第十一章 形式主义与集合论公理化基础

与现代数学的浩翰大海相比，那点可怜的残余算什么。直觉主义者所得到的是一些不完整的、没有联系的孤立的结论。

——大卫·希尔伯特

出现于本世纪头 10 年，在数学基础上观点完全相反的逻辑主义与直觉主义哲学，只是这场大纷争中首先登场的两大派系。关于数学基础思想的第三大派系是由大卫·希尔伯特领导并风行一时的形式主义派，而第四大派系集合论公理化派则是由策梅罗创建的。

希尔伯特在 1900 年国际数学家大会的发言（见第八章）中，强调了证明数学相容性的重要。他还提出一种实数的良序方法，正如我们从策梅罗的工作中所知道的，良序原理等价于选择公理。最后，希尔伯特还建议数学家们致力于证明连续统假设的工作，这种假设声称在ℵ0。和 c 之间不存在别的超限数。早在令人困扰的悖论和关于选择公理的争论产生以前，希尔伯特就预见了解决所有这些问题的必要性。

在 1904 年第三届国际数学家大会上，希尔伯特本人提出了他解决数学基础问题方法的纲要，其中包括证明相容性的方法。但是他在一段时间内并没有做更多实质性的工作。在以后的 15 年中，逻辑主义者和直觉主义者广泛地发展了他们的学说，但希尔伯特委婉地指出，他对他们关于数学基础问题的解答并不满意。

希尔伯特相当冷静地驳回了逻辑主义思想。正如他在 1904 年的演说和论文中所讲的，他主要的反对理由是，在逻辑漫长而复杂的发展过程中实际上已涉及到整数，尽管没有这样称呼它们。因此在逻辑的基础上建立整数的概念实质上就是循环论证。他还批评了以集合的属性来确定集合的方法：这样就必须通过层次和层次论来区分命题和命题函数，而层次论需要用到引起争议的约化公理。他很赞成罗素和怀特海的关于无穷集合应被包括进入的观点，但这须用到无限公理，希尔伯特希望别人能证明这不是逻辑公理。

在另一方面，直觉主义者的哲学也引起了希尔伯特的警觉，因为他们排除的不仅仅是无穷集合，而且还有建立在纯存在证明基础上的大部分分析。希尔伯特强烈地抨击了他们的哲学。1922 年，他说直觉主义者“想要使数学瓦解和变形”。在 1927 年的一篇论文中，他抗议说：“禁止数学家用排中律就像禁止天文学家用望远镜或拳师用拳一样。否定用排中律所得到的存在性定理就相当于全部放弃了数学的科学性。”

魏尔在 1927 年谈到希尔伯特对直觉主义的看法时，说道：“在直觉主义者的观点中，仅有一部分，也许是仅有可怜的一小部分经典数学理论是站得住脚的，这是个痛苦且不可否认的事实，希尔伯特是不能忍受这种残缺的。”

在反对逻辑主义和直觉主义的过程中，希尔伯特坚持认为两者都不能证明相容性。在 1927 年的论文中，他宣称：

为了奠定数学的基础，我们不需要克朗涅克的上帝，也不需要彭加勒的与数学归纳原理相应的特殊理解力（彭加勒曾说过利

用数学归纳法无法证明系统的相容性）或布劳维的基本直觉，最后，我们也不需要罗素和怀特海的无限性、归约性以及完备性公理。这些公理是切实的、基本的命题，但是不能通过相容性的证明来建立。

20 世纪 80 年代时，希尔伯特确定了他自己的数学基础方法，并在余

生致力于此项工作。在他 20 年代至 30 年代初发表的论文中，1925 年的论文是最主要的一篇。其中写道：“对于无穷量，我的理论的目的是一次性彻底地解决数学方法中的确定性问题。”

他的理论的首要点就是既然逻辑的发展确实与数学思想有关，既然经典数学被留存下来，一些超逻辑公理（例如无穷公理）总要被引入，那么正确的数学方法必须包括既有逻辑又有数学的概念和公理。此外，逻辑必须研究那些包含某些超逻辑的具体概念的事物，例如整数，它们早在逻辑开始发展前就存在于直观中了。

