第九章 天堂受阻：理性的新危机

数学中不存在真正的论战。 逻辑是使人走向错误的艺术。

——高斯

——无名氏

经历了几个世纪在理性迷雾中的摸索，到 1900 年，数学家们似乎已经赋予了他们的学科一种理想的结构，也就是欧几里得在他的《原本》中所描述的那种。他们最终承认了未定义概念的必需，一些含混或令人不愉快的定义被取消，一些分支也被建立在严格公理的基础上。正确、严谨、演绎的证明取代了基于直觉或经验的结论，甚至逻辑学的原理也被发展用以完善数学家们过去常用的那种不正规的，不清晰的证明方式。就我们所知， 到 1900 年时，它们的应用是可靠的。至此，正如我们已经说过的那样，数学家们因此倍感欣喜。正当他们额手称庆之时，新的发展却搅乱了他们的平静生活，这甚至超出了 19 世纪前半叶时非欧几何和四元数所造成的影响。正如弗雷格所言：“当大厦即将竣工的时候，基础却崩溃了。”

希尔伯特曾经呼吁数学界注意一些尚未解决的关系到数学基础的问题

（见第八章），这其中，建立不同公理系统的相容性问题是最基本的。他也意识到公理化方法使得未定义概念及其有关公理的运用成为必需，凭直觉，这样的概念及公理有着很特殊的意义。例如，点、线、面这些词语， 都有实在对应物，而欧氏几何的公理，正是表述这些概念间的物理事实的。然而，正像希尔伯特所强调的、纯粹的欧氏几何逻辑并不要求点、线、面被束缚于某种特定的解释，而且对这样的公理，应该用尽可能少的假定， 而致力于推导出更多的东西。尽管有人试图把公理公式化，以使他们能断言哪些东西看起来有实在意义，但在公式化的同时，也存在着危险，即这些公理可能成为不相容的，也就是说会导致矛盾。帕斯、皮亚诺和弗雷格已经意识到了这种危险，希尔伯特在 1900 年的巴黎数学家大会上也强调了这个问题。

把物理事实抽象公式化时，可能出的毛病用一个粗浅的比喻也许更容易明白。发生了一起罪案（许多人会同意数学是一种罪过），一个侦探在调查案件时，有一些未定义概念，如罪犯、犯罪时间等。无论得到什么事实，他都记录下来，这就是他的公理，然后他对事实进行推理，以期对案子能做出一些判断。他很可能做出矛盾的推论，因为他所做的一些假设， 尽管尽可能的基于已发生的事情，却仍然可能超出事实或只是接近事实， 虽然在实际情况中并不存在矛盾。的确存在犯罪和罪犯，但推理会得出这样的结论，罪犯身高五英尺，同时，他身高六英尺。

如果不是为了新的发展，那么，各公理系统相容性的证明能否成为关键性问题，还是值得怀疑。到 1900 年，数学家们认识到他们不能再依赖于数学的物理真实性来肯定它的相容性。以前，当欧氏几何被当作物理空间的几何时，其中定理的连续推导会导致矛盾是不可思议的事情。但是到1900 年，欧氏几何被看成不过是建立在一组二十条左右人为公理上的逻辑构造，彼此矛盾的定理出现是确实可能的。那样的话，许多以前的工作会

变得毫无意义，这是因为，如果两个彼此矛盾的理论出现的话，每一个都可以用来证明另一个的矛盾之处，因此，推导出来的定理会毫无用处。但希尔伯特通过证明，只要算术系统的逻辑构造是相容的，则欧氏几何也是相容的，排除了这种可怕的“如果”，也就是说，实数系统必然是相容的， 对此几乎不存在什么忧虑和危机。

但是，令所有人惊愕不已的是，刚过 1900 年，就在构成并延伸我们关

于数的知识的基础理论中发现了矛盾。因而到 1904 年普林斯海姆(Alfred Pringsheim)，一位杰出的数学家说，数学所寻找的真实就是相容性。当希尔伯特在 1918 年的一篇文章中再次强调这个问题的时候，他已有了比1900 年讲话时更充足的理由。

在旧体系中导致矛盾并让人们大开眼界的新理论是关于无穷集合的。分析的严密化使人们必须考虑，收敛的无穷级数（有一个有限和）和那些发散级数的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数，即以傅立叶命名的傅立叶级数，起了极其重要的作用。而一些在严密化过程中产生的问题， 在康托尔着手解答时暴露了出来。这导致他考虑数集的理论，特别是引入无穷集，像所有奇数，所有有理数和所有实数的集合的计数。

当康托尔把无穷集看成一个可以被人的心智思考的整体时，他就打破了长久以来的定论。从亚里士多德起，数学家们就能区分实无穷与潜无穷。比如说，地球的年龄，如果有人认为它是在某个确定时间创生的，它的年龄就是潜无穷。因为无论什么时候，它虽然有限，却在持续增长。所有（正） 整数的集合也可以被看成是潜无限的。因为，即使一个人数到了一百万， 他还可以考虑再加一、加二，等等。然而，如果地球在过去是一直存在的话，则任何时刻其年龄都是实无穷的。同样，所有整数的集合被当作一个整体时是实无穷的。

