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h h
(2)
幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以 h，这样就得到了
k = 128 + 16h (3)
h
然后，他令 h=0，得到
d=128 (4)
作为第四秒时的下落速度（符号d 是牛顿发明的）。这里的d 就是函数d=16t2 在 t=4 秒时的导数。
推导的问题在于：开始，h 不为零，所以才能进行分子、分母同除以 h 的运算，即(3)式只有在 h≠0 时才正确，这样就不能令 h=0 而得出结论。
而且，对于 d=16t2 这样简单的函数，(2)式可以简化为(3)，而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于(2)式的结果，这样，当 h=0 时，k/h 就是 0/0， 这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些，事实上，虽然必须承认他是微积分学的创始人之一，但他并没能把这项工作非常深入地进行下去。在他能对正在研究的想法给予充分的证明之前，他总是非常谨慎地不公布任何一般的定理。由于他能给出一个几何的解释，所以他还是满意地得到了正确的推导过程，而且他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。
使微积分的创立者们迷惑不解的第二个概念就是定积分。在计算由图形所围的总面积或曲线下的部分面积，由图形表面围住的体积以及各种不同形状物体的重心时，都要用到定积分的概念。为了弄清楚困难所在，我们来看下面这个问题。即求出一条曲线下的面积。
如图(6.1)所示，曲线 GF 的方程为 y=x2，求出由弧 GF，x 轴上线段 DE 和垂直线段 DG、FE 围住的图形 DEFG 的面积。
图 6.1
图 6.2
这里，我们得通过逐次逼近来求得整个面积，就像 17 世纪的数学家们所做的那样。我们把间隔 DE 分为等长的三段，每段长 h，把分点记为 D1、D2 和 D3，D3 也就是 E 点（图 6.2）。把分点处对应的坐标值记为 y1、y2 和y3，y1h、y2h、y3h 就是图中所示矩形的面积，它们的和
y1h + y2h + y3h (5) 就是面积 DEFG 的一个近似值。
用更多、更小的矩形，我们就能得到面积 DEFG 更精确的近似值。假设
我们把 DE 分成六段。图 6.3 显示出了图 6.2 中的中间那个矩形发生的变化，它被两个小的矩形代替了。由于我们用每个分点处的 y 值做为矩形的高度，图 6.3 中所示的阴影面积就不再是用来表示面积 DEFG 的近似值的六个矩形面积和的一部分了。因此，和式
y1h + y2h + y3h + y4h + y5h + y6h (6) 就比和式(5)更精确地近似于 DEFG 的面积。
我们可以对上述近似过程做一个一般性的描述，假设把 DE 分为 n 等
分，就会有 n 个矩形，每个宽度都是 h，每个分点的 y 值为 y1，y2，⋯， yn，省略号表示分割的所有中间 y 值。n 个矩形面积的总和就是
y1h + y2h +⋯+ynh (7)
图 6.3
这里省略号表示所有中间的矩形面积。考虑如上所述的把 DE 细分的效果， 可知 n 越大，面积和(7)就越近似于所求的 DEFG 的面积。当然，n 越大，h 越小，因为 h=DE/n，于是，我们通过这个例子看出用矩形可实现对曲线下面积的逐渐逼近。
直观地看，矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下的面积。17 世纪的数学家们解决这个问题的办法是让 n 变成无穷大。然而，无穷大的含
义本身就不清楚。它是一个数吗?如果是，怎样对它进行计算呢？当费马推导出如同(7)式那样的 n 个矩形的面积和的表达式时，他肯定发现其中包含如 1/n 和 1/n2 的项。当 n 无穷大时，他认为它们可以忽略不计因而略去了。就像在上述求导数的例子中一样，费马也可以精确地证明，很有可能是用欧多克斯的穷竭法（一种有限而且相当复杂的几何方法，阿基米得用得相当熟练）。
早期用定积分计算面积和体积的工作中，也许卡瓦列里值得一提。因为他是那个时代含糊不清的思考方式的典型，而且影响了许多当时的和后来的人。卡瓦列里把图 6.1 所示的面积看做无限多个他称之为不可分量的总和，这种不可分量被预先假设为直线段。然而，卡瓦列里并不清楚所谓的不可分量究竟是什么，他只不过表明：如果把一块面积分割为越来越小的小矩形，就像图 6.3 所示的那样，就可以得到不可分量。在他写的一本名叫《六道几何练习题》（1647 年）的书中，他解释说，面积由不可分量组成，就像一根项链由珠子串成，一块布由线织成，一本书由许多页组成。他用这个概念设法比较了两个面积，两个体积，得到了两者之间的正确关系。
卡瓦列里的做法不能令人满意，当时一个叫古尔丁(PaulGuldin)的人指责他不仅没有理解希腊几何，反倒把它搞糊涂了。一位近代的史学家评价卡瓦列里的工作时说，如果有一个专为晦涩难懂而设的奖，那就非他莫属。因为卡瓦列里不能解释无穷个元素，即它的不可分量是怎么组成一个有限物体的，他以拒绝对他的不可分量作任何精确的解释而避不作答。有时他求助于线段的无穷和而不能清楚地解释这种无穷和的本质，有时候， 他又说他的方法只是一个避免希腊人复杂的穷竭法的实用方法。更进一步，卡瓦列里争辩说，当代几何学家们对于概念的态度比起他要随便得多， 开普勒的《测量酒桶体积的新科学》（1616 年）就是一例。他接着说这些几何学家满足于仿效阿基米得求面积的方法，但又没有给出像伟大的希腊人那样完整的证明。相反，他们满足于他们的计算，只要结果有用就行了。卡瓦列里采用同样的观点，他说，他的做法能引向新的创造，而且他的方法一点也没有强迫人们把一个几何结构看成是由无穷多个部分组成的；除了在面积之间和体积之间建立正确的比之外，没有其他目的。但是这些比保持它们的意义和值，而不管人们对于图形的构成有什么见解。做为最后一招，他把这个概念性问题归结于哲学问题，因此就不重要了。“严密性”， 他说，“是哲学所关心的事情，而不是几何所关心的”。
帕斯卡支持卡瓦列里，在他的《致外省人书》（1658 年）中他宣称不可分量的几何与古典的希腊几何是一致的。“凡是能用不可分量的正确法则证明的东西，也能用古人的方式去严格地证明。”更进一步，他说不可分量的方法必定会受到任何一个自称为几何学者的数学家的承认，它和古代的方法只是语言上的不同。然而，帕斯卡对于严密性也有矛盾心理，有时他辩护道，为了做正确的工作所必需的东西是专门的“技巧”，而不是几何的逻辑，正如宗教对皈依的领会高于理智一样。在微积分中出现的几何悖论，如同基督教中那里的荒唐事一样。几何中的不可分量与有限量之间的关系同人类的公正与上帝的公正之间的关系是一样的。
还有，观点的正确与否常常是由心智决定的（见第二章）。帕斯卡在他的《思想录》中写道：“我们不仅靠推理，而且也靠心智来认识真理。
正是从这后一个来源中我们认识了基本原理，推理在这一点上无法与心智匹敌。⋯⋯而且正是基于我们心智和直觉知识基础上的推理建立了其全部结论。”当然，帕斯卡并没有使卡瓦列里的方法变得更清楚一点。
对微积分的创建贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿很少涉及积分的概念，但他广泛地使用导数。他求导数的方法基本就是费马的方法，然而， 他对这个基本概念的逻辑正确性更清楚一些，他写了三篇微积分方面的论文，而且他的巨著《自然哲学的数学原理》先后出了三版。在他的第一篇论文中（1669 年）他表述了求导数的方法，他评论这种方法是“简短的解释而不是精确的证明。”在这里他用到了 h 和 k 是不可分量这样一个事实。在他的第二篇论文中（1671 年），声明他还做得更好些，因为他改变了对变量的观点，先前他认为变量是离散变化的，h 是终极的不可再分的单元， 而现在，他认识到变量是连续变化的，他说他已经把在第一篇论文中所用的那些关于不可分量的定义的苛刻条件去除。然而，他在计算流数（关于导数的术语）时，方法与第一篇实质上是一样，在逻辑上毫无长进。
在牛顿关于微积分的第三篇论文《求曲边形的面积》（1676 年）中， 他重申他已经放弃了无穷小量（终极不可分量），接着，他批评了扔掉如前面(3)式中含 h 的项的做法。他说：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”然后，对他的流数的含义又做了一番新的解释，“流数，随我们的意愿，可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量， 精确地说，它们是最初增量的最初的比，⋯⋯”当然这样含糊不清的措词无济于事。在计算流数的方法这个问题上，牛顿在第三篇论文中的逻辑如同第一篇论文中同样的粗糙，他略去了所有高于 h 的一次幂的那些项，比如说 h2，这样就得到了导数。
