阿兰·贝克

高斯的名字是众所周知的。他很小就掌握了 1＋2＋3＋⋯＋100 的心算法。这是连小学生都津津乐道的关于他童年生活的一个传说。作为十八、十九世纪之间最伟大的数学家,高斯的一大贡献是彻底改变了数论这一学科的面貌。他 20 岁时写的《算术探究》被誉为开创了数论的一个新纪元。

在当代，也有一位年轻人，人们说他“在数论中引起了自高斯以来最深刻的变化”。的薄薄的只有 128 页的著作《超越数论》被认为能与高斯的《算术探究》相媲美。1970 年他走上了尼斯国际数学家大会的主席台，成为一名菲尔兹奖的获得者。他就是英国的阿兰·贝克。

贝克是在英国土生土长的。1939 年 8 月 19 日他生于伦敦，童年时期生不逢时，正值第二次世界大战时期，整个伦敦被希特勒的飞机炸得天昏地暗。战后，贝克顺利就学，在结束了中等教育之后，于 1958 年进入大学。

贝克先是在伦敦大学学院学习，1961 年又到剑桥三一学院求学。英国的数论开山祖哈代虽然早已辞世，但伦敦、剑桥两地的数论学派仍然号称一世之雄：达文泡特先后坐镇剑桥、伦敦；罗斯因丢番图逼近的工作得到 1958

年菲尔兹奖贝克对数论研究的兴趣，可以肯定地说受到了这个学派的深刻影响，而贝克到剑桥，正是做了达文泡特的研究生。

当时五十多岁的达文泡特，是英国现代数论学派承前启后的人物。他和世界上许多主要的数论工作者交往密切，又为英国培养了一代又一代的年轻数学家。但是在他的所有学生里，贝克跟随他的方式多少有点奇怪：贝克大部分时间是自闯天地，只是不时把一些写好的论文让达文泡特过目。照其他的内行人看来，贝克实际上受达文泡特的影响不大，对贝克影响很深的倒是马勒——一个在纳粹时期从德国流亡到英国的数论学家。

但是达文泡特还是为有这么一个学生而高兴。因为从 1962 年起，特别是

1966 年以后，贝克像魔术师一样把一个又一个重要成果拿了出来，使得“观

众”目瞪口呆。截至 1974 年为止，他发表的重要论文已不下 40 篇，而人们还一点估计不出这个青年数学家还会再走多远。

数论，是一个极其古老的分支。留至现代的一大批未解决的数论问题，至少都经历过无数学者几百年的求索而不得其解，这些果子的坚硬程度可想而知。数论的方法虽然越来越精巧，但要提出一些崭新的思想却决非易事，这块园地已被耕耘过无数遍了。

但是贝克在这十年多一点的时间里，解决了数论中十几个历时已久的困难问题，范围涉及超越数论、不定方程、代数数论。概括一下，他的贡献是给出了一种“有效方法”。

“有效”是什么意思？让我们举不定方程为例。一个方程如果未知数多于一个，而又只考察其整数解的话，这个方程就称为不定方程，又称丢番图方程。对于这种方程，二千多年来人们虽然发展了许多精巧的方法，但所解决的问题却仍然十分零散，很少有关于一类方程的统一解法。数学家们对于这样一个一个地攻克堡垒的方式早已厌烦，很自然地会提出，会不会有一种普遍适用的方法，能在有限步运算下决定一个不定方程是否有解？这就是著名的希尔伯特第十个问题。可以说，20 世纪的不定方程论其重点是寻求一般的解法。

对于希尔伯特第十个问题，1970 年前苏联的马蒂雅斯维奇利用美国数学家罗宾逊、戴维斯和普特南的工作结果给出了否定的解决，就是说能够用于一切不定方程的判定方法是不存在的。这个结果轰动一时。虽然没有一种方法可以适用于解一切不定方程，但就一类方程来讲还是有一些一般的结果。事实上 1909 年，瑟厄就给出过一个最早也是最有名的一般性定理：“任何二元整系数不可分解齐次多项式 f（x，y）构成的方程 f（x，y）=m，只有有限组解。”可以看出，由于（X，y）的限制较少，这个定理确实概括了一批不定方程的解的性状。

