从笨孩子到著名数学家

父教母诲

希尔伯特1862年1月23日生于东普鲁士首府哥尼斯堡一个乡村法官家庭。希尔伯特的祖父和父亲都是法官。两代人的法官生涯培养了这个家庭严谨、求实的传统。

希尔伯特的母亲是一个有知识有教养的女性。她很喜欢学习。虽然是一个没有社会职业的家庭主妇，可是她不仅懂得哲学、天文学，还对数学有很深的研究。她读书学习并不是为了谋职，而是出自个人的兴趣和爱好。长期对知识的追求，使她成为学识丰富和眼界开阔的人。

常言道：“父母是子女的第一任老师。”从希尔伯特出生起，父母就十分关注他的成长，注意采取各种形式对儿子进行教育。在家庭生活中，创造出崇尚知识、热爱科学的良好氛围。这个家庭，不摆古玩字画，不养花鸟鱼虫，当着孩子不谈官论商，不讲钱财田产。然而，他们却购买书籍，谈论知识和知名科学家。在这样一个追求知识、崇尚学习的家庭中，希尔伯特受到的影响是，学习和思考是一种美德。当希尔伯特稍稍懂得一些道理时，父亲开始教育他，做人的基本原则应该是：守时、守信、守法、严谨、俭朴、勤奋。父亲的这些教诲，在希尔伯特一生的行为中都留下了明显的痕迹。

母亲崇敬康德、哥白尼等伟大的科学家，经常给希尔伯特讲述他们的故事。母亲并不满足于对儿子进行一般性的教诲，她还非常细致地观察儿子的思维特点，设法从儿子的行为中找到特长。希尔伯特上学之前，母亲就开始了对他的数学教育。在母亲的影响下，思维缓慢的希尔伯特竟然喜欢上了抽象、严谨而且枯燥的数学。

希尔伯特小时候的表现是令人失望的。他的语言能力很差，思维有些迟钝，反应能力也不及同龄的孩子。这对于一个天分很高且望子成龙的母亲来说，无疑是一个不小的打击。然而，当别人坦言希尔伯特愚笨的时候，这位母亲却坚信儿子智力发育正常，身心健康，只要启发得当，儿子一定能够成大器。她在教儿子学习时，明明知道别的孩子教一两遍就能掌握的知识，希尔伯特却需要教上三五遍才能掌握。然而，母亲并不认为这是笨，而是学习方法不当，还没有找到迅速掌握知识的方法，一旦找到了适合于他自己的方法，学习速度立刻就能提上来。正是这种坚定的信念，使这位母亲不仅把希尔伯特从笨孩子堆里拉了出来，还为世界培养了一位伟大的数学家。

笨拙少年

希尔伯特少年时代，按照当地的习惯，有条件的家庭，通常在孩子6岁时就送他们上学了。希尔伯特满6周岁了。同龄的孩子都背起书包高高兴兴地上学了。希尔伯特看了眼红，他也要求上学。可是，父母没有同意。他们知道儿子智力不如其他孩子，如果急于送入学校，就可能害了他。同龄的孩子到一起必然产生竞争意识。在学习和知识的竞争中，智力发育较慢的希尔伯特显然是弱者。当他的理解力、反应能力和考试分数都比别人差时，即使老师和同学不嘲笑和责骂，一个有自尊心的孩子，也会感到羞愧和自卑。在这种压抑和自卑的心情下，对智力发育是不会有任何积极作用的。因此，父母亲没有急于把希尔伯特送进学校，而是在家对他进行启蒙教育。

希尔伯特已经7岁了，同龄的孩子该读二年级了。看着小伙伴们高高兴兴地离家去上学，希尔伯特又动心了。他吵着要去上学。然而，母亲没有立刻表态，而是找来了小学一年级课本，让希尔伯特读一读，算一算，还提出一些问题，让希尔伯特回答。测验结果表明，希尔伯特在数学能力方面，达到甚至超过了一年级的程度，而在语言能力和反应速度方面，还是比较缓慢。母亲觉得，思考问题很认真、反应又明显迟缓的特点，使希尔伯特暂时还不适应小学环境。在母亲的劝说下，希尔伯特同意再过一年再去上学。母亲的选择是正确的，这样做既可以给希尔伯特的智力发育留出充分的时间，又可以利用自己的才智在家中对孩子进行启蒙教育。

