对称电路中的电流分配问题

对称电路是指电路结构对称，而且阻值也对称的一种特殊电路。众所周知，电路中电流的分配与电路结构以及电路中阻值的分布有关，因为在对称电路中，电路结构和阻值分布是对称的，所以电流的分配也是对称的。利用电流对称分布这一特点，我们可以简便地求得此类问题的解。

在图 2－7 所示电路中，各电阻阻值均为 r，电源电动势为ε，电源内阻忽略不计。下面首先讨论各支路的电流分配情况，并应用电流分配的特殊性求 AB 间总电阻 R。

分析在图中作虚线 AB，将电路划分为两部分，因为各电阻阻值相等，所以这两部分的电路结构和阻值分布对称于直线 AB。在对称电路中，处于相同位置的支路在电流分配上是相等的，可得电流分配如图 2－8（a）所示。其中

I = 1 I,

1 2

I = 1 I

= 1 I

2 2 1 4

根据欧姆定律可以求得 A、B 间总电阻 R。在图2—7 中从 A 到 B 有若干条路径，我们可任选其中一条，沿着电流的方向计算 A、B 间电压 UAB。若选 ACDEB 路径，则

UAB ＝U AC ＋UCD ＋UDE ＋UEB

＝I 1r＋I2 r＋I 2 r＋I1r

＝ 3 Ir

根据欧姆定律，可知 A、B 间的电阻为

R = UAB

= 3 r

我们也可以用等势点短路的方法求总电阻 R。在图 2—8（a）中，C、H 点电势相等，D、O、G 点电势相等，E、F 点电势相等，将它们分别短接，不影响电路中的电流分配。根据这一道理作等效电路如图 2－8（b）所示，从而直接用电阻串、并联公式求得 A、B 间电阻

R = 3 r

在图 2－9 中各电阻阻值均为 r。我们来讨论将电源分别接在 OA 间、AB 间和 AC 间，电路中电流分配的情况如何，并根据电流分配的对称性求 RAO、RAB、RAC。

设在 OA 间加一电源，使电流 I 从 O 点流入，A 点流出。电路相对于 AOC 对称，电流分配也相对于 AOC 对称，B、D 点电势相等，即 OD 支路和 OB 支路电流相同，CB 支路和 CD 支路电流相同，BA 支路和 DA 支路电流相同。电流分配情况如图 2—10（a）所示。

由于 B、D 两点等电势，用导线将 B、D 两点短接得等效电路如图 2－10

（b）所示。由电阻串、并联公式直接求得

RAO

= 7 r

仍然是图 2－9 所示电路，若在 A、B 间加一电源，设电流从 A 点流入 B 点流出。电路中 A 点电势最高，B 点电势最低。看 AB、AOB 及 ADCB 三条支路，比较各点电势，可知：UA＞UD＞UO＞UC＞UB，从而确定电流分布如图 2－11（a）所示。

按图 2－11（b）所示，将 O 点分为 O1 与 O2，由电路的对称性可见，O1 与 O2 点的电势相等，分开后电路中电流不会发生变化。这样，根据该图，并根据电阻的串、并联知识，可直接求得

RAB

= 8 r

OB、OD 间无电流，即图 2－12（a）中 I3=0，O、B、D 三点电势相等，这样图 2－12（b）又可等效为图 2－13，从而求出

RAC

= 2 r

根据前面的分析，我们看到电路的对称情况，不仅与电路的结构有关，而且还与电源加在电路上的位置有关，需要仔细观察、综合分析才能作出正确判断：哪些点的电势相等？相关的点之间各点电势高低如何？根据这些判断就可以确定电流的流向，或将电路改画，从而得到正确的结论。

在前面分析的所有实例中，我们只求出了相应的电阻值，对于电路中的总电流和各支路的电流，读者可自己分析并得出正确的结论。

作为实例，我们讨论一个立体的对称电路：由 12 根导线构成的立体框架，每根导线的电阻均为 r，如图 2－14，求 A、 G 间电阻 RAG。

分析因各电阻相等，电路对称于对角线 AG。设电流 I 从 A 流入，由G 流出，则各支路电流分配可如图 2－14 的方向标出，并可确定它们的关系：

I = I , I = I1 = I

¹ 3 ² 2 6

根据电流的分布情况，我们可以沿 ABCG 路径得

UAG = I1 r + I 2 r + I1r

= Ir 6

所以

RAG

= UAG

= 5 r

根据电路的对称情况，我们可以看到 B、D、E 三点的电势相等，C、F、H 三点电势也相等，因此分别将 B、D、E 和 C、F、H 短接便可有等效电路如图 2－15 所示，从而直接求出：

RAG

= 5 r