奎伦

奎伦身材不高，他外表温和，话语不多，给人一种害羞的感觉。他喜欢一个人独自潜心研究，往往一直要等文章发表出来，人们才知道他那想象力丰富的头脑里又产生出什么新产品。

奎伦的生活经历很简单。他于 1940 年 4 月 22 日出生在美国新泽西州奥林治。大学毕业之后，他在哈佛大学跟着著名数学家鲍特作博士论文。鲍特是位有着广泛兴趣的拓扑学家，他指导奎伦用微分几何学方法来解决微分方程问题。奎伦的这篇博士论文虽然与他以后得奖的工作——代数学与拓扑学关系不大，但由此可以看出他的研究不仅深刻而且非常广博。我们可以把他后来的主要工作简单地总结成几类：

同伦理论，
复配边理论与形式群理论，

3．K 理论中亚当斯猜想的解决， 4．同调代数——有限群的上同调论， 5．代数 K 理论， 6．塞尔猜想的证明。

这些理论都是 50 年代至 60 年代发展起来的尖端，有数十位数学家因为这个或那个贡献而获菲尔兹奖或其他奖。往往问题到奎伦手中时，已经是多少名家都啃不动的难题。但是，奎伦才华出众，他敢于解难题，又善于解难题，比如他在 1970 年解决亚当斯猜想及 1976 年解决塞尔猜想就博得一致好评。当然，数学家的能力主要表现在能不能解题，特别是能不能解那些困难的、有名的大问题。可是，解题往往只反映数学家的技巧及匠心，大数学家的功力一般在他们能够开拓新领域，建立新理论，提出新概念，创造新方法，

把数学提高一步使之更加系统化。而奎伦正是建立系统理论的能手。他的工作显示出独特的创造性、概念的丰富性以及技巧高明出众。特别是他能把拓扑和代数两方面非常巧妙地结合在一起，这是他超过许多专家的地方。

这首先表现在他把拓扑学方法应用在代数方面。拓扑学研究一般图形，通过一些数学以及代数上的群、环来反映拓扑空间的性质。不同拓扑空间的同调群、上同调环、同伦群之间的差别就反映出拓扑空间的差别。这个方法在拓扑学方面取得了巨大成功，于是有人就用这一套方法来研究代数学的对象，比如群、环、域等等。我们对于每一个对象，比如说有限群，也可以定义它的模 p 上同调五。然后利用这个不同调环来研究有限群的性质，这就是同调代数的方法。有人猜想：模 p 上同调环的维数与这个有限群的最大交换p 子群的阶数是相等的。这个猜想说起来容易，做起来难，许多人都没有研究出来。问题到了奎伦手中，他不像一般人用代数方法搞代数，而是巧妙地把代数问题变成更一般的拓扑问题，然后再利用强有力的拓扑方法加以解决，就这样完全解决了这个猜想。铎芒小试成功之后，他进一步扩大战果，用拓外方法解决一系列大家最感兴趣的一类群——有限域上的典型群的问题。他得到许多漂亮的结果之后，反过来，又用这些代数结果去解决拓扑学的重要猜想，在这么广大的领域里，他真说得上是来去从容，左右逢源啊。

奎伦用代数结果证明的拓扑学猜想就是 K 理论中的著名难题——亚当斯猜想。原来格罗登迪克、提雅等人创造了 K 理论之后，亚当斯用它解决球面上的向量场问题。他发现格罗登迪克群上有些运算作用在它上面，称为Ψ运算，它与向量丛的拓扑性质有关。于是 1965 年，亚当斯提出大胆猜想，Ψ运算的代数性质与向量丛的拓扑性质有着某种定量关系，他用拓扑方法解决这个猜想的最简单的情形，但是，无法深人下去。奎伦知道在这个时候不能去钻死牛角尖，顺水推舟，把自己的群表示论结果用在上面，一下子干净利落地解决了问题。

他解决的塞尔猜想也是如此，1955 年，塞尔就提出：多项式环上的射影模一定是自由模。这个问题如此简单明了，许多人都跃跃欲试。它多次被列入数学家要解决的首要问题名单里，但是大家认为完全解决的希望十分渺茫。不料，奎伦一举完全解决整个问题，他的证明只用了几页，直截了当，简单清楚，使数学界大为震惊。大家对奎伦的才能不能不深为叹服。有趣的是，长期以来摘这个问题的前苏联数学家苏斯林最后也通过另一途径到达顶峰。

奎伦不仅能强攻猜想，解决难题，还能发展概念建立学科体系。这两种能力在一个数学家身上很难兼而有之。奎伦不仅能把零零碎碎得到解决的大猜想一下子拿下来，而且能把零碎碎的理论一下子统一成一个理论体系。代数 K 理论就是其中之一。

K 理论是先在代数几何中，后在代数拓扑学中发展起来的，可是对于一般的环，比如所有整数的集合，很难建立起一个系统的 K 理论。对于零维，

这倒不难，一维就有不止一种 K 理论，二维就更加复杂了，它们互不相干，没有统一的定义。至于高维，始终找不到一个合适的定义来统一所有的结果。奎伦在 1970 年，再次显示出他非凡的才能，他又把代数归结成拓扑，给高维K 理论一个同伦的定义，并且证明它符合已知所有定义和结果。这样一来，他又不仅把以前所有零散结果在自己的定义下统一起来，而且对于一些具体的对象计算出具体的结果。这样他出色地完成了代数 K 理论的创建工作，从此以后，代数 K 理论成为当代的大热门。

60 年代末，奎伦担任了麻省理工学院的教授，后来在为美国国家科学院院士。他对于新一代代数学家和拓扑学家有着不可忽视的影响。他的论文内容丰富，清楚易懂，富有启发性。无论是他的学生还是他的读者都可以从他那里看到一个丰富多彩的数学世界。