希尔伯特到了8岁才上小学，比一般孩子晚了两年。上学之后，他学习很吃力，除了数学之外，没有一科成绩突出。在语言、作文以及需要死记硬背的科目中，希尔伯特经常考试不及格。他还常因写不好作文被老师批评。为了不影响希尔伯特上学的积极性，母亲不得不替儿子写作文。

希尔伯特上学的学校是哥尼斯堡的名牌学校，教育方式死板，教学内容陈旧，没有自然学科，数学只占很小的部分，所设学科主要是为政治服务，诸如历史、宗教、哲学、语言、写作、神学等等，仅语言就有德语、希腊语、拉丁语等。这对于语言能力较差、记忆力不强而且对死记硬背很反感的希尔伯特来说，实在太为难了。希尔伯特常因为背不下老师规定的内容而烦恼。有几个淘气的学生，戏称希尔伯特为愚笨的“老学生”，因为他在班级里年龄最大，学习成绩却最差。

这个愚笨的老学生也有高兴的时候，这就是上数学课和回答数学问题时。上数学课时，希尔伯特就像变了一个人似的。老师刚把算题写在黑板上，希尔伯特就演算完了。在当时的数学条件下，数学课程不被重视，数学老师也不被人看重。可是，出了希尔伯特这样对数学感兴趣的学生，使老师很高兴。任课老师有时专门出一些数学难题让学生们比赛，看谁做出的多，想以此来刺激学生们学习数学的兴趣。这样的竞争最适合于希尔伯特。他可以充分显示自己的数学天赋。所以，每次数学竞赛，都能给希尔伯特带来愉快。由于老师的启发，热爱数学的学生多起来。他们遇到难题或者解不出的数学题，老师不在时，就向希尔伯特请教。这给希尔伯特带来了自信和荣誉。

读四年级时，班上来了俄籍犹太人闵可夫斯基三兄弟。他们都聪明过人。老师讲解的问题他们听一遍就能准确地记住。同学们不明白的问题，三兄弟都能解答。三兄弟成了班上的小老师。特别在数学问题上，有时老师讲不明白的问题，闵可夫斯基兄弟能讲明白。闵可夫斯基兄弟的到来，使希尔伯特在数学上的才能大为逊色。这使他很沮丧。他在学校抬不起头来，回到家中则闷闷不乐。

希尔伯特的父母及时发现了儿子的情绪变化，便和希尔伯特一起讨论学习中遇到的问题。他们使希尔伯特相信，虽然他在数学上暂时不如闵科夫斯基兄弟，可是，比别人还是强的；在其他学科上虽然暂时不如别人，然而，自己同自己比，还是进步很快的。他们告诉儿子，学习并不是为了比赛，而是为了自己掌握更多的知识，既然每一天的学习都能给自己带来收获，还有什么必要管别人说自己是聪明还是愚笨呢？父母在帮助希尔伯特恢复学习信心后，又帮助他找出自己的长处和短处，使其在学习过程中能够扬长避短，鼓起勇气战胜困难。在希尔伯特学习遇到挫折的时候，他总是能够从父母那里及时得到支持和鼓励。

有些家长听到自己的孩子议论希尔伯特，也跟着说，希尔伯特如何愚笨。每当听到这样的说词，父亲总是不屑一顾。而母亲则是很客气地说：“这孩子的头脑有些怪，和普通人不一样。虽然他记不住死板的概念，但却能够给大人讲解数学问题。究竟是愚笨还是天才，等长大了再看吧。”这种回答常令一些家长无话可说。