在他的巨著《自然哲学的数学原理》（1687 年，第一版）中，牛顿对流数做了几种陈述，他舍弃了终级不可分量而用了“消失的可分量”，即能够无穷地缩小的量。在《原理》的第一版和第三版中，牛顿说：
量在其中消失的终极比，严格说来，不是终极量的比，而且它与无限减少的这些量所趋近的极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。
虽然这种解释根本说不上明白，但这已是牛顿对他所谓的流数给出的最明白的解释了。在这里，牛顿触及到了关键的词“极限”(Limit)，但他并没有深究这个概念。
毫无疑问，他意识到了他对流数的解释是不能令人满意的，于是，可能在绝望之中，他求助于物理意义。在《原理》中他写道：
以下关于没有消失量的终极比的观点值得商榷。因为在量消失以前，比就不是终极的，而若量消失了，也就无所谓比了。同样以下观点也值得商榷，即当运动停止时，也没有一个物体到达某一确定位置的终极速度。因为在物体到达某终极位置之前，速度不可能是终极速度，而若物体到达极限位置，终极速度也就为零了。其实答案很简单。最后速度的意思是：它既不是在物体到达最后位置，运动停止时之前的速度，也不是到达以后的速度， 而是正到达那一瞬间的速度。即物体以这样的速度到达它的最后位置并且停止。同样的，就消失量的最后比来记，应理解为不是
在量消失以前，也不是在消失以后，而是正当它们消失时的比。
既然他的数学研究结果实际上都是正确的，牛顿就没在微积分的逻辑基础上花过多的时间。在《原理》中，他用的是几何方法并且用几何方式给出关于极限的定理。很久以后，他承认他用了分析的方法来发现《原理》中的定理，但是他还是从几何上来系统地证明，以使他的观点像古人那样可靠。当然，这些几何证明一点也不严格，牛顿对欧氏几何充满信心，但没有真实的证据可以显示它能对微积分有所支持。
莱布尼茨研究微积分的方法有所不同，他认为当 h、k（他写成 dx，dy） 减小时，它们成了“逐渐消失的量”或“无穷小量”。此时，h 和 k 不为零，但比任何给定的数都要小，因此，h 的任意次幂，例如 h2，h3 肯定可以忽略，而且比值 k/h 就是我们所要求的量，即导数，莱布尼茨用 dy/dx 表示。
莱布尼茨用几何表述 h 和 k 的方法是这样的，当 P、Q 是一条曲线上无限靠近的两点时，dx 是它们的横坐标之差，dy 是它们的纵坐标之差（图6.4），而且，T 点处的切线就与弧 PQ 重合。因此，dy 除以 dx，就是切线的斜率，三角形 PQR 称做特征三角形，但这并不是莱布尼茨首创的。帕斯卡和巴罗很早就用过。莱布尼茨研究过他们的著作，莱布尼茨还认为三角形 PQR 与三角形 STU 相似，而且他用这个事实来证明有关 dy/dx 的一些结果。莱布尼茨对积分的概念也做了广泛的研究。他独立地提出了前述(7) 式用矩形求和的思想。然而，从有限多个矩形面积和到无限多个矩形面积和这个过程是含糊不清的，他认为当 h“无限小”时，就得到了无穷和。他把这记作∫dx，并设法算出了类似这样的积分，而且实际上，独自发现了我们现在所说的微积分基本定理。这个定理表明，可以通过求导数的逆过程求得这个积分和（求原函数）。经过了大约十二年的努力，他终于在1684 年在《教师学报》上发表了他关于微积分的第一篇论文，他的朋友贝努利兄弟对其作了恰如其分的评价，说它“与其说是解释，不如说是谜。”
牛顿和莱布尼茨的思想都不够清晰，而且都受到人们的批评。牛顿对于批评无动于衷，莱布尼茨则不这样，他花了大量篇幅尝试去解释，特别是它关于无穷小量的概念。在 1689 年刊于《教师学报》的一篇文章里，他说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。在这篇文章中他还分别用几何方法来证明一个高阶无穷小量，比如说(dx)2，相对于低阶无穷小量，如 dx，就像一个点对于一条线，而 dx 对 x 就像一个点对于地球或地球的半径相对于宇宙的半径。他认为两个无穷小量的比就是一个不确定量的商，但这个比值是可以用有限数表示的，例如，在几何中 dy 与 dx 之比就是纵坐标与次切线之比
（如图 6.4 中 TU 比 SU）。
莱布尼茨工作受到了纽汶提(Bernhard Nieuwentijdt)的批评，莱布尼茨 1695 年在刊于《教师学报》的一篇文章中对此予以回击。他谈到“过分苛刻”的批评者，并说过分的审慎不应使我们抛弃创造的成果。然后，他说他的方法不同于阿基米得方法之处，只在于所用的表达式，但他自己的方法更好地适用于发明的艺术。“无穷大”和“无穷小”仅仅表示需要多大就多大和需要多小就多小的量，这是为了证明误差可以小于任何给定的数，换句话说，就是没有误差。人们能用这种终极的东西——无穷大量和无穷小量——作为一种工具，正如在代数里用虚根有极大的好处一样（此
时我们应该回想一下在莱布尼茨时代虚数的地位）。
1699 年，莱布尼茨在给瓦里斯的一封信中给出了稍微有些不同的解释：
考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要他们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。例如，如果我们有 x+dx，就把 dx 舍弃。但是如果我们求 x+dx 和 x 之间的差，情况就不同了。类似的，我们不能把 xdx 和 dxdx 并列，因此如果我们要微分 xy，就可以写出(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy，但这里 dxdy 不可比较地小于xdy+ydx。因此，在任何情况下，误差都小于任何有限的量。
到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678 年 3 月 19 日给 H·康林(Herman Conring)的一封信中说， 这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限也具有同一性质。”在 1687 年给培尔(Pierre Bayle)的一封信中，莱布尼茨更充分地表述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最后的终点也可以包括进去。”然后他运用这个原理为抛物
线y = x2 计算dy / dx，在得到 dy = 2x + dx后，他说：“现在，因为按我们
dx
的假设，允许在一个普遍的道理下，也包括纵坐标 x1y2 越来越向确定的纵坐标 x2y2 靠近并最终与它重合的情形（如图 6.5）。很明显，在这种情况下 dx 成为 0 并且应该被忽略掉⋯⋯”莱布尼茨没有证明当 dx 为 0 时，应该给予方程左边的 dx 和 dy 什么意义。
当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别。
然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的， 其中实际上仍然没有出现完全的相等或者静止，⋯⋯而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。⋯⋯是否这样一个从不等到相等的瞬时过渡⋯⋯能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认这可能尚未解决。⋯⋯
如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。
在这些假定下，我们在 1684 年 10 月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不太麻烦地予以证明。
然后，莱布尼茨就讨论这些规则，但一点也没使它们更清晰。
他提出的连续性原理的确不是，今天也不是一个数学公理。然而他强调它，并且给出许多与其相符的论据。例如在一封给瓦里斯的信中，莱布尼茨为他使用一个没有量的形式的特征三角形，即量缩小为 0 之后，特征
三角形的形式仍然存在作辩护，而且挑战性地反问道：“谁不承认没有量的形式呢？”类似的，在 1713 年给格兰迪(Gvido Grandi)的一封信中，他说，无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零，即它是一个消失的量， 但仍保持它那正在消失的特征。然而，莱布尼茨在另外的时候又说，他不相信度量中真正的无穷大或真正的无穷小。
