第八章 不合逻辑的发展：天堂之门

现在人们可以说，绝对的严格已经达到了。

——彭加勒

数学批评运动的创建者们认识到，两千多年来数学家们只是在充溢着直觉，似是而非的证明以及归纳推理和符号表达式的形式运算的荒野上漫游，他们期望着能在一片空白上建立合适的数学逻辑基础，摒弃那些模糊的概念和矛盾，改进如欧氏几何这样的数学分支已有的基础。这项工作在19 世纪 20 年代就已经开始了，并且，随着非欧几何渐为人知，也在愈加广泛地加速进行。它逐渐揭示出欧氏几何在结构上的缺陷，可以明显看出， 过去被认为是严格证明的典范，无懈可击的堡垒，也经不起细致推敲。稍后，也就是 1843 年，四元数的产生又向实数、复数运算的自以为是提出了挑战。当然，还有一些对自己工作过于自信的数学家，继续粗劣地推理， 一旦得到正确的结果，便更错误地相信他们的证明和理论是无懈可击的。

虽然严谨的思想家们承认必须摒弃数学是现实世界的真理的主张，但他们还是对数学在力学、地球力学、声学、流体动力学、弹性力学、光学、电磁学以及工程学的许多分支等诸多领域辉煌的成就感到由衷的敬佩。尽管数学是在真理战无不胜旗帜的庇护下，但它一定还借助了某种基本的， 也许是神秘的力量才取得其成就。数学对自然的超常的适用性虽然还需进一步解释（见第十五章），但是，没有人能否认这一事实并胆敢把这样一种无所不能的工具弃置不顾。当然，它不应当受到由逻辑困难和矛盾所带来的混乱的威胁，而且，尽管数学家们一度违背了逻辑严密性的原则，但他们也不准备使他们的学科永远建立在实用的基础上。否则，他们的声望也将受到影响。

正因为如此，有一些数学家仓促之中又重新踏上了与原来截然不同的道路，从另一个角度去认识他们所开辟的数学世界。他们决心要竭尽全力构造，在某些地方是重建数学的基础。

欲使数学内部井然有序，须要采取一些有力措施。很明显，并没有坚实的土壤可供建立数学大厦之用。以前那些看上去十分牢固的真理基础， 已经被证明是不可信的。也许构造另一种坚实的基础结构会稳固些，但就要求有完整的、字斟句酌的公理和定义，以及所有结论的明晰的证明，不管它们看上去是多么的显而易见。用逻辑的前后一致与彼此相容取代对实际情况的依赖，公理和定理互相照应，可使得整个大厦无懈可击。不管它建筑在什么样的土地上，都与基础紧密相依，尽管随风摇摆，却稳如泰山。

数学家们由建造微积分的逻辑开始，因为微积分是建立在实数系统和代数的基础上的，但这两者都没有逻辑基础。从纯粹逻辑的观点来看，这种步骤就像一个五十层的办公大楼塞满了家具和其他设备而楼主突然发现整个大楼摇摇欲坠，必须重建，于是他下令从第 20 层开始。

出发点选在何处颇有一番说道。我们都知道，在 19 世纪以前，各种类型的数被放肆应用，尽管没有逻辑基础，也没有人对其性质是否正确多加关注。神圣的欧氏几何虽然一直受到怀疑，但是在实际应用中并没遇到任何麻烦。事实上，两千多年的可靠的使用确保了其未加证明的逻辑的正确性。另一方面，微积分是整个分析的源泉，在这个浩瀚的领域内，严格的

证明，悖论甚至矛盾都出现了，而且并不是每个结论都能得到实际的认可。在 19 世纪初，神父、哲学家、数学家波尔察诺（BernhardBolzano）、

阿贝尔和柯西都认为微积分的严格化问题必须加以解决。不幸的是，波尔察诺在布拉格工作，因而他的著作几十年后方为人知。而阿贝尔 27 岁就去世了，所以其工作并不深入。只有柯西一直处于他那个时代数学界的中心。1820 年时，他被认为是最伟大的数学家之一。正是柯西揭开了数学严格化运动的序幕，其工作受到广泛的注意，并且产生了深远的影响。

柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑。为什么在数上呢？因为牛顿之后的英国人，曾尝试用几何学使微积分严格化，但失败了。对柯西来讲， 很明显，几何学并不是合适的基础，而且，莱布尼茨之后的大陆人，一直尝试用分析的办法。在 1820 年时，尽管非欧几何鲜为人知，但是已使数学

家们心存犹疑。而在另一方面，在哈密尔顿 1843 年引入四元数以前，实数系统里还没有发生过任何困扰数学家们的事儿，即使是四元数也不能威胁到实数系统的正确性。

柯西同样很明智地把微积分建立在极限的概念上。这一正确方法也被数学界思维敏锐者所推崇。17 世纪的瓦里斯在其著作《无穷小的算术》

（1655 年）及苏格兰教授 J·格雷戈里在他的《论圆和双曲线的求积》（1667 年）中，还有 18 世纪的达兰贝尔都确信极限概念是合适的基础。其中达兰贝尔的观点是最为著名的，因为在他发表文章的时候，有牛顿、莱布尼茨、欧拉的工作可以借鉴。在他为《百科全书》（1751—1765）所撰写的条目“极限”中，明确认为：

当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时，可以说后者是前者的极限，尽管前者绝不会超过后者⋯⋯。极限理论是微分学真正形而上学的基础⋯⋯

达兰贝尔在《百科全书》的另一条目“微分”中，讨论了巴罗、牛顿、莱布尼茨、洛尔和其他人的工作。他说，微分（无穷小）是一个无穷小量， 它可小于任何给定的量。但他又解释说，他用这些字眼是为了使其与流行的用法一致。这一术语，他说是一种缩写形式，晦涩难懂，极限是正确的语言和方法。他批评牛顿用速度来解释导数，因为某一瞬时速度并没有清楚的概念，而且这里还引入了一个非数学的运动概念。在他的《杂记》（1767 年）中，达兰贝尔再次指出，“量是物非物，若它是物则还未消失，若它非物，则已杳无踪影。”他再次提出极限概念，但是，他并没有将这一概念用于微积分，而且他的同时代人也未接受他的建议。

极限的思想还出现在卡诺的《反射》和惠利尔的获奖论文中，后者曾获柏林科学院一次竞赛的奖励。卡诺的文章虽未得奖，但也还说得过去， 所以柯西很可能是受了他们的影响。不管怎样，在他著名的《代数分析教程》（1821 年）引言里，他明确表示：关于这一方法，我将尽力达到数学中所能要求的全部严格。

