容量维数

假设 E 是 d 维欧氏空间中的有界子集 N 是覆盖 F 的半径为的闭球的最少个数 则容量维 Dc 定义为

D = lim logN / log1 / 1.2 - 5

ε →0

这是因为在 0 时 N 与 ^—Dc 成比例 所以 1.2—5 成立 而且 在 0 时 有

logN ─Dclog =Dcloog 1/ 1.2—6

此式提供了近似计算容量维的实验方法 在不同的标度 下 计算出不同的 N 在双对数坐标系下 用最小二乘法回归点log 1/ logN 就可求出容量维数 当然 这里涉及无标度区问题 我们将在后面介绍

在很多时候 Dc 与 Dh 一致 但有时候取不同的值 一般地 有关系

Dc Dh 1.2—7

上述维数都有较严格的数学定义 而且已有不少数学上的结果 但是在应用中 也存在不适合 不方便之处 在应用中 人们还提出了一些具有实用意义的分维和确定维数的多种方法 自然界中 并不存在像数学上那样严格 规则的分形 大量存在着的只是近似的分形 所谓的自相似性 也只在一定的标度范围存在 所以 有必要讨论无标度区间