曼福特

1974 年 8 月下旬，第 17 届国际数学家大会在加拿大西海岸温哥华市举行。采访大会消息的记者当然对于大会的新闻人物——菲尔兹奖获得者很感兴趣，他们采访了曼福特，请他尽可能通俗地介绍自己的工作，他耸耸肩膀说：“真没法说清楚。”

是啊，中学生也知道什么是代数，什么是几何，可是代数和几何凑在一起——代数几何就不那么简单了。曼福特搞的代数几何学是如此艰深，使许多大数学家都望而生畏。第二次世界大战之后，代数几何学突飞猛进，日新月异，成为众多主要数学分支的交会点。有三分之一以上的菲尔兹奖获得者先后对代数几何学做出过贡献，曼福特就是其中的一位。

曼福特于 1937 年 6 月 11 日出生在英国撒塞克斯郡，很早就去美国读书。他不像其他美国数学家那样，在这所大学上学，在另一所大学当研究生，再到其他几所大学任教，换了几个地方之后，最后才稳定下来。曼福特则不同， 他从 16 岁考上哈佛大学之后，就同这所名牌大学结下了不解之缘。哈佛大学不仅是美国的代数几何学中心，也是世界的中心。老一代的大师查瑞斯基对于现代代数几何学的贡献极大，他在哈佛培养起一代新人。这位德高望重的数学家十分欣赏曼福特及广中平，说他们是哈佛的台柱。这话并非言过其实。曼福特大 20 岁大学毕业，1961 年取得博士学位后继续留在哈佛任教， 1967 年任正教授至今。

曼福特的主要工作是参模理论。参模原是著名德国数学家黎曼引进的概念，他把彼此保角等价的黎曼面作成一个等价类，可用一组参数表示，不同的参数组代表互不保角等价的类，互不等价的类就是参模。从代数几何学的角度来看，紧黎曼面是代数曲线，其参模是代数簇。曼福特的工作就是研究参模这个代数簇的整体结构。

在研究过程中，曼福德创造性地应用不变式论。不变式论是 19 世纪代数

学的一个分支，自从伟大数学家希尔伯特在 19 世纪的杰出工作之后，代数不变式理论的问题被认为已完全解决，从而这门学科已经寿终正寝。可是曼福特再一次使不变式论起死回生，他研究不变式论的几何意义，按照希尔伯特的一个想法，考虑参模问题的“稳定”对象。这导致许多新结果，由此出现了一门新学科——几何不变式论。1965 年，他出版了《几何不变式论》，从此掀起研究不变式论的新热潮。

在参模这种代数簇上往往有奇点，为了使参模的整体性质更清楚，需要加以“紧化”，曼福特发展了“环式嵌入”的方法，从而使问题大大简化。曼福特在代数几何学中的另一重大贡献是代数曲面理论。在解析几何学

中，我们碰到过球面、椭球面、双曲面、抛物面等等最简单的代数曲面，这些都是实代数曲面，也就是三维实欧氏空间中坐标（X，Y，Z）满足一定代数方程的曲面，比如球面方程是 X2＋Y2＋Z2=r2，其中所有变元都取实数值。如果我们考虑 n 维复数空间（也就是以 n 个复数为坐标）中一组代数方程的公共零点，那就是代数簇；如果局部看来是复二维（实四维）的，则是代数曲面。1961 年，曼福特证明代数曲面与代数曲线和高维代数簇有一个不同之处是，代数曲面如有一点具有一个邻域，它在一一连续映射之下是实四维空间的一个领域的象，则这点也具有一个邻域是复二维空间的一个领域的一一解析映射之下的象。对于其他维数这是不成立的。曼福特对代数曲面的分类也做出了巨大成绩。

曼福特还对有 300 年历史的著名猜想——费尔马大定理有过贡献。费尔马是近代数论之父，他在考虑勾股定理 X2＋Y2=Z2 时，猜想不定方程 Xn＋Yn=Zn 当 n≥3 时没有非零的正整数解。当时他以为自己证出来了，但是没有写下来。三百年过去了，经过许多大数学家的努力，除了部分结果，这个“定理”

仍属没有解决的问题。曼福特虽然并没有能完全证明这个猜想，但是，他证明 Xn＋Yn=Zn，n≥3 要是有解的话，也是极为稀少的。假设（Xl，Y1，Z1），

（X2，Y2，Z2），c⋯，（Xm，Ym，Zm）是 Xn 十 Yn=Zn 的解，我们不妨把这些解按 Z 的大小顺序排列，小的排在前面，大的排在后面，也就是 Z1≤Z2≤⋯

≤Zm。于是曼福特证明第 m 个解 Zm 大得不得了，即 Zm＞1010acm＋b，其中 a

（＞0）， b 均为常数，就连前面几个 Zm 也要有几十位上百位，这说明费尔马方程有解的可能性是非常之小的。

曼福特不太注意仪表，长头发，大胡子，他在讲演时喜欢挥动左手，右手握着拳头，浑身充满了力量，显示出非凡的精力。他的著作很多，写得清楚干净，但是过于简洁，有时不容易理解。同他接触过的人，都深深地受到他深刻的思想的影响。