尽管在这本教材的标题中有“代数”字样，但柯西反对当时所依靠的大多数代数。他的意思是说，他的同事总是假设，对实数成立的对复数也成立，对收敛级数成立的对发散级数也一定成立，对有限量成立对无穷小量也同样成立，等等。他是那样小心翼翼地定义和建立起微积分的基本概念：函数、极限、连续、导数和积分。他还把无穷级数分为有和的收敛级数与没有和的发散级数。当然，后来这一定义失效了。 1826 年 10 月，阿

贝尔给他以前的老师霍姆伯的信中称柯西“是现在唯一一个知道怎样对待数学的人”。阿贝尔还补充说，柯西有点傻，也有点固执，但老天爷心里自有一杆秤。①

虽然柯西竭力使分析严格化，并在 1829 年他的《教程》再版中声称他已经实现了最完全的严格，但是他处理的概念还是难以捉摸，他犯了许多错误。他关于函数，极限，连续和导数的定义基本上正确，但所用的语言模糊，不确切，与他的同事们一样。他认为连续即隐含着可微（见第七章）， 因而他建立的许多定理在假设中只要求连续，而在应用中却是可微的。即使他注意到犯了错误，也不改初衷。柯西在十分仔细地定义了定积分之后， 接着就证明了每一个连续函数都是可积的。但是，他的证明是错误的，因为他没有考虑一致连续的要求。尽管仔细区分了收敛极数与发散级数，但他关于收敛级数的一些断言和证明是错误的。例如，他断言连续函数的无穷级数的和是连续的（没有一致收敛的话，这是错误的）。他把无穷级数逐项积分，认为积分级数就是原级数所表示函数的积分。这里，他又同样忽视了一致收敛的要求。他给出了被称作柯西条件的收敛序列的判定准则，但他不能证明这一条件的充分性，因为这需要他和他的同行们都不具备的实数系统的知识。柯西相信，如果一个双变量函数在它的两个变量分别趋近某一点时，它在这一点有一个极限，那么当这两个变量同时变化并趋近这一点时，它也一定有一个极限。

起初，分析严密化的工作曾引起了轩然大波，在巴黎科学院的一次科学会议上，柯西公开了关于级数收敛性的理论。会后，拉普拉斯匆匆返回家里避不见人，检查他在《天体力学》所用的级数。幸而，他发现每个级数都是收敛的。

有点荒谬的是，柯西并不愿被束缚于他自寻的严密化。尽管他写了三本旨在建立严密化的教科书（1821 年，1823 年，1829 年），但在他不断写出的研究论文中，他都忽视了这一点。他定义了连续性，但从未对他所使用函数的连续性加以证明。虽然他十分强调级数和广义积分收敛性的重要性，但在他与级数，傅立叶变换和广义积分打交道时，却从未考虑过收敛的问题。他把导数定义为一个极限，但他也给出了一个像拉格朗日给出的那样纯粹形式的方法（见第六章）。他承认了如 1-1+1-1+⋯⋯这样的半收敛级数（振荡级数），并认为条件收敛级数（既有正项也有负项的级数） 可以重排。他还犯了一些其他错误，他对什么是真理心明如镜，却从未用自己教科书里所确立的标准来建立真理。

柯西的工作激励了他人更多促使分析严密化的工作，但是主要的成就还得归功于另一位大师魏尔斯特拉斯( KarlWeierstrass)。正是由于他的工作，分析的基本原理的严密化才得以完成。1858～1859 年，他在柏林大学任教时，开始讲述关于基础的工作，而最早的记录是 1861 年春由许瓦尔兹(H.A. Schwarz)所做的笔记。魏尔斯特拉斯的努力终于使分析从人们久已置疑的完全依靠运动学、直觉理解和几何概念中解放出来。魏尔斯特拉斯在 1861 年就清楚，连续并不隐含着可微。1872 年他向柏林科学院提出了一个处处连续却无处可导的函数的例子（在 1875 年由杜布尔-雷豪(Paul

① 我们没有必要追究柯西提出的定义和定理的技术细节，我们的目的是要说明柯西所做的严格化的工作极为出色。——原注

du Bois Reymond)为他出版），这不啻是一声炸雷，动摇了人们头脑中根深蒂固的观点。早在 1830 年，波尔察诺就以几何形式给出了一个例子，但

没有发表，塞莱里埃(CharlesCellérier)也在 1830 年左右给出了一个例

子，但直到 1890 年才公布。

魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的幸事，正如皮卡(Emile Picard)在 1905 年所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。

柯西，甚至魏尔斯特拉斯，在分析严密化工作之初，都把实数和复数系统看作是无懈可击的。是哈密尔顿，四元数的发明者，在 1837 年为实数和复数系统提供逻辑基础迈出了第一步。哈密尔顿知道复数可以用来表示平面向量，所以他寻求能表示空间向量的三元数（见第四章）。他将复数的性质进行推广，其结果刊于论文《代数偶：关于时间的引论》之中。然而，其中他假设实数具有熟悉的性质。为了替代复数中的a＋b −1，哈

密尔顿引入了有序实数偶(a,b)，并且他定义了数偶间的运算，以便和它们

以a＋b -1形式运算时取得同样的结果。值得注意的是，哈密尔顿由此产

生了寻找一套新复数理论的念头，因为同他的前辈们一样，他对

数都感到不安。而后，在他的论文里，他写道：

−1甚至负

呈现在这里的数偶理论是为了使（复数）的隐含意义充分体现。并且，由这一显著的例子说明，一些平常看上去只是简单符号，并无法理解的表达式，可以寓以实义。

在文章中，他进一步表示：

在单数理论中、符号

−1是无意义的（着重号为哈密尔顿所加

），其只表示一种不可能的开方运算或纯粹一个虚数。而在数偶

理论中，同样的符号

−1是有意义的，其表示一种可能的开方运算

或实数偶，称作（像我们已经看到的那样）数偶(-1,0)的基本平

方根。在这后一理论中，

−1可以被合理地使用，但在前一理论中

则不行。我们可以把任一数偶(a1,a2)写作：

(a1 , a 2 ) = a1＋a 2

在同样的表达式中，把

第二数偶(0,1)。

−1解释为第二单元，或者就是纯粹的

这样，哈密尔顿清除了在复数系统中他所谓的“玄奥之障”。

哈密尔顿在他的数偶理论中，预先假定了实数的性质。在 1837 年他的论文中，他尝试给实数系统一个逻辑的结构。由时间的概念，他推出了正整数的性质，又扩展到有理数和无理数，但过于牵强。特别是关于无理数的处理，既模糊且错误百出，为数学家们所不齿。哈密尔顿对实数和复数的基础只是略加研究，他的重心在四元数。因此，像他那个时代的大多数人一样，他毫不犹豫地利用实数和复数的性质。

