第一章 分形的墓本概念与分维数的计算

分形 一词译于英文 fracta1该词系美籍法国数学家曼德尔布罗特 B.B.Mandelbrot 于 1975 年最先创用的 他在 1982 年出版的著作大自然的分形几何 一书中介绍说fracta1 一词源于拉丁形容词 fractus 对应动词 frangere 意为 破碎产生不规则碎片 同时 与英文 fractional 和 fragment 有相同的词根 意为 碎片 断片分数的 因此 fractal 有非规则的 破碎的 分数的等含义 曼德尔布罗特指出 分形由三个要素组成 即形状 机遇和维数 这里的维数概念与欧氏几何不同 不仅可以取整数 而且可以取分数

初涉分形的读者定会迷惑不解 在传统数学里 形体的维数都是整数 大家都知道 0 维的点 1 维的线 2 维的面 3 维的体 4 维的时空而分形体的维数可以取分数 这倒是有些奇怪了 那么 分形的数学定义到底是什么呢 为什么分形可以有分数的维数呢 怎么确定分形体的维数呢 下面我们将对上述问题做出通俗直观的回答 而不计较数学上 的严格性

1 1 什么叫分形

欲从数学角度对分形下一个严格的定义并不是一件容易的事 其实 从分形诞生至今 20 年来 人们都在不断地探索分形的严格定义 但是至今尚无一个是完全令人满意的 虽然如此 这也不妨碍人们对分形的理解 科学中未予严格定义的概念可多了 例如集合 生命 混沌等等 本节中我们先从特征尺度的概念入手给出分形的描述 至于维数人们可从不同角度对同一分形给出不同意义的维数 我们将在下节讨论