希尔伯特所设想的逻辑公理与罗素的公理在本质上没有什么区别，尽管希尔伯特假设的更多一些，因为他不想参与为逻辑建立一种理论基础。但是，希尔伯特说，因为不能仅仅从逻辑中推导出数学——数学不是一种逻辑的结果而是一种自然存在的法则——每一个分支都必须含有包括逻辑和数学在内的适当的公理。此外，对待数学的最可靠的方法就是不把它当作实际知识而是当作一种形式上的法则，也就是说，当作一种抽象的、象征性的、与含义无关的法则（尽管，非正式地说，它的含义及它与现实的联系已融入其中）。根据逻辑学原理，演绎法可归结为对符号的操作。

因此，为了避免语言上的含义不清和对直觉知识的无意识应用（这也是产生一些悖论的原因），也为了清除其他的悖论以达到证明的准确性和客观性，希尔伯特决定对所有逻辑和数学的叙述用符号形式来表达。这些符号，尽管它们可以表达直观上的意义的感知，但不能在他所提出的形式数学中找到解释。希尔伯特希望包括一些甚至可以表示无限集合的符号， 但是它们没有什么直观上的意义。这些理想的元素，如希尔伯特所称，是建立所有的数学所必需的，所以它们的引入是合理的，尽管希尔伯特相信在现实世界中仅有有限个事物存在，事物又是由有限个元素所组成的。

希尔伯特的观点可以用一个比拟来理解。无理数作为数字是没有直观上的意义的。即使我们能引入一些尺寸为无理数的长度，这些长度本身并不能为无理数提供任何直观上的含义。但是无理数作为一种理想的元素即使是在初等数学中也是必不可少的，这也就是为什么数学家们能在 1870 年以前没有任何逻辑基础的情况下用到它们的原因。希尔伯特认为复数，

也就是那些与

−1有关的数，它们在实数中没有直接相对应的数，但是对它

们可以建立可行的普遍性的定理：例如每个 n 阶多项式方程正好有 n 个根， 以及一整套被证明甚至在物理研究中都具有广泛应用的复变量理论。不管符号所代表的是否是直觉上有意义的事物，所有概念和运算中的符号本身都是无意义的。对于数学基础来说，数学思想的要素就是符号和由符号组合或串联而成的命题。这样形式主义者就要花相当大的代价：处理一些毫无意义的符号，去探求确定性。

幸运的是，这些逻辑符号体系在 19 世纪后期、20 世纪初期就已得到了发展（见第八章），所以希尔伯特得到了他所需要的现成的符号体系。例如记号～表示“非”，·表示“与”，∨表示“或”，→表示“蕴涵”，

∃表示“存在”，这些都是没有定义的或基本的概念。当然，对于数学来说符号体系早已存在。

希尔伯特所选择的逻辑公理意欲对亚里士多德逻辑的所有原理产生影响，人们很难对这些公理的可接受性产生怀疑。例如：有 X、Y、Z 三个命题，其中一条公理说 X 蕴涵 X∨Y，按字面解释就是，如果 X 为真，那么 X 或 Y 为真。另外一条公理按字面解释为：如果 X 蕴涵 Y，则 Z 或 X 蕴涵 Z 或 Y。一个基本公理就是蕴涵的规则或是推理的规则。公理认为，如果公式 A 为真，并且公式 A 蕴涵公式 B，则公式 B 也为真。这个逻辑法则在亚里士多德逻辑中被称为肯定式。希尔伯特还希望用到排中律，他还引入了一种用符号形式表达排中律的技术工具。在表述选择公理（自然它是一个数学公理）时也用到了这种技术工具。希尔伯特希望，不明确使用“一切” 这个词就可以避免任何悖论。

在研究关于整数的数学分支中，根据希尔伯特的方案，存在着整数公理。举例说明：有一条定理 a=b 蕴涵 a′=b′，是说如果两个整数 a 和 b 相等，那么它们的后继数（即下一个整数）也相等。另外，还存在着数学归纳公理。通常这些公理至少与自然现象的经验或已存在的数学知识有关。

