用电器中的能量转换问题

电源向外电路提供的电能，将在外电路的用电器上进行转换，用电器的性质不同，转换的情况不同。对此，我们讨论三种具体情况。

1. 用电器是纯电阻的情况

用电器是纯电阻的情况，是指电路中只有像电灯、电炉等纯电阻性元件。在此，我们将从能量的转换以及功率分配等方面来研究纯电阻电路。

1. 能量转换问题：

设用电器的阻值为 R，加在用电器两端的电压为 U，通过的电流为 I。在时间 t 内通过用电器的电量 q＝It，则电场力做功为 W＝qU＝IUt，功率为 P＝UI。因为是纯电阻电路，U＝IR，所以电功

2 U2

W＝IUt ＝I Rt ＝ · t

R

将此与焦耳定律 Q＝I2Rt 相比较，可知在纯电阻电路中，电功等于电热， 即电流通过电阻时电能全部转化为内能，所以在计算电功率时，P＝IU、

2 U2

P＝I R 、P＝ 都是等价的。

R

例如，在图 4－2 所示电路中，电源提供的总能量全部转化为内能：

Iε＝I ²R＋I² r

由此可得：

I = ε

R + r

这就是我们熟悉的纯电阻电路的欧姆定律。

1. 功率分配与能量守恒问题：

在纯电阻电路中，电源将其它形式的能转化为电能，电流通过内、外电路时，电能又转化为内能。根据能量守恒定律，在这些能量的转化过程中，总的能量是保持不变的。

在图 4－3 中，设电源发出的总功率为 P0，内电阻消耗的功率为 P′， 电源输出功率为 P，电阻 R1、R2 消耗的功率分别为 P1、P2。根据能量守恒定律：

P0＝P′＋P

电源的输出功率等于各用电器消耗的功率之和，即

P＝P1＋P2

推广到外电路由 n 个电阻串联的情况（图 4－4），这时外电路与内电路消耗的功率分别为：

电源发出的总功率

P＝I2R，P′＝I2r

P0＝P＋P′

可得内、外电路功率分配情况为：

P′＝（

r R + r

） P0

P＝（

R

R + r

）P0

其中 R＝R1＋R2＋⋯⋯＋Rn 是外电路总电阻。可见，内、外电路的功率分配遵循与阻值成正比的原则。

在外电路，根据

P＝ P1 ＋P2 ＋ ＋Pn

P1 = P2 R1 R2

= = Pn

Rn

= I ²

可得，任一电阻 Rk 上获得的功率

P ＝（ R k ）P =（

k R

Rk

R + r

） P0

（ 其中K＝1，2， ， n）

由此可见，在串联电路中，任一电阻上分配的功率与该电阻的阻值成正比。上式可作为串联电路的功率分配公式在电路分析和计算中直接应用。

在图 4－5 中，外电路是 n 个电阻并联而成，这时外电路的总电阻

R可由公式 1 = 1 + 1 + + 1

求得。根据同样方法，可得内、外电

R R1 R 2 R n

路上功率分配情况为

P′＝（

r R + r

）P0

在外电路：

P＝（

R

R + r

）P0

P＝P1＋P2＋⋯⋯＋Pn P1R1＝P2R2＝⋯⋯＝PnRn＝U2

可得任一电阻上分配的功率：

Pk = (

R )P

R

k

由此可见，并联电路中，外电路电阻分配的功率与该电阻的阻值成反比。

特殊地，当外电路是两个电阻并联时，R＝

R1 R2

R1 + R2

，因此：

P = ( R )P＝( R2 ) P

1 1 + R2

P = ( R )P＝( R1 )P

2 1 + R2

上述各式，可作为并联电路的功率分配公式，在电路分析与计算中直接应用。

作为实例，讨论一个电路设计问题。设有规格为“110V、40W”、“110V、25W”的 A、B 两灯泡和一个滑动变阻器。现将 A、B 两灯接到电压为 220 伏的照明电路中，既要使电灯正常发光，又要使电路消耗的功率最小，电路应如何连接？