用适合自己的方法学习

在父母的鼓励和帮助下，希尔伯特自觉地认识到，他的记忆力不如聪明的同学，在反应能力和理解新概念的能力上也不如其他同学，但是，在计算能力和对问题理解的深度方面，却比一般人强得多。当一个新概念刚刚出现时，有些同学很快就记住并初步理解了，希尔伯特却要经过慢慢的思考和消化之后才能理解。而那些理解概念较快的同学，仅仅是一般性地复述老师讲过的内容，并不真正懂得这一概念的实质。希尔伯特虽然不能原原本本复述老师所讲的内容，但他通过自己的努力却可以弄懂概念的来龙去脉，掌握相互联系的概念、定理、定义间的逻辑关系。这样，在解题时他就能自如地运用这些概念。

当希尔伯特找到自己的弱点和长处之后，就寻找适合于自己的学习方法。他在学习中发现，数学课程既不需要死记硬背，又有很强的逻辑联系，这很适合于他。于是，在数学的学习中，他找到了自己，找到了一生最大的乐趣。而对于神学、语言、历史等课程，他实在没有什么兴趣。

数学老师注意到了希尔伯特的思维特点。他对别的老师说：“虽然大卫·希尔伯特对概念的理解似乎没有别人快，可是，一旦他承认自己理解了某一概念，那是他确实理解了。他对‘理解’的认识是，彻底把问题弄清楚，包括概念的逻辑证明和推论。他‘理解’的结果是，既能对概念作出解释和论证，又能用它们解答问题。这才叫作真正的‘理解’。而其他人所谓的‘理解’其实是一知半解。这种所谓的‘理解’这不如希尔伯特的‘不理解’。”老师的评价大大鼓舞了希尔伯特，使他看到了自己的长处，增强了自信。这也使其他同学对希尔伯特刮目相看。

尽管数学成绩很好，对问题的理解也有长于他人的逻辑能力，但希尔伯特在其他学科方面确实很差。数学老师认为有必要找希尔伯特谈一谈。老师告诉希尔伯特，数学虽然可以成为一个人终生的爱好，但要想在数学科学中有所造就，必须到大学去深造。不接受系统的高等教育，要想在数学上有所作为是很难的。然而，要想上大学，仅仅靠数学成绩是不行的。为了进大学，除了数学之外，还有其他学科必须通过。只有学好规定的各门学科，包括他讨厌的神学和语言学，才有资格进入大学学习。否则，只能停留在大学校门之外，当一个数学业余爱好者。

老师的话深深打动了希尔伯特。经过思考，在上大学与发展业余数学爱好之间，他作出了明智而有远见的选择。希尔伯特决定，为了考取大学，暂时放松一下数学爱好，以便把更多的精力集中到那些他不喜欢、但上大学又必须考试的科目上来。

当一个人有了明确的目标，并且培养了追求目标的顽强毅力之后，就没有克服不了的困难。希尔伯特把钻研数学的学习方法运用到了德语、拉丁语、希腊语、神学等学科的学习中。刻苦、勤奋、力求甚解历来是希尔伯特的长处。当他把精力转移到这些学科时，自身的学习品质也在这些学科的学习中发挥了作用。这使希尔伯特学习进步很快，那些他原先不喜欢的学科，现在学起来也不吃力了。

一直关注希尔伯特成长的老师们看到了一个奇迹：原本学习吃力的希尔伯特，现在学习什么科目都不发怵了。在这所实行学分制的学校里，希尔伯特竟然用一两个月时间，就能通过一门课程。在两年时间内，他学完了大多数学生4年才能学完的课程。这样，上学晚了两年的希尔伯特，提前两年毕业了。到中学毕业时，再也没有人称希尔伯特是愚笨的老学生了。

1879年，希尔伯特通过了菲特立预科学校的课程。当年9月，他转学到了威利预科学校。这里的教学方式更进步，老师注重辅导，课程设置注重自然学科。

转到威利预科学校之后，希尔伯特以焕然一新的精神面貌出现在新的群体之中。他不仅学习刻苦、态度严谨、遵守纪律、与人为善，而且各科学习成绩都比较好。经过一个学期的学习，希尔伯特的各科成绩都达到了名列前茅的程度。他原来并不喜欢的学科，如神学、拉丁语、希腊语、德语等全部获得了优等成绩。对于原来喜欢的数学，他虽然投入的精力较少，但却取得了学校的最高分，被评为“特等”。在毕业考试时，按学校的规定，除了笔试之外，还要进行口试。但由于希尔伯特的笔试成绩最好，而且其优秀的学习品质也得到老师们的高度赞扬，因此，他被特许免去口试，仅以笔试的成绩就获得了毕业证书。

