第四回 东方中国 《九章算术》标青史西域雅典 《几何原本》传百世

《几何原本》的版本竟育一千多个，在西方仅次于《圣经》。对“辗转相除”、“盈不足术”你一定感到很新奇，不过两千年前的《九章》早就有了记载。毕氏定理意和“新娘的椅子”有关系。柏拉图在门口挂了个牌牌：“不懂几何的人不准入内。”

同学们看完回目也许纳闷：上一回中说得好好的要谈谈《几何原本》， 如何又出来个《九章算术》？此两书可否相提并论？

大家有这些问题倒也并不奇怪。历来西方学界常常只提《原本》如何如何了得，忽略中国古代算术的独特成就。大家学到初中，也往往只知有《原本》，不知有《九章》，都因为咱们现在的数学体系，全以《原本》为蓝本。

其实，两篇巨著都是名标青史、流传百世的大手笔，各有千秋，各领风骚，各辟蹊径，代表了数学发展的不同方向呢！

再说，虽然《九章》不知出自何人之手，而《原本》是由自欧几里德著， 但两书成书的年代（那时不能叫出版，没出版社，都是手抄本），大约都是公元前二三百年间，《几何原本》要稍稍早一点。

花开两朵，各表一枝，让我分头说起。

且说古华夏文明在开始的几干年确实是灿烂，确实够辉煌。就从数学这方面说，咱们在前面已经看到，拿过好几项世界冠军：十进制位值记数法， 最早的先进计算工具算筹，《周髀》中介绍的勾股定理、日影测量以及复杂的分数运算。

《周髀算经》中分数运算已经很令我们吃惊了，在那样繁杂的分数除法中，很正确地使用了分数的基本性质，达到了熟练运算而法则也了然于胸的程度，不简单，堪称世界第一。

不过，比起《九章》中的分数运算来，《周髀》就比较逊色了。《九章算术》中的分数运算法则系统明确，除了约分等的步骤与今略有不同外，其他运算法则与如今的完全一致。

那么《九章》又是一本什么样的算书呢？起自何代？出自何人之手？内容有哪些？下面我就——道来。

我国古代数学典籍，是十分的丰富。其中尤以“算经十书”最为宝贵。这“算经十书”是几千年来，辗转相传的中国古代算术的精华本，使得中算传统一脉相承，具有自己的特征和风格。而《九章算术》正是《算经十书》中的最重要一部！后世为《九章》作注解的，学习《九章》进而研究并成正果的，把自己作的书也称为什么什么九章的，大有人在。

《九章》，标志着我们中国初等数学体系的建立，所以在隋唐那时候， 国家当时就在相当于现在的国立大学里，设立算学专业，用的教材就是《周髀算经》和《九章算术》。

说了半天，这《九章算术》到底是什么时候由什么人写成的呢？

由什么人写成的，这已经很难考证出来了，除非以后在地下挖到的什么“简”上有另外的说法。不过从这本书的情况来看，很可能是经过许多人辗转传抄，再加上批注一番，或者增加一些，才成了一本书。

那么这本大约又是什么时候写成的？这也好像不能完全肯定。有人认为

是西汉时期；有人认为与《周髀》同时。不过成为我们现在看到的这种样子就比较晚了。

现在流传的是刘徽加了批注的本子了。刘徽“幼习九章，长再详览”， 也就是说小时候认真细致地学习《九章》，长大后更进一步详加研究，于是成为名闻中外的数家大家。

那么《九章》究竟又有些什么内容呢？

它是一本数学应用的问题集，一共收集了 246 个问题。

说到这儿，可能有些朋友会感到心烦，在学校、在家里被习题集折磨得已经够呛，想弄本演义轻松一下，不想又碰响了地雷。

要我说那《九章》里面的 246 个问题不是什么题目，咱也不敢昧着心瞎蒙。不过，那古人的意思是借题说“法”，说算理，讲述一般的原则，比如像约分通分啦，方程的解法啦等等。所以，这至多是一本通过例题来讲解方法和原则的书籍，倒根本不是那些搞题海战术的习题集。

《九章》采用的是“问——答——术”这样一种编排的方法，就是先提出问题，再给出答案，最后得出一般的算法。

这算法咱们不要简单地认为就是计算的方法，而应当把它看作是解决问题的方法来得更得当。当然，这解决方法可以是比较具体的，也可是解决一大类问题的一般方法，自然也可以包括计算的方法。