将无穷集看成是实无穷、还是潜无穷，这个问题由来已久。亚里士多德在他的《物理学》中得出的结论是：“可选择的是无限具有潜性的存在⋯⋯不会存在实无限。”他坚持认为数学中不需要后者。希腊人通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。后来，这些讨论曾一度使人迷惑不解，因为许多数学家像谈论数一样谈论无穷，却并没有弄清它的概念或确定它的性质。比如，欧拉在他的《代数学》(1770 年)中说 1/0 是无穷大（而他并没有定义无穷，只是用符号表示它），并且说： 毫无疑问 2/0 是 1/0 的二倍。在有极限的场合运用∞符号产生了更多的混

乱，当n 1

n可以取越来越大

趋于∞时， n 趋于零。在这里符号∞仅意味着

的值，并大到一定值（是有限的），以使0

并没有涉及到实无穷。

1

和 n 的差小于一任意值。这儿

然而，多数数学家，像伽利略、莱布尼茨、柯西、高斯和其他一些人都清楚地知道潜无穷集和一个实无穷集的区别，却拒绝考虑后者。如果他们必须得谈及，比如说，所有有理数的集合，他们不会赋一个数给这个集合，笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。”高斯在 1831 年写给舒马赫的信中说：“我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不能允许的，无限只不过是一种说话方式，我们所说的极限是指， 某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无界地增加。”

因此，当康托尔引入实无穷集时，他不得不完善他的创造，以与过去最伟大的数学家们所持有的概念相抗衡。他论证说，潜无穷实际上依赖于

一个逻辑上优先的实无穷。他还证明：无理数，比如说 2 ，当用小数来表

示时，要涉及到实无穷集，因为任何小数只能是一个近似。他意识到，他正在和他的前辈们彻底决裂。1883 年他说：“我使自己同普遍的关于数学中无穷的观点和经常被保护的关于数的本质的观点处于敌对位置。”

到了 1873 年，他不仅主张把无穷集合看成一个存在的全体，还开始对它们加以分类。他根据两个无穷集包含着相同或相异的元素数来决定其区别， 他的基本想法是利用一一对应。正如我们认为，5 本书和 5 个弹子都可以用同样的数 5 来代替，是因为我们可以把每一本书与每一颗弹子来配对。康托尔也将一一对应运用于无穷集合。现在，可以建立起下面的所有正整数与偶数间的一一对应关系：

1 2 3 4 5⋯

2 4 6 8 10⋯

也就是说，每一个正整数恰好同一个偶数即它的两倍数相对应，且每个偶数恰好同一个正整数即它的一半相对应。康托尔因此得出结论，这两个集合包含同样多的元素个数。它是这样的一个对应，即全体正整数的集合， 可以与其自身的一部分一一对应；这结论对早期的思想家来说，很是荒谬， 也促使他们抵制有关无穷集的任何成果。但康托尔并没有因此而退缩，他预见到，无穷集合将遵循新的不适于有限集的法则，就好比四元数所遵循的新规则是实数所不具有的。事实上，他将无穷集定义为这样的集，其与自身的一个子集可以一一对应。

其实，康托尔也对自己用一一对应导致的结果惊愕不已。他证明了一条直线上的点和一个平面上的点（甚至是 n 维空间）之间存在着一一对应。他在 1877 年给戴德金的一封信中写道：“我看到了它，却不敢相信它。” 然而，他还是相信了，而且在确立无穷集合的相等时坚持了他的一一对应原理。

康托尔还定义了无穷集合大小的含义。如果集合 A 同集合 B 的一部分或子集能建立起一一对应，但集合 B 不能同 A 或其子集建立起一一对应关系，则集合 B 大于集合 A。这个定义仅是为了无穷集合才发展的，对有限集合则显而易见。比如说有 5 个弹子和 7 本书，你可以建立起弹子同一部分书的一一对应，但所有的书不能同全体或一部分弹子建立起这种关系。利用他的这种关于集合等或不等的定义，康托尔得出了惊人的结论，即正整数等价于有理数（所有正、负整数和分数）集，却小于实数（有理数和无理数）集。

正如采用数字符号 5、7、10 等来标识一个有限集中的元素数很方便一样，康托尔也决定采用符号来标识无穷集合中的元素数。整数集及可以同它建立起一一对应关系的集合含有同样多的元素数，他用符号ℵ0。（阿列夫零）来表示这个基数。全体实数的集被证明大于整数集，他就用了一个新符号 c 来表示其基数。

进一步，康托尔能够证明，对于一个任意给定的集合，总存在一个比它更大的集合。例如，由一个给定集合的所有子集组成的集合大于原集合。我们不追究这个定理的证明，但只要设想一个有限集，就能够看出这个定理是合理的。比如，如果有一个含 4 个元素的集合，可以构造出 4 个含有

1 个元素的不同集合，6 个含有 2 个元素的不同集合，4 个含有 3 个元素的

不同集合和一个含有 4 个元素的集合。要是再加上空集，我们会发现所有子集的数目正好是 24，当然它是大于 4 的。特别的是，通过考虑整数集的所有可能的子集，康托尔证明了 2ℵ0=c，这里 c 是实数集的基数。