魏尔斯特拉斯第一个认识到如果不能更好地理解实数系统，也就不能使分析严密化。他第一个在我们熟识的有理数性质基础之上，给出了无理数的严格定义的性质。他在 19 世纪 40 年代就从事这项工作，但他没有及

时发表，直到 60 年代他在柏林大学通过授课才公之于众。

其他的几个人，著名的有戴德金和康托尔，顺理成章地在有理数性质之上，正确地定义了无理数并建立了它们的性质。他们的工作成果在 70 年代得以发表。戴德金像魏尔斯特拉斯一样，在讲授微积分时才认识到清晰的无理数理论的迫切性。在《连续性与无理数》（1872 年）一文中，他这样写到，从 1858 年至今，他“比以往更迫切地感到，算术中缺乏严格的基础”。在他关于分析理论的工作中，康托尔也认识到了无理数理论的迫切性（见第九章）。这样，借助魏尔斯特拉斯的工作，戴德金和康托尔终

于证明出 = 6。

无理数的逻辑还不完善。戴德金认识到这一点，并且，在《数的性质和意义》（1888 年）一文中，他描述了可以作为有理数的公理方法的基本性质。皮亚诺（GiuseppePeano）借鉴了戴德金的观点和格拉斯曼《算术教程》（1861 年）中的一些观点。他在《算术原理》（1889 年）中，从关于正整数的公理，成功地导出了有理数的结果。这样，实数和复数系统的逻辑结构已唾手可得。

作为一个副产品，数系基础的建立也解决了熟悉的代数学中的基础问题。为什么用字母代替实数或复数时，其可以像正整数一样进行运算，而结果丝毫不差呢？答案在于其他类型的数和正整数一样，具有同种形式上

的性质。不严格地说，就是2×3 = 3×2成立，同样有 2· = 3· 2 成

立。所以当 ab 被 ba 代替时，不管 a、b 代替的是正整数还是无理数，结果总是正确的。

数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，并不是按着先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，数学家们是按着相反的顺序与它们打交道的。他们看上去是极不情愿地去处理那些本可以留在最后，并能很好地理解的数，他们非到万不得已才去进行逻辑化的工作。不管怎么说，大约 1890 年左右，在埃及人和巴比伦人能使用整数、分数和无理数的六千年后，数学家们终于可以证明 2+2=4。看来，即使是最伟大的数学家也被迫考虑严密性。

在 19 世纪下半叶，另一个瞩目的问题被解决了。从高斯确信他的非欧几何是相容的时候（这也许因为他认为非欧几何是物理世界的几何），到大约 1870 年，高斯在这方面的研究工作和黎曼的无薪教师就职报告得以发表近六十年间，大多数数学家并没有认真地考虑过非欧几何（见第四章）， 因为其内容过于偏激。数学家们宁肯相信，或者说是希望某一天能在非欧几何中发现矛盾，这样它们也就成了一纸空文。

幸运的是，所有的基本非欧几何的相容性问题都被解决了。方法经受住了检验，特别是后来创建的理论。由黎曼在 1854 年的论文（见第四章） 所提出的非欧几何之一——双椭圆几何，与欧氏几何有根本的不同。没有平行线，任何两条直线相交于两点；三角形内角之和大于 180°，许多定理也同欧氏几何中相应定理截然不同。贝尔特拉米在 1868 年指出，如果将双椭圆几何的直线看作球上的大圆，平面上的这一几何同样适用于球面。

这一解释似乎讲不通。所有非欧几何的发明者们认为他们所定义的直线同欧氏几何中定义的直线毫无二致。但是，我们可以回忆一下欧几里得关于直线及其他一些概念的定义是多余的（见第五章）。在任何一个数学

分支中，总有未定义的概念，像亚里士多德强调的那样，只要这些直线满足公理即可。但球面上的大圆的确满足双椭圆几何的公理。当双椭圆几何的公理适用于球面上的大圆时，其定理也同样适用，因为定理总是逻辑的结果。

若认可了将直线作为大圆，那双椭圆几何的相容性可以如下建立：如果双椭圆几何中有矛盾的定理的话，那么在球面几何中也会出现矛盾的定理。而球面是欧氏几何的一部分，因此，如果欧氏几何是相容的，那么双椭圆几何也必然是相容的。

双曲几何的相容性就没有这么简单了（见第四章）。但是，既然双椭圆几何的相容性可以用球表面作为一个模型来建立，那双曲几何也可以由某个与欧氏几何相关的构型来建立。我们在这里不追究细节，但是，我们应注意到这一事实，即双曲几何的相容性也意味着欧氏几何中平行公理是独立于其他公理的。否则，即它可以由其他公理推出，那它只能成为双曲几何的定理。因为，除了平行公理，双曲几何的其他公理，同欧氏几何中相应的公理是一模一样的。但是欧氏几何的这一“定理”将与双曲几何的平行公理矛盾，从而双曲几何是不相容的。因此，数年来由欧氏几何其他公理推导出平行公理的努力，注定是劳而无功。

有这样一个奇异的现象，即被看作是几何的非欧几何，它们的直线不具有通常的意义，可以适用于与人的想象截然不同的圆形，这一事实将导致举足轻重的结果。如同我们说过的那样，完全不同的解释是可能的，因为任何公理的发展中未定义的概念是必然存在的。这些解释被称作模型。这样，我们目睹了由于某种物理意义而发明的数学分支可以适用于截然不同的物理或数学的情形。

非欧几何的相容性建立在欧氏几何相容性的基础之上，对 19 世纪七、八十年代的数学家而言，欧氏几何的相容性是不容置疑的。除了高斯，罗里切夫斯基、鲍耶和黎曼，欧氏几何还被看作现实世界的必然几何，没有人相信其中会有矛盾，但是，其相容性并没有逻辑的证明。

对大多数轻蔑非欧几何的数学家来说，接受相容性证明有另外的原因。这些证明赋与非欧几何以意义，但只是将其作为欧氏几何意义上的模型。因此，人们是从这个意义上，而不是把它作为可应用于现实世界，其中直线具有通常意义的几何来接受的。当然，这与高斯，罗巴切夫斯基和黎曼的观点不同。