如果用一个形式系统表示集合理论，那么，它必须包含说明哪一类集合被形式化的公理（用符号形式表达），这样，公理就可以允许这类集合： 两个集合的和与一个给定集合的所有子集组成的集合形式化。

对于所有的用公式和符号组合表达的逻辑和数学公理，希尔伯特准备用客观的证明来说明他的想法。它包括以下过程：肯定某一个公式；肯定这个公式蕴涵另一公式；肯定第二个公式。一系列这样的步骤，其中所肯定的公式或蕴涵关系都是前面的公理或结论，这就构成了一个定理的证明。另外，用一个符号去代替另一个或一组符号也是一种允许的运算。这样，把逻辑公理用到以前建立的公式或公理的符号操作上去，就可以推导出公式。

一个公式为真，它必须且只须是这样一串公式中的最后一个，其中的每一个公式，或者是形式系统中的一条公理，或者是由归纳法则所导出的公式。每个人都可以验证，一个给定的公式是否可以通过一串适当的推导得到，因为证明在本质上就是对一些符号的机械操作。这样，按照形式主义的观点，证据和严密性就是确定的、客观的。

于是对于形式主义者来说，数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学；各有各自的概念，各自的公理，各自的推导定理的法则，以及各自的定理。把这些演绎系统中的每一个发展起来， 就是数学的任务。

这些就是希尔伯特关于数学结构的方案。但是能从没有矛盾的公理中得到结论吗？由于先前关于数学主要分支的相容性证明是在假设算术相容的基础上给出的——确实，希尔伯特本人已经指出欧几里得几何相容性可以归结为算术相容性——所以后者的相容性就变成了关键性问题。正如希尔伯特提出的，“在几何学和物理理论中，相容性的证明是通过把它归结为算术相容性来完成的。这种方法很明显不适用于对算术本身的证明。” 那时希尔伯特所寻求的是与相对相容性相反的绝对证明。这也是他集中精力要解决的问题。他说在这一点上我们今后不能像在 20 世纪初那样冒令人

不快的意外之险。

现在，相容性观察不到了。一个人不能预见到公理中的所有内涵。然而，希尔伯特像几乎所有关心数学基础的数学家那样，根据一个假命题蕴涵着任一命题来运用实质蕴涵的概念（见第八章）。如果存在着一个矛盾， 那么根据矛盾律，两个命题中必有一个为假命题，并且如果存在一个假命题，它必然蕴涵 1=0。因此，想要证明相容性只须证明我们永远不会得出1=0 这个形式的语句。这样，如希尔伯特在 1925 年的文章中所说，“在我们曾经历过的两次悖论中，头一次是微积分悖论，第二次是集合论悖论， 我们不会再经历第三次，而且永远也不会。”

希尔伯特和他的学生阿克曼（Wilhelm Ackermann）、伯奈斯（Paul Bernays）和冯·诺伊曼在 1920 到 1930 年间逐步开展了所谓的希尔伯特证明论或元数学，这是建立任何形式系统的相容性的一种方法。元数学的基本思想可以用一个比喻来理解：一个人想要研究日语的有效性和综合性， 如果用日语研究就会由于语言的限制而对研究不利，但如果英语是一种有效的语言，那么他就可以利用英语来研究日语。

在元数学中，希尔伯特提议用一种特殊的无任何异议的逻辑，这些逻辑原理应该很明显为真，任何人都能接受它们。事实上，它们很接近于直觉主义原理。不使用那些有争议的推论——诸如用矛盾去证明存在，超限归纳，实无穷集，非断言性定义以及选择公理。存在性证明必须是构造性的。因为一个形式系统可以是无限的，那么元数学必须容纳这些概念和问题，它们牵涉到至少是潜无穷的系统，但是不能涉及到公式中无穷多个结构性质和无穷多个公式操作。可以考虑这样的公式，其中符号只代表实无穷集合，但是它们仅仅是公式中的符号而已。自然数的数学归纳法是可承认的，这是由于它证明的是到任一有限数 n 的命题，而无须再去证明在整个自然数无限集合中的命题。