不过这算法不能是泛泛而谈，而是要有具体的步骤，告诉人，一步一步该怎么做。

那《九章》里面的“术文”就是表示算法的，也就是一个程序，而且确实可以用计算机程序设计语言把这些程序写出来，上计算机运算。

现在还有人更想得深刻，也比喻得很生动。他们认为那在古中国时时在用的算筹就好像是计算机的硬件，而“术文”则是软件。有软有硬，形成了传统中国算学的程序化计算的风格。

这样一种与电脑的使用相映成趣的古今局面，自然引起国内外有关专家的兴趣和注意。

从《九章算术》起，中国古代数学著作大多沿用了“问——答——术” 这么一种形式，你看，影响多大！

在书中的这 246 个问题中，有的是一题一术，有的是多题一术，有的是一题多术。而且整本书都按实际应用分为九部分，这就是“九章”的来历了。

这九章分别是：方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

所谓方田章，主要就是计算各种形状的田亩，有方形的，等腰三角形的

（叫“圭”田），直角梯形（“邪田”），还有什么“箕田”（等腰梯形）， 圆田（圆形田地），弧田（弓形）等等。

方田章先明确方田的算法：“方田术曰：广从步数相乘得积步。”又说“广从里数相乘得积里”。方田，就是正形或长方形的田地。

这里的“广”，就是宽。“从”就是“纵”，也就是长，“广从步数相乘”所得到的就是面积的步了（平方步，那时还没有这概念）。

对于圭四（等腰三角形）的面积，是这么求的（“术”）：“半广以乘正从。”“正从”，就是等腰三角形的高。“半广”，当然是指“广”的一半了。所以当然有：

1

圭形面积＝ 2 广×正从。

那么一般的三角形为什么就没有招“术”了呢？可能是等腰三角形沿高对称一裁，再移过去一拼，就是一个长方形了。而一般的不等腰三角形就不太好拼了。想想这些古人也真不容易，研究了半天，还只能得个等腰三角形的面积。

《九章》中对梯形的面积，给出的“术”也完全 OK。而对圆型的面积计算，有的正确，有的就不对了。

咱们现在看看《九章》方田章第 31 问。原汁原味，抄录如下：“今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？”“答曰：七十五步。”

这里面“问”和“答”都有了。

“问”中是说，有一块圆形的田，周长是三十步，而直径是十步，请问这块田面积多少呢？这里周长与直径之比，也就是圆周率，是 3，自然很不精确。刘徽先生在几百年后的三国时期（他是魏国人）看到这圆周率 3，自然觉得有补充、更改的必要，所以就很详细认真地进行了研究，并发表了论文（他很谦虚地用给《九章》加注的形成公布了他的光辉论著），咱们在后面会慢慢谈起他的这些伟大成就。

那么，计算圆的面积，为什么给了周长，又给直径呢？那不是多给已知条件了吗？

实际上并不是这样，而是因为随后给出的招“术”中，有四个计算公式， 都是利用圆周、直径表示的。

“术曰：半周半径的相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一。又术曰： 径自相乘，三之，四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。”

瞧瞧，一下子给出了四个“术”，或者说四个解题的程序： 圆面积＝半周×半径，

1

圆面积＝ 4 ×圆周×圆径

3

圆面积＝ ×圆径×圆径

4

圆面积＝ 1

12

×圆周×圆周

这里，都是把圆周率取为 3。你用圆周率 3，可以很方便地在这四个公式之间互推。

平面圆形面积当然好算一些。那么，体积在《九章》中又有什么“术” 呢？

体积的算法集中在商功章里。商功章里首先就给出了城墙啦，堤坝啦， 沟渠啦等等的体积，这些体积好算，大家在小学就学过，不外乎截面积乘以一个长度，而截面大多又是个等腰梯形。商功章中给出的术文是：

“并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。”

那个“上、下广”，就是截面等腰梯形的上、下底；而“高、深”，就是截面的高；而“袤”、就是城墙沟渠堤坝之类的长度了。很显然，这个公式与现在的计算是分毫不差，值得赞叹。也难怪，春秋战国一直到秦始皇， 修长城筑城墙挖沟渠都成了小小老百姓每年每日的功课了，再算不好体积， 量不出土方就对不住伟大的秦始皇们的栽培了。

这个圆柱体呢，在那时叫“圆■■”（bǎodǎo），也就是一个土碉堡，

土炮楼子。刘徽说：“■⋯⋯谓以土拥木也。”也就是用木头搭个架，然后用土拥上去，成一个小土堡。

可见那时候庄圆主们的土炮楼比比皆是，使得《九章》作者的脑子里的印像，圆柱体就是土堡子了。

圆■■的计算“术”是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是：

体积＝ 1

12

×（周长） ² ×高

考虑到那时候 3 是圆周率，那么这个公式是一个精确的、正确的公式。如果不准，那是因为圆周率。

《九章》中的“方亭”、“圆亭”也很有趣，大家想想，亭子这种建筑大体是什么形状呢？大体上是上面小一些，下面大一些，也就是我们所谓的台体。

所以“方亭”、“圆亭”，就是今天的正四棱台和正圆台。像这种台体的体积，算起来是很复杂的，差不多要到高二才能学到。我们在前面提到过， 古埃及曾正确地写出它的公式，那可是古埃及数学王冠上的一颗明珠。