现在严密化工作只剩一个主要问题了。欧氏几何被发现是有缺陷的， 但是与分析不同，几何的本质和概念是清晰的。因此，确定非定义的概念， 将定义精确化，补充遗漏的公理，完成证明，相对而言较为轻松。这项工作分别由帕斯(Moritz Pasch)，韦隆内(Giuseppe Veronese)，和皮埃里(Mario Pieri)完成。希尔伯特借助于帕斯的研究成果，给出了目前最常使用的形式。几乎在同一时刻，由兰伯特、高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶发明的非欧几何，以及 19 世纪所发明的其他几何，特别是投影几何的基础，都给出了。

到 1900 年为止，算术、代数和（建立在整数公理基础上的）分析及（以点、线和其他几何概念为基础的）几何已经被严密化。许多数学家赞成进一步通过解析几何把所有几何建立在整数的基础之上，但几何尚有疑点。关于非欧几何的一个教训是，曾被视为严密之典范的欧氏几何实际上是有

缺陷的，这一令人痛苦的记忆仍然萦绕在数学家们的心头。1900 年以前， 把全部几何归结为数这一工作并未真正开展起来。尽管如此，当时大多数的数学家总是说数学的算术化，虽然精确地来讲应是分析的算术化。这样， 1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，彭加勒断言：“今天分析领域中只剩下了整数，及整数的有穷和无穷系统，它们由相等或不相等的关系网连结着。”帕斯卡说过“所有超越了几何的都超越了我们的理解力”， 1900 年时，数学家们更愿意说：“所有超越了算术的都超出了我们的理解力”。

最初目标有限的运动，在得到日益增多的拥护者的同时，遇见的问题常常会超出最初的计划，甚至会被这些问题淹没。关于数学基础的批评运动也纠缠于逻辑，即在由一个数学步骤推出另一个中的推理原理。

逻辑科学是由亚里士多德在他的《工具篇》中奠定的。他明确指出， 他注意到了数学家们所使用的推理原理，把它们抽象出来，而且发现它们是适用于所有推理的理论。他的基本原理之一就是排中律，即所有有意义的断言非真即假。这可能是他从数学命题，如所有正整数非偶即奇中抽象出来的。亚里士多德的逻辑主要由三段论构成。

两千多年来，被数学家们占据了一席之地的知识界一直接受亚里士多德的逻辑。不错，对一切信仰及教条提出质疑的笛卡尔确实提出过我们总能知道逻辑原理是否正确这一问题。他的回答是，上帝不会欺骗我们。这样，他就为我们拥有这些原理的正确性找到了一个合理的辩护。

笛卡尔和莱布尼茨想把逻辑定律拓广为一个统一的推理的科学、一个统一的推理的演算方法，适用于所有的思维领域。同时，他们还有这样的想法，即像代数那样用符号来严密和便利推理定律的使用。笛卡尔是这样提及数学方法的：“比较起前人所馈赠给我们的知识工具来说，它作为所有其他方法的源泉是最有力的。”

莱布尼茨的普遍逻辑构想比笛卡尔的更为明确，它需三个基本元素。首先是普遍性——一种统一的科学的语言，其可以部分或大部分符号化， 适用于由推理得出的所有真理。第二个元素是一个包揽无遗的推理逻辑形式的完备集合——推理演算——它允许由最初的原理进行任何可能的演算。第三个——技巧组合——所有基本概念的集合。在此形式之上可定义其他所有概念，它是一个思维的程序，对下面每一简单概念赋以一个符号， 通过对这些符号的组合和运算允许更为复杂的概念的表达式和处理。

基本原理，比方说将是同一律，即 A 就是 A，而不是非 A，从这些原理， 所有的理性真理，包括数学中的理性真理，都可推出。而且，还有事实真理的存在必须以他所谓的充分推理原理为条件，不可能有别的情况。莱布尼茨是符号逻辑的创始人，但他在这一领域的工作直到 1901 年才被认识到。

不管是笛卡尔，还是莱布尼茨，都没有发展推理的符号演算，他们只写下了一些零散的片断。这样，直到 19 世纪，亚里士多德的逻辑依旧盛行。

在 1797 年的《纯粹理性批判》第二版中，康德称逻辑为“一个封闭的完整

的学说体系”。虽然到 1900 年，大多数的数学家们仍继续用符合非正规的口头表述的亚里士多德的原理来进行推理，但他们也开始用一些其他并未被亚里士多德接受的原理。他们并未严格检验自己的逻辑原理，而是自认为他们使用的是合理的推理逻辑，实际上，他们使用的原理直觉上是合理

的，但并不是准确的逻辑原理。

当大多数的科学家全神贯注于数学的严格化时，有一部分人开始探讨当时所使用的逻辑。下一个大的发展当归功于布尔（GeorgeBoole），一位爱尔兰科克王后学院的数学教授。

布尔的工作无疑是受到皮科克、格雷戈里和笛·摩根（见第七章）代数观点的启发。虽然他们的型的永恒性原理并不能真的证明代表实数、复数的文字系数的算术运算的正确性，但他们可能是无意识地采纳了这样一个新的代数观点，即符号和运算可用来表示任何事物，并且哈密尔顿在四元数上的工作（1843 年）也的确表明，其他的代数也是可能的。布尔 1848 年在一篇文章中综述了他称之为算子演算的代数推理。注意到这样一种观点，即代数不只是处理数，且代数的定律也不一定是实数和复数的定律。在他的《逻辑的数学分析》（1847 年）的开篇他讲到这一点，并提出了一门逻辑代数。他的主要著作是《思想规律的研究》（1854 年）。布尔的主要观点没有莱布尼茨的野心勃勃，但更贴近于莱布尼茨的推理演算，即现存的推理规则可以由符号形式来表达，这样可以严密化并促进现存逻辑的应用。在他的书中，他这样叙述道：

下列论文的目的是为了研究思维运算的基本规则，推理正是依据这些规则而完成的。给出演算的符号语言表示式，并在此基础上建立逻辑科学和构造它的方法。

布尔也考虑了在思维中的特殊应用，例如，概率律。

符号化使科学家们受益无穷。在证明过程中，人们可能由于无意识地引入了并非自己所指的意义或使用了不正确的演绎原理而出现错误。即如，把光线作为光学现象讨论时，说到“看见光”或一物体的“光重”是令人迷惑的。但是，如果用 l 来表示物理光线，则所有关于 l 的进一步符号分析，都将指的是光学现象。而且，所有的证明就是符号集合用符号转换规则而不是用逻辑定理非正式形式转化成另一集合。这些规则用严密且易于应用的形式表示了正确原理。