希尔伯特把元数学证明的概念和方法称作有限性（finitary），他对有限性的含义有些含混不清。在 1925 年的论文中，他举了如下例子，“如果 p 是一个质数，那么总存在一个质数大于 p”这个论述是非有限性的， 因为它是一个关于所有大于 p 的整数的论述。而论述“如果 p 是一个质数， 那么在 p 和 p！+1 之间总存在一个质数”是有限性的，因为对于任何一个质数 p，我们所要检验的是在 p 和 p！＋1 之间的有限数中是否存在着一个质数。

在希尔伯特与伯奈斯于 1934 年合作出版的书中，他是这样描述有限性的：

我们将经常用“有限性”这个词来表示问题中的论述、论断或定义限制在完全可构造的事物、完全可行的过程范围内，并在可具体检查的领域内执行。

毫无疑问，元数学将利用直觉语言和必须借助于符号表示的非正式语言。在国际数学家大会（1928 年）上，希尔伯特在谈到他的元数学方案时，

非常自信地断言：“利用这种新的数学基础——人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础性问题。”他尤其相信能够解决相容性问题和完备性问题，也就是说，所有有意义的论述将会被证实或推翻。那样也就不存在悬而未决的命题了。

可以预料，形式主义者的方案将会遭到他的对手们的非难。在《数学

原理》（1937 年）第二版中，罗素说形式主义者所使用的算术公理不能准确地限制符号 0，1，2⋯⋯的含义。我们也同样可以按我们直觉上的愿望从 100，101，102⋯⋯开始，因此“有 12 个门徒”的论断在形式主义中就没有意义了，“形式主义者就像一个只专注于如何使他的表看起来漂亮的制表匠，他忘记了表的报时作用，因而也就忽略了怎样使表走得更准。” 数的逻辑定义明了地与现实世界联系起来，而形式主义理论却做不到这一点。

罗素还攻击了形式主义的存在性概念。希尔伯特已接受了无穷集合和其他理想元素，并且认为数学的任何一个分支的公理，其中包括排中律和矛盾律，如果不能导致矛盾，那么满足公理的实体就肯定存在。罗素认为这种存在性的见解是形而上学的。此外，罗素说，可以想象出公理的无矛盾系统的多样性是没有限制的。他接着说，我们只对可应用于经验材料的系统感兴趣。

罗素的非难让人想起了“五十步笑百步”的成语，他在 1937 年时早已

忘记了他曾在 1901 年写过的话：“数学可定义为这样一门学科，在其中我们永远不知道我们谈论的是什么，也不知道我们所说的是否正确。”

形式主义方案对于直觉主义者来说是不能接受的。除了他们在关于无穷和排中律上的根本差异外，直觉主义者继续强调了他们是依靠数学的意义来决定其正确与否的，而形式主义者（和逻辑主义者）却是与理想的或是无意义的超自然世界打交道的。布劳维在 1908 年就已经表示，在经典分析的基础理论中，其中包括波察诺-维尔斯特拉斯定理（一个相当专业化的定理：一个有界无限集合至少有一个极限点），逻辑与含义有明显的矛盾。当排中律应用于任一理论超出了有限可证明时，布劳维说，我们必须在我们关于正整数的先验真理与排中律的随意使用之间作出选择。随意使用亚里士多德逻辑会导致形式上有效而实质上无意义的论断。经典数学通过放弃许多逻辑结构中的含义而放弃了实在。

布劳维的批评使许多人认识到以前错误地认为毫无疑义的信仰是有用的，这种信仰就是：任何重大的数学理论总是某种根本性的客观实在的真实表述。这些理论恐怕只是实际上真实的事物和现象的理想化。但是，尤其是在 19 世纪，经典分析中的许多内容除了在逻辑上令直觉主义者不满外，已经远远超出了直觉上的意义。接受布劳维的观点就是以经典数学缺乏直觉上的意义为理由来放弃相当一部分经典数学。