一直到 1716 年他去世，莱布尼兹一直在解释他那些无穷小量及无穷大量的含义，这些解释一点不比上面我们已经看过的更好。对他的微积分学， 他自己一直没有清晰的明确的概念或是逻辑的判断力。
牛顿和莱布尼茨的推理竟会如此粗糙，这真令人吃惊。在他们着手研究微积分之前，其他伟大的数学家早已取得了可观的进展，他们两个人也都研读过前人的著作，事实上，牛顿的老师巴罗，就用几何方法得出了一些基础性成果。当牛顿说：“如果说我比别人看得更远些，那只是因为我站在巨人的肩膀上”时，这不只是谦虚而是事实。至于莱布尼茨，他是最伟大的哲人之一，我们已提起过他在许多领域的贡献（见第三章），他智慧的深度与广度可与亚里士多德相媲美。当然，微积分涉及到许多新的， 微妙的思想，即使是最富有创造力的头脑也未必能深刻理解他们自己的创造。
由于不能充分弄清楚概念和判别运算的正确与否，二人都依赖方法的多样和结论的彼此一致而大胆地向前推进，尽管并不严谨。莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西的程序性或算法上的价值， 在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵， 毫不迟疑地认为一门新科学即将诞生。
微积分的基础仍然不清楚，牛顿的支持者继续谈论最初比和终极比， 而莱布尼茨的追随者们则使用无穷小的非零量。由于这些不同方法的存在，更增加了建立合理逻辑基础的难度。许多英国数学家也许由于主要是仍然为古希腊几何所束缚，更关心微积分的严密性而不相信这两种方法， 其他一些英国数学家选择了牛顿而不是数学做为研究对象，因此朝着严密化的方向没能有什么进展。这样，17 世纪就随着微积分、算术及代数的一片混乱结束了。
尽管面临众多的反对意见，但是，18 世纪伟大的数学家不仅极大地扩展了微积分学而且从中导出了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法及复变函数，这些统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。甚至连那些怀疑论者和批评家也在这些扩充中任意地使用各种类型的数和代数。微积分的运算，仿佛在逻辑基础上不再有任何问题了。
从微积分学到这些新分支的扩展引入了新概念、新方法，使得微积分的严密性问题更加复杂，对无穷级数的处理也许可以用来解释一下这些新添的麻烦。先让我们看一下无穷级数给数学家们带来的问题。
1
函数 1+ x
可以写作(1 + x) 2 ，把二项式定理用于后一种形式，可得
1
1 + x
= (1 + x)-1 =1 -x + x2 - x3 + x4
(8)
在这里，点表示这个式子按已列出的几项的形式无穷延续下去。无 T 穷级数引入微积分的原义是用它们代替函数进行运算，比如说求导及求原函数，因为从技术上来说，用级数中较简单的项更易于进行这些运算。而且函数，例如 sinx 的级数还被用来计算函数的值，在所有这些用法中，最重要的是知道级数是否与函数相等。当 x 被赋予一个值时，函数也相应地有一个值，关于级数必须提出的第一个问题是：对于一个给定的 x 值，级数会得到一个什么值？换句话说，无穷级数的和意味着什么？我们又怎么去求它？第二个问题是：是否对所有的 x 值，级数都表示函数或者最少是对于使函数有意义的值？
在他论述微积分的第一篇论文中（1669 年），牛顿自以为是地引入无
穷级数来加快微积分运算的过程。因此，为了求y = 1
1+ x2
的积分，他用
了二项式定理，得到
y=1-x2+x4-x6+x8-⋯⋯
然后逐项积分，注意到如果用函数的另一种写法 y=1/(x2+1)，则用二项式定理得到
y = 1
x2
− 1 + 1
x 4 x6
− 1 +
x8
他接着说道，当 x 足够小时，用第一个展开式；但当 x 较大时，就用第二个展开式。这样，他就对我们今天所称的收敛性的重要性有了些许认识， 但他对此并没有明确概念。
用牛顿对他使用无穷级数的评价可以说明那个时代的逻辑，在 1669 年的这篇文章中他写道：
任何事情，只要是普通分析（代数学）能够通过有限多项的方程去做的（只要能做的话），也能够通过无限多项的方程（级数）去做，这就使我毫无疑问地把这后一种也称为分析。因为后一种推理的确定性不少于前一种，后一种方程的精确性也不少于前一种。不过，我们这些凡人的推理力量，是局限在狭窄的范围内的，所以既不能表达，也无法去想象方程的一切项，使得能够从中确知所求的量。
这样对牛顿来说，无穷级数只是代数学的一部分，是一种处理无穷多项而不是有限多项的较高级的代数。
在牛顿、莱布尼茨、贝努利家族、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日和其他18 世纪的数学家努力研究无穷级数的古怪问题，并把它用于分析之时，他们酿下了各种大错，做出许多错误的证明，因而得出许多错误的结论；他们甚至还给出了一些我们现在看来荒唐可笑的证明，我们可以略举一例以说明他们在处理无穷级数时的迷惑与混乱。
当 x=1，表示 1/（1+x）的级数(8)
1 = 1- x + x2 - x3 + x 4
1 +
(8)
变为
1-1+1-1+1⋯
这个级数的和是多少？这个问题引起了无休无止的争论。把级数写成如下方式
(1-1)+(1-1)+(1-1)+⋯
看起来似乎很清楚，和就是零，然而，把级数写成另一种方式
1-(1-1)-(1-1)-⋯
似乎同样很清楚，和为 1。但如果用 s 代表级数之和，有
s=1-(1-1+1-1+⋯)
或 s=(1-s)，
因此 s=1/2。这最后一个结果也为其他证据所支持。这个级数是公比
为- 1的几何级数，而首项为a，公比为r的无穷几何级数之和为
a
1 − r ，在
上面这个例子中，和就是
1
1− (1 − 1)
，即1 / 2。
格兰迪在他的小册子《圆和双曲线的方程》（1713 年）中，用其他的方法得到了第三个结果。他在方程（8）中令 x=1，得到
1 = 1 − 1 + 1 − 1 +
2
1
便认为 2 就是级数的和。他还认为，由于这个和也可以是0，他业已
证明，世界能够从空无一物创造出来。
在 1713 年的《教师学报》上发表的莱布尼茨写给沃尔夫(Christian Wolf)的一封信中，他也谈到这个级数，他同意格兰迪的结果，但他认为可以不借助于原来的函数求得这个结果。他认为，如果取级数的第一项，前两项的和、前三项的和等等，就得到 1,0,1,0,1⋯⋯可以看出来，1 和 0 有同样的可能性，因此就应该取算术平均值为和，也就是 1/2，这也是最可能的结果，这个证明为贝努利家族及拉格朗日所接受。莱布尼茨承认他的证明中形而上学的成分多于数学的成分，但他接着说，在数学中，存在我们通常承认的更为形而上学的真理。
在欧拉 1745 年的一封信和 1754 年（或 1755 年）的一篇论文中，他探讨了级数求和的问题。一个级数，如果不断增加其项数，它就能越来越逼近一个常数，就说这个级数是收敛的，这个常数就是它的和。按欧拉所说的，当一个级数的各项递减时它就是收敛的。反之，若级数的各项不减少， 甚至增加，那么它就是发散的。他说，由于这种级数来自于已知的显函数， 我们可以取这个函数的值做为级数的和。
欧拉的理论又导致了新的问题，他处理了下述展开式：
1
（1 + x)2
当 x=-1 时，得到
= (1 + x) −2 = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 +
∞=1+2+3+4+⋯⋯
这个结果似乎是合情合理的。然而，当欧拉接着考虑函数
时，也就是
1
1 − x
的级数
让 x=2，那么
1
1− x
− 1+ x + x2 + x3 +
-1=1+2+4+8+⋯
由于这个级数右边各项的和应超过上一个级数各项之和，欧拉得出结论：
-1 比无穷大更大。欧拉同时代的一些人则认为负数大于无穷大不同于负数小于零，欧拉不同意这点，并且认为∞正像零一样把正数、负数分隔开来。
欧拉关于收敛与发散的见解并不正确，即使在他所处的年代里，从他所讲的意义上说，逐项递减的级数也没有和，而且他自己也用不是从显函数导出的级数进行研究。因此，他的“理论”是不完善的。此外，尼古拉·贝努利(Nicholas Bernoulli)在 1743 年给欧拉的一封信中，他一定向欧拉指出了同样的级数可以从不同的展开式中得到，因此按欧拉的定义，必须给这个级数不同的值。但是欧拉在回复哥德巴赫(Christian Goldbach)的一封信中说尼古拉·贝努利没有给出一个例子来，他自己也不相信同一级数会出自两个确实不同的代数式。然而卡莱(Jean-CharlesCallet)真的给出了一个这样的例子，拉格朗日试图去证明对它应当不予理睬，但后来人们看出这个证明是错误的。
