（五）全面原则

对问题的分析应力求全面严密，不搞片面化，不马虎遗漏。此类错误多

表现为审题的不同，忽视细节，忽视特殊情况，忽视讨论，以偏概全，忽视检验，取舍不当。

例 5 在等比数列{a n }中，已知a 3

= 1 1 ，S

2 3

= 4 1 ，求a

2 1

及q。

错解：

 3 = a q ² ①

 2 1

 q a (1 − q ² ) a (1− q)(1 + q + q ² )

 = 1 = 1 = a

(1 + q + q ² ) ②

 2

1 − q

1 − q ¹

q ² 1 1

两式相除，可得

1 + q + q ²

= ，2q² − q − 1 = 0，q = 1或q =

3

，故a¹

2

= 3 或a¹ = 3 / (− 1) = 6。

2 2 2

原因：在②式的简化中，分子、分母约有公因式应在 q≠1 的前提下，而最后解得 q＝1 却保留下来作为答案。

正确解法：(1)当q = 1时，a

₁ = a3

= 1 1 。

2

(2)当q≠1时，列方程组同上，由2q² - q - 1 = 0可得q = - 1

2

a 3

（舍去q＝1），这时a1 = q 2

= 6。

综上所述，a1

= 1 1 ，q = 1或a

2 1

= 6，q = − 1 。

2

当然，以上几条原则不是不关联的，而是彼此有联系的，重视这方面的培养可以减少在许多不该犯错误的地方产生错误，这对提高思维品质，形成良好的数学作风有巨大作用。