=

I 2 =

R1R 3ε

(R2 + r)(R1 + R3 ) + R1 R3

ε

R1R3

R2 + r + R

1 + R 3

= R1R 3ε

(R2 + r)(R1 + R3 ) + R1 R3

1. 当 K1、K2 都闭合时，电路结构如图 3－1（d）所示，R2 被短路， R1 与 R2 并联后接在电源两端。此时伏特表、安培表的示数分别是：

R1 R3

U3 =

=

R1 + R3 ε

R1 R3 + r

R1 + R3

R1R 3ε

r (R1 + R3 ) + R1 R3

I 3 =

ε

R1R3 + r R1 + R 3

= ( R1 + R3 )ε

r (R1 + R3 ) + R1 R3

利用开关控制电路，这在电路技术中被广泛采用。下面我们专门讨论在电表改装电路中，开关的控制和调节作用。

在图 3－2（a）所示电路中，利用双刀双掷开关的控制作用进行安培表和伏特表的转换，具体做法如下：

1. 将开关掷在 cd 一侧，R1 被断开，R2 与电流表并联组成安培表， 电路结构如图 3－2（b）所示。若电流表满偏电流 Ig、内阻 Rg、电阻 R2 已知，根据 IgRg=（I－Ig）R2，可求出此安培表量程为

I = (1 + Rg )I

g

2

1. 将开关转换到 ab 一侧，R2 被断开，R1 与电流表串联组成伏特表， 电路结构如图 3－2（c）所示。若 R1 已知，可求出此伏特表量程为

U = I g （ Rg ＋R1 ）

在电流表改装电路中，除了可利用开关进行安培表和伏特表的转换外，还可以利用开关进行量程的转变。例如，在图 3-3 所示电路中，Ig、Rg、R1、R2 均已知（R2》R1），则：

1. K1、K2 断开 K3 闭合时 MN 间量程多大？

2. K1、K2 闭合，K3 断开时，MN 间量程为多大？

3. K1、K2、K3 都闭合时，MN 间量程多大？

4. K1、K2 闭合，K3 断开时，MN 间量程多大？

讨论 （1）当 K1、K2 断开，K3 闭合时，R1 被断开，R2 与电流表串联后组成伏特表，电路结构如图 3-4（a），量程为：

U MN

= I g （ Rg + R2 ）

（2）当 K1、K3 闭合，K2 断开时，R1 与电流表并联后再与 R2 串联组成伏特表，电路结构如图 3－4（b）。虽然同为伏特表，但与 a 图相比，量程明显扩大。根据 IgRg=（I—Ig）R1 求出：

Rg + R2

I ′ = I g （1＋ ）

1

比较图（a）、（b）两种情况，量程增大了：

∆I = I′ − I = R2 I

g

1

连续变化问题

利用滑动变阻器调节和控制电路中的电流和电压，在实际电路技术中应用极为普遍。滑动变阻器的阻值在一定的范围内连续变化时，电路中电流、电压随之在相应的范围内连续变化。这里我们着重讨论三点：①滑动变阻器的调节与控制作用；②电路中电流、电压变化的问题；③电流、电压变化中存在极值的问题。

1. 滑动变阻器的调节与控制作用

滑动变阻器的用途是控制电路中的电流或电压，使电路中的电流或电压达到某一指定的数值，或使其在一定的范围内连续变化。根据滑动变阻器在电路中的连接方式不同，通常将其分为限流电路和分压电路。

〔限流电路〕

如图 3－5，把变阻器的 a 端、c 端接入电路，b 端空着不用（或图 3— 5 将 b、c 两端连在一起接入电路）。显然，当 c 点滑动时，整个电路的阻值发生变化，因此电流也随之改变，所以称之为限流电路。

设在图 3－5 中，电源电动势ε（为简单起见，电源内阻不计）、滑动变阻器总阻值 R0、负载电阻 RL 均为已知。当 K 闭合后，负载电阻 RL 上流过的电流为

I L =

ε

RL + Ra c

当 c 点移至 a 端时，Rac=0，IL 最大，最大值为：

ε

Im a x =

L

当 c 点移至 b 端时，变阻器全部串入电路，Rac=R0，这时通过 RL 的电流最小，最小值为：

Im i n

= ε

RL + R0

由此可知，对于限流电路，电流的调节范围为：

ε ～ ε

R L + R0 RL

在此过程中，负载电阻上的电压随着电流的改变而变化，所以滑动变阻器对电压同样有着调节作用。根据欧姆定律，负载 RL 上的电压调节范围为：

R L

R L + R0

·ε→ε

综上讨论，限流电路中，电流和电压都在一定的范围内连续可调，并且电流和电压的调节范围均与变阻器的总阻值 R0 有关；在电源电动势ε和负载电阻 RL 一定时，R0 越大，电流、电压调节范围越大；R0 越小，调节范围越小。这一性质，是我们选择滑动变阻器时必须考虑的一个重要因素。