1. 世纪 70 年代，康托尔研究无穷集合时，这个理论，曾被当作是无

足轻重的，他所证明的关于三角级数的定理也非基本性的。可是到 1900 年时，他的集合理论已在其他数学领域中大量使用，而且，他和戴德金已经预见到，在建立整数（有限和超限的）理论，在分析曲线和维数的概念上，集合论都是有用武之地的，甚至可以成为整个数学的基础。其他一些数学家，如鲍莱尔和勒贝格在将积分一般化时，也有求于康托尔的无穷集合理论。

因此，康托尔本人发现了困难就不是微不足道的事情了。他已指出了存在着越来越大的超限集和与之相应的超限数。1895 年，康托尔开始研究由所有集合组成的集合，它的基数应该是能存在的最大数了。然而，康托尔已经证明过一已知集合的所有子集构成的集合，其基数大于这已知集合的基数，因此，存在着一个比最大的数还要大的超限数。康托尔认定人们同时必须要区分开他所称为相容的和不相容的集合，并在 1899 年就此写信给戴德金，意思是不能谈论由所有集合组成的集合及其基数。

当罗素第一次看到康托尔关于所有集合的集合的结论时，他并不相信。他在 1901 年的一篇随笔中写道，“康托尔一定犯了某个微妙的小错误，我会在将来的某些工作中对此加以阐明。”他还补充说，一定存在着一个最大的超限集合，因为如果什么都考虑进去了，那么就没有什么可以增加的了。罗素致力于这件事，并给这个当时时髦的问题又加上了他的“悖论”。对此，我们将马上予以讨论。16 年后，当罗素重印他的随笔《神秘主义与逻辑》时，他增加了一条注脚对他的错误表示歉意。

除了我们已经谈及的超限数——称之为超限基数，康托尔还引入了超限序数，二者的区别相当微妙。设想一个集，比如说，由便士组成的集， 其数目通常是最重要的，而怎样组成则无所谓。但如果按学生们在一次考试中的成绩把他们分等，就会有第一、第二、第三等等。比如说有十个学生，他们的分数就构成了从第一到第十的集合，且这是由有序数组成的集合。尽管一些早期文明能够区别序数与基数，他们仍采用同样的符号来表征由十个对象组成的有序集，就像对无序集所做的那样。这种做法被包括我们自己在内的后续文明所继承。因此，在十个人中的每一个被确定后， 这样排列起来的人数是十个，因而无论是有序集还是无序集都用 10 来表示。然而，对于无限集合而言，有序与无序的区别是十分重要的，因而采用了不同的符号来表示。比如对于有序自然数集 1，2，3，⋯⋯，康托尔用ω来表示其序数。相应的，有序集 1，2，3，⋯⋯，1，2，3 的序数表示为ω+3。康托尔还引入了超限序数的分层，其可以扩展至ω·ω、ωn、ω

ω乃至更高。

在创立了超限序数的理论之后，1895 年，康托尔意识到关于这些序数也存在着一个难题。同年他把这告知了希尔伯特，1897 年，布拉利-福蒂(Cesare Burali-Forti)首先公开了这一难题。康托尔确信序数的集合可以按某种合适的方式加以排列，正如熟知的实数可以按大小排序一样。一个关于超限序数的定理是这样的，由不超过α的所有序数组成的集合，其序

数大于α。如序数集 1，2，3⋯⋯ω的序数是ω+1。因此，由所有序数组成的集合有一个比该集合中最大的序数还要大的序数。实际上，布拉利- 福蒂指出，从 1 加到最大的序数就可以得到一个更大的序数。但这构成了矛盾，因为原集合已包含了所有的序数。布拉利-福蒂得出结论，序数集的部分有序是可能的。

要是仅面对着上述两个问题，大多数数学家们毫无疑问会满足于住在19 世纪末数学的严格性所创造的乐园里。关于是否存在最大的超限基数或序数的问题，也可以睁一眼闭一眼。毕竟，没有最大的整数这一事实，并不使人感到不安。

然而，康托尔的无穷集合论激起了许多抗议。除了我们讲过的以外， 这个理论在许多数学领域上得以应用，而一些数学家们仍拒绝接受实无穷集合及其应用。克罗内克（LeopoldKronecker）与康托尔素来交恶，称康托尔为骗子。彭加勒则认为无限集合论是邪气与病态的坟墓。“下一代人”， 他在 1908 年说，“将把集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来

了。”许多其他的数学家甚至到 19 世纪 20 年代还试图避免使用超限数（见第十章）。康托尔为自己的工作辩护，他声称他是一个柏拉图主义者，相信存在一个独立于人的客观世界。人们不得不考虑这些想法并承认它们的真实性。为了对付哲学家们的批判，康托尔援引了神秘主义甚至上帝。

幸运的是，康托尔的理论得到了其他一些人的欢迎，罗素称康托尔是19 世纪最伟大的智士之一。他曾在 1910 年说：“解决了先前围绕着数学无限的难题可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作。”希尔伯特断言：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。”他在 1926年评价康托尔的工作说：“这对我来说是最值得钦佩的数学理智之花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所取得的最高成就之一。”