再加上其他一些原因，欧拉对无穷级数的处理是不合适的。级数可以被微分或积分，它的微分和积分又导致函数的微分或积分，这样做的正确性必须加以证明。然而，欧拉宣称“无论如何，一个无穷级数可作为某些有尽的表达（函数的公式）的展开而得到，在数学运算中它可以用作与那些表达式等价的东西，甚至对那些使级数发散的变量也是如此。”因此，他说， 我们能够保留发散级数的功用，并且保护其免受指责。
其他18 世纪的数学家们也意识到必须区分我们今天所称的收敛级数与发散级数的特征，尽管他们对这种特征是什么一无所知。困难当然是在于他们研究的是一个新概念，像所有先驱者一样，他们必须在丛林中披荆斩棘。当然，为莱布尼茨、欧拉和拉格朗日所接受的牛顿的最初的想法，即级数只不过是长的多项式，因此应归到代数学范围内，是不能用来严格地讨论级数的。
在 18 世纪无穷级数方面的工作中，形式的观点占据统治地位。在他们的运算中，数学家们 a 甚至憎恨任何限制，例如必须考虑收敛性。他们的工作产生了许多有用的结果而且他们也就满足于得到实用的支持，他们确已超越了他们所能给出正确理由的界限，但他们在运用发散级数时，总的来说，还是谨慎的。
虽然数系和代数学的逻辑处境并不比微积分的更好，数学家们还是聚焦于微积分并试图巩固其松散的逻辑基础。造成这种情况的原因无疑是到1700 年时，各种类型的数看起来都很接近，也显得更自然一些了。然而微积分的概念，仍是陌生、神秘的，似乎难以接受。再说，在数的使用中没有什么矛盾，而在微积分及其扩展无穷级数与其他分支中，确实产生了矛盾。
虽然莱布尼茨研究微积分的方法更流畅也更便于使用，但就严格性来
说，牛顿的方法实际上可能更容易些。英国人还认为可以将这两种方法与欧氏几何联系起来，从而保证其严密性，但他们混淆了牛顿的瞬间
（moment，不可分割的增量）与他的连续变量的应用。大陆上的数学家们则追随莱布尼茨，并且力图把他的微分概念严密化。解释和评价牛顿与莱布尼茨的方法的书卷帙浩繁且谬误连篇，甚至经不起推敲。
数学家们尽管做出了种种努力来使微积分严密化，一些思想家还是抨击其合理性，尤以哲学家贝克莱为最。他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家①，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中（用 x 作为我们用 h 表示的增量）进行了一些代数运算，然后又忽略了含 h 的项，因为 h 现在是零了（比较(4)式）。贝克莱说，这是对矛盾律②的蔑视，神学中不允许这样的推理。他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。
如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？ 那能够构想出开端的开端，抑或末尾的末尾的人⋯⋯或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的⋯⋯我想，那些能消化得了二阶流数或三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。
谈到关于 h 和 k 的消失，贝克莱说：“在我们假设增量消失时，理所当然，也得假设它的大小、表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之而消失。”至于被牛顿用瞬时量 h 和 k 的比弄得更复杂的导数， “它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。我们只能称其为消失了的量的鬼魂”。
同样的，贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作《人类知识原理》（1710 年出版，1734 年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：
有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量((dx)2)等，他们总说有无穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物。
他继续在《分析学者》里攻击莱布尼茨：
莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计。
① “不信教的数学家”指哈雷。据传，当时贝克莱的朋友病危但拒绝祈祷，说不信教的哈雷使他很难相信宗教教义。——译注
② 矛盾律是一条逻辑原理：一事物不能同时既属于又不属于一特定的类（如既是桌子又不是桌子），或者既处于又不处于一特定状态（如既是红的又不是红的）。——译注
贝克莱认为，从几何上来看，微分之比应该确定割线的斜率，而不是切线的斜率，忽略了高阶无穷小才消除了误差，因此，“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵消的缘故。他还挑中二阶微分，即莱布尼茨的 d(dx)作文章，因为 d(dx)是 dx 的微分， 而 dx 本身是一个很难识别的量。
关于牛顿和莱布尼茨的方法，贝克莱反问道：“难道我们这个时期的数学家也像科学家一样了吗？只花大气力去应用自己的理论却不设法理解它们。”“在每一门其他科学中，人们用他们的原理证明他们的结论，而不是用结论来证明他们的原理”。
贝克莱用一连串的质问结束了《分析学者》一书，谨摘录若干如下： 那些对宗教如此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的
科学吗？他们会不屈从于权威、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和矛盾吗？
许多数学家回击了贝克莱的批评，但没人能成功地使微积分严密化。在这方面，欧拉做出了重大的努力。欧拉拒绝把几何作为微积分的基础， 他试图纯粹形式地研究函数，即从它们的代数（分析）表达式来论证。他否定了莱布尼茨的无穷小概念，即所谓不等于零却小于任意一个给定值的数。在欧拉的《微分学原理》，1755 年出版的一部 18 世纪的微分学经典著作中，他论证道：
无疑，任何一个量可减小到完全消失的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失的量，因为它本身就等于 0，这与无穷小量的定义也是协调的，按照无穷小的定义，它应小于任一指定的量，它无疑应当就是无，因为除非它等于 0，否则总能给它指定一个和它相等的量，而这是与假设矛盾的。
既然无穷小 dx（用莱布尼茨的记号）等于零了，那么(dx)2，(dx)3 肯定也为零，因为按惯例，这些量被称为 dx 的高阶无穷小。于是，对莱布尼茨来说，他的无穷小之比 dy/dx，在欧拉眼里即为 0/0，但 0/0 是多值的。欧拉的理由是任何数乘以零还得零，若用零作被除数，有 0/0=n。对
0
所涉及的特定函数，通常求导数的方法即可决定比 0 的值。他以函数
y=x2 为例，给 x 一个增量 h（他用ω），此时，h 不为 0（比较前述(1)至(4)），得到
k/h=2x+h
此时，莱布尼茨允许 h 为无穷小，但不为 0，而欧拉说 h 就是 0，所以在
本例中比k / h 0
2x。
，即 0 ，等于
欧拉强调说，这些微分，即 h 和 k 的最终值，是绝对的 0，因为他只知道它们相互的比值最终化为一个有限值，此外推不出任何其他东西。在
《原理》第三章中，欧拉更多地谈到这个性质，他在那儿鼓励读者说，导数并不像通常认为的那样隐藏着极大的神秘性，而那种神秘性使许多人心目中怀疑微积分。当然，欧拉求导数的方法的正确程度并不比牛顿和莱布尼茨更高。
欧拉在他那形式的并非正确的对微积分的探讨中所做的贡献是将其从几何学中解放出来，并将其建立在算术和代数的基础上。这至少为最终将
微积分的合理性建立在数的基础上开辟了道路。
- 世纪后期，对建立微积分基础最雄心勃勃的尝试来自拉格朗日。像贝克莱及其他人一样，他认为微积分是由于相互抵偿才得到正确结果。在他的《解析函数论》（1797 年初版，1813 年再版）中，他完成了他的重建工作。这本书的副标题是：“包含着微积分的主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术”（着重号为拉格朗日所加）。
拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：
此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下， 仍看作是量。因为对两个量，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。
他同样地不满意莱布尼茨的无穷小量和欧拉的绝对零，这两者“虽然在实践中是正确的，但作为一门科学的基础仍不够清晰，因为科学的确定性应基于自身的证据”。
拉格朗日想给微积分提供类似于古人论证那样的全部严密性，并且他提出要把微积分归结为代数来做到这一点。特别是，拉格朗日提出用无穷级数（级数被认为是代数的一部分，但其逻辑比微积分的逻辑更为混乱） 来严格地奠定微积分的基础。然后他“谦虚”地说，他的那种方法竟没有被牛顿想到，实在不可思议。
我们无需去追究拉格朗日所搞的微积分基础的细节，除了完全不合理地使用无穷级数外，他只做了一大堆代数推导，而这些，更不利于让读者明白合理的导数定义有多么缺乏。实际上，他所做的与他的前辈一样的粗糙，拉格朗日确信他已省却极限概念且已将微积分建立在代数之上。尽管他存在错误，其基础仍被他的许多杰出继承者所接受。
在写于 1797—1800 年的一部很有影响的三卷本著作《微积分学教程》中，拉格朗日的追随者拉克鲁瓦（Sylvestre-FrancoisLacroix）确信微积分仅仅只是代数的扩充。在《教程》的一卷本（1802 年）中，拉克鲁瓦用到了极限理论（从这点上看，这个理论那时已被理解），但他说只是为了节省篇幅。
- 世纪初的一些英国数学家决心接受先进的大陆的分析工作。巴贝奇(Charles Babbage)、赫歇耳(John Herschel)和皮科克(George Peacock)， 他们作为剑桥的毕业生成立了分析学会，翻译了拉克鲁瓦的《教程》一卷本，并在前言中写到：
现在我们将拉克鲁瓦著作的译本献给公众，可以视其为他在微积分学方面伟大工作的缩略，虽然在基本原理的证明中，达兰贝尔的极限理论替代了拉格朗日极其正确的自然的方法，但后者在这本书的三卷本中被采用了⋯⋯
皮科克声称极限理论令人难以接受，因为它把微分的原理与代数分隔开来，赫歇耳和巴贝奇也同意这种观点。
在 18 世纪后期，数学界很清楚微积分急需合适的基础。在拉格朗日的
提议下，柏林科学院数学分部（1766—1787 年拉格朗日任主任）于 1784
年设立，并于 1786 年颁发一个奖项，以奖励对数学中的无穷问题的最佳解答。这个竞赛的宣言如下：
数学的功用，它所受到的尊敬，“精确科学”这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰、证明的严密及定理的精确。
为了确保知识体系中这一精致部分这些富有价值的优势，需要对其所谓极限问题有一个清晰、精确的理论。
众所周知，高等几何（数学）经常使用无穷大和无穷小，然而，古代的几何学家甚至分析学者煞费苦心地去避开导致无穷的任何事物，一些当代著名分析学者则承认无穷量的术语是矛盾的。因此，科学院期望一个解释来说明为什么从一个矛盾的假设却推出了那么多正确的理论，还希望有一个确切、清晰的描述， 简而言之，一个真正的数学原理。它也许可以完全代替无穷，却又不致使按其方法进行的研究过分困难或过分冗长，这就须要处理这个课题时有尽可能的普遍性，尽可能的严密、清晰和简洁。
这次竞赛面向除科学院的正式成员以外的所有人，总共有 23 篇应征论文，竞赛的正式结果如下：
科学院收到了许多关于这个课题的论文，它们的作者都忽略了解释为什么从一个矛盾的假设，比如无穷大量，推出那么多正确的结论。他们都或多或少地忽略了对清晰性、简洁性的要求， 还有竞赛所要求的严密性。多数论文甚至没有看出来所寻求的原理不应局限于微积分，而应扩展到用古代的方法研究的代数和几何中去。
科学院认为我们的问题没有得到满意的答复。
然而，我们也发现最接近目标的参赛者是一篇法语论文的作者，他题写的格言是“无穷，是吞没我们思想的深渊”。因此， 科学院投票决定他得奖。
获奖者是瑞士数学家惠利尔(Simon L'Huillier)，同年，即 1786 年， 柏林科学院公布了他的论文《高等微积分的基本评注》。无疑，柏林科学院数学部的判断本质上是正确的，其他论文（除了卡诺的一篇，见第七章） 甚至根本就没有尝试去解释为什么从错误的假设出发而建立的无穷小分析的理论是正确的。惠利尔的论文肯定是出类拔萃的，尽管其基本思想毫无新意而言。惠利尔说，他的文章表述了达兰贝尔仅仅构想出一个轮廓的思想（发表于《百科全书》及《杂集》的一篇文章《微分》）的发展。在《评注》开头的一章中，惠利尔一定程度上改进了极限的理论。他第一次在印刷品上引入 Lim 作为极限的符号。这样，他把导数 dp/ dx 记作 Lim△p/△ x（我们的 k/h），但他对极限理论的贡献是微乎其微的。
尽管几乎 18 世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法，其中也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是没有多大用处的。任何棘手的问题都被有意避开或是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，看起来似乎很清楚适用于任何有限数 n 的理论，当 n 无穷时也一定适用。同样，差商 k/h（见(3)式）被导数所代替， 有限项的和（见(7)式）与积分也很难区分。数学家们在有限与无限之间随意通行，他们的工作可以用伏尔泰对微积分的描述来概括，他称微积分为“计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术。”一个世纪来，尤
其是欧拉、拉格朗日这样的大师使微积分严密化的努力的最终结果，误导了他们的同代人以及后来者，并且搞混了他们的思想。总的来说，他们那么明目张胆地犯错，以致于人们对数学家能否弄清他们所涉及到的逻辑感到绝望。
数学家们相信符号远胜于相信逻辑，因为无穷级数对于所有的 x 值有相同的符号形式，使得级数发散或收敛的 x 值之间的不同看起来并不须要加以注意，而且即使人们承认有些级数，比如说 1+2+3+⋯，和为无穷，数学家们倾向赋予这个和以意义，而不去怀疑其可适用性。当然，他们完全清楚对某些证明的需要。我们已经看到了欧拉的确曾力图证明他使用无穷级数的正确性，而且他和拉格朗日还有其他一些人还尝试建立微积分的基础。但这些求得严密性——其标准随时间而变——的少许努力并没有在这个世纪成功，人们也几乎情愿选择这样一种得过且过的处世哲学。
18 世纪的思想家们所采用的论据的一个奇怪的特点是它们求助于形而上学，人们用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系，如果需要的话，可以用它来检验他们的工作。虽说它究竟是什么还不清楚，但应用形而上学意在给那些不为推理所支持的论点增强可信度。因此，莱布尼茨宣称形而上学的用处比我们认识到的要多。他把 1/2 作为级数 1-1+1-⋯⋯的和的证明和他提出的连续性原理，都只不过重申了上述观点。它们被“证明”是形而上学的，仿佛这样就不容置疑了。欧拉也求助于它，认为在分析中也必须默认它，当 17、18 世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的理由是形而上学的。
因此，在 18 世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其他分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中，事实上，可以说微积分基础方面的状况，在 1800 年比 1700 年更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，他们的许多同事接受了并不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们所给出的基础上进一步发展。其他稍逊一筹的数学家则对此颇有微辞，但他们充满信心地认为只须稍加澄清或小修小补就可以得到一个完全清晰明确的基础。当然，他们被引上了一条错误的路。
第七章 不合逻辑的发展：19 世纪的困境
噢，上帝，为什么二加二等于四？
——亚历山大·蒲柏
历史进入 19 世纪，数学陷入更加自相矛盾的处境。虽然它在描述和预