而在商功章中，对方亭、圆亭的“术文”分别是： “上、下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。” “上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。” 第一条是说“方亭”的体积：

上方×下方 + 上方² + 下方²

体积＝ 3 ×高

第二条是说“圆亭”的体积：

上周×下周 + 上周² + 下周²

体积＝ 36 ×高

这其中所谓的“并之”，就是相加的意思。而上、下方指的是正四棱台

（就是一个正四棱锥截去一个尖顶）上、下底面的边长；而上、下周是正圆台上、下底面的周长。

瞧瞧，比古埃及的成就毫不逊色，而且还多一样圆台（下面我们会看到， 还有多得多的在等着）。

许多西方的学者把埃及人的公式称为“最伟大的金字塔”，“了不起的成就”。这些称赞也许都还算恰如其分。不过，好像他们没想到中国。

中华古算在体积、面积的计算方面是当之无愧地领导世界新潮流。

在上面第二个式子中，分母为什么是 36 呢？这也是因为在分子中底面面积的计算是通过周长而来的，把周长用半径换掉，并且圆周率取 3，那么就得出和现在任何一本教科书，任一本数学手册上一模一样的公式了。伟大！如果那些对古埃及的成就感到惊讶的西方学者，看到下面的公式，他们

肯定会再一次对华夏文明产生深刻印象：

下方² × 高

方锥体积＝

圆锥体积＝

3 ，

下周² × 高

36 。

这两个公式比台体体积公式自然要简单一些，但也是来之不易。不可能想象，我们的祖先都是一个一个公式通过大量的实例逐渐试出来的，肯定有某种推理和推导和过程，只不过他们认为不重要而省略了。

从以上咱们可以看出，我国几何偏重于实际运用，与希腊几何编于证明推导完全不同。但到三国时代，赵爽、刘徽两位大数学家对《周髀》和《九章》作了很多重要的补证，严密而又精巧，在我国数学的发展上起到极其辉煌的作用。

讲了这么多的《九章》中的几何，其实，《九章》中成就最辉煌的还是算术和代数，它远远超过公元 270 年左右的古希腊水平。

咱们现在学习分数，一般在小学就可以完成了，名副其实的“小儿科”。但现在这一套运算法则，性质等等，欧洲的洋人们一直到 15 世纪以后才逐步形成。原因就是因为一开始，随着巴比伦人走进那六十进分数的繁杂迷宫里去了。

咱们中国人可就幸福多了，《九章算术》是全世界系统地叙述和形成分数算法的最早著作，这个“早”还不是一般的早，而是整整早了 1500 多年！

当然，那时的分数理论和算法与现在的稍稍有些不同，但这种不同决不是本质的。

《九章》中对分数是这么定义的：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这里的“实”就是被除数，“法”呢，就是除数。上一句话也就是：“被除数除以除数，如果不能除尽，便可以用法定义一个分数。”

为什么那除数叫“法”呢？其实，“法”就法律规定下来的单位量度。除法，实际上就是看看被除数里面有多少除数，那除数不就相当于比较、度量的单位吗？

咱们在前面已经看过了，“三十六之一”，“八分之四”，等等，都是书中的分数。

所以，以分母为“法”，为标准，分母相同的分数自然归为一类；而不同的就不是一类。

异分母不能相加减，这在《九章》已有认识了。所以，要通分。当然也要有约分，这都在《九章》有清楚明白的叙述。

约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 更相减损，求其等也。以等数约之。”

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。

辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。

对于 52317 和 75569 两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。

现在教你用辗转相除法来求最大公约数。

先用较大的 75569 除以 52317，得商 1，余数 23252，再以 52317 除以23252，得商 2，余数是 5813，再用 23252 做被除数，5813 做除数，正好除尽得商数 4。这样 5813 就是 75569 和 52317 的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。

那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。

比如说有要求 a、b 两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用 a 除以b，得到商 8，余数 r1：a÷b＝q1⋯r1 我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1l）

如果 r1＝0，那么 b 就是 a、b 的最大公约数 3。要是 r1≠0，就继续除， 用 b 除以 r1，我们也可以有和上面一样的式子：

b＝r1q2＋r22）

如果余数 r2＝0，那么 r1 就是所求的最大公约数 3。为什么呢？因为如果 2）式变成了 b＝r1q2，那么 b1r1 的公约数就一定是 a1b 的公约数。这是因为一个数能同时除尽 b 和 r1，那么由 l）式，就一定能整除 a，从而也是 a1b 的公约数。

