电路中各点的电势及任意两点间的电势差问题

在电路分析中，我们常常要分析电路中的电势，比较电路中各点电势的高低。解决这类问题需要用到电场基本知识，并把“场”的基本知识与“路”的分析有机地结合起来。

电势高低的判断及电势参考点的选择

在电场中某一点的电荷的电势能跟它所带电量的比值，称作这一点的电势，即

U E

电场中两点间的电势的差值叫做电势差，即

UAB = UA − UB

= E A

∆E q

因为电场力移动电荷 q 时所做的功等于电荷电势能的变化，所以也把电势差定义为

实际上电势差也就是电压。

U = W

在图 1－7 中，a、b 之间的电势差即是加在电阻 R 上的电压 U＝IR。因为从 a 到 b 沿电流方向移动正电荷，电场力做正功，所以电荷的电势能减小，即

Ea ＞Eb

Ea ＞ EA

q q

Ua ＞Ub

因此，沿电流方向经过电阻 R 电势降低 IR。正因为如此，电压也叫电势落或电压降。

在图 1－8 中，电源电动势为ε，内阻忽略不计。如果在电源内部把正电荷从电源的负极移到正极，则必须克服电场力做功。因此，电场力做负功，电荷的电势能增加，即

Eb ＞Ea

E b ＞Ea

q q

Ub ＞U

因此，从电源的负极到正极，电势升高ε。如果电源的内阻不能忽略，则电流通过内阻 r 时，将在 r 上产生电势降落 Ir，由此可知从电流负极到正极电势升高ε—Ir。

为了确定电路中各点的电势，如同在电场中的情况一样，必须选定电势参考点。在电路分析中通常取接地点为电势参考点。

如图 1－9 所示电路，若 c 点接地，则 c 点电势为零，即 Uc=0；电流沿

顺时方向经过 R1、R2，电势降低 I（R1＋R2）。则 a 点的电势 Ua＝I（R1＋ R2）；同理，Ub＝IR2。

对于 a 点的电势，我们也可以分析由 c 点经电源到 a 点的这部分电路。由于电动势的作用，a 点电势比 c 点高ε，由于电流流过内阻 r 电势降落Ir，所以 a 点电势为：U=ε-Ir，而ε=I（R1＋R2＋r），代入上式便得 Ua

＝I（R1＋R2）。与上面的结果相同。

若将 a 点接地（如图 1－10 所示），则 Ua＝0；这时 c 点电势为：Uc＝

－I（R1＋R2）；同理，b 点电势 Ub＝－IR1。

在图 1－11 中，O 点接地，欲求 a 点电势，可选电流方向，即顺时针方向为正，看 a、O 点右边的电路可知：

Ua＝ε2-I（R2+r2）看 a、O 左边的电路则有：

Ua＝I（R1＋r1）-ε1

因 I =

即：

ε1 + ε 2 , R1 + R2 + r1 + r2

ε1 ＋ε2 = I（ R1 + R 2 + r1 + r2 ），不难证明，关于Ua 的两个表达式

是完全相同的。 2．电路中任两点间电势差的确定

电路中任一点的电势，实际上是这一点与电势参考点之间的电势差。所以前面介绍的确定电势的方法也就是确定两点间电势差的方法。下面我们通过图 1－12 所示电路进一步讨论这个问题。

显然，在图 1—12 中：

I = ε

R + r

现用虚线将电路分为两部分，如果看虚线的右边，则

Uab

如果看虚线的左边，则

＝IR =

ε ·R R + r

Uab =ε-Ir =

ε · R R + r

两式求得结果相同，说明两点间电势差的数值与选择的路径无关。在图 1－13 所示电路中，求 a、b 间的电势差。如沿 a→ε2→R→b 路

径，

若沿 a→ε1→R→b 路径电路中电流为

Uab＝ε2－I（r2＋R） Uab＝-ε1+I（r1+R）

I = ε1 + ε2

r1 + r2 + 2R

将 I 代入上述两个表达式，经运算可得相同结果：

U (R + r1 )ε 2 − (R + r2 )ε1

ab R + R = 2R

1 2

在图 1—14 所示电路中，ε1 与ε2 并联对外电路供电，由于两个电源的电动势、内阻均不相等，所以无法直接确定电池组的电动势ε，从而无法直接确定干路电流 I，但是我们可以写出沿不同路径的 Uab 表达式，并通过联立方程组求出 Uab。

如沿 a→ε1→b 路径，则Uab＝ε1-I1r1

沿 a→ε2→b 路径，则Uab＝ε2-I2r2

沿 a→R→b 路径，则Uab＝IR＝（I1＋I2）R

联解上述三式便可求得：

I = r2 ε1 + R1 ε2

r1 · r2 + R(r1 + r2 )

U = r2 ε1 + R1ε 2 ·R

ab r r

1 2 1 2