学习新方法

第一章让数学思维腾飞一、如何提高运算能力

具备准确、迅速、合理、灵巧的运算能力，是数学能力的基础。为了最大幅度地开发运算技能，在平时学习中需不断强化缜密、逆向、发散、整体、构造、直觉等思维训练，以确保运算的准确、合理、高效、创新，确保思维质量不断升级。

训练镇密思维，保证准确度。

例1 判断f（x）＝lg（

x）＋lg（

= −x）的奇偶性；

此题粗看很熟，很多同学信手解得：

∵f(−x) = lg[

+ (−x)] + lg[

− (−x)] = lg(

lg( + X) = f (x)，∴f(x) 是偶函数。

上述解法的错误原因是：其一，没从本质上理解奇偶函数的定义，认识不全面、不深刻；其二，忽视了题设中的隐含条件。正确解法为：

易得 f（x）的定义域为 R，故当 X∈R 时有-X∈R，又

f(x) = lg[(

+ x)(

- X)] = lg(X² + 1- X ² ) =

0，∵f(x)=0=f(x)且 f(-x)=0=-f(x)，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数。

例 2 已知点 P（x。，y。）是圆 x²+y²=R² 内的一点，则直线 X、X＋Y、Y＝R² 与圆的交点的个数是（）。

很多学生一瞧“X、X＋Y、Y＝R² ”这种直线方程的形式就误认为直线与圆相切；有的学生由 P（X。， Y。）是圆内一点，错断直线与圆相交。

然而，真正决定直线与圆位置关系的是圆心到直线的距离d，d＝

R² /

X ² + Y ² ，由点P在圆内知 R ² + Y ² ＜ R，所以 d＞R，即直线与圆

0 0 0 0

相离，交点个数应是0。

小结无论题目难易，仔细认真审题是关键，应真正弄清题意，将隐含条件挖掘出来，并随时校对，最后查核。要克服主观性太强的懒惰作风，确保运算的准确性。

训练逆向思维，保证简洁利落。

例 3 若下列三个方程中，至少有一个方程有实根，求出实数 a 的取值范围。

（1）X²+4ax+(3-4a)=0，

（2）X²-(a-1)X+a=0，

（3）X²+2ax-2a=0。

若依习惯解之，用判别式分类讨论，繁杂！细一打量“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定形式是“三方程皆无实根”。故易得：

△1



△2



 3

= (4a)² − 4(3 − 4a)＜0

= (a − 1)² − 4a ²＜0 ⇔

= (2a) ² − 4(−2a)＜0

3 ＜α＜1故所求应为其解集的补集{a丨a≤ − 3 或a＞， − 1}。

2 2

小结逆向思维主要用于否定多数型试题，进行正向思维与逆向思维的转换，可培养思维的深刻性、敏捷性、灵活性，更全面地理解题意。

训练发散思维，保证合理。例 4 知 a、b∈R，

X = 1 + a cosθ A = (x，y)

y = sinθ

 X = t

B = (x，y)



a≠0、θ ∈R，

m，t ∈}问是否存在实数a、b使A ∩ B

 y = mt + b

≠0恒成立？

若将椭圆方程与直线方程联立的方程组恒有实数解来使 A ∩ B≠0，运算量太大。此时由题设中的条件可看出几何图形来，利用数形结合，自可得到简捷的方法：

解欲使 A ∩ B≠0 恒成立，由题设知只须点（o，b）落在椭圆

(X² − 1) ²

a 2

y ² = 1内或椭圆上。故

(o − 1)²

a 2

+ b ²≤1，即当 − ≤b

≤ ( a ≥ 1)时，总有A ∩ B≠φ。

小结善于利用解题信息，多向联想，恰当调整，可简化过程，提高速度和准确率，其中最关键的是把握数学语言间的联系与区别。

训练整体思维、高效构造思维，开运算新途径。

例5 解不等式 lg(x − 1 ) ＜0

解原不等式等价于

0＜x − 1 ＜1 ⇔

1 0 ⇔

X² − 1 ＞ ⇔

X − X

 1 − 5  1 − 5 

X − 2 X − 2 

   ＜0， (X − 1)( X + 1)

 1 − 5   1 + 5 

由区间隔离法可得所求：− 1， 2  ∪ 1， 2 。

   

例 6 已知 a.b 满足 a²=7-3a，b²=7-3b 且 a≠b，求

b a

a2 + b2

的值。

解 ∵a≠b，由题设 a，b 是方程 X²+3X-7=0 的两根，故有 a＋b＝

b a a³ + b³ (a + b)[(a + b) ² − 3ab] 90

- 3， ab ＝ - 7， ∴ a 2 + b 2 =

a 2 b2 =

a2 b2

= − 49 。

训练直觉思维，追求简洁。

例7 解不等式X ² −

＜ 2 −

+ X ² − 2 。

此题中既含绝对值，又含无理式，较复杂。但若能退一步从外形上展开

联想，就会发现它与公式a + b ≤ a

b 形式类似，若将原式变形为： (2 −

X² − 2 ，则得原不等的同解不等式(2 −

X ＞7。

X − 3) + ( X² − 2) ＜ 2 − +

X² + 3)(X² − 2)＜0，易得：

总之，要提高运算技巧，不可片面地强调纯粹运算训练的作用，也不可一味追求技巧。应与思维训练结合，在思维中才能真正提高能力。