反过来，如果一个数 d，能同时整除 a1b，那么由 1）式，也一定能整除

r1，从而也有 d 是 b1r1 的公约数。

这样，a 和 b 的公约数与 b 和 r1 的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那 b1r1 的最大公约数，在 r1＝0 时，不就是 r1 吗？所以a 和 b 的最大公约数也是 r1 了。

有人会说，那 r2 不等于 0 怎么办？那当然是继续往下做，用 r1 除以r2，⋯⋯直到余数为零为止。

在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。

一般用辗转相除法，都列成下面的式子：

这就是一开始说的那题。

不过，《九章》中的辗转相除法略有些不同，它叫“更相减损”，是辗转相减的方法。这也很好理解，除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算，一直减到结果比除数小为止。

比如我们用“更相减损法”来求 91 和 49 的最大公约数，可以由 91 减

49 一次，得余 42；再由 49 减 42 一次，余 7；更由 42 减 7，这一回要减五次，

余的还是 7，再减，就是 0 了。那么这个 7 就是 91 和 49 的最大公约数。

这个 7 就是约分术中所谓的“等数”，因为减得结果和最后一次的减数相等了，就叫等数。

辗转相除法在小学中学都没教过，恐怕是有点难讲清其中的道理。不过， 两千多年前的古人居然有此创造，咱们后人再学不会，可就惭愧了，何况这还是一种很实用的方法。

总而言之，分数的加、减、乘、除在《九章》已有完备的“术”了，咱们上面只不过说了比较精彩的一些罢了。中国的分数这一套东酉，是对世界数学发展的重大贡献。印度人后来学了去，把筹算改为笔算，再后来阿拉伯人又传到欧洲，这才把欧洲从巴比伦六十进制分数的受苦受难中解放出来。不过那已经是十五世纪了。

此外，《九章》中还提出了正、负数运算的法则，远远比其他国家为早。且说《九章》中还有一样十分有趣、十分精巧的解题方法，后来在欧洲

被称为“双假位法”，特别受重视。在 16、17 世纪，欧洲人的代数学还未发展的时候，竟称霸数学王国，成了一种万能算法。这就是所谓“盈不足术”。

典型常见的有这么一题： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 说的是许多人合买一件东西，每人出钱八，多出了钱三（即“盈”）；

每人出钱七呢，又少钱四。那么人数和物价各是多少呢？

《九章》中给出的算法程序（“术”）确实很巧妙，而又科学精炼。两千多年前能达如此成就只能说是奇迹。它给出的方法是这样的：

首先，人数的计算很简单，每个人两次出钱，相差为 8—7＝1；这是所谓“一人之差”。而“盈不足为众人之差”，也就是说由于每个人两次出钱都差一点，导致了最后有 3 个“众人之差”，大家相差的就是“盈”的三块钱和“不足”的四块钱之和，“众人之差”是七块钱。“以一人之差约众人之差，故得人数也”。咱们现在以 7 除以 1，就得到了人数是 7 人。下面再来算算买一件东西，不多不少钱正好的话，每人应该出多少钱。

古人是用比例来想这个问题的。这可以这么想，很巧妙：

如果每人出 8 块钱，买一样东西，就多出 3 块钱，那要乘以 4 倍呢？不就是出 8×4＝32 块钱，买到 4 样东西，多 3×4＝12 块钱了吗？为什么要乘以 4 呢？这 4 不就是那不足之数 4 吗？

所以对每人出七块钱买一件东西从而不足了 4 块，咱们当然可以让它扩大 3 倍，变成每人出 7×3＝21 块钱，买 3 样东西，就少了 4×3＝12 块钱。这么一处理，就让两次多的和少的钱相同了。于是通通相加，也就是每

人出 8×4＋7×3＝53 块钱，买 4＋3 样东西，第一次多的 12 块与第二次少的12 块相抵、变成不多不少正好。

每人出钱53块，买了7件东西，所以买一件东西每人应出钱 53 。

7

上面已经算过有 7 个人，所以物价应该是 53 块了。

当然，《九章》中的盈不足术是一套简炼完整的计算程序，用下面的图示可以更清楚：

人出钱买物盈不足 x1x2 成比例 x1y2 1 1 y1（盈）y2（不足）扩大 y1y2

（盈）x2y1 合并相加 x1y2＋x2y1 人数 y1y2＋y（不足）（不多不少）物价

那“盈不足术”中的物价是如何推得的，相信大家不会使古人失望的。令人感到有趣的是，用这种方法还可以解一些看起来根本就不是盈不足

的问题：

“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜瓠各长几何？”

