豪斯道夫维数

相似维数既很重要又很简单 但是实用范围是很有限的 因为只有对严格自相似的分形集 才能定义这一维数 豪斯道夫维数不仅是具有严格的数学定义的维数 而且实用范围广 不仅对一般的分形集有意义而且对一些非分形集有意义 下面是该定义的直观表述 设 F 是 d 维欧氏空间的子集 令 N 表示覆盖 F 所需要的直径为 的 d 维球的个数

则说 F 的豪斯道夫维数为 D 例如 用直径为1/3 ^K 的小球来覆盖科契曲线 所用的小球数为 4^k 个 因此 科契曲线的豪斯道夫维数D=log4/log3=1.2618 豪斯道夫维数的严格定义为 设 F 是度量空间

的一个子集 r 0 0 F 的 r 维外测度 mr F 定义为

mr F = liminf

ε →0

∑||Ui

i

Ui 是

F 的有限覆盖且 0 U_i 1.2—3

mr F 可以为 0 或 取决于 r 的选取 即 mr F 关于不同的 r 存在一个使 mr F 从 跳跃到 0 的唯一临界值 Dh 当 0 r Dh 时 mr F

= 即测量尺度太细 当 Dh F r 时 mr F 0 即测量尺度太粗 当 r=Dh F 时 0 mr F 这个唯一的临界值 Dh F 就是 F 的豪斯道夫维数 可以写成

D_h F =inf r mr F =0

=sup r mr F = 1.2—4

例如 对科契曲线 E 若 D log4/1og3 则 mr E = 若 D 1og4/log3 则 mr E =0 若 D=log4/log3 则 mr E 为非零有限值 事实上 通过简单的计算可知 mr E 的值为 4/ 3^Dh—4

自相似集的豪斯道夫维数一般等于它的相似维数 除个别集外 豪斯道夫维数的严格计算一般是很困难的 为了计算上的方便 人们又引人了容量维