可以设∫ xf(t)dt = g（x）。

对g（x）进行微分，按照莱布尼茨的写法就是 dg( x) 。

dx

那么这么一“微”，结果是多少呢？就是f（x）！

为何如此？道理很简单，先对 f（x）“积”，积过之后再“微”，积分和微分互逆，自然就回到了原地，微积分基本定量嘛！就好像任一个数加上4 后再减去 4，结果还是原来的数，加减互逆！

用一个式子表示这个基本定理，就是：

d [∫ xf(t)dt] = f (x)

dx 0

清清楚楚，明明白白，微积分之间的基本关系一目了然，微分积分是互逆运算。

而牛顿对这个基本定理的表达就全用几何的方式，难以理解，现在是早已不用了。

虽然两位大师因为优先权问题弄得很不愉快，但两人都受到巴罗先生， 这位牛顿的老师的很多启发，这就叫“本是同根生了”。

莱布尼茨的另一件大功劳就是对数理逻辑的天才预见和开辟。

咱们说过，笛卡尔早就认为，逻辑上的原量和方法也能符号化。因为那时候代数的各种符号刚刚显出它的神力，解方程立方程就可以把以前难想的问题机械化地解决了。还有那：

∫ xf( t)dt∫ xf(t)dt

微积分对于现代科学技术，那是须臾离不开的宝贝。就是在刚刚形成那会，也立刻有了意想不到的应用。

话说 1758 年 12 月，欧洲各地千万个脑袋都时时望天上看。这是因为去

世已 16 年的哈雷教授（1656——1742）生前曾预言，这年年底将出现彗星。人们焦虑地期待着，总觉得一个人能推测生后之事，做出那么准确的预

告似乎有点玄。谁知到 12 月底，拖着长长尾巴的彗星果真出现了！彗量，这对天外来客如期而至，立刻轰动全球。

这颗慧星就被命名为“哈雷彗星”。哈雷生前是牛顿的好友，他对牛大师推崇备至。利用刚刚出炉的微积分，他对彗星轨道进行研究推算，大胆推测 1531 年、1607 年、1682 年三次出现的彗量实际上是同一颗！

再用好朋友创造的方法和定律一推算，这颗彗星绕太阳的周期是 76 年， 因此 1758 年将回到地球附近。哈雷给它号的脉一次又一次应验了，1834 年、1910 年，1986 年，哈雷彗星一次又一次出现。

利用微积分这个工具，摆钟的运动和周期能够精确计算。牛顿还根据摆

钟周期与重力的关系，考察了地球各地的摆钟运动，是出了地球是扁圆的结论！

微积分在继续扩展自己的领地。数学家们暂时忘掉了严密性，不管它对不对，逻辑上能不能严格证明，只要是直观上觉得对，又能解决问题，那就大胆地往前走。

本来，数学处处讲严密，要证明，这是欧几里德给数学的大贡献。可是把思维束缚在严密的网里，就没有创造性的发现。17、18 世纪的数学家们， 就在微积分的基础还很不稳固，有很多东西不能自圆其说的情况下，开始把这所大厦往大里盖，往高里码。

这其间最有名的就是伯努利家族。

咱们学过数理科学的人，对“伯努利”三个字是如雷贯耳，经常遇到。概率论里的“伯努利定理”，“伯努利分布”，还有什么“伯努利多项式”， “伯努利双纽线”，以及流体力学中的“伯努利议程”，如此等等。