〔分压电路〕

如图 3－6（a），变阻器的两个固定端 a、b 分别与电源的两极相连， 负载电阻 RL 接在滑动端 c 和一个固定端之间。接通电路后，等效电路如图3－6（b）所示，ab 两端的电压 Uab 等于电源的路端电压。根据分压原理， Uab=Uac+Ucb，输出电压 UL＝Ucb 是 Uab 的一部分，故称此电路为分压电路。若ε、R0RL 均为已知，由图 3-6（b）所示的电路结构，根据分压公式可求出：

UL = Uc b

R

= ^并 ·ε

Ra c + R

并

Rc b R L

其中

化简得

R =

^并 Ra c

• R L

，Ra c + Rc b = R 。

U = Rc b RL ·ε

Ra b R c b

• R0 Rt

显然，当滑动头 c 移至 b 端（如图 3－7），Rcb=0，Rac=R0，此时输出电压 UL 有最小值 Umin=0。

当滑动头 c 移至 a 端（如图 3-8），Rac=0，Rcb=R0，此时输出电压有最大值 Umax=ε。

所以，分压电路中，负载 RL 上电压的调节范围是 0→ε。

根据欧姆定律I L

＝UL 可知，通过R RL

的电流调节范围为：

0→ ε 。

R L

综上所述，在分压电路中，负载电阻 RL 上的电流和电压也在一定范围内连续可调，但与限流电路不同的是，电流和电压的调节范围均与变阻器的总阻值 R0 无关。

上面，我们分别讨论了限流电路和分压电路对电路中电流电压的控制作用和调节范围。我们看到，限流电路和分压电路对电流和电压都有调节作用。所以，认为限流电路只能控制电路中的电流，分压电路只能控制电路中的电压是错误的。但我们还应看到，限流电路和分压电路虽然都能调节电流，又能调节电压，但调节范围不同。下面，我们就对两种电路的调节范围作一比较。

从电压调节范围看，分压电路是 0→ε，且与滑动变阻器总阻值 R0 无

关；限流电路是R

RL

L + R0

ε→ε，且与R0

有关，调节范围较分压电路小。

从电流调节范围看，分压电路是 0→ ε

RL

，限流电路只能从

ε → ε

R L + R 0 R R L

，也较分压电路小。

特殊地，当满足R

0 》RL

时， R

RL

L + R 0

→0。在此情况下，限流电路

的调节范围与分压电路的调节范围相差不大。由于分压电路中滑动变阻器直接并联在电源的两端，滑动变阻器上损耗的电功率较大，所以在 R0RL， 从节省电能考虑，滑动变阻器一般采用限流接法。

在 R0《RL。的情况下，限流电路的电压和电流的调节范围很小，一般

不能满足对电压和电流的调节要求，所以在这种情况下不宜采用限流电路，而应采用分压电路。如高中物理课本中校对改装后的伏特表时，滑动变阻器即采用分压接法。

1. 电路中电流、电压变化问题

如前所述，在由电源及电阻组成的闭合回路中，当某一电阻的阻值发生变化时，电路中各部分的电流、电压和功率都可能发生变化，如何判断这种变化呢？这是电路分析中的一个重要问题。下面，我们对这类问题进行讨论。

1. 串联电路的分析方法：

因为串联电路中通过各部分电阻的电流强度相等，所以在串联电路中应遵循的原则是：先确定串联电路中电流变化情况，再由电流的变化分析各部分电压的变化情况。

例如在图 3—9 中，若滑动变阻器的滑动头 c 由 a 移向 b，则滑动变阻器的阻值 R1 增大，电路总电阻 R 增大，总电流减小，路端电压 U 增大。对于各部分电压，由 I 的减小判断 R2 上的电压（U2=IR2）减小；再根据 U 增大、U2 减小，判断 R1 上的电压（U1=U－U2）增大。

显然，如果我们一开始就直接判断滑动变阻器 R1 上电压 U1 的变化，则因为 R1 的增大使 U1 有增大的趋势，而 I 的减小又使 U1 有减小的趋势，两个相关因素纠缠在一起，不免会陷入困境。