说的是一堵墙高九尺，墙上是瓜蔓，墙下有瓠蔓，各向中间长，速度都是已知的，何时相逢。

《九章》中是这么做的，你看绝不绝：

如果长了五天，那瓜蔓长 3．5 尺，瓠蔓长 5 尺，还不足 0．5 尺。如果六日之后呢，瓜蔓长 4．2 尺，瓠蔓长 6 尺，又多出 1 尺 2 寸。这样就转化成了盈不足问题了，再用“盈不足术”来解就会有：

6 × 0.5 + 5 × 1.2 ＝5 5

（日）

1.2 + 0.5 17

这“盈不足术”在那时的作用可真是算得上万能的了。后来这方程术就

进一步发展了演算程序化的传统，使古代筹算进一步达到完善的水平。

《九章》中的方程都是多元的一次方程组。这样的方程组又叫线性方程组，因为每个未知元都是一次，方程表示的曲线都是直线（或平面），所以叫线性方程。下面就是用今天的符号给出的一个线性方程组：

3x－2y＋z＝10

－2x＋y－3z＝7 9x－y＋4z＝8

解这个方程组不是什么难事，常用的是加减消元法。在解的过程中大家都会觉察到，对于一个线性方程组来讲，它的解是多少，有解没有解，起关键作用的，是各变元的系数和常数项，所以人们往往把这些系数、常数项按顺序排成一个“阵”——叫矩阵：

只要对这个矩阵进行适当的变换，就能知道有没有解，解是多少等等。比如说对矩阵的任意一行，都可以乘以一个不为零的数，进行变换，因为相应的方程也可以进行这样的变换。

人们利用矩阵来讨论线性方程组，可就方便多了。而且矩阵的提出使得人们能在更高更抽象的层次上研究问题，也就使得问题的解决更深刻更一般。可以说，数学概念的每一次提高和抽象，都会带给我们丰硕的果实。

不过，大家享受到矩阵带来的成果，那可是十八世纪的事了，那时才解决了线性方程组的一般理论。

但是，在《九章》中，就已经出现了矩阵的运算，矩阵的变换。《九章》中解线性方程组的“术”，就是利用矩阵的各种变换完美解决的。

当然，当时的矩阵是算筹提出来的。通过对这样一个算筹提出的矩阵进行“遍乘”、“直除”这些变换，解出线性方程组。这和现在的思想是完全一致的。

可以说，这在世界上是最早的先进数字方法。

《九章》中的第九章，就叫勾股，专门讨论勾股定理的各种应用。从此， “勾股术”成了中国数字中一个传统保留项目了。

《九章》中的勾股应用，已经相当深入了。比如有这样影响后世的趣味题：

“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”

说的是有一个边长为一丈的方形池子，正中央长着一棵“葭”（jiā，初生的芦苇），水面以上部分是一尺。现在把这棵“葭”拉斜到岸边，顶正合与岸齐平。问水有多深，芦苇有多长。

《九章》中是这么教你解题的招“术”的：

“半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。”

咱们要是用今天的符号来说的话，比如设池的半个边长为 a，池深 b，葭长为 c，那么按“术”则有：

a ² − (c − b)² 5² − 1²

水深：b＝ ＝ ＝12（尺）

2(c − b) 2 × 1

葭长：c＝b＋（c－b）＝13 尺

同学们只要稍稍将水深公式变一下形，就会发现是完全正确的，是勾股定理 a²＋b²＝c² 的变形、翻版。那为什么要变成这种样子呢？那自然是因为现在 c、b 都不知道，已知条件中只有 c－b 是 1，所以就要用 a（＝5）和 c

－b（＝1），把未知的 b 表示出来。这就是在今天，给我们一些学过勾股定理的人来做，也未必能得出这么个公式。

给了个公式，请你证一证、推一推对不对，也许比较容易；没有公式要寻找出来，可就有难度了。

这么个有趣的题目自然引起大家的胃口，据说好像还出口过，外汇自然是没赚着了，也就是增进各国人民的友谊吧。

这出口的国家似乎是印度。印度有本古算书上写着这么一首诗： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一

边。渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这本印度古算书迟于《九章算术》，所以有人估计是从中国传抄过去的。

这是完全可能的。说不定玄奘大和尚用它换回了两册经书也未可知。

《九章》中还有其他一些勾股互求的公式，如：

a ² − (c − b ² )

c＝ 2 − (c − b)

＋（c－b）

a＝ 2(c − b)(c − a) ＋（c－b）

这里 a、b、c 分别是勾、股、弦。此外还有计算直角三角形内切圆直径、内接正方形边长的公式。对于这些正确无误的公式，我们只能除了表示佩服以后，再也不能有其他更好的评论了。两千多年前的中国人能把学问做到这份上，真能算得上超一流水平。