关于集合论产生矛盾的原因，豪斯多夫（FelixHausdorff）在他的《集合论基础》（1914 年）中做了相当巧妙的描述，他这样勾勒了这门学科的特点：“在这个领域中什么都不是自明的，其真实陈述，常常会引起悖论， 而且似乎越有理的东西，往往是错误的。”然而，康托尔的工作使得大多数数学家感到迷惑不解，其原因全然不是因为各种大小不同的无穷集合是否可被接受。康托尔在试图确定所有集合组成的集合的基数和所有序数组成的集合的序数时所发现的矛盾，使数学家们认识到，他们不只是在新的创造中运用了相似概念，而且在被认为是毫无问题的经典数学中就加以运用了。他们宁愿把这种矛盾叫做悖论，因为悖论是可以被解决的，而数学家们希望确信这些问题可以被解决，现在通常用的术语是自相矛盾。

让我们来看一下这些悖论吧！一个非数学的例子是这样的：“所有的法则皆有例外。”而这个陈述作为一个法则也必有其例外。因此，存在一个没有例外的法则。这一类陈述是指向自身并否定自身的。

广为人知的非数学化的悖论是说谎者悖论，它曾被亚里士多德和许多后来的逻辑学家讨论过。关于这个命题的经典句式是：“这个命题是错误的。”我们用 S 来表述这个命题，如果 S 为真，则所说的是真，因而 S 是错误的；若 S 为假，则所言亦为否，因而 S 又必为真。

这个悖论还有许多变体。一个人可以对他所做的某项断语这样评价： “我在说谎。”这个陈述是真的，还是假的呢？如果他真在说谎，那么， 他所说的就是真的；而如果他所说的是真话，则他又在说谎。还有一些变

体涉及到较为间接的自指。比如，有这样两个句子：“后一句话是错误的， 前一句话是对的。”这就会产生矛盾。因为如果第二句话是正确的，那么第一句话就是错误的，但如果第二句话是错误的，正如第一句所言，则第二句话是正确的。

哥德尔（KurtGödel），本世纪一流的逻辑学家，给出了一个与上述矛盾陈述略有差异的变体：在 1934 年 5 月 4 号，A 做一单一陈述：“A 在

1934 年 5 月 4 号所说的每一句话都是假的。”这个陈述不可能是真的，因为它断言了自身是假的，但它也不可能是假的，因为如果它是假的，A 就在 5 月 4 日做了一个真实陈述，而他又只讲了这一句话。

数学上真正麻烦的矛盾的开端是由罗素在 1902 年提出并告知弗雷格的。当时弗雷格正准备付印他的《基本法则》的第二卷，在那本书里他正试图建立有关数系基础的新方法（我们将在下一章中对此多加讨论）。弗雷格所用的集合或类的理论，正好涉及了罗素在致他的信中所提到的矛盾，其内容印在罗素的《数学原理》（1903 年）中。罗素研究了康托尔的所有集合组成的集合悖论，并有了他自己的观点。

罗素的悖论与“类”有关，由一类书组成的类不是一本书，因而不能属于自身；但一类想法仍可以是一个想法并属于自身。还有，目录的目录仍是目录。因此，有一些类能属于自身而另一些则不。设 N 是由所有不属于自身的集合组成的集合，那么 N 又属于谁呢？若 N 属于 N，依定义不应如此；若 N 不属于 N，则由其定义应属于 N。当罗素首次发现这个矛盾时， 他认为困难可能出在逻辑的某个地方而非数学自身。但这一矛盾却动摇了元素的类这一在数学中广泛应用的概念，希尔伯特称这个悖论对数学界有着灾难性的后果。

1918 年，罗素的悖论被他本人通俗化，这就是广为人知的“理发师” 悖论。一个乡村理发师，宣称他不给村子里任何给自己刮脸的人刮脸，但却给所有不给自己刮脸的人刮脸，当然，理发师自夸无人可与之相比。一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸？假如他给自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他不给自己刮脸的话， 则照他自夸的，他又必须给自己刮脸。理发师陷入了逻辑上的困境。

数学中发生的另一个有代表性的悖论，最先由格雷林（KurtGrelling） 和纳尔逊（LeonardNelson）在 1908 年叙述，是关于可以描述自身和不可以描述自身的形容词的。例如形容词“short”（短的）和“English”（英国的）可以修饰自身而“long”（长的）和“French”（法国的）则不然。又如“polysyllabic”（多音节的）这个词是多音节的，但“monosyllabic”

（单音节的）这个词却不是单音节的。看来可以这么说，一个词或者可以用于自己，或者不可以。我们称那些能描述自身的词为同己的

（autological），称那些不能描述自身的词为异己的（heterological）。现在让我们来考虑异己的这个词自身，如果它是异己的，由于它能描写自身，所以应该是同己的；但如果它是同己的，则依同己的定义，它要能描述自身，所以它又是异己的。这样一来，每一个关于这个词的假设都会导致矛盾，用符号来表示这个悖论就是：词 X 是异己的，若 X 并非 X。

1905 年理查德(Jules Richard)提出了另一个悖论，用的是同康托尔用来证明实数的基数大于整数的基数一样的途径。它的论述稍嫌繁复，博德内恩图书馆的贝里(G.G.Berry)将其简化，并把它交给罗素，后者在 1906