直觉主义者现在说，即使希尔伯特的形式化数学的相容性得到了证明，这种理论即这种形式化的数学也是没有意义的。魏尔抱怨说希尔伯特是通过“一种彻底的重新解释”来“拯救”经典数学的，也就是把它形式化了，而实际上是抽取了它的含义。“这样就把它在原理上从直觉系统转移，而形成一个根据固定规则进行的公式游戏。”“希尔伯特的数学也许是一种美妙的公式游戏，甚至比下棋更有趣。既然它的公式并不具有公认的可借以表示直觉真理的实在意义，那么它与认识又有什么关系呢？”为了维护形式主义哲学，我们必须指出只是为了证明相容性、完备性和其他性质才把数学简化成毫无意义的公式。数学作为一个整体，即使是形式主义者也不认为它仅是一种游戏，他们认为它是一种客观的科学。

与罗素一样，直觉主义者反对形式主义的存在性概念。希尔伯特坚持认为任何实体的存在性都可以通过它被引入时所在的数学分支的相容性所

保证。这个相容性概念对于直觉主义者来说是不能接受的。相容性不能保证纯存在定理的真实性。早在两百多年以前，这种证明就由康德写在他的

《纯粹理性批判》一书中：“对于取代概念的逻辑可能性（即这种概念不能自相矛盾）和对于事物的先验可能性（即客体须与概念相符），它们只能欺骗和取悦于头脑简单的人。”

20 世纪 30 年代，形式主义者与直觉主义者之间发生了激烈的舌战。

1923 年，布劳维指责了形式主义者。他说，“尽管公理化、形式化的处理可以避免矛盾，但也因此不会得到有数学价值的东西。一种不正确的理论， 即使它没能被任何反驳它的矛盾所驳倒，但它仍是不正确的；这就像一种犯罪行为不管是否有法庭阻止它，它都是犯罪一样。”1921 年他在阿姆斯特丹大学的演讲中又一次讽刺说：“对于在哪里能找到数学严密性的问题，这两派提供了不同的答案。直觉主义者说在人类的理智中，而形式主义者说在纸上。”

希尔伯特也反过来指责布劳维和魏尔，说他们想要丢弃每件不适合他们的东西，还专横地颁布了一道禁令。在他 1925 年的论文中，他称直觉主义是对科学的背叛。但是，正如魏尔指出的，在他的元数学中，他却把他的原则局限在基本直觉原则之内。

还有这样批判元数学原则的：元数学原则应该是被所有人接受的，但却只有形式主义者选择了它们。为什么他们的直觉就可以作为检验的标准？为什么直觉主义者不能探讨所有的数学？在元数学中，最终检验一个方法是否可行是看其是否具有说服力，但是这种说服力又是对谁而言呢？尽管形式主义者不可能应付所有的指责，但是在 1930 年，他们有了一

个对他们极为有力的论据。罗素及其拥趸同意逻辑公理不是真理，所以不能保证相容性。而直觉主义者只有在他们的直觉能保证相容性时才能坚持其正确性。但是，在另一方面，形式主义者对于建立相容性却有一个深思熟虑的程序。利用简单系统获得的成功使他们确信可以获得算术以至于全部数学相容性的成功。现在，我们暂且将他们搁置一边，来看一看另外一个研究数学基础方法的对手。

集合论公理化派的成员在开始时并没有形成他们独特的哲学，但是他们逐渐获得了支持，有了明确的方案。在今天，我们可以肯定地说这个派别在数学家中所拥有的支持者是与我们前面介绍的三个派别势均力敌的。我们可以把集合论公理化的起源追溯到戴德金和康托尔的工作中。尽

管他们主要关心的是无穷集合问题，并且也都着手于在集合概念的基础上建立一种普通的整数（自然数）。当然，一旦整数建立了，也就能推导出全部数学了（见第八章）。

当康托尔的集合论的矛盾，就是那些涉及到集合的最大基数和最大序数以及罗素和理查德关于集合的矛盾出现时，一些数学家相信这些悖论的产生是由于滥用集合所致。康托尔大胆地引入了一些激进的观点，但他表达得相当不明确。他在 1884 年、1887 年、1895 年对集合论分别给出了各种文字上的定义。他的集合论的概念实质上是：我们的直观或思想中明确的、可分辨的物体的总体。换句话说，对于每个实体 X，我们只要知道 X 是否属于这个集合，这个集合就可以确定了。这些概念都是含糊不清的， 康托尔的集合论的整个表示形式在今天通常被说成是幼稚的。因此集合论的公理化思想，做为一种经仔细选择的公理化基础，可以排除集合论中的