为了正确评价布尔的逻辑代数，让我们先了解一些他的观点。假设用x、y 表示事物的集合，例如，表示狗的集合和红色动物的集合。那么 xy 表示既属于 x 又属于 y 的事物的集合。在狗和红色动物这种情况下，它表示红色的狗的集合。对任何 x、y 而言，有 xy=yx。若 z 代表白色物体，且x=y 的话，则有 zx=zy。从 xy 的意义还可推出 xx=x。

符号化的 x+y 表示在 x 中或在 y 中或既在 x 中又在 y 中的事物的集合

（这在后来被杰文斯(WilliamStamleyJevons)做了修改）。这样若 x 代表男人的集合，y 代表选民的集合，那 x+y 则是男人和选民的集合（这一集合也包括了女性选民）。因此可以证明，若 z 表示年龄超过 35 岁的人的集合，则有

z(x+y)=zx+zy

若 x 是一集合，则 1-x 或-x 是所有不在 x 中事物的集合。这样，若 1 表示所有事物的集合，而 x 表示狗，1-x 或-x 则表示非狗的事物，这样-(-x)表示狗的集合。等式 x+(1-x)=1 说明每一事物要么是狗，要么不是狗。这就是集合的排中律。布尔示范了如何在不同的领域运用这种纯代数操作来进行推理。

布尔也引入了所谓的命题逻辑，虽然这一逻辑的使用应当追溯到斯多

伊克斯(Stoics)。在这种解释过程中，p 总是代表，如，“约翰是一个男人”且假定 p 是指“约翰是一个男人”为真。则 1-p（或者-p）表示“约翰是一个男人”为假。同样，-(-p)表示约翰不是男人不为真，即，约翰是一个男人。命题的排中律，即任何命题非真即假，布尔将之表达为 p+(- p)=1，其中的 1 表示真。乘积 pq 表示命题 p、q 均真。同理 p+q 表示或者p 为真或者 q 为真或者 p、q 都真。

笛·摩根掀起了另一场变革。在他的主要著作《形式逻辑》（1847 年） 中，笛·摩根引入了这样的观点，逻辑必须处理普遍意义上的关系。亚里士多德的逻辑处理的是动词“是”的关系。一个典型的例子是“所有的人都是要死的。”如笛·摩根所说，亚里士多德的逻辑不能证明由“一匹马是一个动物”到“一匹马的头是一个动物的头”的推理，这需要增加一个前提即所有的动物都有头。亚里士多德确实提及了逻辑的关系，尽管是含混不清且不广泛。而且，亚里士多德的许多著作以及中世纪学者们的补充在 17 世纪时已失散了。

显而易见，需要有关系的逻辑，这样，基于关系“是”的论断，如： A 是一个 p；

B 是一个 p；

因此，A 和 B 都是 p。

这显见是错误的，如以下的论断： 约翰是一个哥哥；

彼特是一个哥哥；

因此，约翰和彼特都是哥哥（相互间），显然这是错误的，类似地： 苹果是酸的；

酸是一种味道；

因此，苹果是一种味道。

也是一个不正确的结论。没有发展关系逻辑是亚里士多德逻辑的主要缺陷，这一缺陷莱布尼茨也注意到了。

关系通常不能翻译成主词+谓词，其中谓词仅仅表明主词包含于由谓词所说明的集合中。因此，必须考虑表示关系的命题，例如：2 比 3 小或点 O在点 p 和点 R 之间。也必须考虑它们的否、逆、联合等其他联系的命题。关系逻辑由皮尔斯（Charles SandersPeirce）在他从 1870 到 1893

年的几篇论文中得以发展，并被施罗德（Ernst Schröder）系统化。皮尔斯引入了特殊的符号概指表示关系的命题。这样，lij 就表示“i 爱 j”， 实际上，他的关系代数是很复杂的，并不实用。以后我们将看到在现代符号逻辑中如何处理关系。

逻辑科学的另一扩展（布尔曾涉猎过），由皮尔斯有效地引进。他强调了命题函数这一概念。就像数学处理的函数，如 y=2x，而不是关于常数的命题，如 10=2×5。“约翰是一个男人”是一个命题，而“x 是一个男人”则是一个命题函数，其中 x 是一个变量。命题函数可以包括两个或更多个变量，如在“x 爱 y”中。由于皮尔斯的功绩，推理得以延伸到命题函数中。

皮尔斯还引入了所谓的“量词”。普通语言相对于量词来说，是很模糊的，如以下两句：

一个美国人领导了独立战争。

一个美国人信仰民主。

用“一个美国人”这一词语表示两种不同的意思。第一句指的是一个特殊的美国人：乔治·华盛顿；而第二句指的是每一个美国人。通常这一含混可以由短语使用的上下文来判别，但这种含混不清对于严密的逻辑思维来说却是不可接受的。论断本身必须是明确的，解决的办法就是使用量词。我们可能希望能断言一个命题函数对某个集合中的所有元素都为真，例如：每一个美国人。如果对所有的 x，x 是一个男人，那么就能断言美国的所有人都是男人，“对所有的 x”即是一个量词。另一方面我们希望说至少有一个 x，使得 x 是在美国的男人。在这种情况下，“至少存在一个 x 使得”是量词。这两种量词分别由符号∀x、∃x 来表示。

逻辑在关系、命题函数、量词上的扩充包含了在数学上使用的推理种类， 使得逻辑更加丰富。

弗雷格（GottlobFrege）是耶拿（德国一城市）的一位数学教授，在数学化逻辑的方向上，他迈出了 19 世纪的最关键一步。弗雷格写了几本重要著作，《概念演算》（1879 年）、《算术基础》（1884 年）和《算术的基本法则》（第一卷：1893 年；第二卷：1903 年）。他继承了命题逻辑、涉及关系的命题、命题函数和量词等观念，他自己也做出了一些贡献。他引入了一个命题的叙述和判定它是真的这二者之间的区别。用符号├放在命题的前面表示肯定。他区分了元素 x 和仅含 x 的集合{x}，还区分了元素属于集合和集合蕴涵于另一集合。

弗雷格还将一个更广泛的蕴涵概念，称为实质蕴含形式化，它的字面形式上的表达将追溯到墨伽拉的菲罗(PhiloofMegara)。逻辑处理关于命题和命题函数的推理，这一过程中蕴涵是最重要的。如，我们知道约翰是一个聪明的人，而聪明的人长寿，那么可以推导出这样的蕴涵：约翰将长寿。