年发表了这一悖论，被称作“单词悖论”。每一个整数都可以通过若干种方式用单词描述出来，例如，5 这个数可以表示成“five”（五）这个单词或词组“the next integerafter four”（四后面的整数）。现在考虑那些所有可能的用不多于 100 个英文字母进行的描述，这样至多有 27100

种描述方式，因而也势必存在由 27100 种描述方式所能描述的最大有限整数，那么，一定有不能用 27100 种描述方式描述的整数。考虑“the smallest num-ber notdescribablein 100 letters or fewer”（不能用 100 个或更少的字母描写出来的最小的整数），但这个数却正好用少于 100 个字母就描述出来了。

然而，许多 20 世纪早期的数学家不愿理睬上述这些悖论，因为它们涉及的集合论在当时是新兴的且无足轻重。其他一些人，意识到这些悖论的影响不仅限于经典数学，还关系到通常的推理，因而感到无所适从。一些人曾试图接受威廉·詹姆斯在他的《实用主义》中提出的建议，“当你遇到矛盾时，你必须澄清它。”从拉姆塞（FrankPlumptonRamsey）起，一些逻辑学家，曾尝试区分语义造成的矛盾和真实的即逻辑上的矛盾。他们称“单词悖论”、“异己的悖论”和“说谎者悖论”为语义的，因为它们涉及到一个词的真实性和可定义性或模糊应用等概念，相应地采用这些概念的严格定义能解决上述悖论。另一方面，罗素的悖论、康托尔的所有集合的集合的悖论和布拉利-福蒂悖论被认为是逻辑上的矛盾。罗素本人并没有做这样的区分，他确信所有悖论都产生于一种他称之为恶性循环原理的谬误，他这样描述道，“凡涉及到一个集的整体的东西必不能是该集中的一部分”。换句话说，如果定义一组元素的集而又必须用到该全集自身，则这定义是毫无意义的。这个解释是罗素在 1905 年给出的，彭加勒在 1906 年接受了它，他还杜撰了“非断言定义”这一术语，即一个要定义的对象是用包含这个对象在内的一类对象来定义的，这种定义是不合逻辑的。举一个罗素本人在《数学原理》中提出的例子（见第八章），排中律说所有命题非对即错。但是这个定律自身也是一个命题，因此，尽管它的意图是断言逻辑定律的真实性，但它既是一个命题则也有可能是错误的，正如罗素所言，这个定律的陈述毫无意义。一些其他的例子可能会有所帮助。一个全能的上帝能创造一个不能被毁灭的东西吗？当然可以，因为他是万能的。可既然他是万能的，他又能毁灭任意东西。在这个例子里，“万能” 这个词的范围涉及到一个不合理的总体，这一类悖论，正像逻辑学家塔斯基(Alfred Tarski)所指出的那样，尽管是语义上的，也向语言自身发出了挑战。

为了解决悖论，人们还做了许多其他努力，“所有法则皆有例外”的矛盾被当作无意义而摒弃了。有人还补充道，存在语法上正确的英文句子， 而 在 逻 辑 上 则 是 无 意 义 或 错 误 的 ， 如 这 个 句 子 ： “Thissentencecontainsfourwords”（这句话包含四个单词）。另外，由于由所有不属于自身的类组成的类被当作是无意义的或不存在的，原来的罗素悖论也得到清理。“理发师”悖论的“解决”是通过断言不存在这样的理发师，或是要求理发师将自己排除在他给刮脸和他不给刮脸的人组成的类之外。正像这样的陈述：教所有在班上的人的老师要排除自己。罗素拒绝最后一种解释，他在 1908 年的一篇文章中表达了这样的意思，“最好是这样与一个长鼻子的人交谈：当我谈到鼻子的时候，我已经除去了那些

过分长的长鼻子”，而这是一个避免一个痛苦的话题不成功的尝试。 “全部”这个词的意义是含混的，对于某些情况，一些语义上的悖论

就源于“全部”这个词的用法。布拉利-福蒂悖论涉及到所有序数的类，这个类包括了整个类自身的序数吗？另一方面，异己的悖论定义了一类单词，这个类是否包括了“异己的”这个词本身呢？

罗素和彭加勒对非断言定义的反对意见，已经广为接受了。不幸的是， 这种定义曾经在经典数学中被采用过，引人注目的例子是最小上界的定义。设有由 3 到 5 之间的数组成的集合，其上界，也就是大于该集合中最大数的数，有 5、5.5、6、7、8 等等。这其中存在一个最小上界，即是 5， 因此，最小上界是根据一类包含了要定义上界的上界而定义的。另一个有关非断言定义的例子是在给定区间上一个函数的最大值，最大值就是函数在该区间上所取值中最大者，这些概念在数学中是最基本的，许多分析内容都是基于它们做出的。此外，许多非断言定义还被用在其他有关的数学内容中。