希尔伯特虽然曾经以笨孩子的状况开始了学习生活，但由于不懈的努力，找到了属于自己的学习方法，那就是，不与别人比小聪明，不与同学争高低，发现并发挥自己的思维特长，找到自己学习进步的切入点。他以锲而不舍的精神、力求甚解的态度，扎扎实实地钻研每一个概念和问题，直至弄通弄懂为止。经过整整10年的努力，他不仅获得了上大学的资格，而且摸索出了使自己终生受益的学习方法。预科学校毕业时，老师对他的评语是：“希尔伯特堪称学习的模范。他能以极好的方法掌握老师讲授的知识，尤其对疑难问题或自己暂时不理解的问题从不放过。他对概念理解的标准是，既要明白概念的含义，又要弄懂概念的逻辑联系，还要懂得如何运用概念解决问题。这个学生总是以强烈的兴趣、透彻的理解和超常的思维对待每一个问题。他对科学的浓厚兴趣和良好的学习方法，预示着他将在科学的研究中作出某种独特的贡献。”

锲而不舍的追求

1880年秋天，18岁的希尔伯特以优异的成绩进入哥尼斯堡大学。这个比一般孩子晚两年上学，而且长时间被认为愚笨的人，却与同龄孩子一起进了大学之门。

哥尼斯堡大学的数学方式很自由。教授想教什么就教什么，学生想学什么就学什么，平时不考试，只要在要求取得学位时才考一次试。在这高度自由的环境中，许多学生把大好的光阴用于饮酒、击剑、泡酒吧、找刺激。希尔伯特没有随波逐流，而是利用自由的环境钻研自己喜欢的问题。他循着自己选定的目标，用自己行之有效的方法，一直追求下去。希尔伯特除了完成必修课程外，就是钻研数学问题。他先学完了大学的数学课程，接着，钻研“阿基米德数学问题”、《欧几里德几何学》、代数不变式论、代数数论、积分方程、函数空间等数学前沿问题。大学毕业前，他已经开始发表学术论文了。经过几年的努力，希尔伯特以优异的成绩毕业，并获得了哥尼斯堡大学哲学博士学位。

大学毕业后，希尔伯特又到了哥廷根等大学学习、研究，并被著名的哥延根大学聘为教授。希尔伯特一刻也没有停止对数学的钻研。几年后，他就登上了数学王国的殿堂，并摘取了一颗又一颗耀眼的明珠。

希尔伯特成名之后，在学习和钻研问题时，仍然保持着少年时期形成的学习态度和方法。在哥廷根大学数学俱乐部活动中，年轻人经常发现，大名鼎鼎的希尔伯特教授接受能力和理解能力似乎非常差。在学生们看来很容易理解的问题，而希尔伯特却常常听不懂报告人的意思，以至于周围的人不得不帮助他来理解报告的内容。可是，当希尔伯特认为弄明白了报告人的意思之后，再由他说出来的内容，反而要比报告人自己的理解既深刻又简单。这一现象令年轻人疑惑不解。希尔伯特在总结自己时说：“我之所以能在数学上做一点工作，就是因为我总觉得它特别难。我在阅读或听别人讲解某些问题时，常常觉得它很难理解，有时甚至认为不可能理解。但通过努力我终于理解了。之后，我便想，这些问题能否化简单一些？经过进一步的努力，我弄清楚了，这实际是一个更简单的问题。”

著名科学家库朗在评价希尔伯特时说过，“希尔伯特总是喜欢打破砂锅问到底”，在别人看来“一瞬间就能掌握的科学上的复杂概念，他却做不到，他没有这种才能”，他只能通过自己慢慢地消化之后才能真正理解并吸收。然而，一旦他认为理解了，就能够获得某种新意。这是希尔伯特由笨孩子成为大数学家的诀窍，也是他的学习生涯提供给青少年人的最宝贵经验。