悖论，正如几何和数系中的公理化可以在那些领域里解决逻辑问题一样。尽管集合论包含在数学的逻辑方法中，集合论公理化主义者更希望直

接通过公理来研究它。策梅罗在 1908 年的一篇论文中着手进行了集合论的公理化，他也相信悖论起因于康托尔对集合的概念没有加以限制。因此， 策梅罗希望清晰明确的公理能够澄清集合的含义和集合所应具有的属性， 尤其是他想要设法限制集合的大小。他没有什么哲学根据，只是力图避免矛盾。他的公理系统包含未加定义的集合的基本概念，以及一个集合被另一个集合所包含的关系。所有这些加上已定义的概念就可以满足公理中的陈述，只有公理所提供的集合的性质才能使用。在公理中，无穷集的存在性，以及像集合的并与子集的形成这一类的运算也由公理给出。策梅罗也用到了选择公理。

策梅罗的公理系统在 1922 年由弗兰克尔（AbrahamA．Fraenkel）改进。策梅罗没有区分集合的属性和集合本身，它们被当作同义语使用。弗兰克尔在 1922 年找出了它们之间的区别。这套被集合论公理化者最通常使用的公理系统叫做策梅罗-弗兰克尔系统。他们俩分别预测到了精致的、严密的数学逻辑的可行性，却没有详细说明逻辑的原理。他们认为这些都是在数学范围之外的，并且确信他们可以像 1900 年以前的数学家使用逻辑一样来使用这些逻辑原理。

让我们权且以文字形式来表示策梅罗-弗兰克尔集合论中的几条公理。

1. 如果两个集合含有同样的元素，那么它们是相等的（直观上讲，这确定了集合的概念）。

2. 存在着空集。

3. 如果 x 和 y 是集合，那么无序对{x，y}也是集合。

4. 一组集合的并也是集合。

5. 存在着无穷集（这个公理允许超限基数，这是关键的一条，因为它超越了经验）。

6. 任何可用理论的语言形式化的属性都可以用来定义一个集合。

7. 对任一集合，都可以作出其幂集；即任一给定集合中的所有子集的全体也是一个集合（这个过程可以无限次重复，即我们可以把任一给定集合中所有子集的集合看成一个

新的集合；这个集合的幂集就是一个新的集合）。8.选择公理。

9.x 不属于 x。

对于这些公理，特别值得注意的是它们不允许考虑全包容集合，因而大概可以避免悖论。但是它们含有足够的经典分析所需的集合论的全部性质，建立在集合论上的自然数的发展可以很容易地实现了。康托尔在 1885 年就宣称纯数学可以归结为集合理论，并且事实上怀特海和罗素已经这样做了，尽管他们研究集合的方法要复杂得多。从关于整数的数学中可以得出所有的数学，其中包括几何学，只要这种几何学是建立在解析几何基础上的。因此集合论可以作为所有数学的基础。①

① 后来哥德尔（1940 年）和伯奈斯（1937 年）改进了策梅罗-弗兰克尔系统，用以区别集合与类。他们还简化了冯·诺伊曼于 1925 年的表述。集合可以属于其他集合，所有的集合都是类，但并不是所有类都是集

反复强调的是，避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够的性质作为分析的基础。到目前为止还没有人从集合论公理理论中得出悖论，策梅罗宣称没有任何人会得出。后来的集合论公理化主义者也毫无疑问地确认了这一点，因为策梅罗和弗兰克尔非常严格地建立了集合体系，这种体系避免了在早期研究集合及其性质的工作中的不明确性。然而集合论公理化的相容性还是没有得到证明，而集合论公理化主义者对此一直未加注意。对于这个悬而未决的相容性问题，彭加勒用他惯用的嘲讽语气评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈里有没有狼。”