尽管那些与悖论有牵连的非断言定义能够导致矛盾，但使数学家们感到迷惑的是，就他们所知而言，并非所有的非断言定义都会导致悖论。诸如，“约翰是他们队里个头最高的”和“这句话很短”之类的陈述，尽管是非定义的，却实在是无害的。陈述“在数集 1，2，3，4，5 中最大的数是 5”也是如此。实际上，采用非定义陈述是普遍的。例如，如果一个人定义了一个所有包含多于 5 个数的类所组成的类，他也就定义了一个包含自身的类。又如，由所有用不多于 25 个单词可以定义的集合 S 也包含 S。数学中充斥着这类定义，其是数学频频告急的真正起因。

不妙的是，我们没有一个标准来断定哪些非断言定义是无害的，哪些是有害的。因此，存在着发现更多的会导致矛盾的非断言定义的危险。这个问题从策梅罗(Ernst Zermelo)和彭加勒第一次讨论时起就显得很急迫，彭加勒提议禁止使用所有的非断言定义。魏尔，本世纪前半叶的顶尖数学家，担心一些非断言定义真的会导致悖论，于是做了很多努力来重新定义最小上界以避免非定义性。可他没能成功，他惴惴不安地得出结论， 分析的基础是不牢固的，可能应该牺牲其中的一部分。罗素的禁令：“我们不能容许任意地确定集合和不分青红皂白地把这个集合构成其他集合的一部分”，这当然无助于解决哪些非断言定义可以被允许的问题。

尽管矛盾的基本起因看起来已经明了，但仍存在着怎样构造数学来尽可能减少这些矛盾的问题。更为重要的是，要确保数学中不再出现新的矛盾。现在，我们可以看出为什么相容性问题在 20 世纪初变得如此紧迫了。数学家们宁愿把矛盾看成是集合论的悖论，然而，集合论的工作确实让他们看到了在经典数学中可能存在的矛盾。

在构造坚实的数学基础的努力中，建立相容性成为要求最迫切的问题，但在 20 世纪初，人们也认识到，从确定已取得的成果的角度出发，其

他一些问题也非次要。在 19 世纪后期，批判精神已经深入人心，数学家们开始重新审查以前所接受的一切。他们选定了一个看起来似乎没有问题的断言，它曾经在许多早期证明中运用过，并没有引起人们的关注。这个断言就是，给定任意一组集合，有限的或是无限的，总可以在每个集合中选取一个元素构成一个新的集合。例如，可以从美国五十个州中的每一个州选出一个人构成一个新的人的集合。

策梅罗在 1904 年发表的一篇论文，使数学家们意识到，上述断言实际上以一条称作选择公理的公理为先决条件。这与当时的历史情况有某些关联，为了能将超限数按照大小来排列，康托尔需要这样的定理，即任一实数集都是良序集。一个集是良序集首先其必须是有序的，有序的是指，比方说，在整数的情况下，若 a 与 b 是集合中的任意两个数，要么 a 位于 b 前，要么 b 位于 a 前。进一步，如果有 a 先于 b，b 先于 c，则 a 必先于 c。如果一个集合的任一子集无论怎样选取，都有为首元素，则它是良序集。因此，所有的正整数，按照通常次序排列，就是良序的。而按通常次序排列的实数集是有序的但非良序的，因为它的包含大于零的数的子集，没有为首的元素。康托尔曾猜测每个集合都可以良序化，他于 1883 年引入了这

一概念，虽经使用却未加证明，而且，我们可能还记得，希尔伯特曾在 1900

年的国际数学家大会讲演中提出这个问题。策梅罗在 1904 年证明了这个定理，并在证明过程中提醒大家注意他用了选择公理这一事实。

正如过去多次发生过的一样，数学家们先是无意识地使用了某条公理，后来才不仅意识到了正在使用它，而且还得去考虑接纳这样一条公理的基础。康托尔曾在 1887 年无意识地使用了选择公理去证明任意无限集都有一个基数为ℵ0 的子集。它还曾经含蓄地运用于拓扑学、测度论、代数和泛函分析的诸多证明中。例如，它曾被用来证明在一有界无限集合中可以选取一个序列收敛于该集合中一极限点。作为最基本的应用，它还被用来从有关整数的皮亚诺公理出发来构造实数。还有一个应用是证明一个有限集合的幂集，即一个有限集合的所有子集组成的集合为有限的。1923 年， 希尔伯特称此公理对于数学推理的基本原理而言是不可或缺的普遍公理。

皮亚诺最早呼吁人们注意选择公理，在 1890 年，他曾写道，不能无限次地使用任一定理，即从许多类中的每一类抽取一个元素。在他处理的问题（微分方程的可积性）中，他给出了一个确定的选择法则从而解决了困难。列维(Beppo Levi)在 1902 年同样认同了这条公理，施密特(Erhardt Schmidt)则在 1904 年把它推荐给了策梅罗。

策梅罗对选择公理的明确使用激起了一场反对的风暴，就在紧跟着的一期颇有影响力的刊物《数学年鉴》（1904 年）上，鲍莱尔和伯恩斯坦(Felix Bernstein)的论文都批驳了该定理的使用。这些接踵而至的批评意见随即以鲍莱尔、贝尔(RenéBaire)、勒贝格和阿达马这批领头数学家之间的交换信件形式发表在《法兰西数学会通报》上（1905 年）。

