精确复杂的古代数学专著

我国西周时期有一位名叫商高的人，是当时的学问大家。他在数学方面的成就，被记载在我国最古老的天文学著作《周髀算经》中，其中就有数学知识勾股定理的内容。

有一次，商高面见周公时，周公对古代伏羲构造周天历度的事迹感到不可思议，就请教商高数学知识从何而来，于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。他说：

数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

商高这段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，“经隅”即“弦”则为5。以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是后世著名的“勾股定理”。由此开创了我国古代数学的新纪元。

《周髀算经》成书时间大约在两汉之间，据考证明确者为西汉赵君卿所作，北周时期甄鸾重述，唐代李淳风等注。书中就记录了商高的那段话，表明“勾三股四弦五”这种关系早在大禹治水时就已经发现了。

《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式，并且详细证明了勾股定理。此外还有开平方的问题、等差级数的问题，使用了相当繁复的分数算法和开平方法，以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算。

汉代数学成就除了《周髀算经》外，还有《九章算术》，它系统地总结了我国从先秦到西汉中期的数学成就。该书作者已无从查考，但西汉著名数学家张苍、耿寿昌等人曾经对它进行过增订删补。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣。”可知该书中理论成于周公之时。

《九章算术》全书分做9章，一共搜集了246个数学问题，按解题的方法和应用的范围分为9大类，每一大类作为一章。它们的主要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章“方程”：一次方程组问题；第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。

《九章算术》在数学上有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

《九章算术》是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着我国古代数学形成了完整的体系。

唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

南北朝是我国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》等数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

《孙子算经》约成书于四五世纪，作者生平和编写年不详。全书共分3卷：上卷详细讨论了度量衡的单位，并第一次详细讨论了筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。

《海岛算经》是三国时期刘徽所作。这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次至最复杂的四次测量来解决各种测量数学的问题。这些测量数学，正是我国古代非常先进的地图学的数学基础。

此外，刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的，可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明。刘徽注中的“割圆术”开创了我国古代圆周率计算方面的重要方法，他还首次把极限概念应用于解决数学问题。

隋唐时候，国子监算学科将汉、唐1000多年间的著名数学著作作为教科书，称为“算经十书”。这10部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。

除《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》外，“算经十书”的其余几部书也记载有一些具有世界意义的成就。例如《孙子算经》中的“物不知数”问题，《张丘建算经》中的“百鸡问题”等等都比较著名。而《缉古算经》中的三次方程解法，特别是其中所讲述的用几何方法列三次方程的方法，也是很具特色的。

《缀术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作。可惜这部书在唐宋之际失传了。宋人刊刻“算经十书”时就用当时找到的另一部算书《数术记遗》来充数。

祖冲之关于圆周率的计算可精确到第六位小数，记载在《隋书·律历志》中：

古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。

唐代立于学官的10部算经中，王孝通的《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐初做过算学博士，后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。

在我国数学史上，《缉古算经》是最早解三次方程的著作，它集中体现了我国数学家早在7世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。

我国古代数学经过从汉至唐的发展，已经形成了更加完备的体系。在这基础上，到了宋元时期又有了新的发展。宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看，都可以说是我国古代数学史上最光辉的一页。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法，最高为十次方程。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

《数书九章》主要讲述了两项重要成就：高次方程数值解法和一次同余式解法。书中有的问题要求解十次方程，有的问题答案竟有180条之多。

1248年，李冶发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”即一元高次方程的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

李冶的《测圆海镜》和《益古演段》中，也还讲述了直角三角形和内接圆所造成的各线段间的关系，这是我国古代数学中别具一格的几何学。

1261年，南宋杨辉在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

此外，杨辉还著有《日用算法》、《杨辉算法》等。杨辉的著作讲述了宋元数学的另一个重要侧面：实用数学和各种简捷算法。这是应当时社会经济发展而兴起的一个新的方向，并且为珠算盘的产生创造了条件。

在元代，王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。

元代朱世杰受李冶《测圆海镜》和杨辉著作的影响，著有《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”，即四元高次联立方程，并提出消元的解法，欧洲到1775年法国人别朱才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到1670年英国人格里高利和1676年牛顿才提出内插法的一般公式。

朱世杰的《算学启蒙》也是当时的一部启蒙教科书，由浅入深，循序渐进，直到当时数学比较高深的内容。

宋元算书中所记载的辉煌成就再次证明：直到明代中期之前，我国科学技术的许多方面，是处在遥遥领先地位的。

[旁注]

周公　周代的爵位，通常指历史上的第一代周公，他姓姬名旦，亦称叔旦，是周文王姬昌第四子。因封地在周，故称周公或周公旦。他是西周初杰出的政治家和军事家，被尊为儒学奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一。

张苍　（公元前256年～公元前152年）西汉阳武人，西汉学者，政治家。他在历法、算学方面取得了很大的成就。为西汉王朝制定了立法与度量衡。他把算学研究成果直接用于国计民生，校正《九章算术》，是对我国及世界数学发展的重大贡献。

耿寿昌　西汉天文学家，理财家。汉宣帝时任大司农中丞，在西北设置“常平仓”，用来稳定粮价兼作为国家储备粮库。白令边郡皆筑仓，以谷贱时增其价而籴，以利农谷，贵时减其价而粜，以赡贫民，名曰常平仓。后来被封为关内侯。

刘徽　（约225年～295年）山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，我国古典数学理论的奠基者之一。是我国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

祖冲之　（429年～500年）字文远，刘宋时期数学家、天文学家。祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。尤其是在数学方面，他把圆周率推算到小数点后7位，被称为“祖率”。此外，祖冲之精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。祖冲之的儿子祖暅之也是数学家。

王孝通　唐代算历博士，626年曾任通直郎太史丞，并参加修改历法工作。王孝通的主要贡献在数学方面，656年国子监设“算学”，以“十部算书”为教科书，列《缉古算经》为十书之一，并规定此书学习年限长达三年。

杨辉　（约1238年～约1298年）字谦光，我国南宋时的数学家。著有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》及《九章算法篡类》、《杨辉算法》等多本算法的著作。

朱世杰　（1249年～1314年）字汉卿，号松庭，燕山人，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。他曾以数学名家的身份游历四方，从事教学。朱世杰发展了“四元术”，创造了“垛积法”与“招差术”，著有《算学启蒙》与《四元玉鉴》。其数学成果代表了宋元以来的最高水平。

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宋元以后，明清时期也有很多算书。例如明代就有著名的算书《算法统宗》。这是一部风行一时的讲珠算盘的书。入清之后，虽然也有不少算书，但是像《算经十书》、宋元算书所包含的那样重大的成就便不多见了。特别是在明末清初以后的许多算书中，有不少是介绍西方数学的。

明清时期的数学发展，反映了在西方资本主义发展进入近代科学时期以后我国科学技术逐渐落后的情况，同时也反映了我国数学逐渐融合到世界数学发展总的潮流中去的一个过程。