量规维数

设 C 是一无自交点的约当 Jordan 曲线 即 C 是区间[a b]在连续双射下的象 由于[a b]紧致 E² 是豪斯道夫空间 由拓扑学的一个定理[7]可知 C 是[a b]的同胚象 设 0 x0 x1 xm 是 C 上的点且满足对 k=1 2 m xk—xk—1 定义 M C 为 点 x1 x2 xm 的最大数目 则 M C —1 可以看成利用两脚间距为 的两脚规测量 C 所得的长度 当下述极限存在时 其值定义为

Ddiv (C) = lim (log M (

0

C) / (− log )) (1 2 − 8)

若极限不存在 可改用上 下极限定义上 下量规维数 曲线的量规维数大于或等于容量维数 在简单的自相似集 如科契曲线 中 它们相等

这一维数常用于求自然界中的曲线的分维 设想有一张绘制得很精确的海岸线地图 我们用两脚规来测量其长度 假设两脚规张开的长度为 r 沿着海岸线用这个两脚规一步步的测量 量出的步数记为 Nr 于是 海岸线的长度 L r 可以写成

L r =N r r 1.2—9

改变 r 的大小重复测量过程 r 越小 Nr 越大 反之亦然 在无标度区间内 N r 与 r 之间有如下关系

V r =Kr^-Df 1.2—10

式中 K 为常数 Df 就是量规维数 把 1.2—10 代入 1.2—9 即得海岸线长度和测量尺度之间的关系

L r =Kr^1—Df 1.2—11

由此可见 Df 较好地描述了海岸线长度随测量尺度变化的快慢情况 即海岸线的复杂弯曲程度 在双对数坐标系中 作logr logL r的散点图 识别出无标度区问可用文献[8]的方法再用最小二乘法回归无标度区间内的点 logr logL r 求出 1—Df 即可求出分维 Df 曼德尔布罗特求出英国西海岸线的分维 Df 1.25 德国届境线 1899 年

Df 1.15 西班牙与葡萄牙国界 Df 1.14 澳大利亚海岸 Df 1.13 南非洲海岸 Df 1.02 这表明了海岸线和国境线的分形性质

著名科学家理查逊 L.F.Richardson 早就研究过海岸线 由于对海岸线和曲折的国境线感到怀疑 他核查了西班牙 葡萄牙 比利时和荷兰的百科全书 发现这些国家对共同边界长度的估计相差 20 1961

年 他经验性地发现了前面的公式 1.2—11 但是 他只把 Df 看作一个指数 而未能指出它的特殊而深刻的意义 曼德尔布罗特在分形方面

的第一个贡献就是把理查逊公式中的 Df 解释成分维 从而使海岸线成了一个经典的分形实例 目前 人们已应用科契曲线来模拟形态各异的海岸线 图 1.7 就是计算机模拟的海岸线 与真实的海岸线十分相似

图 1.7 计算机模拟的海岸线