批评意见的要点是，除非有一个确定的法则指定从每个集合中选取哪一个元素，否则就没有做出真正的选择，也就没有构成新的集合。若这种选择在证明过程中发生变化，则证明也就是无效的。如鲍莱尔所言，一次不合法的选择就是一次有关信念的举动，该公理已经超出了数学的范围。试举罗素在 1906 年给出的一个例子，如果我有一百双鞋，并宣布取出每双鞋中左脚的那一只，则我表述了一个清晰的选择。但如果我有的是一百双袜子并要说出从每双袜子中选出哪一只来，我就没有可以依照的法则来这样做。然而，选择公理的维护者们，尽管承认可能缺少选择的法则，却看不出有这种法则的必要性。对他们来说，选择是逐一确定的，因为人们认为它们是确定的。

还有另外一些反对者和反对的依据。彭加勒承认这条公理，却不承认策梅罗对良序化的证明，因为其中存在非断言陈述。贝尔和鲍莱尔不但反

对这条公理，也反对其证明，因为它没有表明良序化是怎样达到的，而只证明了可以被达到。布劳维的哲学我们将在后面讨论（见第十章），他拒不承认实无穷集，也反对选择公理。罗素的反对意见是，一个集合只有当其所有成员共有一种属性时才算是确定的。例如：可以通过戴绿帽子这一特征定义所有戴绿帽子的人的集合，但是选择公理并不要求被选定的元素具有某种确定的属性，它只是说我们能从每一个给定集合中选取一个元素。策梅罗本人，满足于在直觉意义上运用集合的概念，对他来说，从每个给定集合中选出一个元素可以清楚地构成一个集合。

阿达马是策梅罗唯一坚定的盟友，在他为康托尔的理论辩护的基础上，他力言选择公理也可接受。对于阿达马来说，对象存在的断言并不要求描述它们，如果仅是存在的断言就能使数学得到发展，那么这样的断言是可以接受的。

为了答复批评意见，策梅罗给出了良序定理的第二种证明，其中同样使用了选择公理，并指出这二者是等价的。策梅罗为公理的使用辩护说， 除非它导致矛盾，否则数学就得使用它。他认为选择公理“具有一种很快会让人清楚的纯客观性质。”他同意这条公理不是严格自明的说法，因为它牵涉到无限集的选择，但它仍是一种科学的需要，因为这公理可以用来证明重要的定理。

许多选择公理的等价形式也被提了出来，如果选择公理能同集合论的其他公理一起被承认的话，这些都将成为定理。然而，所有的想用少一点矛盾的公理替代该公理的企图都未能成功，一个能被全体数学家们接受的公理看来是不大可能出现的。

关于选择公理的关键问题是存在对数学意味着什么。对一些人来说， 它涵盖了所有有用又不会导致矛盾的理性概念，如一个普通封闭表面积是有穷的；对于另一些人来说，存在意味着具体的、清晰的特征识别或概念的实例，能使人们指出或至少描述它，而仅有选择的可能性是不够的。在接下来的一些年中，这些观点的冲突更加尖锐，对此，我们将在后面的章节中详加讨论，但现在这公理成为了争论的焦点。

除了这些，在此后的几十年里，随着数学的扩展，许多数学家继续使用选择公理，它是否是合理的、可接受的数学的争论在数学家中极为盛行， 它成了仅次于欧几里得平行公理而被讨论得最多的公理。正如勒贝格所评论的，由于没有一致的意见，双方除了互相攻讦以外不解决任何问题，他本人除了对这条公理采取否定的和不信任的态度外，还表示使用它，既要大胆，也要谨慎。他坚持认为未来的发展会帮助我们做出决断。

1. 世纪初期，另一个问题也开始困扰着数学家们。起初，这个问题还显得不是那么紧要，但是当康托尔的超限基数和序数的理论应用得越来越广泛后，它的解决就变得十分迫切了。

康托尔在他的后期工作中，在超限序数理论的基础上，建立了超限基数理论。例如由所有可能的有限序数的集合构成的集合的基数为ℵ，由所有可能的，具有可数基数(ℵ)的集合的序数组成的集合的基数为ℵ。按照这种方式，他得到了越来越大的基数，并用ℵ0、ℵ1 、ℵ2⋯来表示，每一个都是前一个的后继者。但是，他很早以前曾在关于超限数的研究中证明过，所有实数的基数为ℵ，简记为 c，而 2ℵ是大于ℵ0 的。他接下来提出的

问题就是，c 是ℵ1 系列中的哪一个呢？因为ℵ1 是ℵ2 的后继者，所以 c 应大于或等于ℵ1，他猜测 c=ℵ1。他于 1884 年提出并发表的这一猜测，称作连续统假设①。这个假设的另一种稍微简单一些的陈述方法是，在ℵ 和 c 之间不存在其他超限数，或实数的任意无限子集的基数是ℵ 或 c①。在本

世纪的最初年代里，连续统假设引发了许多没有解决的矛盾，除了可以用它证明新定理之外，即使对于可用来建立集合论的无穷集，一一对应和选择公理的理解，它也显得十分重要。

这样一来，本世纪初数学家们面对着几个棘手的问题，已经发现的矛盾亟待解决，所有数学的相容性的证明更为重要，以便确信不再产生新的矛盾，这些问题都是决定性的。由于选择公理对于许多数学家来说无法接受，因而许多基于该公理的数学内容也得划个问号，它们能用一个更为人接受的公理加以证明吗？抑或选择公理整个就是多余的呢？随着新的发展，连续统假设的重要性越来越明显，它也必须被证明或证否。