不过这些东西不都是一个人的，有好多个伯努利的功劳。伯努利家放是数学史上最著名的家族，也算是历史奇观吧。

这个家族的光荣首先从两弟兄开始，老大叫雅科布·伯努利（1654— 1705），老二叫约翰·伯努利（1667—1748）。

这两位都是莱布尼茨的铁杆，在那场优先权的大争论中冲锋陷阵，当然那都是无用功了。但是他们是最早认识到微积分的惊人力量，并把这个伟大的工具应用于各类问题的科学家。

最著名的，要算最速降线问题。

这问题说起来挺简单，就是从 A 到 B 造一条滑道，使得物体最快下滑。按一般的想法，这滑梯就是 A、B 间的直线，两点间距离最短是直线嘛！

可是大名鼎鼎的伽利略觉得没那么简单，他认为这最速降线是一条过 A、B 的圆弧。现在咱们仔细想想怕是也能想通：虽然弧线比直线长些，但它最初的下降速度快，所以总时间必然少了。

不过那位老二约翰认为，伽利略虽然指出了方向，但没有讲清为什么。所以他在 1696 年呼吁大家来解决这个问题，比试比试看谁解决得好。

经过两兄弟的努力，还有牛顿、莱布尼茨等人的工作，终于弄清楚了， 这两点间的最速降线，既非直线也非圆弧，而是一段圆摆线！

圆摆线大伙没听说过，可是却天天见到。你在自行车车轮上做个记号， 车轮沿着直线往前滚，那画出的记号在空中跑过的轨迹就叫摆线，又叫旋轮线。

隔了一年，老二的约翰又解决了一个短程线问题，不过只是部分解决。短程线说起来大家又觉得好理解：平面上的两点，距离最短的是过这两点的线段。

可是要是在球面上呢？地球上两点间的最短线就不是直线了，球面上没有的线，那是过这两点的球的大圆！问题再扩展，任一个曲面上这短程线又当如何？可就是个高精尖课题啦。

类似的还有老大雅科布提出过的等周问题，这些都是一类求极值的问

题：最快、最短、最大，这些都是后来发展起来的一门学科——变分学的先声，微积分的发展。

比起大哥来，约翰在数学上贡献更多，但是脾气很不好。约翰脑子快一点，有些恃才傲物，功名心切。弟兄俩很快在许多问题上互相挑战。他们各自发表文章，闹得最后就不和谐了。莱布尼茨就在两边调停，当当和事佬。可是老大雅科布总觉得莱某偏袒约翰，而且自己发现的东西，莱布尼茨

声称早就做过了。所以尽管一开始对莱先生很尊重，以师礼待之，到最后牛莱风波再起，他写信给对方，对莱老头可就不恭敬啦。约翰则是铁心卫道， 时不时上阵对英国绅士们叫叫阵，唇枪舌剑来一顿。

雅科布大哥的最大贡献是他的名著《推测术》，也就是现在常说的概率论。

概率这门数学从卡当那会儿讨论赌博开始，到这时，已经变成了一门完整的科学，概率论诞生了。

概率论研究的是大量的偶然现象。投掷一枚硬币，出现正面的可能是多大？大家都能猜出是 1/2。投掷的次数越多，出现正面的次数和投掷总次数的比就越接近 1/2。历史上好多名人都做过这个试验。

雅科布总结了这方面的经验，得出一条定理，就叫做“大数定理”，也就是“伯努利定理”。关键在于，他不但提出，还给出了证明，这才是难点所在。

这两位自学成才的弟兄，不但做出了如此巨大的成就，而且培养出下一代伯努利。老二的三个儿子个个都是将门虎子，承继父业。老二的老二丹尼尔·伯努利更是了得，著名的伯努利分布、流体力学中的伯努力利议程就是此人所为。由于这些杰出的成就，他曾十次获得法兰西科学院的嘉奖。

