康托尔的悲剧人生

康托尔（Georg Ferdinand Philip Cantor，1845～1918），德国数学家，集合论的创始者，奠定了函数论、分析与拓扑学的基础，并刺激了数理逻辑中直观主义与形式主义学派的进一步发展。他出生在俄国圣彼得堡的一个犹太富商家庭。其父为迁居俄国的丹麦商人。1856年，康托尔随父亲迁居德国法兰克福，在那里读中学。在法兰克福，15岁的小康托尔进入了威斯巴登大学预科学校。还在幼年时代，康托尔就表现出对数学的强烈兴趣。

1862年，17岁的康托尔离开双亲，考入瑞士苏黎世大学，第二年转入柏林大学，从师于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯和L.克罗奈克学习数理科学。康托尔受到了魏尔斯特拉斯的影响，兴趣开始转移到纯数学方面。1866年曾去格丁根学习一学期。在库默尔指导下，康托尔于1868年以数论方面的论文获博士学位。

1869年，康托尔经过艰苦的努力，通过讲师资格考试，担任了哈勒大学的无薪讲师，尽管生活得到家庭资助，没有出现危机，但学业上的进展却显得很迟缓。哈勒大学的教学生活平淡无奇，越发使康托尔感到烦闷。然而，在康托尔的心中，魏尔斯特拉斯教授的音容笑貌永远也抹不掉，他那勉励人进步的话语总响在耳畔：“不论在哪里，只要你认真、努力，你就会有收获……”想到这些，关于学业进展的烦闷顿时冰释了。

在哈勒大学教授H.E.海涅的鼓励下，康托尔开始研究函数论，并于1870年、1871年、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年，康托尔把高斯数论中的一个重要的结论，外推到适合无穷集合的情形。这篇论文标志着27岁的康托尔开始走向集合论那迷人的世界。同年，康托尔任副教授，1879年任教授。

当康托尔接触到实数集合这一领域时，就像一个长期关在家中的孩子突然闯进游乐场一样。他迷恋于此，真有乐不思蜀的感觉。在游览和玩耍的过程中，他发现了一个奇怪的现象，就是对无穷集合这一方乐土，很多人都是看上一眼就离开了。

许多涉及无穷的问题长期争论不休，最后争论双方都达到了荒谬的地步。因此大多数数学家，包括像高斯、柯西这样的大数学家，只好对无穷集合采取避而远之的态度。康托尔心想，大家都采取这种态度，那里面一定会有奇珍异宝等待人们发现。康托尔勇敢地向这个神秘莫测的无穷集合深渊发起了挑战。

康托尔首先调查有关这一领域的历史状况。19世纪下半叶，数学分析日益严密化，促使人们有必要去理解实数结构。人们从小就知道，1的后面是2，2的后面是3……依此类推，那么最后面的是什么？数学家把它称为“无穷”。从自然数1一直到“无穷”，构成了一个集体或集团，数学家们把它叫做“无穷集合”。

在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷？从1874年初起，康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。他夜以继日地苦读、研究、计算、论证。他书架上排列的书越读越少，废弃的演算草纸却越堆越多。他首先攀上了高斯数论的台阶，随后又越过了刘维尔超越数的壁垒，向无穷集合的中心地带靠近，靠近……

康托尔向无穷集合继续冲击，得出了许多有趣、惊人的结论。面对这些可喜的研究成果，起初他都不敢相信自己的眼睛，他说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。自己得出的结论，竟是“荒谬”的吗？

按照康托尔研究的理论，下述观点是完全正确的——

1厘米长的线段内的点，和太平洋内的点，和地球内部的点竟是“一样多”！

函数的自变量根本不是自变的！

……

康托尔感到困惑了。他面临着艰难的抉择。难道像伽利略那样说声“不可理解”，然后再烧毁那些计算的草纸吗？康托尔可不会做那样的傻事。他首先全面地检查了自己研究过程的各个环节，一项一项地辨析、筛选，把一切可疑之点都加以清除……