但是瑟厄和随后的西格尔定理、罗斯定理都有一个致命的弱点，就是没有办法有效计算。贝克正是突破了这一点。比如说，对于瑟厄定理，贝克进一步证明了这有限个解（x，y）都满足 max（｜x｜，｜y｜）＜ce（logm）h’，

其中 k＞f（x，y）的次数。而最重要的是，c 是可以有效算出的。也就是说，对于二元方程，贝克肯定地解决了希尔伯特第十个问题。

贝克的所有工作都是从超越数论开始的。其核心是一个线性型定理。什么是超越数？简单地说，一个实数如果不是代数方程的根就称为超越

数，反之，就称为代数数。古希腊三大作图难题之一“化圆为方”问题，正是由于证明了π的超越性而宣告不可用尺规完成。e，π，的超越性获证是19 世纪中超越数论的代表成就。本世纪 30 年代时，前苏联的盖尔芳德和德国的施奈德各自独立地解决了希尔伯特第七个问题的后一半：对于任意代数数 a（≠0，1）和任意代数无理数β（≠0），aB 是超越数。他俩建立的这座超越数论的丰碑，使得后来的 30 年里，没有任何成果可以超出其右。人们意识到，老方法已经用尽，得寻觅新路了。

新路就是贝克走出来的。他在 60 年代里得出了一系列关于代数数对数的线性型的定理。我们可以看看其中典型的一个：a1，a2，⋯，an，（a≥l）是非 0 代数数，loga1，loga2，⋯，logan 在有理数域上线性独立，令β0，⋯， βn 是不全为 0 的满足一些条件的数，那么对任何 k＞n＋1，

有｜β0＋β1logal＋β2loga2＋⋯⋯＋βnlogan｜＞ce-（logH）h，其中 c 是可以有效计算的。

定理叙述不甚艰深，证明却极为困难，而用途也异常广泛。应用这一套

定理和方法，贝克在数论的各个分支里取得了辉煌的成果，例如

不定方程方面。除前述之外，比较著名的有定出了 y2=x3＋k（k≠0）整数解的上界。
超越数论方面。证明了如果 a1，a2，⋯，an 是代数数（非 0 或 1）；

β0，β2，⋯，βn 是线性独立的代数无理数，则 eβ0aβ11⋯aβnn 是超越数。这就是使得盖尔冯德的结果成为简单的特例。

二次数域方面。解决了高斯时代留下的一个老问题，肯定了类数为

1 的虚二次数域只有九个。

任何一个数学家，只要解决了上述问题中的一个，20 世纪的数学史就得提到他的名字。而贝克却一下子做了十几项这样的工作。

无怪乎 1970 年的菲尔兹奖要授与他。他的老师逝世之前就知道了贝克将

被提名，显得特别高兴。可惜达文泡特 1969 年就逝世了，没有亲眼见到贝克的获奖。

贝克从 1964 年起就是剑桥三一学院的研究员。他使得这个古老大学的数学传统增添了生气。1973 年贝克成为皇家学会会员，1975 年贝克得到了亚当斯奖，直接原因就是本文开头时提到的那本薄薄的《超越数论》。

《超越数论》总结了他自己十几年的研究成果，但贝克本人认为，这本书毋宁说是对于本世纪来这个分支发展情况的一个总汇。在序言里贝克写了这么一段话，从中可以看出他的风度与抱负：

“尽管它（指超越数论）有悠久的历史，但还是青春焕发。通过更深入

的研究，许多课题必将取得进展，同时还有一些著名问题仍待解决。作为例子，我们只要提一下 e，π的代数独立性和欧拉常数 Y 的超越性这几个著名的猜想就行了。这些猜想中的任何一个如果获得解决，都将标志着巨大的进展。如果这本书能对促进未来的发展起到一点微小的作用，那么作者也就感到满足了。”