实质蕴涵与通常使用的蕴涵有所不同。当我们假定，如，“如果下雨， 我将去看电影”，两个命题间不仅有一定的关系，而且是蕴涵关系。即若前提“天下雨”成立，则结论“我去看电影”必然成立。而实质蕴涵的概念允许 p 和 q，即前提和结论，可以为任何命题。命题之间不必存在因果关系或其他任何联系。可以这样说“如果 x 是一个偶数，我就去看电影。” 而且，实质蕴涵允许甚至当 x 是一个偶数为假时，结果也成立。即“若 x 不是偶数时，我将去看电影。”更进一步，它允许蕴涵“若 x 不是偶数时， 我将不去看电影”。这个蕴涵仅当 x 为偶数而我没有去看电影时为假。

从形式上来说，若 p 和 q 均是命题，若 p 为真，蕴涵“p 蕴涵 q”当然意味着 q 为真。但是，实质蕴涵允许，其至 p 为假时，无论 q 真假与否， 蕴涵“p 蕴涵 q”都是真的。只有当 p 为真而 q 为假时，这一蕴涵为假。这一蕴涵观点是通常意义的延伸。不过这一延伸并不造成任何危害，因为我们只有当知道 p 为真时，才用“p 蕴涵 q”，而且，实质蕴含同日常用法有某些相通之处。考虑这一论断：“若哈罗德今天发工资，他将购买食品”。这里，p 是哈罗德今天发工资，q 是他购买食品。现在他可能仍在购买食品， 即使他今天没发工资。因此，我们把 p 为假 q 为真的情况纳入合理蕴涵， 当然，这一结论不为假。相似地有，“若哈罗德今天没发工资，他将不购买食品”也不是假命题。作为另一个，最后一种情况的更好例子，莫若“若木头是金属，则木头是可锻造的。”我们知道两个命题都是假的，而蕴涵是真的。因此，我们把 p 为假而 q 为假的这种情况也包含在作为 p 蕴涵 q

的正确情况。概念的重要应用是能从 p 的真实性以及 p 蕴涵 q 的蕴涵中判断 q，当 p 为假时的扩展在符号逻辑中是方便的，且最有效的。

但是，由于无论 q 为真或假、p 为假都蕴涵 q，实质蕴涵也就允许一个错误的命题蕴涵任何命题。对于这一“缺陷”，有人会反驳说，在一个正确的逻辑系统和数学中，假命题是不应当出现的。不管怎么说，对实质蕴涵的概念一直存在反对意见。例如，彭加勒用这样的事例嘲笑它，说有些学生在考试中用错误命题得出了正确命题。但是，尽管在这一概念上还需做更大的努力，实质蕴涵现在成了一种规则，至少在符号逻辑中是作为数学基础使用的。

弗雷格做出的另一更大贡献，在以后被证实是举足轻重的。逻辑包括许多推理原理，好像欧氏几何关于三角形、矩形、圆和其他图形的论断一样。由于 19 世纪末其他数学分支的重新组织，几何中的许多论断可以由极少的基本论断——公理导出。弗雷格为逻辑精细地做了这一工作。他的符号和公理是复杂的，我们仅仅从字面上指出逻辑的公理发展的方法（见第十章）。作为一个公理来采用论断“p 蕴涵 p 或 q”无疑是稳妥的，因为 p 或 q 的意义是，p 或者 q 中至少一个是真的。若我们一开始便假定 p 为真， 则 p 和 q 中的一个肯定为真。

我们也可以把下述作为公理：若由 A 表示的某命题（或命题组合）为真且 A 蕴涵 B，B 为另一命题（或命题组合），则我们可以单独地判断 B。这一公理，称为推理规则，使我们能推导或判定新的命题。

由上面的公理我们可推导出，例如： p 为真或者 p 为假

这一推导组成了排中律。

还可以推导出矛盾律，其字面形式是 p 和非 p 不能同时为真，两种可能只能有一种成立。矛盾律应用于数学中所谓的间接证明中。若我们假定p 为真，又推导出它为假，我们得到了 p 和非 p，但两者不能同时成立，因此 p 一定为假。这种间接方法经常采用另一种形式，我们假设 p 为真，且它蕴涵 q，但 q 已知为假，因此，由逻辑定律，p 一定为假。许多其他常用的逻辑定律都可由公理演绎而来。这种逻辑的演绎结构始于弗雷格的《概念演算》，在他的《基本法则》中得以发展。

弗雷格还有一个更宏大的目标，在以后的章节中我们将细述（见第十章）。这里简单提一句，他在他的逻辑工作中试图为数和代数分析构造出一个新的基础，这一基础比 19 世纪最后几十年中的批评运动还要严格得多。

另一个用符号逻辑来改进数学的严密性的关键人物是皮亚诺。像戴德金一样，他在数学中发现现存的严格性不完善，因而献身于改进逻辑基础。他不仅将符号逻辑用于逻辑原理，而且用于数学公理的表示式，并且用符号逻辑原理操作符号公理进行定理的推导。他明确而坚定地认为，我们应当放弃直觉，而这只有用操作符号运算才能做到，符号避免了普通词语间直觉联系带来的危险。

皮亚诺将量词、连词例如“和”、“或”、“非”引入了自己的符号系统。他的符号逻辑只具雏形，但影响甚大。他所编辑的杂志《数学评论》

（创建于 1891 年，于 1906 年出刊）和所著的五卷《数学公式》(1894—1908 年)是他主要的贡献。在《公式》中他给出了以前所提及的整数的公理。皮

亚诺创建了逻辑学家的学派，而皮尔斯和弗雷格的工作在罗素 1901 年发现

弗雷格的贡献之前一直鲜为人知。罗素于 1900 年获晓了皮亚诺的工作，比起弗雷格的，他更欣赏皮亚诺的工作。

从布尔、施罗德到皮尔斯、弗雷格，逻辑中的变革组成了数学方法的应用：符号系统和从逻辑公理中得到逻辑原理的推导证明。所有的这些关于形式逻辑或符号逻辑中的工作吸引了逻辑学家和数学家，因为符号的使用避免了心理上、认识上、形而上学的意义和暗示。

包括命题函数关系，如“x 爱 y”或“A 在 B、C 之间”，以及量词的逻辑的系统现在一般称为一阶谓词演算或一阶逻辑。虽然对某些逻辑学家而言，它并不能覆盖数学中所有用到的推理，例如数学归纳法，它是现代数学家颇为青睐的系统。鉴于以后我们将涉及数学的逻辑结构，在这里让我们强调一点，数学和逻辑的严格化是首先由欧几里得通过公理途径达到的。这一方法的一些特色在 19 世纪的公理化运动中愈来愈清晰，让我们回顾一下它们。