概略地算一下，这个瑞士的家族，总共产生了 11 位数学家。列入吉尼斯当之无愧。

不过，这个家族最光荣的一件事，要算是培养出欧拉这么一位顶级的人物。欧拉的恩师就是约翰·伯努利，无怪乎人们说，他是那个时代最成功的教师。

欧拉（1707－1783），是 18 世纪数学界的中心人物，堪与阿基米德、牛顿和高斯为伍，因为他们不但是数学家，也都是大物理学家，典型的数、理双栖大师级人才。

欧拉诞生于瑞士名诚巴塞尔，13 岁就进入巴塞尔大学，师从约翰·伯努利。17 岁成为这所大学有史以来最年轻的硕士。18 岁发表论文，19 岁获法兰西科学院奖金。

通过约翰老师的两个儿子：尼古劳斯·伯努利（1695—1726）和丹尼尔尼尔·伯努利，欧拉在 1733 年获得俄国圣彼得堡科学院的任命。起先他是丹尼尔（1700—1728）的助手，后来很快接替这位伯努利当了教授。

26 岁的欧拉做了数量惊人的研究工作，可是由于太忙，条件也不好，28 岁右眼就失明了。34 岁时应普鲁士皇上的邀请，到柏林主持普鲁士研究院， 一干就是 25 年。

1766 年，俄国女皇叶卡捷琳娜二世亲自出面恳请欧拉重返彼得堡。他的工作条件大大改善了，但积劳成疾，左眼也失了明。接着又遭火灾，大部分藏书和手稿化为灰烬。但欧拉没有屈服，他说：“如果命运是块顽石，我就化作大钟，将它砸得粉碎！”

大火过后，欧拉已是位 66 岁的老人啦，可是他并没有停止思想停止工

作，又与衰老和黑暗拼搏了 17 年！凭口授发表了 400 多篇论文，许多部论著， 占他一生成果的一半！

欧拉确实是一位多产的数学家，堪称空前绝后，他同以前的笛卡尔、牛顿、以及以后的高斯不同，他没有开辟新的数学分支，但没有一个人像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学，他对数学的每一个分支都有贡献。

他是顶呱呱的方法发明家，又是一位熟练的巨匠。所以如果咱们学数学时一再听到欧拉，大可不必惊奇：欧拉公式、欧拉多项式、欧拉定理、欧拉常数、欧拉积分和欧拉线，等等。

请看如下最著名的公式：

e^ix=cosx＋isinx 而当 x=π时，就成了 e^ix＋l=o

这个关系式联系了数学中五个最重要的数：i、π、1、o、e。

其中 i 是虚数单位 ，e 是自然对数的底，是个常数约为 2．718。这

两个符号都是欧拉首先引入的。

欧拉在符号方面的最大贡献是给出了表示函数的式子：f（x）。

欧拉还解决了所谓一笔画问题。这一笔画问题说起来大伙都玩过，你能不重复，一笔画出“田”字吗？任你试千百回，也是没辙。不过要是“串” 字，可就太简单了。

其实道理也挺简单，是欧拉大师发现的。如那“田”字“串”字，可以变换成下列图形。那么一来那几个连结弧线的点便是问题的关键。我们可以看到，点 1 有三条弧线交汇于此，将这样的点称为奇点。点 1 到点 4 都是奇点。而像点 5 到点 8，就都是偶点了。

欧拉注意到，如果要画一个笔画，不是起笔点和落笔点，那么它若有一条弧线进点，就必有另一条弧线出笔，即不是起笔或落笔，必是偶点！

这样一来，能够一笔画的就只能有零个或两个奇点！一笔画问题就此解决！请看，欧拉的思路多明确，多清楚！这是 29 岁时的欧拉向圣彼得堡科学院递交的一篇论文《哥尼斯堡的七座桥》所证明的结果。

原来这一笔画就起始于哥城的七座桥。这座名城共有七座桥连接了四外区域，很早以来城中的居民就热衷于这么个有趣的问题，能不能“一笔画” 走过这七座桥。咱们把图画在这里，这些弧线自然就是桥了，大伙不妨用欧拉的办法判断一下，有没有解。

这一笔画到后来有了发展。中国数学家管梅谷在 1960 年提出过一个邮递员问题，是说邮递员投递邮件，从邮局出发，对管区内的每条街（弧线）都至少通过一次，再回到邮局。当然有时没法“一笔画”了，有的街道要经过