1. 并联电路的分析方法：

因为并联电路中加在各部分电阻上的电压相等，所以在分析并联电路时应遵循的原则是：从电压的变化判断电流的变化。即先分析并联电路两端电压如何变化，再由电压变化确定各支路电流的变化，最终根据总电流的变化确定阻值变化的电阻上电流、电压的变化。

例如，在图 3－10 中，若滑动变阻器的滑动头 c 由 a 移向 b，则滑动变阻器的阻值 R1 变小，外电路总电阻 R 减小，总电流 I 增大，路端电压 U

减小。由于R

与R 并联，根据U的减小判断通过R 的电流（ I = U ）

1 2 2 2

2

减小，然后根据 I 增大、I2 减小判断通过 R1 的电流（I1=I-I2）增大。如果我们一开始就直接判断通过滑动变阻器 R1 的电流的变化，则因为 U 的减小使 I1 有减小趋势，R1 的减小又使 I1 有增大的趋势，同样会陷入困境。

1. 混联电路的分析方法：

混联电路实际上是由若干个串联和并联部分所组成，因此，前面所讨论的串联电路、并联电路的分析方法，可以综合用在混联电路的分析、判断中。在电路组成比较复杂时，我们应灵活运用“从局部看整体”和“从

整体看局部”的分析方法，即从某一电阻的变化，判断总电流强度 I 及路端电压 U 的变化；再从 I 及 U 的变化，分析电路中各部分电流、电压的变化。

例如，在图 3－11 所示电路中，电源电动势ε、内阻 r 一定，R1、R3 是定值电阻，若滑动变阻器 R2 的滑动端 c 由 a 移向 b，则图中各电表的读数将如何变化？

**分析：**①从局部看整体：因为 c 向 b 滑动时 R2 减小，所以电路总电阻

R 减小，相应地电路总电流 I 增大，路端电压 U 减小。

②从整体看局部：首先，由 I 增大判断 R1 上电压 IR1 增大；再根据 U 减小、R1 上电压增大，判断 F、G 间电压 UFG 减小。

对于FG部分，由U

减小判断通过R 的电流（ I ＝ UFG ）减小，再

FG 3 3

3

根据 I 增大、I3 减小，判断通过 R2 的电流（I2=I-I3）增大。整个判断过程可用图 3—12 所示的图式表示。

综上所述，在滑动变阻器的 c 端滑向 b 时，电路中 A1、A2 的读数增大，

U1、U2 的读数减小。

在图 3-13 所示电路中，电源电动势ε、内阻 r 一定，R1、R2 是定值电阻。若滑动变阻器 R3 的滑动头 P 向上移动，则电路中各部分电流、电压如何变化？

分析：

①从局部看整体。由于 R3 增大，电路总电阻 R 增大，电路总电流 I 减小，路端电压 U 增大。

②从整体看局部：对于 AD 支路和 ABC 支路，由 U 的增大判断通过 R1

的电流I = U 增大，并且由总电流I减小、I 增大，判断I = I－I

减小；

2 1 2 1

1

对于 R2 与 R3 串联，可由 I2 减小，判断 R2 上电压 UAB＝I2R2 增大。 再由 U 增大、UAB 减小，判断 R3 上电压 UBC＝U—UAB 增大。

整个分析过程可用图 3－14 所示图式表示。

显见，各电阻上电流、电压变化情况为：I1 增大、I2 减小、UAB 减小、UBC 增大。

电路中各部分电流、电压发生变化，必然会导致各部分消耗功率的变

U 2

化，但我们只要判断出电流、电压的变化情况，即可根据P＝ 或P＝

R

I2R 判断出功率变化的情况。3．电流、电压变化中存在极值的问题

前面，我们讨论了电流、电压一般变化的情况，即电流、电压在整个变化区域内，或随阻值增大始终增大，或随阻值增大始终减小的情况。现在，我们讨论在电流、电压变化区域内将出现先增大、后减小，或先减小、后增大的问题。

例如，在图 3－15 中，电源电动势为ε，滑动变阻器总阻值 R1 与定值电阻 R2 相等，即 R1=R2=R0。分析当滑动变阻器的滑动触头 c 从 a 向 b 滑动