首先是定义概念的必要性。因为数学独立于其他学科，所以定义也必须用其他的数学概念来说明。如此，这一过程将导致定义的无限循环。解决这一问题的方法是基本概念必须是不加定义的。那么怎么用它们呢？又怎么知道对于他们可以断言哪些事实呢？答案在于公理确定了未定义（已定义）概念，告诉我们什么可以判定。这样，如果点和线未定义，则两点确定一条直线的公理和三点确定一个平面的公理，可以用来推导关于点、线、面更进一步的结论。尽管亚里士多德在他的《工具论》、帕斯卡在他的《几何精神论》中，以及莱布尼茨在《单子论》中都强调了未定义概念的必要性，但数学家们还是忽视了这一事实，结果给出了许多毫无意义的定义。格高尼(Goseph-DiazGergonne)早在 19 世纪初即指出公理将告诉我们对未定义的概念可以做出什么样的结论；它们给出了所谓的隐含定义。直到 1882 年帕斯再一次强调未定义概念的必要性，数学家们才开始严肃地考虑这一问题。

任何演绎系统一定包括未定义概念，其能翻译成满足公理的含义，这一事实给数学家们引入了一个新层次的抽象。这一点早被格拉斯曼在他的

《线性扩张论》（1844 年）中提出。他指出几何当不同于物理空间的研究， 几何是一个纯数学结构，可以运用于物理空间，但不拘于这一解释。后来， 公理的研究者们：帕斯、皮亚诺和希尔伯特，强调了这种抽象性。虽然帕斯明白存在未定义概念且只有公理限制它们的意义，但他只在头脑中构造几何。皮亚诺洞悉帕斯的研究，在他 1889 年的文章中更清楚地认识到许多其他的解释也是可能的。希尔伯特在《几何基础》（1899 年）中指出，虽然用的概念是点、线、面等，但如果它们遵从所涉及的公理的话，可以是啤酒杯、椅子或任何物体。演绎系统多种解释的可能性实际上是非常有益的，因为它允许更多的应用，但我们将发现（见第十二章）它也引起一些令人困扰的结果。

帕斯通晓现代公理体系，他提出的观点的意义在 19 世纪末显然并未被

① 为了囊括数学中所有用到的推理，一些逻辑学家们提出了所谓的二阶逻辑，这要求将量词用于谓词。这样，若表示 x=y，我们希望断言所有适用于 x 的谓词都适于 y，通过包含“对所有宾语而言”这样的语句或用符号 x=y((F)(F(x)(F(y))来量化谓词。——原注

接受，即必须建立公理集合的相容性，也就是说，它们不会导致矛盾的定理。非欧几何中相容性问题曾出现，但已被满意地解决了。但是，非欧几何仍令人感到奇怪。对一些基本的分支，像整数理论或欧氏几何，任何关于相容性的疑问看上去是不切实际的。不管怎么说，帕斯认为这些公理系统的相容性应该建立起来，弗雷格附和他这一观点，他曾在《算术基础》

（1884 年）中写道：

把一个单纯的假设当作自己的结果来着手处理问题是很普遍的，我们假设在任何情况下，执行减法、除法、开方的运算都是可能的，而且认为我们已经做了足够多的这种运算。但是为什么我们不假定任何三点可以画出一条直线？为什么我们不假设所有的加法、乘法定律在三维复数系统中会像在实数中一样成立？因为这些假设包含着矛盾。如这样我们首先要做的是证明我们的其他假设不包含任何矛盾，直到我们做了这一切，像我们希望的，严格才不会是空想。

皮亚诺和他的学派也在 19 世纪 90 年代开始比较严肃地对待相容性问题。皮亚诺相信建立相容性将很容易。

数学的相容性很可能在希腊时代就被怀疑，为什么到 19 世纪末它才得以显露？我们已经注意到，非欧几何的创立迫使人们意识到，数学是人为的，只是对现实世界的近似描述，这种描述是相当成功的，但从反映宇宙的固有结构而言，它并不是真理，因而不必是相容的。实际上，19 世纪末的公理化运动使数学家们认识到数学和现实世界间有一条壕沟，每个公理体系都包含未定义概念，其属性在这些公理意义上是明确的。但这些概念的意义并不固定，虽然我们头脑中直觉地具有数、点及线的概念。值得肯定的是，公理是用来确定属性，从而使这些概念确实具有我们本能地与之联系在一起的属性。但是我们确实做到了这一点吗？我们能确保没引入一些想要的属性或蕴涵，而导致了矛盾吗？

公理化方法的另一个特点也是由帕斯指出的。数学任一分支的公理最好是独立的，即这一分支中的任一公理不应当由其他公理推出来。如果这样的话，被推导出的公理只能是一个定理。确定一个公理的独立性的方法是给出其他公理的一个解释或模式，其中这些公理都满足，而欲加讨论的那个不满足（这一解释不必与欲加讨论的公理的否定相容）。例如，欲由欧氏几何的其他公理建立平行公理的独立性时，可以用双曲非欧几何来解释，在这种几何中除平行公理外，所有欧氏几何的其他公理都满足，一个既能满足所论公理又能满足与其相矛盾的公理的解释是不相容的。因此当用一个解释或模式来证明一个公理的独立性时，首先必须知道这一模式是否相容。这样，像我们以前提到的，欧氏几何平行公理的独立性是由在欧氏几何中建立一双曲非欧几何模式而确立的。

虽然我们后面的大多数时间是关注着数学公理化引起的疑问，不涉及重大的问题，但在 20 世纪初公理化方法被认为是完美的。没有人比希尔伯特对它更为推崇了，他是那时世界上顶尖的数学家。在他的文章中关于“公理化思维”(1918 年出版)，他宣称：

任何可以成为数学思维对象的东西，其理论的建立一旦成熟，它就会成为公理化的方法，并由此直接进入数学。通过探寻公理的每一更深的层次⋯⋯我们可以洞悉科学思想的精髓，获得

我们知识的统一，特别是借助公理化方法，数学应该在所有认识中起到主导作用。

在 1922 年他又断言：

公理化方法，确实是，而且始终是不论在哪个领域中探求事实精髓的合适的、不可缺少的工具。其逻辑性是无懈可击的，同时也是成熟的，因此也保证了分析的完全自由。进行公理化意味着除了有关问题外，不需考虑其他知识。起先没有公理化方法时，人只是幼稚地思考，把一些特定的关系当作教条，公理化方法清除了这种幼稚性。