两次以上。不过最后有一个要求：要选择一条最短的路。管先生给出了算法， 所以这问题国际上就称“中国邮递员的问题”。

西欧的数学波澜迭起，高潮频频，那咱们中国当时的情况又如何呢？让咱们把镜头再缓缓移回东方。

且说咱中国的古代数学，自殷商而至宋元，一路领先，成就卓著。直至秦、李、杨、朱四大家，并起于宋元交替之际，创“天元术”，“四元术”， 东方巨龙腾飞环宇。

到得明代，创造性的工作，尤其是在理论方面几乎是没有了，中国数学走入了低潮。大量的数学经典因为无人研究，找都找不到啦！天元术，四元术更是无人知晓，几乎成了绝学。像《九章》这样的名著都不再流传，只有

《永乐大曲》才收有抄本。

就连有点名气的数学家吴敬，也都是听说过有《九章》，恐怕都没有直接看过，他算得上是个实用数学的推广者，介绍了一种“写算”的乘法，就是咱们前面说过“格子算法”，程大位（1533—1615）把它叫做“铺地锦” 的。

程大位是位平民，以毕生精力进行实用自然术研究，使珠算得以普及， 也实在是难能可贵了。可是这时的西域，数学正发展得红红火火，面临着革命的前夜呢。

时光很快到了明朝末年。政治腐败，连年灾荒，农民起义，倭寇袭扰， 弄得皇帝老儿坐不成龙庭，明王朝处于覆灭的前夜。

文化方面，尤其是科学技术一片凋零。就是对历法，这个关系国计民生的大事，也是严禁民间研究，“习历者遣戍，造历者殊死”。明朝用的《大统历》，日积月累用下来已有较大误差了，可是这历法依然改不得。而且精通历法的人才也缺乏，改历想改也难。

就在这时，耶稣会传教士来到中国，传入了西洋的天文历法，也传来了西方的数学，从此，西方数学开始传入了中国。

这传教士中影响最大的是意大利人利玛窦（1552—1610）。1582 年他来到中国，带来了世界地图，自鸣钟、天文仪器和数学书籍。结识了不少士大夫知识阶层人士，其中就有徐光启。

徐光启是 1600 年认识利先生的，便和他一块研究两方科学。过了六年， 就由利玛窦“口译”，徐光启“笔受”，两人合作翻译了《几何原本》。翻到第六卷，徐光启要求继续翻，利玛窦认为这欧氏几何的精要都在前六卷， 就先出版，看看大家喜欢不喜欢吧。这样，第二年就出版了。

在那科技衰落、知识饥饿、中国古算一片荒废之时，这本书确实给中国数学界带来生机，中国数学，从此进入了西学东渐的时期。

徐光启（1562—1633）中过讲士，当过礼部尚书，位至文渊阁大学士。后来他在一些西洋人的参加下，用西洋新法修订了新的历法——《崇祯历书》，不过崇祯帝不久就到煤山上吊了，用不上了。徐光启也早在这之前去世了。

这时已是 17 世纪，中国被满洲人坐天下了，但这历法又提到了皇上面前。后来，《崇祯历书》明朝没赶上用，清朝入关后倒用上了。清政府任命参加过明朝改历的德国人汤若望掌管钦天监，汤先生想想不如把《崇祯历书》换个名献上去得了。顺治二年（1645 年），就把这本历书称作《时宪历》颁行天下。

到了顺治十四年（1657），一直到康熙三年（1664），有人几次上书， 竭力反对西洋历法，声称“宁可中夏无好历法，不可中夏有西洋人”。那时康熙帝才十来岁，做不得主，就由着他们废了西洋历，将汤若望打入大牢， 还杀了五个中国人的头。

后来很快发现是件冤案，为汤若望等平了反。康熙大帝更觉得教训很深， 用人头交了学费，太有点惨痛了，决定自己亲自学习，把一帮西洋人再请入宫，给他讲述西洋的天文、数学。另一方面广泛招贤，访求人才，鼓励倡导教学天算图书的编写。皇上总算给科学技术添了把草料。