咱们中国古算历史上的明珠，就大致地说这么一些，现在也该欣赏一番西方数学的明珠——《几何原本》了。

且说这《几何原本》四字，现如今人人皆习以为常。而“几何”，也已成为现在研究空间形式这一重要数学分支的名称了。

岂不知那欧氏的传世之作，原只叫《原本》（Elements），“几何”原意是多少，利玛窦等在翻译《原本》的时候，认为这本书是所谓“度数之宗”， 也就是数学的老祖宗了，所以取名为《几何原本》。

要说这《原本》，虽然作者是欧几里德无疑，但他老先生的原著已经找不到。不要说原著，就是那个时代的手抄本也绝了迹。《原本》现在的版本， 都是以亚历山大里亚的泰奥恩的修订本为依据。泰奥恩，公元四世纪末人， 离欧几里德的时代有 700 多年了。泰奥恩修订本的抄本，再加上他讲课的记录，以及后来十八世纪在梵蒂冈图书馆发现的一本希腊手稿，这些就成为研究《原本》的珍贵资料了。

那欧几里德把这本书起名叫《原本》，他的本意就是写一本数学中一般原理和定理的书籍。“elements”这个词，古希腊就是指的最基础的，最重要的，就像字母是构成语言的基石那样。事实上希腊文中的“字母”，就是这个词。

所以，和平常的想法不一样，欧几里德的《原本》不是单讲几何的，它还包括相当的数论和初等代数，可以说是对希腊数学的古典时期的一个系统整理。

其实在欧几里德之前，古希腊已经有不少人写了一些数学原理之类的书。可是《原本》一出现，立即就受到最大的重视，而那些以前类似的书根本就没有流传下来。好像是大树之下的小草，那个叫做历史的老头，根本就没把它们放在眼里。

从 1482 年的第一个版本出版到现在，已出现了一千多个版本。两千多年来，它对整个数学的影响是无与伦比的。在西方，除了圣经以外，没有任何著作能像《原本》那样被广泛引用、认真研究、奉为至理。

那么这本书到底成功在什么地方呢？是不是因为包括了许许多复杂的知识，精巧的问题，从而使它有了不朽的声名呢？当然不是。要是编编习题集或是什么大全能来个流芳百世，那也太容易了点。

欧几里德的主要功绩，倒不是发现了多少定理，而是把多少世纪以来积累下来的所有几何知识组成一个体系，一个由逻辑规律排列整理得井井有条、从简到繁的定理系列。命题和定理在《原本》里，不是没有联系地杂乱地堆在一起，而是有一种前后的逻辑顺序，清晰而又严谨。

好在咱们都学过平面几何，都熟悉这么一种井然有序、前后一致的风格。当然，某条定理是怎么证出来的，根据是什么，一般都可以追溯到；但是这么一直地往前头追源头，追到最后必定有一些“根据”，有一些理由是不能再往前追了，或者说，我们追到源头、起源了。

这些不用再证明的东西就把它们作为不成问题的真理接受下来，就叫做公理。

由几条不多的公理出发，就可以推出许许多多的定理，构筑起几何的宏伟而又严谨的大厦，欧几里德是这么做的第一个人。

把思想用公理形式确立起来，表达出来，就叫做公理化的方法。也许， 它是古希腊数学的最伟大的成就。所以有人说了，《原本》的内容固然重要， 但那些内容借以表现的形式更为重要。“公理的方法”在今天已经渗透到数学的每个领域了，而世界上第一个公理体系，当然就是《原本》了。

欧几里德作为公理化的老祖宗，自然也是著作颇丰，起码写了十部书， 而且保留下来的也不下五部。比如说，他写过《二次曲线》，是讲椭圆、抛物线等圆锥曲线的；还有两本，一本叫《辨伪术》，包括一些正确的和错误的证明；还有一本《数据》。这两本可能都是练习题和训练手册，是教育学生用的。也有人说，《原本》也是一本最早的教科书。

但是欧几里德的《原本》真有点太那个了，太有点光芒四射了，不但使得周围的人相形失色，也使得他自己的其他成就被掩藏得看不清楚。其实， 他的其他著作，如果是别人写的，也足够辉煌和炫耀一番的。他甚至还写了

《光学》和《镜面反射》这样的物理著作呢！

已经数不清有多少人从《原本》中接受到教益，接受到伟大的启示，或者很可能改变了他人生的道路。不过我们可以肯定，没有一位自然科学家没学习过《原本》，没有为《原本》那严密的逻辑体系，那逻辑美所陶醉。就是个社会科学家吧，如果没有学过那《原本》，甚至中学时对几何就厌恶， 看见几何证明就想吐，恐怕绝对成不了大哲学家，或者咱们可以直截了当地说，他简直不够一个家，即便是什么研究社会科学的。看看那二十世纪有名的英国哲学家罗素，他不但是一位大哲学家，简直还是一位大数学家呢！恐怕正因为有后者，才成就了前者。