尽管数学家们在 20 世纪初所面对的问题是严峻的，但在另外的情况下它们可能并不会引起什么巨变。的确，有一些矛盾必须解决，但实际知道的矛盾只限于集合论——也许总有一天会严格起来的新分支。至于在经典数学中可能发现新矛盾的危险，或许是由于使用了非断言定义所致，而当时相容性问题已经归结为算术系统的相容性问题，且没有人对它有疑问。实数系统已经延用了五千多年，数不清的关于实数的定理得到过证明，并没有发现什么矛盾。一条公理，现在即指选择公理，曾经被隐含地使用过， 而且还要继续使用下去，可能并不会让很多人感到不安。19 世纪后期的公理化运动就曾暴露出许多公理都被隐含地使用过。连续统假设在当时不过是康托尔理论的一个细节，而一些数学家还在嘲弄康托尔的整个理论。数学家们曾经面临过更严峻的困难，他们也能处之泰然，比方说，在 18 世纪， 尽管充分知晓微积分基础中的根本困难，他们还是在微积分的基础上建立了许多分析的分支，随后分析才在数的基础上严密化。

我们引述过的这些问题好比是一根火柴，其点燃导火索，然后使炸弹引爆。一些数学家仍以为数学是一个真理体系，他们希望能建立起这个体系，弗雷格已经在从事这样一项活动。进一步，对选择公理的反对不仅仅限于该公理所言，以康托尔为代表的数学家引入了越来越多的理念结构， 并认为它们和三角形的概念具有同等真实性。但其他一些人则抵制这些概念，认为它们过于脆弱，不能在其上构造结实的东西。关于康托尔的理论， 选择公理和相似概念的基本问题是数学概念在何种意义上存在着呢？难道它们必须与物理实体相对应或是其理想化的写照吗？亚里士多德曾经思考过这个问题，对于他和大多数希腊人来说，实体对应物是必不可少的。这就是为什么亚里士多德不肯承认无限集合为一个整体及正七边形的缘故。另一方面，柏拉图主义者，康托尔就是其中之一，都相信他们所信奉的观念存在于独立于人的客观世界中，人类只是发现了这些想法，或如柏拉图所说的，回忆起它们。

① 设想一个基数为(1 的集合，考虑其全部子集组成的集合，其基数为 2(1，而 2(2＞(1，因而可以推测 2(1=(2， 2(n =(n+1，这就是广义连续统假设。——原注

① 后一种形式并不涉及选择公理。——原注

存在问题的另一面是存在证明的价值问题。例如，高斯曾经证明过每个实系数或复系数的 n 次多项方程至少有一个根，但是该证明并没有指出怎样计算这个根。类似地康托尔证明过实数多于代数数（多项式方程的根），因此，存在着超越无理数。然而，这个存在性证明不能使人指出更不用说计算出哪怕一个超越数。20 世纪早期的一些数学家，如鲍莱尔、贝尔和勒贝格认为纯粹的存在性证明是没有价值的，存在性证明应使数学家们能按想要达到的精度来计算存在量，他们称这样的证明为构造性证明。还有另一个问题困扰着某些数学家。数学的公理化是同对许多明显事

实的直觉接受背道而驰的。的确，这场运动去除了一些矛盾和晦涩的东西， 比如在分析领域就是如此。但它也强调对于直觉是显而易见的事物的清晰的定义、公理和证明，即便它们明显到起初察觉不到对直觉的信赖的地步

（见第八章）。作为结果的演绎结构既复杂，涉及面又甚广，例如，基于整数公理的有理数特别是无理数的发展都显得琐碎而复杂，所有这些，都给一些数学家，特别是克罗内克造成这样的印象，即过于做作，且不必要。克罗内克是一个著名团体的领袖，他们觉得不必借助逻辑手段来使构造更可靠，人的直觉使人相信就足够了。

另一个争论的焦点是，随着数学逻辑体系的成长，使得数学家们意识到，即便是逻辑学原理也不能非正式和随意地使用。皮亚诺和弗雷格的理论要求数学家们在推理过程中，将属于一个类的元素和属于另一个类的类，严格地区别开来。这些区别看起来似乎是在卖弄学问，与其说是一种帮助，还不如说是一种障碍。

更为重要的是，在 19 世纪末，尽管还不是很明朗，但已经有许多数学家开始对逻辑原理无限制的适用性感到不安。什么能担保它们可以应用于无限集合？如果逻辑原理是人类经验的产物，那么，对于它们是否能扩展到没有经验基础的理念结构是有疑问的。

早在 1900 年以前，数学家们已经开始对我们刚才叙述过的这些基本问题产生分歧，而新的悖论不过是加深了已经存在的分歧。一些年以后，数学家们开始带着渴望回首在矛盾出现之前的那段短暂而幸福的时光。杜布依-雷蒙(Paul du Bois-Reymond)描述那段时光为“我们仍住在天堂里”的时候。