测物理现象方面所取得的成功远远超出人们的预料，但是，正如许多 18 世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。这种自相矛盾的情况在 19 世纪上半叶一直存在，同时许多数学家开始研究自然科学的一些新领域，而且成就斐然。但是数学的逻辑基础问题并没有得到解决，而且，对于负数、复数、代数和微积分及其扩展分析数学的批评仍然在继续。
让我们来回顾 19 世纪早期数学所处的困境。我们可以忽略那些依然存在的，对使用无理数的微不足道的反对意见。无理数，可被看作是直线上的点，它在直观上并不比整数、分数更加难以接受，它们和整数、分数遵循同样的规律。对于它的作用，人们没有异议。所以，虽然无理数也没有逻辑基础，却被人们承认了。而真正遇到麻烦，直观上难以被接受的是负数和复数，它们在 19 世纪所遇到的攻击和非议，其剧烈程度不亚于 18 世纪。
威廉·弗兰德(Willian Frend)，笛·摩根的岳父，曾就读于剑桥大学的耶稣学院，在他的《代数原理》（1796 年）序言中直率地宣称：
“用一个数减去比自身大的数是不可理解的，然而许多代数学家都这样做，他们称小于零的数为负数，认为两个负数相乘， 其结果为正数。他们提出每一个二次方程都有两个根，这一点， 初学者在任一给定的方程均可验证。他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解，并试图找出一些不可能存在的数，这些数自身相乘后，得到单位元素 1。所有这些都是荒诞不经的，并为通常思维方式所排斥。但是，从一开始采用这些理论就像其他虚构的东西一样，拥有了许多坚定不移的支持者，这些人喜欢对新生事物笃信不疑，对正统思想却深恶痛绝。
1800 年在马赛罗(Baron Maseres)出版的一本书中（见第五章）收录了弗朗德(Frend)的一篇文章。弗朗德在此文中批评了方程根的个数与其次数相等这一普遍规律，认为它只适用于所有根为正的少数方程。对那些接受此规律的数学家，他说：“他们在努力找出方程所有的根，但实际上这是不可能的。为了掩盖自己所提出的规律的错误，他们不得不给一些数起一个特殊的名字。这样，至少在字面上可以使他们的规律看起来是正确的⋯⋯”。
卡诺，法国著名的几何学家，其名著《关于无穷小分析的形而上学的思考》（1797 年第一版，1813 年修订版）被翻译成多种文字，使他在自己的工作领域之外声誉鹊起。他断言存在小于零的数的概念是错误的，作为一种在计算时有用、假想的东西，负数可以被引入代数，然而，它实际上并不是数，并且只能导致错误的结论。
- 世纪关于负数和复数取对数的争论使许多数学家非常困惑，以致于到了 19 世纪，他们仍对此喋喋不休。1801 年，剑桥大学的伍德豪斯(Robert
Woodhouse)发表了一篇题为《关于一个借助虚构的数得到的结论的正确性》的论文。他在文中说道：“在关于负数和复数取对数的争论中，许多数学家互相攻击对方理论时所指出的矛盾和谬误，都可以作为说明那些数不可用的证据。”
柯西，最伟大的数学家之一，在 19 世纪初创立了复变函数理论，也不
同意把表达式a＋b −1当作数。在他的名著《分析教程》（1821年）中，
柯西认为将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。然而，它们还是说明
了实数a、b的一些情况。例如，由方程a + b = c + d -1，可推出a = c，
b=d，“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式”。1847 年， 晚年的柯西又提出了一个相当复杂的理论，可以用来判断用复数进行运算
是否正确。但没有使用
−1，对此，他说：“我们可以毫无遗憾地完全否
定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数。” 1831 年，著名的数理逻辑学家，并在代数领域有所贡献的笛·摩根在
他的著作《论数学的研究和困难》中表示了对复数和负数的反对。他顺便说明自己这本书把当时牛津和剑桥使用的最好的书中的一切东西都包揽无遗。他写道：
虚数式
−a和负数式 - b有一种相似之处，即只要它们中的任
一个作为问题的解出现，就说明一定有某种矛盾或谬误。只要一
涉及到实际的含义，二者都是同样的虚构，因为0 - a和
不可思议的。
−a同样是
然后，笛·摩根举一个例子来说明：父亲 56 岁，他的儿子 29 岁，问什么时候父亲的年龄是儿子的两倍？通过解方程 56+x=2(29+x)得到 x=- 2，这个结果显然是荒谬的。接着他又说如果我们把 x 换成-x，然后解方程
56-x=2(29-x)就得到 x=2。因此，他推断出：最初问题的提出就是错误的， 答案为负数表明第一个方程的列法是不正确的。
谈到复数，他说：
我们已经证明了记号
−a是没有意义的，甚至可以说是自相矛盾，荒
谬绝伦的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖了一个必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则都可以应用于这些式子（复数），而不会导致任何错误的结果。要把这个性质求助于经验，那是与本书开头所写的基本原理相违背的。我们不能否认实际情况确实如此，但是必须想到这只不过是一门很大的学科中的一个小小的孤立部分，对于这门学科的其余一切分支，这些原理将完整地得到应用。
这里的原理，他指的是数学真理应该由公理经过演绎推理得出来。接着，他对负根和复根加以比较：
在负的结果和虚的结果之间有截然不同的区别。当一个问题的答案是负的时候，在产生这个结果的方程里变换一下 x 的符号，我们就可以发现形成那个方程的方法有错误，或可证明问题的提法大受局限，因而可以扩展，使之容许一个令人满意的答案。但当一个问题的答案是虚的时候，得到的就不是这样了。
稍后，他又说：
对于支持和反对这种问题（如用负的量等等）的所有论据， 我们不赞成采用完全介入的办法来阻止学生的进步，这些论据他们不能理解，而且论据本身在两方面都无确定结果；但是学生也许会意识到困难确实存在，这些困难的性质可以给他们指明，然后他们也许会考虑充分多的（分类处理的）例子，从而相信法则所导致的结果。
哈密尔顿，这位在其他领域也颇有建树的伟大数学家，也不愿意接受负数和复数。1837 年他在一篇文章中表明了他的反对意见：
毋庸置疑，当它从以下的原理出发（正如通常已是如此）时， 复数和负数学说，很值得怀疑，甚至是不可相信的：小数可以减大数，其结果小于零；两个负数，或者说两个代表的量小于零的数可以相乘，其结果将是一个正数，即一个代表的量大于零的数；尽管一个数，不论其正负，它的平方（也就是自身相乘）总为正数，但我们却可以找到或者说想象或确定这样一类被称之为虚数的数，虽然其具有负的平方值，并因此而被假定为一类非正非负也非零的数，而它们所被认为代表的量既非大于零，又非小于零，更不等于零，尽管在此基础上逻辑形式可以建立成一个表示式的对称系统，而且通过正确应用有用的以此基础建立的规则，可以学会一种应用的技巧，但在这样一种基础上，哪里有什么科学可言。①
布尔，这位和笛·摩根同负盛名的逻辑学大师，在《思维规律研究》
（1854 年）中说： −1是一个令人费解的符号，但是如果在三角学中运用
它，我们就可以从可解释的表达式经过不可解释的表达式，而得到可解释的表达式。
使数学家们相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯（见第四章）等人的几何表示。但是，在高斯的著作中，仍然能发现他并不愿意承认复数。高斯给出了代数基本定理（每个 n 次多项式方程有 n 个解）的四个证明。在前三个证明中（1799、1815、1816 年），他处理的是实系数的多项式，他又预先假定复数与笛卡尔平面中的点是一一对应的，尽管没有明确地定义对应。实际上，在实数平面内并不能标出 x+yi 的值，只能把x，y 当作一个点的坐标标出。另外，高斯的证明并没有真正用到复变函数理论，因为他将涉及到的函数实部虚部分开了。1811 年，他在给贝塞尔的一封信中更明确地指出，a＋bi 可以用点(a,b)表示，在复平面上从一点到另一点有多条路径可走。如果从这三个证明和其他未出版的著作中显示的思想来判断，高斯无疑仍在关注复数和复函数的地位问题。1825 年 12 月11 日，他在一封信中说自己不能从“负数和复数的玄奥中摆脱出
来。 −1的真正意义始终在我脑海中显现，但是却很难用言辞把它表达出来。”
然而，如果说高斯还对自己和其他数学家是否承认复数心存顾忌的话，到 1831 年，他已经无所牵挂了。他公开陈述了复数的几何表示，在同年发表的一篇论文中，高斯非常清楚地将 a+bi 表示为复数平面中一点，而且用几何方法实现了复数的加法和乘法（见第四章）。他又指出：虽然现