分析 如果仅考虑灯泡 A、B 正常发光，则图 4－6 中所示的三种连接

方式都是可行的。

但仅考虑 A、B 灯能正常发光是不够的，按照设计要求，还应考虑电路消耗的功率最小。显然，图 4-6 所示的三种连接方式中，电灯消耗的功率是相同的，都为它们的额定功率，并且这部分功率是电路中的有用功率。所不同的是，三种连接方式中滑动变阻器消耗的功率不同，并且这部分功率是电路中的无用功率。要求电路中消耗功率最小，实际是要求滑动变阻器消耗的功率最小。现分别讨论图 4－6 所示三种电路的功率分配和电路效率问题。

1. 图中，滑动变阻器两端的电压应为 110 伏，根据分压原理，滑动变阻器连入电路的电阻值应为：

R = R A R B

RA + RB

串联电路功率分配与阻值成正比，可知滑线变阻器上消耗的功率为：

PR＝PA＋PB

电路消耗的总功率为：

P＝PR＋PA＋PB

＝2（PA＋PB）

电路效率η＝ PA + PB ×100％＝50％

P

1. 图中，滑线变阻器 R 与 B 并联的电阻应与 A 的电阻相等：

RA =

RR B

R + RB

滑线变阻器与 B 消耗的功率应与 A 消耗的功率相等：

PA＝PB＋PR

总功率为：

P＝ PA ＋PB ＋PR

＝2PA

η＝ PA + PB ×100％

P

＝ PA + PB

2PA

× 100%＞50%

1. 图中，滑动变阻器一部分与 A、B 灯并联，另一部分串在电路中， 其等效电路如图 4－7。其中 R2 的阻值等于 RA、RB、R1 三者的并联值，所以功率分配情况为

P2 ＝P1 ＋ PA ＋PB

P＝ P1 ＋P2 ＋ PA ＋PB

＝2（ P1 ＋PA ＋PB ）

η＝ PA + PB

P

× 100%

= PA + PB

2( P1 + PA + PB )

× 100%＜50%

综上分析，采用（b）图的连接方式，电路消耗的功率最小，效率最高， 所以（b）图所示电路是最合理的电路。

另外，在（c）图中，滑动变阻器采用分压接法，滑动变阻器消耗的效率最大，电路效率最低。这一点，我们在讨论滑动变阻器的调节与控制作用时就已提出，“如果从节省电能考虑，滑动变阻器不宜采用分压接法”。此处，我们恰好证明了这种说法的正确性。

1. 电源的最大输出功率问题：

在纯电阻电路中，电源向外电路的输出功率，等于路端电压与电流强度的乘积，即 P＝IU。当外电路的电阻 R＝0 时，也就是短路的时候，路端电压 U＝0，短路电流 I＝ε／r，输出功率等于零。当 R→∞，即断路时， 路端电压等于电动势 U＝ε，但电路中电流强度为零，所以输出功率也为零。可见，必然存在着 R 的某一数值，使得电源的输出功率为最大值。

通过运算可以求出这个最大值：

P＝IU＝I² R

ε ²R

＝ (R + r) ²

= ε 2

(R − r) ²

R

• 4r

显见，当 R＝r 时，输出功率有最大值：

ε2

Pm = 4r

我们以外电阻 R 为横坐标，输出功率为纵坐标，画出 P－R 图象如图

ε2

4 －8所示，图象的转折点A（ r， ）与功率的最大值相对应。

4r

同样，我们也可以讨论电源的输出功率随路端电压变化的情况。电源的输出功率：

P＝IU＝( ε − U) U

r

＝− 1 （ U2 -ε U） r

= - 1

r

（ U -

ε ） 2 + ε

2 4r

可见，P 是 U 的二次函数。以 U 为横坐标，P 为纵坐标，在 POU 直角坐标平面内可得函数图象为开口向下的抛物线（如图 4－9 所示），顶点

ε ε ²

A的坐标是（ ， ）。显见，当U＝0（短路）和U＝ε（断路）时P 2 4r

＝0，即电源无输出；当U

ε

＝ ，即路端电压等于电源电动势的一半时，

2

ε2

电源输出功率最大，最大功率为Pm ＝ 4r 。

对于以电流强度为变量的情况，电源的输出功率

P＝ P － P

总 内

＝Iε－I ² r

＝－r（ I ² － ε I）

r

ε ε²

＝-r （ I - 2r ）＋ 4r

可见，P 也是 I 的二次函数。以 I 为横坐标，P 为纵坐标，画出 P—I

ε ε ² ε

图象如图4－10所示。顶点A的坐标是（ ， ）。显见，当I＝ （短

2r 4r r

路）和I＝0（断路）时，P＝0，即电源无输出；当I＝ ε 时，电源输出功

2r

ε 2

率最大，最大输出功率Pm ＝ 4r 。

比较图 4－8、4－9、4－10 所示的三种情况可以看出，无论以 R 或 U 或 I 为变量讨论电源的最大输出功率，所得结论都是一致的。这个结果是必然的，因为在纯电阻电路中，电源向外电路提供的电能全部转化为