最后，康托尔感到自己的研究过程和论证方法是无懈可击的，因而结论是可靠的，尽管它们是那样的稀奇古怪。他拿起他的鹅毛笔，工整地写下了这样几个大字：《论所有实代数数学的集合的一个性质》，然后在论文封面上签上了自己的名字：乔治·康托尔。

这样，在1874年，年仅29岁的康托尔在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性论文。这篇论文的发表，标志着集合的诞生。

1877年，康托尔证明了三维形体的点和线上的点可以有一一对应。1878年，康托尔又发表了集合论的第二篇论文，进一步把一一对应的概念作为判别两个集合相同或不相同的基础。而且，数学界也善意地接受了它。于是，康托尔变得更加信心十足了。在1870～1884年，康托尔陆续发表了《论无穷线性点集》等一系列论文，总共6篇，创立了以研究集合论的一般性质为对象的数学分支——“集合论”，成为科学集合论的奠基人。

当康托尔在传统数学领域中开拓新领域时，数学界的人们容忍了他的“奇谈怪论”，而一旦他站在数学新领域大声疾呼时，便立即招来密如疾雨的讨伐之箭。善良的康托尔以为，数学界的人会理解他的研究内容，慢慢会适应新结论。可是他错了，他还要为自己善良的错误判断付出沉痛的代价。

读者们纷纷谴责刊物发行者把一篇篇胡言乱语的文章发表出来，简直是天大的笑话，并扬言要追究编辑的责任。后来，数学家们的攻击和反对，更加耸人听闻，有人嘲笑集合论是一种“疾病”，叫嚷要把数学“从疾病中恢复过来”。康托尔开始时还能够轻松的一笑，认为事情早晚会过去的。慢慢地，他感受到了真正的压力，这压力与日俱增，逐渐使他喘不过气了。几乎当时所有的大数学家都纷纷表明了态度，批评、讽刺、嘲笑、攻击，这使康托尔精神上受到很大的压力。

在围攻康托尔的论战之中，最激烈、最严厉的便是他的老师克罗奈克。他对康托尔的集合论持全面否定的态度，并以敌视的态度对待康托尔。当康托尔需要在柏林谋得一个教授职位时，他竟然出口伤人地说：“一个连常识都搞不清楚的人，还想来柏林弄个教授职务，真是一个疯子！”从此，德国数学界就传出了康托尔是“疯子”的流言蜚语。

由于克罗奈克的阻挠，康托尔的愿望始终未能实现。在哈勒，康托尔一方面需要为生活辛勤地东奔西走，一方面又要受到来自四面八方的攻击。这使康托尔的生活和研究处于极其艰难的状态。有谁会为一个“疯子”加薪水呢？除非他也是一个“疯子”。同样，也没有人愿意和他谈话，没有人愿意听他讲课。研究数学成了康托尔不可饶恕的“罪孽”。

反对康托尔理论的人，都在大城市，那里是信息中心，而克罗奈克又是魏尔斯特拉斯退休以后柏林学派的领袖人物。由于他粗野地攻击康托尔的学术思想持续10年之久，致使很多人对康托尔的工作抱有怀疑态度，这不仅阻碍了集合论的深入和发展，而且给康托尔的正常生活带来了苦难……人言可畏，一言丧邦！康托尔面对种种非难和攻击，精神上受到严重压抑，陷入了极度痛苦之中。为了反驳他人的无理批评，康托尔废寝忘食，时常处于用脑过度的状况。1884年，他患了深度精神抑郁症，最后终于精神崩溃，被送进医院。康托尔真的变成了一个疯子。

可是，真理毕竟是真理，任何嘲讽和攻击丝毫也抹煞不了真理的光辉。1897年，在苏黎世举行的第一次国际数学家会议上，康托尔的思想得以在大会上传播。经历漫长的20余年的艰难、坎坷和波折，康托尔的集合论，最终获得了世界公认。

康托尔一生坎坷，为开拓数学新领域奋斗不息，集合论不仅给他带来了巨大的声誉，也给他带来了无穷的磨难。他的晚年是在病痛折磨中度过的。1918年1月6日，康托尔永远地离开了他又恨又爱的世界。