像其他派系一样，集合论公理化主义者受到了众多的批评。选择公理的使用受到了很多人的攻击。早在本世纪头 10 年，逻辑本身和它与数学的关系就在研究之中了，而集合论公理化主义者却宁愿忽视这些逻辑原则。当然，他们对相容性的盲目自信被一些人视为幼稚，与康托尔发现麻烦前一样地幼稚（见第九章）。还有一种批评认为集合论的公理相当武断和做作，它们是为了防备悖论而设计出来的，但其中一些却是不自然的或是建立在直觉基础上的。既然连集合论公理化主义者都推测出了逻辑原理，那么为什么不能从算术本身开始着手呢？

尽管如此，策梅罗-弗兰克尔的集合论公理至今仍被一些数学家当作建立所有数学的理想基础。它是建立分析和几何的最普遍、最基本的原理。实际上，正像各个头领在发展并促进他们自己的哲学的同时也使其他的数学方法赢得了众多的支持者一样，集合论公理化方法也是如此。一些逻辑学家，例如奎因就满足于集合论。一批以布尔巴基为集体笔名的卓越的德高望重的数学家在 1936 年详细地证明了大多数数学家所相信的事实，那就是，若接受策梅罗-弗兰克尔的，尤其是经伯奈斯和哥德尔修改过的集合论公理以及一些逻辑原则，那么就可以在其基础上建立所有数学。但是对于布尔巴基派来说，逻辑是从属于数学公理的，对于数学是什么或数学家做些什么它不起支配作用。

布尔巴基派在《符号逻辑杂志》（1949 年）的一篇文章中表明了他们对逻辑的看法：“换句话说，逻辑，就我们数学家而言，是我们使用的语言的语法，而语言早在语法建立前就已经存在了。”数学将来的发展可能要求对逻辑有所修改。这在引入无穷集合时就已经这样做了，我们将看到， 在讨论非标准分析（见第十二章）时，我们还得这样做。这样，布尔巴基派就脱离了弗雷格、罗素、布劳维和希尔伯特。逻辑的修改利用的是选择公理和排中律，尽管它们是用希尔伯特的技术方法推导出来的。布尔巴基派不屑于研究相容性问题，他们说：“我们仅仅意识到，当所有异议都被排除，并且推理的正确性没有疑义时，这些困难也就都被解决了。”矛盾在过去产生过并且已被解决了，将来也会是这样。“过去的 25 个世纪，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到数学是更加丰富了而不是更加贫乏了；这就使他们有权力去展望未来。”布尔巴基派在他们对集合论公理化方法的研究中出版了约 30 卷著作。

合。类不能属于更大的类，类与集合之间的区别意味着不允许有奇形怪状的集簇属于其他的类。这样，康托尔的不相容集合就可以被剔除。策梅罗-弗兰克尔系统中的任何一个定理也是哥德尔-伯奈斯系统中的一个定理，反之亦然。实际上，在集合论的公理系统中有很多的变体。——原注

这样，到 1930 年，四种彼此独立的、截然不同的并且或多或少有些冲突的关于数学基础的方法都已亮相。并且可以毫不夸张地说，他们彼此的追随者也都处于对峙状态。一个人再也不能说一条数学定理是被正确地证实了，因为到 1930 年，他必须加上一句，即依照谁的标准它被认为是正确的。除了直觉主义者认为的人的直觉能保证相容性外，数学的相容性，这个激发了新方法的重要问题，根本就没有得到解决。

数学在 19 世纪尽管没有在逻辑发展中获得成功，仍不失为一种完美的科学，而且是通过可靠的、毫无疑问的推理方法建立其结论的科学，它拥有的不仅是可靠的理论，而且是关于我们宇宙的真理，像一些人所认为的， 是任何可能的宇宙的真理。但现在，数学不仅失去了其自诩的真理性，而且在各个关于数学基础的派系及关于正确的推理原则的断言的矛盾冲突中被玷污了。人类理性的自豪受到了严峻的考验。

数学家贝尔（EricT．Bell）在 1930 年这样描述了当时的状况： 经验告诉大多数数学家，那些对于上一代数学家来讲稳固

的、令人满意的东西意味着是下一代用更可靠的探究方法破旧立新、拨乱反正的好机会。⋯⋯所谓建立在数学基础上的合理的共识，在任何意义上似乎都是不存在的。

将来会怎么样？正像我们将要看到的，将来会带来许多更严重的问题。