正是在这样的条件，大数学家梅文鼎（1633—1721）出现了。梅文鼎是安徽宣城人，从小就热爱数学、天文学。在当时许多古算书，古算法都濒临失传的情况下，一方面苦心钻研，另一方面吸取刚传入的西方数学片断知识， “集古今之大成，溶中西于一炉”，做出了许多优秀成果。

他被梁启超称为算学天文方面清代的“天山之祖，”清代六大儒之一。日本的一位先生更把梅文鼎、牛顿、关教和（一位日本数学家）并称为 17、18 世纪世界上三大数学家。不过，梅先生纵然在中国当时数第一，到世界上去比，自然不能和牛顿并肩，整体水平低下是不会有大家出现的。日本先生的好意咱们心领了。

梅文鼎著作甚丰，共有 88 种 200 余卷。他将西方传入的笔算由横式改为竖式，经符合中国当时直书的习惯。对耐普尔算尺，他也进行了改造，能进行采、除、开方，后来写成《筹算》一本。不过他主要在正多面体和球面三角方面，有不少创见。

梅先生的丰富常识受到康熙帝的尝识，皇上亲自召见，恩宠有加，以后又征召他的孙子梅■进入内廷蒙养斋任编修。这使梅氏祖孙的知名度大大提高，使他们的学说思想和著作广为流传，遂成一派学说，其影响达康、乾以下 200 余年，直到清末。经皇上亲自包装，效果确实不同。

有趣的是，梅氏家族也是我国少见的数学家族，除梅文鼎祖孙二人外，还有梅文鼐等其他四、五位数学家。与伯努利家族东西辉映，可称为奇观。不过从雍正帝登上龙廷，西方的洋鬼子又被赶出国门，西洋教学的传入

又被皇上叫了个暂停。咱中国这批数学家一头的兴趣没了个去处，只得拨转马头再向中国古算，整理发掘出散失已久的中国古算名著。古代传统数学来了段“回光返照”。

要说这古算书的发掘整理，那要谈到乾隆爷编的《四库全书》了。巨型丛书《四库全书》修了十年才完成，共收书 3503 种，79337 卷，分经史子集四部，故名“四库”耳。通过这部丛书的编修，许多古典算书得以保存下来， 对中国传统数学的发掘研究起了推动作用。

在《四库》编纂中对传统数学的搜集整理起主要作用有的戴震、李潢等许多人。

戴震（1724—1777）系安徽休宁人，对数学、天文、史地、音韵有深刻研究，中过举。后被推荐为四库馆纂修官。戴震倾注了大量的精力，对《周髀》、《九章》、《孙子算经》等四部书详加校勘，改了很多错误文字，对

《九章》中早已散佚的很多图形予以补绘。

那位李潢（？－1811），虽然当过工部左侍郎，也就是副部长一级的位置，但还是个学问家，尤精算学。编纂《四库全书》时，他以翰林院编修的资格担任总目协纂官，对《九章》、《海岛算经》、《缉古算经》三部书进

行了校注和研究。

这些校注工作都是挺费神的。因为这些古书辗转传抄，文字多一些少一些，读不通的地方很多。就拿戴震整理过的《九章》来说，不通的地方还有不少。李潢再次校订，多方研究，使这些不通之处都能文从字顺，容易读懂了。

还有一些《四库全书》中没有收集的，其他一些学者又进行了整理搜集刻印。经过这样多方面的努力，埋没湮灭数百年之久的科学遗产重见天日， 这是一个很大的成就。

不过当时的中国数学界也是没了办法才把全部精力投入到这档子事吧。皇帝老儿对西洋数学叫暂停，一停就是 100 多年，可那正是人家“火”起来

的 100 多年呢！

欲知后事如何，且听下回分解。