要说对《原本》佩服得五体投地的，恐怕还得算爱因斯坦了。他老人家小时候八九岁时看到了《原本》，被它那逻辑体系镇得直吐舌头，一直到老都难以忘怀。他是一位被《原本》深深震撼，深深影响的人物。

他多次赞叹过这本著作，他老人家说过这样一段话： “世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一

步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。

推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。”

爱因斯坦老先生的这番话，自然是把评价推到了高峰。不过，这样一种严格的一步一步推导的数学书，使人感到好像数学是从天上掉下来的，感到似乎数学家仅仅用用演绎推理就能搞出发明创造。

其实，证明之前必先有猜想，综合之前必先有分析。希腊人坚持要有准确的概念和证明，这个美德从数学的创造发明来说却是一个缺点。

说起来也挺有趣，希腊人自己把从定理直接推出的结果称作系，不是很看得起的，他们甚至把这些结果叫做横财或红利。

当然啦，建立一个公理体系毕竟是一项创世纪的伟大成就，但不能把它绝对化。

咱们在这说了半天，还不知道欧几里德是何许人也。

这欧几里德，约为公元前 330 年到公元前 275 年人，籍贯古希腊，职业数学家兼教育家。在古埃及托勒密王时代，曾到亚历山大城（即亚历山大里亚）办学，好像是当过亚历山大大学的数学系主任，在那里建立了以他为首的数学学派。

话说到这，可能有朋友发话了，那欧几里德乃希腊人氏，他到古埃及去走的是哪门子亲戚？要么是托勒密大王引进外国人才，请他去凑一份？实际并非如此，其中原委还容一一细说。

欧几里德和以后要提到的另一位大数学家阿波罗尼斯（能和欧氏相提并论的不多），都属于希腊历史上第二个大分期，即亚历山大时期。第一个时期就是毕达哥拉斯们生活过的希腊古典时期。

且说公元前 400 年左右，那希腊的北邻马其顿王国渐渐壮大，经过改革，

兵多将广。国王腓力普自然想把南面的邻居吃进来。到了公元前 337 年，腓力普征服了希腊。

过不了几年，他的儿子亚历山大（公元前 336——323 年）继位，发动了空前的侵略战争，把巴比伦、埃及等等统通收入名下，形成了一个横跨欧、亚、非洲的大帝国。他就是历史上有名的亚历山大大帝。

那马其顿深受希腊文化之影响，大量的希腊人移居到埃及和东方。希腊的经济文化在这些地方产生了较大影响。所以希腊文明就进入了亚历山大时期。

亚历山大大帝在埃及得手后，就在那里建筑了亚历山大城。在极短的时间里，亚历山大城便奇迹般地成为富有壮丽的世界性大都市。

到了公元前 323 年，那个有点像成吉思汗的大帝死了，他的大帝国就分裂成了三个，但仍然在希腊文的笼罩之下。

那埃及这一块，就由托协密统治。他把亚历山大城定为首都，便立即建立了著名的亚历山大大学。那规模，那建筑，不但当时首屈一指，就是现代大学也敢比试比试，不相上下。教室、实验室、花园、博物馆应有尽有。尤其是那大图书馆，号称拥有六十万卷纸草书。在很长时间内被当作是世界各地学术著作最多的宝库。

这么个名牌大学，使亚历山大城成了希腊文明的首府，并且足足延续了一千年。

那么好的条件，自然是饱学人士心心向往的地方，于是欧几里德也从雅典来到了这里，主持数学系。

欧几里德曾经师从柏拉图。这柏拉图可是个不同凡响的人物，他写过一本著名的书《理想国》。

柏拉图（公元前 427—347）出生名门，少有壮志。后来他在雅典开办了著名的柏拉图学园，实际上是有史以来第一座大学。

柏拉图是那时代最有学问的人，虽然不是数学家，但他深信其对哲学和了解宇宙的作用。在他的学园门口挂着这么个牌子：不懂几何学的人不准入内。

有位仁兄很想研究研究哲学，可是数学却是不咋的。柏拉图毫不客气地说：走开！你没有哲学工具。

在这么一位老师的教导下，再加上他大师兄亚里士多德创立的逻辑学， 给欧几里德写《原本》准备了沃土。

那亚里士多德也是个赫赫有名名垂青史的大学者，是柏拉图的弟子，后来自己另立门户，叫吕园学派。吕园里有个花园，一个课堂和艺术之神谬斯的祭坛。柏拉图对他这位高足那是大加赞赏；什么“学园的精英”，“智慧的化身”，等等。

亚里士多德自己也收了一位高徒。这位徒弟是高得不能再高了，就是亚历山大大帝。所以“亚先生”曾贵为帝师。虽然是伴君如伴虎，不过也得了不少利，建立了最大的动物园和最大的图书馆。