人们一般认为数学家们都会赞成在一个坚实，严格的基础上建立自己的科学，但是数学家们也是人，一些基本概念如无理数、连续性、积分、导数的精确定义未被所有的数学家们乐于接受。许多人并不理解新的技术语言，而把这些精确的定义看作是无稽之谈。他们认为对数学的理解，甚至对严格的证明都是没有必要的。这些人觉得直觉已经够好的了，尽管对于没有导数的连续函数和其他逻辑上正确但非直觉的创造倍感惊讶。皮卡在 1904 年这样提及偏微分方程中的严格：“真正的严格是富有成效的，与那种纯形式和繁杂的严密截然不同，那种严密工作给它所触及的问题投上了阴影。”埃尔密特在 1893 年 5 月 20 日给斯蒂杰斯的一封信中写道：“我简直惊恐万状，不愿意面对这一不幸的现实，没有导数的连续函数！”彭加勒在他的数学哲学（将在以后的章节中研究）中也抱怨道：“在以前， 新的函数引进时，目的是为了应用它们。今天却恰恰相反，构造函数是为了证明前人的错误，而本身毫无半点用处。”

有许多人坚持说他们的定义和证明正是严格化所产生的结果，即使如鲍莱尔这样的大师也如此捍卫自己，其他的人则反对这种吹毛求疵。哈代1934 年在一篇文章中称严密化是例行公事。还有一些人仍旧不理解严密化，因而防御性地贬损它，有一些人称之为数学中的混乱，对于新的观点， 即在当时的情况下有助于数学的严密化的观点，数学家和其他的人同样不乐于接受。

严密化工作揭示了数学创造的另一面。严密化满足了 19 世纪的需要， 而最后的结果也告诉了我们关于数学发展的一些事实。新建立的严密结构也许保证了数学的正确性，但这一保证几乎毫无必要。算术、代数、欧氏几何中没有一个定理因此而改变，而分析的定理只是比以前要更仔细地表述了。于是，想用一个连续函数的导数时必须假设其是可导的。事实上， 所有的这些新的公理化结构和严密所做的无非是证明了数学家所知道的那些东西确实是那样的。确实，这些公理只能产生现存的这些定理而非其他。因为这些理论整体来说是正确的。所有的这些意味着数学并非建立在逻辑之上而是建立在健全的直觉之上。严密化正像阿达马指出的那样，仅仅是对直觉承认的东西加以确认，或者如魏尔所说，逻辑是数学家们想要保证思想健康和强壮的卫生手段。

不管怎样，到 1900 年严密化已经再次强调了它的地位，而且，即使是晚了几个世纪，也终于获得了确认。数学家们可以宣称他们根据希腊人所设定的标准完成了自己的使命。他们可以比较放心地依赖这些知识了，因为除了一些细枝末节的修改之外，他们在经验或直觉上建立起来的绝大多数已被逻辑所证实。事实上，数学家们如此欢欣鼓舞，竟至有些得意忘形

了。他们回顾几次危机：无理数、微积分、非欧几何和四元数，他们为自己克服了这些创造带来的灾难而喝彩不已。

在 1900 年巴黎举行的第二届国际数学大会上，彭加勒，希尔伯特领袖地位的主要竞争者，作了一重要讲话。尽管他怀疑一些数学中引入的过分精炼的价值，但仍夸耀道：

我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点，如果他被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙敝了？⋯⋯但今天在分析中，如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结于纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了！

彭加勒在他的著作《科学的价值》(1905 年)所收集的一篇论文中又重复了他的大话。当我们观察到这些科学家在使他们这门学科的许多分支严密化时所表现出来的热情时，不难找到如此飘飘然的原因，除极少数愚者， 数学现在的基础已被所有数学家所接受，因此他们完全可以欢呼雀跃了。

在伏尔泰的讽刺剧《公正》中，哲学家潘格洛斯博士甚至在被绞死之前，还这样说道：“在所有可能的世界中，这是最好的。”恰如有些数学家，不知道他们马上要被自己竖起的绞刑架吊死，还在说他们已进入了最美好的境地。实际上，暴风雨正在酝酿，如果参加 1900 年国际数学家大会的数学家们抬头看看窗外，他们也许就会警觉，但是他们却都沉溺于庆祝的杯光酒影之中了。

但是，还是有这么一个人，同样在 1900 年大会上清醒地认识到数学基础中的漏洞并未完全堵住。在这次会议上，希尔伯特列出了他认为是数学发展中最重要的 23 个问题。第一个问题包括两部分，康托尔引入了超限数来表示无限集中元素的个数，关于这一创举，希尔伯特提出的问题是，证明整数个数这一超限数之后，第二大超限数是所有实数的个数。在第九章中我们将论及这一问题。

第一个问题的第二个部分是要求一种重排实数的方法，使得这样重新排序后的集合是所谓的良序集。虽然在以后我们将论及这一问题，但现在只要这样说就行了，即：实数集的良序化要求从良序化后的实数集中选出的任一子集都有最小元。在实数的通常排列中，若选择比 5 大的所有实数做为一个子集，那么这一子集将没有最小元。

希尔伯特的第二个问题则更为明显并有更大的影响。我们已经注意到，相容性问题的产生同非欧几何有关，而且也给出了在假设欧氏几何相容的情况下的证明。希尔伯特通过解析几何这一媒介，指出如果算术科学是相容的，则欧氏几何是相容的。因此，在他第二个问题中他要求有算术科学是相容的证明。

康托尔的确注意到了希尔伯特第一问题的两个部分，而且帕斯、皮亚诺和弗雷格也注意到了相容性的问题，但是只有希尔伯特在 1900 年认为这些问题是十分重大、而不是暂时的。毫无疑问，大多数的科学家听到希尔伯特在 1900 年第二届国际数学大会上的发言后，都认为这些问题无足轻重，纯属异想天开。他们转而被希尔伯特所提出的其他问题所吸引，因为对算术的相容性，人们深信不疑。许多关于非欧几何相容性的疑问——它是奇特的，甚至与直觉截然相反——是合情合理的。但是实数系统已经用

了五千多年，无数关于实数的理论均被证明，仍未发现任何矛盾。实数公理产生了许多著名定理，这样的公理体系怎么会是不相容的呢？

任何关于希尔伯特明智地提出上述问题，并且把它放在 23 个问题之首的疑问很快消散了。屋外云涛翻涌、山雨欲来，有些数学家开始听到了雷声，但甚至是希尔伯特也没能预见到等待他们的将是怎样一场风暴！