2 U 2

内能，P＝IU、P＝I R、P＝ 是完全等价的，所以当R＝r时，必然有

R

ε ε

U＝ 2 ，I＝ 2r 。

当外电路的电阻等于内电路电阻时，电源输出功率最大，这种情况叫

做功率匹配。应当强调指出，“匹配”的概念只有在电子电路（如多级晶体管放大电路）中才使用，因为在那里电源的内阻一般是较高的，且输出信号的功率本来就很弱，所以才需要使负载与电源匹配，使输出功率尽可能大。通常在低内阻、大功率的直流电路中，不但不需要考虑匹配，而且还要避免功率匹配时电流过大（ I＝ ε ）的情况。另外，从电能的有效

2r

利用来看，还要考虑效率问题。在功率匹配时η＝ P ＝0.5，这就是说

P0

将有一半的电能消耗在电源的内阻上，电能的利用率太低。所以，在直流电路中不是单纯考虑匹配问题。

1. 用电器是被充电的电池的情况

电池被充电时，电流从电池的正极流入，负极流出（图 4－11）。设被充电的电池的电动势为ε′，内电阻为 r′，这时加在被充电电池上的电压 U＝ε′＋Ir′。

从能量转化与守恒的观点看，电池的输入功率为：IU＝Iε′＋I2r′， 电流流过内阻 r′的发热功率为 I2r′，可见转化为电池化学能的功率应为：

P 化＝IU－I2r′

＝I（U－Ir′）

＝Iε′ 充电时能量的转化效率为：

η＝ Iε ′ ＝ U − Ir ′

IU U

给电池充电的电源必须是直流电源，设它的电动势为ε，内阻为 r；被充电的电池电动势为ε′，内阻为 r′（图 4－12）。对电源来讲，其输出功率为 Iε－I2r；对被充电的电池来讲，其输入功率为 IU＝I（ε＇＋Ir

′）＝Iε′＋I2r′。根据能量守恒，则应有：

Iε－I2r＝Iε′＋I2r′ 化简后可得此情况下的全电路欧姆定律：

I = ε − ε′

r + r ′

1. 用电器为直流电动机的情况

如图 4-13，设电源加在电动机上的电压为 U，通过的电流为 I，这时电动机线圈的电阻 r′上的电压为 Ir′。由于电流通过电动机时，电枢转动会产生感应电动势ε′，感应电动势的方向与外加电压 U 的方向相反，这时 U≠Ir′，且 U＞Ir′，U 与 Ir′的差值即为电枢电动势：

ε′＝U－Ir′

对电动机而言，输入功率为 P 电＝IU，线圈上的发热功率为 P 热＝I 热

r′，根据能量守恒定律，电动机的输出功率应为：

P 机＝P 电－P 热=IU－I2r′＝Iε′ 电动机的效率为：

P

η = 机

P

电

= Iε ′ =

IU

U − Ir ′

U

例如，加在直流玩具电机上的电压 U＝3 伏，通过的电流 I＝1 安，玩具电机线圈的电阻 r′＝0．5 欧，则电阻上的电压为 Ir′＝0．5 伏，U－ Ir′＝2．5 伏，这 2．5 伏便是电动机转子转动时产生的感应电动势ε′ 的大小。

从能量上看，电动机的输入功率为 P 电＝IU＝3 瓦，线圈上发热功率为P 热＝I 热 r′＝0.5 瓦，则输出功率

P 机＝IU－I2r′

＝I（U－Ir′）

＝Iε′＝2.5 瓦。

若考虑含电源的全电路，如图 4－14 所示，电源的输出功率为（Iε－ I2r），电动机的输入功率应为（IU＝Iε′＋I2r′）。根据能量守恒定律， 电源的输出功率应与电动机的输入功率相等，即

Iε－I2r＝Iε′＋I2r′

化简后可得外电路是电动机情况下的全电路欧姆定律表达式。

I = ε − ε′

r + r ′