① 我们将在下一章中看到哈密尔顿对由复数所提出来的问题的态度。——原注
在已充分理解了分数、负数和实数。但对于复数只是抱了一种容忍的态度， 而不顾它们的巨大价值。对许多人来说，它们不过是一种符号游戏，但是，
−1的直观意思完全可以从复数的几何表示中得到，不需要增加其他什么
就能将这些数归入算术的范畴。因此，高斯满足于这种直观理解，他认为，
如果1， -1， −1不被称为正，负，虚单位，而是被称为直，反和侧单位，
人们就不会觉得这些数非常晦涩难懂。他说几何表述将原本深奥的虚数变得清晰明白了。他引入术语“复数”与笛卡尔的术语“虚数”相对应，并
用之代替
−1。对当时同样重要的另一事实，即高斯自己和他的同时代人
随意地使用没有事实基础的实数，高斯却未置一词。
在 1849 年的一篇论文中，高斯更加随心所欲地使用复数，因为他认为人们已经对复数很熟悉了，对此我们在以后还将提到。但是情况并不完全如此，复变量的复函数理论主要由柯西于 19 世纪的头 30 年发展起来并应用于流体力学，在这之后很长一段时间剑桥大学的教授们仍顽固反对有争
议的 −1，而且不惜采用各种麻烦蠢笨的方法避免它的出现和任何可能的
使用。
- 世纪上半期，人们又注意到代数也缺乏逻辑基础，主要问题是字母被用来表示各类数并参与运算，好像它们具有正整数的所有令人熟知且易于理解的性质，而且任何数——负数、无理数，复数被字母代替时，运算结果都是正确的。然而，因为此类数还未被真正理解，它们的性质也是缺乏逻辑基础的，所以使用字母代替更不合理，但似乎字母代数表达式有其自身的逻辑性，否则无法理解它的正确性和有效性，因此在 18 世纪 30 年代数学家们着手处理用文字或符号表达式进行运算的正确性问题。
首先考虑这个问题的是剑桥大学的数学教授皮科克，他区分了算术代数和符号代数，前者是处理表示正整数的符号，所以基础牢固，它只允许运算结果为正整数；而后者，皮科克以为它采取了算术代数规则，但是除去了只适用正整数的限制，在算术代数中推出的全部结果与符号代数中的结果都一样，但算术代数中的表达式在形式上是普遍的，在数值上是特殊的；而符号代数中的表达式，从数值到形式上都是普遍的。例如，在算术代数中，式子 ma+na=(m+n)a，当 m，n，a 都为正整数时成立，因而在符号代数中，对于所有的 m，n，a 均成立。与此类似，(a+b)n 的二项展开式中的 n 在代数计算中须为正整数，如果用不带末项的一般形式来表示，就对所有 n 均成立。皮科克的论证被称为等价型的永恒性原理，是他在 1833 年给皇家科学促进会题为《关于分析的某些分支的新近成就和理性的报告》中提出的，他武断地肯定：
无论什么代数的型，当符号在形式上是普遍的，而在数值（正整数）上是特殊的时候是等价的，则当符号在值上和形式上都是普遍的时候同样是等价的。
皮科克特地用此原理去证明复数运算是合理的，他试图依靠“当符号在形式上是普遍的时候”来维护自己的观点。这样，人们就不能陈述仅属于 0 和 1 的性质，因为这些数具有特殊的性质。皮科克在他的《代数论著》
（1842—1845 年）第二版中从公理推出了他的原理。他明确讲到代数如同几何也是一门推理科学，因此代数的步骤必须根据法则条文的完全陈述， 这些法则支配着步骤中用到的运算。至少对于代数这门演绎科学而言，运
算的符号除了法则给予它的意义之外没有其他意义。例如，加法不过是表示服从代数中加法法则的任一步骤。他的法则是，例如加法和乘法的结合律和交换律，以及如 ac=bc 而 c≠0，则 a=b 这个法则。这里，从所采用的公理证明了型的永恒性原理。
在 19 世纪的大部分期间，由皮科克肯定的代数观点被接受了。格雷戈里，笛·摩根和汉克尔在支持它的同时，在小的方面有所改进。
这条原理基本上是主观推想的，它借助未必成立的假定来论证为什么不同类型数与整数具有相同的性质。虽然它的成立缺乏严密的逻辑性，但在实践运用上是正确的，所以被人们接受了。显然，皮科克、格雷戈里和笛·摩根认为他们创立了一门源于代数学却独立于实数和复数性质的科学。显然，将一些单凭经验的方法称为原理无助于改善其逻辑状况，正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论， 都会无需验证而被人们接受。”
型的永恒性原理将代数看作是一门由符号和关于符号组合定律组成的学科，这种基础不仅含糊不清，而且不能变通。它极力主张算术代数和一般算术的严格对等性，照此办理将会破坏代数的普遍性，他们似乎从未认识到一个公式对于符号的一种解释是正确的，对于另一种可能就是错误的。碰巧，这条原理由于四元数的产生而失效，因为这些数（现在称之为超数）不具备乘法的交换性（见第四章），从而代表超数的字母也不具有实数、复数的所有性质，这样，这条原理就不成立了。代数不是只有一种， 而是有很多种；只有证明了字母所表示的数具有字母被赋予的所有性质， 建立在实数和复数基础上的代数才能成立。上述两个问题，皮科克和他的支持者都没有认识到，而引入四元数后不久就显而易见了。
除了代数，19 世纪早期的分析也处于逻辑困境中。拉格朗日为微积分打下的基础（见第六章）并未得到所有数学家的认同，一些人退回到了贝克莱的立场，其余人则认为错误是相互抵偿的。卡诺就是后者之一（他也是法国大革命时期的军队领袖），在他的著作《关于无穷分析的形而上学的思考》中，他的形而上学“解释”错误的确相互抵偿。经过对当时各种解决微积分问题的方法的仔细推敲，卡诺得出结论：尽管现在的各种方法， 包括达兰贝尔的极限概念的运用，实际上和古希腊的穷竭法都是等价的， 但是无穷小的方法更为迅捷。卡诺对于微积分概念的澄清作出了一定的， 但不是最主要的贡献。另外，他将牛顿、莱布尼茨和达兰口尔的观点和希腊的穷竭法联系到一起时，作了错误的解释，因为在古希腊几何、代数学中找不出与导数有关的概念。
分析中的错误在 19 世纪继续发展，这方面的例子不胜枚举，但举一两个就足够了。所有分析的基础就是连续函数和函数导数的概念。直观上， 连续函数可用一条不间断画出的连续曲线来表示（见图 7.1）。而函数导数的几何意义就是曲线上任意一点 P 处切线的斜率。直观看来，一个连续函数应在任何一点都有导数存在，然而，一些 19 世纪早期的数学家都超然于直观证明之外，而尽可能地用逻辑方法来说明。
图 7.1
图 7.2
不幸的是，如图 7.2 所示，一个在 A、B、C 处有隅角的连续函数在这些点处没有导数存在。然而，1806 年安培(Andre-MarieAmpère)“证明” 了任何函数在所有的连续点上都有导数。其他类似的“证明”可在拉克鲁瓦的三卷本名著《微积分学教程》和几乎所有 19 世纪主要著作中找到。直
到 1875 年，贝尔特朗(JosephL．F．Bertrand)才在一篇论文中“证明”了可微性。然而，所有这些“证明”都是错误的。其中一些数学家情有可原， 因为在很长一段时期内函数的概念没有很好地建立起来，但是大约到了1830 年，这方面的缺陷已得到了弥补。
连续性和可微性是分析的基本概念。从 1650 年至今，分析一直是人们研究的主要对象。而数学家们对这些概念的认识竟然如此模糊不清，对此你就不能不感到震惊。一个严重的错误在今天对一个学数学的大学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人却是当时的伟人——傅立叶、柯西、伽罗瓦、勒让德、高斯，还有其他一些名声稍逊，但也成就斐然的数学家。
19 世纪的教科书仍然随意使用可微、无穷小等意义不明，在既是零， 又不是零这一点上前后定义不一致的术语，当时学生对微积分困惑不解， 他们所能做的也只是遵循达兰贝尔的告诫：“坚持，你就会有信心。”罗素，1890—1894 年曾就读于剑桥三一学院，他在《我的哲学发展》中写道： “那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念，就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩。”
17、18、19 世纪一直困挠数学家们的逻辑问题，在分析中表现得尤为严重，特别是在微积分和以微积分为基础的无穷级数、微分方程等领域。然而，在 19 世纪早期，几何又一次成为人们热衷的研究目标。欧氏几何被扩展了，几何学的一个新分支——射影几何① 首先被庞斯莱(Jean-Victor Poncelet)正确地预见到了它的前景。虽然庞斯莱和其他人提出了许多理论，但从其早期历史来看，这些理论的证明要比提出它们困难得多。当时， 主要是借助于 17 世纪笛卡尔和费马的工作成就，几何结论可用代数方法来证明，但是，19 世纪初期的几何学家对此不屑一顾，他们认为代数方法和几何方法格格不入，完全相异。
