古埃及分数的绝招

1 看见了2司令，高兴地说：“有啦！我们古埃及分数的神奇作用，将

在 2 司令身上充分体现出来。”

“我？”2 司令被说得有点丈二和尚——摸不着头脑。

1 问零国王：“您知道什么是完全数吗？”

“当然知道。作为堂堂的整数王国的国王，我能连完全数都不知道？” 零国王解释，“古希腊的数学家发现了一种具有特殊性质的正整数，它可以用除去本身之外的所有约数之和来表示，古希腊数学家认为这种数最高尚、最完美了，给它起名叫完全数。”

零国王来了精神，他对大家说：“看我来给你们表演一番。数 6 过来！”

数 6 迈着正步走到零国王面前，向零国王行举手礼。谁知零国王一言不

发，举起手来在 6 的头顶上猛击一掌，大喊一声：“给我分解开来！”

数 6 被击倒在地，他在地上顺势一滚，一股白烟过后，数 6 不见了，出

现在大家面前的是一个连乘积：1×2×3。数 2 和数 3 迅速摘掉乘法钩子，变成了 1、2、3 三个数。

零国王指着这三个数说：“这 1、2、3 就是 6 的约数。”

零国王把左手向上一举：“你们给我做个加法！”1、2、3 乖乖地用加法钩子连在一起，成了 1+2+3。“噗”的一股白烟过后，1+2+3 变成了 6。

零国王得意地对大家说：“看见了没有？6 就有这种完美的性质。我还告诉大家，6 是最小的完全数。”

接着零国王又把 28、496、8128 叫了出来，如法炮制，结果是：

1+2+4+7+14=28；

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496；

1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128。

对于这四个数的精彩表演，大家报以热烈掌声。

零国王当众宣布：6、28、496、8128 是前四个完全数。“真棒！”小华跷着大拇指说，“完全数的性质真美妙呀！”

听到小华的夸奖，零国王更来了精神。他大声说道：“美妙的还在后面哪！来数！”零国王一声令下，只见 1 司令、2 司令、3、4、5、6、7 一共 7

个连续整数，整齐地排成一排，除 1 司令外，他们各自掏出加法钩子，依次钩好，零国王喊了一声：“变！”立刻变成了完全数 28，即：

1+2+3+4+5+6+7=28。

零国王又把手一挥说：“再来呀！”从 8 到 31 都站出来，掏出加法钩子，接着往下钩。一声“变”，又出现了完全数 496，即：

1+2+3+⋯⋯+30+31=496。

接着又变化出： 1+2+3+⋯⋯+126+127=8128。

“真有意思！”小华拍着手说，“每个完全数都可以用从 1 开始的连续正整数的和来表示，妙极啦！”

看小华这样高兴，零国王也越发兴奋。他跳起来说：“咱们再来点新鲜的！”零国王跑到奇数军团中连挥了 3 下令旗。只见奇数军团中一阵忙乱，

然后摆出了 3 个式子： 1³+3³=28；

1³+3³+5³+7³=496；

1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³=8128。

“了不起！了不起！完全数又可以用从 1 开始的连续奇数的立方和来表示。”小华被这一系列变化所吸引。

1小华一回头，看见站在那儿一个劲儿傻笑。小华奇怪地问：“你乐

什么？这些精彩的表演都是显示完全数的奇妙性质，与你们古埃及分数可无关啊！”

“嘿，关系可大了！” 8 摇晃着小脑袋说，“我也给你露一手！”

1 把完全数6的所有约数1、2、3连同6 1

8 自己全部叫了出来。 8 走上

前去，毫不客气地给每个数一脚，把他们都踢了一个倒栽葱。说也奇怪，这些整数一倒栽葱之后，都变成了古埃及分数：1 变成

1 ，2

1 3 1 6 1

1 变成了 2 ，变成了 3 ，变成了 6 。

小华吃惊地问：“这是怎么回事？”

1 1 1

8 笑笑说：“你怎么忘了？2和 2 互为倒数，3和 3 互为倒数，同样6和

1 互为倒数。一个整数来个倒栽葱后，必然变为他的倒数——一个古埃及

分数。”

“那么古埃及分数来个倒栽葱，必然会变成为一个整数喽！”

“对，对极啦！” 8 拍了拍小华的肩头说，“你很聪明嘛！”

1 把28的所有约数1、2、4、7、14连同28叫了出来，也给每个

1 1 1 1 1 1

数“赏”了一脚，他们分别变成了 1 、 2 、 4 、 7 、 14 和 28 。

1 对496及所有约数来了个同样对待，接着命这些古埃及分数

分别做加法：

1 1 1 1

+ + + ；

1 2 3 6

1 1 1 1 1 1

+ + + + + ;

1 2 4 7 14 28

1 1 1 1

+ + + +

1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 。

1 2 4

8 16

31 62

124

248

496

1 大喊一声：“变！”一股白烟过后，3个和式都不见了，却变出来3

个 2 司令。

“真妙啊！”小华激动地说，“完全数以及他的约数的倒数和，全都等于 2。这真是不可思议呀！”

1 得意地把大嘴一撇说：“服不服？这就是我们古埃及分数的神奇作

用在 2 司令身上的体现！小华你说说，我们古埃及分数年岁这么大，本领又如此神奇，该不该受到点特殊照顾？”

小华不假思索地说：“应该，应该⋯⋯”小华一回头，见到哥哥正瞪着他，知道说得不够妥当，一吐舌头，赶紧不说了。

这时，零国王为难地问小强：“你看，这该怎么办？”