且不说这位欧几里德的大师兄如何博学——确实是博古通今，集诸子百家于一身——单道他创立的逻辑学，就是学术界了不起的大事。

从亚里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来的。他的基本逻辑原理——矛盾律，就是说的一个命题不能既是真的又是假的；排中律，它指出一个命题必然是真的或者是假的。而这，就是数学间接证法的根据呢！亚里士多德用当时课本中的数学例子来说明他的逻辑推理。亚里士多德的逻辑一直到 19 世纪还没有能挑出它的毛病。就是今天，也

是我们一直使用着的规律。

有了这么些准备，有了这么一种创造的氛围，那《原本》当然应该是呼之欲出，没有欧几里德，也会有其他里德把它写出来，传下去。

这《原本》共分 13 篇，共包含 467 个命题。

第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇是比例论；第六篇是相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可度量的分类；第 11 到第 13 篇是立体几何和穷竭法。

那第一篇自然从必要的初步的定义和公理开始，逐步展开完整的体系。它包括 48 个命题。第 47 年命题就是毕氏定理，不过给出了一个一直到现在都经常在引用的巧妙证明：

这个图不知为什么在西方叫新娘的椅子。主要是通过等积来证明。比如，

（AC）²＝Z△JAB＝Z△CAD＝ADKL，同理还有（BC）²＝BEKL，如此一来，毕氏定理自然是顺势得出，小菜一碟。

第一篇里的两个命题 12 和 13，合起来就是我们今天的余弦定理，那余弦定理也就是勾股定理的推广。

至于第七、八、九三篇，共有 102 个命题，主要是初等数论。其中亦有大名鼎鼎的辗转相除法，所以在西方，它又被叫作欧几里德算法。

第九篇的第 14 个命题是所谓算术基本定理。既然称为基本，当然价值连

城。它是说任何大于 1 的整数都唯一地表示成质数的连乘积。

那第 20 个命题的证明，更被数学家们津津乐道，公认为数学的典范，证明的楷模。

这条命题是说，质数有无限多个，欧老先生是用间接证明即归谬法得出的：

假设只有有限个质数，不好用 a、b、⋯⋯、k 表示之。再设 p＝ab⋯k， 也就是这若干个有限质数的乘积。则 p＋1 要么是质数，要么是合数。倘若是质数，那 a、b、⋯⋯、k 已经是全部质数了，而 p＋l 比它们都大，所以，依假设不是质数；如果 p＋1 是合数，那么必有质因数，而这质因数必不是 a、b、⋯⋯、k 中的一个，因为这些数除 p＋1，都得余数 1。而 p＋l 既有不同于 a、b、⋯⋯、k 的质因数，与假设又生矛盾。种种矛盾都是因为假设的不对，假设的错误，所以必有无限个质数。

要是说到第五篇比例理论的话，那就一定要提到另一位大家——欧多克斯。这位欧先生自然也是学富五车，才高八斗，比例理论全是他精彩而严密的创造。欧几里德老兄看到了当然是爱不释手，立马收入自己的著作。事关

知识产权问题，在下不得不絮叨清楚。

那欧多克斯的比例理论深刻在什么地方？为何被各路神仙纷纷看中？却

原来毕氏学派发现了烦。

、 这样的无理数后，立刻给比例理论带来很大麻

原来的比例理论是建立在整数之比这个基础上的。比如 A、B、C、D 四个同类型的量，如果 A：B＝m：n，而 C：D 亦有 m∶n，那么 A∶B＝C∶D。现在A 与 B 之比很可能不是个整数之比了，这比例就遇到了麻烦。紧接着，相似形理论也会遇到大麻烦。

欧多克斯敏锐地觉察到问题，用巧妙的方法提出了两个比相等的新的定义。他的比例理论和定义，为以后实数系统的理论提供了发展的基础。

有人认为，在 17 世纪中叶以前，数学上再也没有出现可以和欧老先生（欧多克斯）所具有的洞察力相提并论的事了。

“穷竭法”也是欧多克斯的一项创造。在《原本》的最后一篇有着这种方法的应用。

其实“穷竭法”计算面积，和中国大数学家刘徽用的“割圆术”差不多。比如说要算圆面积，就先用内接正方形面积近似；再在内接正方形的基础上改成内接八边形；接着再改为内接正十六边形，等等。这样，就越来越逼近了圆的面积。这实际上是一种极限的思想。

《原本》曾用这种方法和反证法，得出了两个圆面积的比等于它们的半径平方之比。就是用今天的眼光来看这些证明，也是非常的优美、严格，超过了牛顿、莱布尼兹在微积分初创阶段所做的同样工作。

《原本》的高妙之处自然还有不少，但是我们也该提一提欧几里德同时代的另一位大师，著名的阿波罗尼斯了。欲知后事如何，且听下回分解。