第六章 不合逻辑的发展：分析的困境

任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。⋯⋯可以这样说， 为了寻求真理，我们是注定要经历挫折和失败的。

——狄德罗

数学家们以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有争议的基础之上的。微积分是全部数学中最微妙的一个学科，一想到我们在较为简单的领域中所发现的那些缺陷，不难想象，微积分中的一系列概念和逻辑结构肯定令数学家们智穷力竭了。事实确实如此。

微积分使用了函数的概念。简单地说，函数是变量之间的一种关系。例如，当一个球从房顶落下时，下落距离和下落时间同时增加。如果我们忽略空气阻力，那么距离和时间这两个变量之间的函数关系可以用关系式d=16t2 来表示，在这里，t 指下落时间，单位是秒；d 指时间 t 内下落的距离，单位是英尺①。

任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。然而，直到 17 世纪，人们对函数才有了明确的理解。历史的细节并不重要，重要的是这样一个事实：虽然函数的概念易于理解，但即使是最简单的函数也涉及到所有形式的实数。因此，在上面这个例子里，肯

定有人会问t = 2秒时，d的值是多少。同样，也会有人问当d = 50时，t

的值应该是多少。此时t =

50 ，这是一个无理数，而无理数在17世纪

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时并不被人们充分了解。于是，人们在处理数字时就跳过逻辑，对函数也是如此。然而，在 1650 年以前，无理数被人们随心所欲地使用，这种错误也就被掩饰了。

微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数字所需的基础之外，它们还需要逻辑方面的基础。

17 世纪最伟大的数学家们着手处理这两个概念。这些学者中最著名的有开普勒，笛卡尔，卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)、费马、帕斯卡、詹姆斯·格雷戈里(James Gregory) 、罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval)、惠更斯、巴罗、瓦里斯，当然还有牛顿和莱布尼茨。上述每个人都在定义、计算微分和定积分方面做出了各自的贡献。有些人用的是纯几何推理的方法，有些人用的是纯代数推理的方法，还有些人兼而用之。我们关注的是这些人坚持数学推理这一标准的好坏程度，为了达到这一目的，举几个典型的例子就够了。事实上，这其中许多方法都很类似，不值得在这里多说。

正如牛顿所做的那样，理解导数之本质最好的方法是考虑速度。如果

① 1 米=3.2808 英尺——译注

一个物体在 4 秒内运动了 200 英尺，我们可以说平均速度是每秒 50 英尺。

如果物体是匀速运动的，平均速度也就是 4 秒内每一时刻的速度。然而， 绝大多数运动都不是匀速的，一个落向地面的物体，一颗从枪中射出的子弹和一颗围绕太阳运转的行星都在不停地改变运动速度。很多情况下，我们必须知道某些特定时刻的速度。例如，当子弹射中人的一瞬间的速度是非常重要的，如果这个速度是零，子弹就会落在地上，如果是 1000 英尺/ 秒，被射中的人就会倒在地上。这里所指的时刻是指长度为零的一段时间。此时，物体移动的距离也为零。因此，如果我们像计算平均速度那样计算瞬时速度，用走过的路程除以时间，结果就是 0/0，这是毫无意义的。

17 世纪的数学家们依稀看到了摆脱这种困境的方法，但是并没有抓住它。这种方法也许可以这样描述：假设一个物体正在向地面落去，我们想知道下落后第四秒时它的速度。现在，如果我们考虑用物体下落中时间间隔来代替时刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时间，就得到了这一间隔中物体的平均速度。我们可以计算从第四秒起，在 1/2 秒， 1/4 秒，1/8 秒⋯内的平均速度。这个时间间隔越短，计算出来的平均速度肯定越接近第四秒时的速度。若预先假定我们所要做的就是计算不同时间间隔内的平均速度并且研究它们会趋近于哪一个数，这个数就是我们所要求的第四秒时的瞬时速度。这个方案看起来不无道理，但是我们应当看到事实上还有许多内在的困难。但不管怎么说，如果我们能计算出第四秒时的速度，我们就把它称作 d=16t2 在 t=4 秒时的导数。

如果使用数学符号来表达上面这段话，我们会更清楚地看到困难所在。这些表达式，尤其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒时的速度。这个小球的运动状态可用

d=162 (1)

描述。当 t=4 时，d=16×42=256，设任意一个时间增量是 h，在第（4＋h） 秒时，小球会下降 256 英尺加上距离增量 k，有

256+k=16(4+h)2=16(16+8h+h2)

或

两边都减去 256

256+k=256+128h+16h2

得 k=128h+16h2

在时间 h 秒内的平均速度为

k 128h + 16h ²