的过程中，安培表的读数如何变化？（为方便起见，忽略电源内阻）。

**分析：**当 c 处于 a 端时，等效电路如图 3－16（a）所示，由于电

源内阻不计，路端电压等于电动势，故通过安培表的电流为 ε 。

R0

当 c 处于 b 端时，等效电路如图 3－16（b）所示，由于安培表内阻

很小，可认为定值电阻R2

被短路，安培表的读数仍为 ε 。

R0

当 c 处于 a、b 之间时，等效电路如图 3－16（c）所示，电路中总电阻

为

R = R

• R 2 Rbc

a c

2

• R bc

总电流为

R ²0 + Ra c R

= bc

R0 + R bc

R0 + Rb c

通过安培表的电流为

I = 2

0

·ε

• Ra c R b c

I = R0 ·I = R0 ·ε

^A R + R R²0 + R R

0 b c

a c b c

显见，通过安培表的电流 IA 随 Rac 的变化而变化（这里取 Rac 为自变量， 若取 Rbc 为自变量，得出的结论一致）。但是，若要直接从 IA 的表达式判断其变化情况就很困难，因为在表达式中 Rac 和 Rbc 这两个相关变量的变化趋势相反。因此，需要考虑用其它方法。

在 IA 这个表达式中，ε、R0 均为常量。分母中的变量 Rac 与 Rbc 都大

于零，它们的和为常量：R

＋ R = R 。所以，当R ＝R ＝ 1 R 时，

ac bc 0 ac bc 2 0

乘积R ·R 最大，这时I 有极小值I ＝ 4ε ＝0.8· ε



ac bc A m i n

根据 IA 的极小值和在两个端

5R R

点（Rac=0、Rac＝R0）的取值可大致作出 IA 随 Rac 的变化曲线如图 3－ 17 所示，并由此判断通过安培表的电流变化为先减小、后增大。

综上所述，可以清楚以下两点：

1. 上面所讨论的变化问题，是指电流（或电压）在变化区域内存在极值的一类问题。

2. 分析电流（或电压）的极值性质，可对此类变化作出判断：若电流（或电压）在变化区域内存在一个极小值，则在该变化区域内，它们的变化情况一定是先减小、后增大，如图 3－18（a）所示；若电流（或电压） 在变化区域内存在一个极大值，则在该变化区域内，它们的变化情况一定是先增大、后减小，如图 3－18（b）所示。

在图 3－19 中，电源电动势为ε、内阻为 r，定值电阻 R0＝r，可变电

阻 Rx 的阻值在一定范围内连续可调。若 Rx 的滑动头 c 由 a 向 b 滑动，那么电源输出功率 P、可变电阻 Rx 上消耗功率 Px、定值电阻 R0 上消耗的功率 P0 将如何变化？

分析：当可变电阻的滑动头 c 处在 a、b 之间任一位置时，电源的输出功率 P，Rx 上消耗功率 Px，R0 上消耗功率 P0，可分别表示为



P＝

ε  2



(Rx + R0 ) ①

 R₀ + R _x + r

P＝

 R0



P＝

 R0

ε

• R x

ε

• R x

 2

• r

 2

• r

• Rx ②

• R0 ③

显见，P、Px、P0 都是 Rx 的函数，由于 R0 是定值电阻，所以由③式可直接判断 P0 随 Px 的增大而减小，其情形如图 3－20（b）所示。

由于①、②两式分子、分母中都含有 Rx，因而无法直接判断 P 及 Px 的变化情况。这里涉及的问题是存在极值的问题。根据前面所提供的方法， 应首先讨论 P 及 Px 的极值情况。

在①式中，通过对其分母配方，可写成如下形式

ε 2

P＝

(R + R

− r) ²

x 0 + 4r R x + R 0

显见，当 Rx＋R0＝r，即当 Rx＝r－R0＝0 时，电源的输出功率有

ε 2

极大值Pmax ，且Pmax ＝ 4r 。因为在Rx ＝0时，P有极大值，所以随R x

的增大，电源输出功率减小。其情形如图 3－20（a）所示。用同样的方法对②式的分母配方可得

ε2

Px ＝ (R

• R − r)

^{x 0} + 4(R Rx

• r)

显见，当 Rx＝R0＋r＝2r 时，Px 有极大值，极大值为：

ε 2

4(R0

ε 2

• r) = 0.5 4r 。由于在R x 的调节范围内Px 存在一个极大值，所以Px

随 Rx 的增大先增大，后减小。其情形如图 3—20（c）所示。

比较（a）、（b）、（c）三图很容易看出，无论各部分功率如何变化， 能量总是守恒的，即 P＝P0＋Px 总成立。综上所述，本问题的答案是，当R0 的滑动头 c 从 a 滑向 b 的过程中：电源输出功率逐渐减小，R0 上消耗的功率逐渐减小，Rx 上消耗的功率先增大，后减小。