为了用纯粹几何学方法“建立”结果，庞斯莱提出了连续性原理，在他的《论图形的射影性质》中他是这样说的：“如果一个图形从另一个图形经过连续变化得出，并且后者与前者一样的一般，那么可以马上断定， 第一个图形的任何性质第二个图形也有。”怎样判定这两个图形都是一般的呢？他没有解释。
图 7.3
图 7.4
图 7.5
为了“证明”此原理的正确性，他举出欧氏几何中图的相交弦的两段
① 射影几何主要研究一个图形从一个位置投影到另一个位置时，其性质保持不变的问题。例如，一个二维实景通过照相机镜头投影到胶片上。——原注
之积相等这条定理（如图 7.3，ab=cd）并指出：当交点移到圆外时，会得到割线与其圆外段之积相等的定理（图 7.4）。不需其他证据，连续性原理就可以保证这条定理的正确性。另外，当一条割线变成切线时，切线与其圆外段变得相等，它们的积仍等于另一条割线与其圆外段的积（ab=c2 ， 见图 7.5）。庞斯莱用来论证连续性原理的结论刚好是三个独立完美的定律，能够满足和说明他的原理。庞斯莱杜撰了“连续性原理”这个术语， 并把此原理抬高成绝对的真理，在他的那本著作中大胆应用，“证明”了射影几何中的许多新定理。
这原理对庞斯莱来说其实不是新的。在广义的哲学意义下，可以追溯到莱布尼茨，他在解决与微积分有关的问题时就用到了这个原理（见第六章）。此后这个原理只是偶而提到，直到蒙日(Gas-Pard Monge)为了建立某些特殊类型的定理才复苏了它。他首先对一个图形的物理位置证明了一个一般的定理，然后声称这定理是普遍成立的，甚至该图形里的某些元素变成“虚”的时候也成立。例如，要证明关于直线与曲线的一个定理，他就在直线与曲线相交时证明，然后声称既使直线与曲线不相交，交点变成虚时，结论也成立。巴黎科学院的一些院士批评连续性原理，认为它只具有启发的意义，特别是柯西，他说：
这条定理严格说只是依靠将某一限定条件下成立的定理扩展到没有限定条件情况下时归纳出来的。用于二阶曲线时，它使人得到确切的结论，但是，其不具备普遍意义，因而不能随意用于几何学，甚至分析学中的各类问题，否则就会犯一些明显的错误。
但遗憾的是，柯西用来攻击这个原理的正确性的例子，却可以用别的方法证明完全为正确。
批评者指出，庞斯莱等人对这原理的信心其实是来源于它有代数上的依据。事实上，庞斯莱在俄国狱中的笔记表明他的确曾用代数学来检验过原理的可靠性。庞斯莱也承认其证明是建立在代数学基础之上的，但他坚持认为这原理并不依赖于这样一个证明。然而可以相当肯定的是，庞斯莱依靠了代数的方法去弄清事情的究竟，然后又以这原理为依据来肯定几何的结果。
在 19 世纪，尽管存在一些批评意见，连续性原理由于它直观易懂还是被人们接受并且作为一种证明方法得到广泛应用，尤其是几何学家，随心所欲地使用它。然而，从数学逻辑发展角度来看，连续性原理只不过是为了解决当时人们用纯推理方法不能解决的问题而提出的一个武断、偏颇的假定，提出这条原理是为了满足直观性和形象性的要求。
庞斯莱对连续性原理的主张和应用只是数学家们为了证明他们用正当手续不能证明的定理的一个例子，但是逻辑困境依然存在于几何学的每一处。我们知道（见第五章），主要是 18 世纪末、19 世纪初非欧几何方面的研究工作，暴露了欧氏几何推理结构上的严重缺陷。然而，数学家们没有立即去弥补它，而是继续坚持它们的所谓绝对确定性。因为欧氏几何学定理的直观基础及实际应用提供了强有力的证据，甚至无人在意其缺陷。对非欧几何来说，情况就不同了。19 世纪早期，除了非欧几何的创始
人——兰伯特、高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶之外，另外一些人也接受了非欧几何，他们以为自己创造了一门新的学科，尽管其逻辑基础不如欧氏几
何那样牢靠。然而，特别是当高斯和黎曼在这方面所从事的工作为人们熟知后，不仅刚才提到的四人而且几乎他们所有的继承者在没有证明的情况下，都相信非欧几何是相容的，也就是说，其定理是彼此不矛盾的。他们都同意萨切利自以为得出矛盾的证法是错误的。
但是，非欧几何中的矛盾总有可能暴露出来。一旦如此，双曲几何中的平行公理假设就不成立，如萨切利所认为的那样，欧氏几何中的平行公理也就是欧氏几何中其他公理的推论。没有任何证据能够证明这种新几何的相容性和实用性，否则它至少会成为一个令人信服的论据，数学家们只能出于一种信念来接受前辈们认为是荒谬的结论。在非欧几何相容性问题上的疑问后来又持续了 50 年（见第八章）。
很明显，19 世纪任何一门数学在逻辑上都是得不到保证的。实数系、代数学、欧氏几何，新出现的非欧几何和射影几何，它们要么逻辑不完善， 要么根本就没有。分析，也就是微积分及其扩展，不仅在缺乏实数和代数逻辑基础的情况下随意使用，而且在导数，积分，无穷级数中，一些概念也急需澄清。如果说数学没有一样东西是建立在牢固基础上的，此话一点也不为过。
从数学本身来讲，许多数学家对证明的态度真是令人难以置信。在 18 世纪，分析陷入了明显的困境，以致使一些数学家放弃了这个领域的严密性。因而洛尔认为微积分只是一些精巧的谬误的集合，其他人则像吃不着葡萄的狐狸，极力嘲弄希腊人的严密性。克莱洛在《几何原理》中说道：
欧几里得自找麻烦地去证明什么两个相交的圆的圆心是不同的啦，什么一个被围于另一个三角形内的三角形，其各边之和小于外围三角形的各边之和啦，这是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者，而这些人是以拒绝最明显的真理而自豪的；因此，像逻辑那样，几何必须依赖形式推理去反驳他们。
克莱洛又说道：“但是一切都倒了个个，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了。”
朗思基(J.Hoёne-Wronski)，一位伟大的计算方法专家，但他不关心数学的严密性，表达了 18 世纪和 19 世纪初的这种观点。他的一篇论文被巴黎科学院的一个委员会认为缺乏严密性，而朗思基回答说，这是“迂腐， 一种对达到目的的方法偏爱的迂腐”。
拉克鲁瓦在三卷本《微积分教程》第二版序言中说，“希腊人所烦恼的这种琐碎的东西，我们不再需要了。”当时典型的态度是，为什么要自找麻烦，用深奥的推理去证明那些人们根本没有怀疑过的东西呢？或者用不太明显的东西去证明较为显然的东西呢？
甚至到了 19 世纪，雅可比（在他未完成的关于椭圆函数的著作中留有许多疑点）还说，“要达到像高斯那样的严密，我们没有时间。”一些人公然蔑视那种没必要的证明，大多数人并不关心问题的严密性。他们经常说的一句话是，传统阿基米得方法认为是严密的，而用现代方法则不是。这在希腊数学中所没有的微分学的工作中显得尤为突出。达兰贝尔 1743 年说“直到现在⋯⋯人们总是热衷于扩大数学的范畴，却很少阐明其来源， 注重向高层次发展，而很少考虑加固其基础。”这句话对整个 18 世纪和
19 世纪初的数学工作做了很好的注释。
到 19 世纪中期，对证明的考虑更少了，以至于一些数学家甚至不愿意费脑筋去证明他们原本就可以充分证明的东西。杰出的代数几何学家、矩阵代数的发明者凯莱发表了关于矩阵的一个定理，现在称为凯莱—哈密尔顿定理（一个矩阵就是一些数字的矩形排列，在方阵中每行每列都有 n 个数字）。他证明了他的定理对 2×2 阶矩阵是正确的，并在 1858 年的一篇论文中说：“我认为没有必要对一般 n×n 阶矩阵去费力证明这个定理。”
西尔维斯特(James Joseph Sylvester)，杰出的英国代数学家，曾在1876 年至 1884 年期间任英国霍普金斯大学教授。上课时他总是说，“我还没有证明这个结果，但我能像肯定任何必然事物一样肯定它。”然后他用这个结果证明新的定理，但是他经常又在下一次课结束前承认他上节课所肯定的结果是错误的。1889 年他证明了一个关于 3×3 阶矩阵的定理， 但仅仅指出了对 n×n 阶矩阵证明此定理时必须考虑的几点。
考虑到欧几里得在处理几何和整数时的良好开端，数学这种不合逻辑的发展就提出了这样一个问题：为什么数学家们要如此徒劳无功地去使后来的发展——无理数、负数、复数、代数学、微积分及其扩展逻辑化？我们已经注意到（见第五章），就欧氏几何和整数而言，这些都是非常明显和直观易懂的，因此更容易发现基本原理或公理，从中又能得到其他性质， 尽管欧氏几何的发展也存在一些缺陷。另一方面，无理数、负数、复数、字母运算和微积分概念却极其难以掌握。
还有更深一层的原因。数学大师们对数学的本质无意识地做了微小的改变，到 1500 年左右，数学概念成了经验的直接理想化或抽象化。那时， 负数和无理数已经出现并被印度人和阿拉伯人所接受。然而，尽管他们的贡献得到人们的承认，但就证明而言，他们只满足于直觉和经验证明。而且当时复数、使用字母的广义代数，微分和积分的概念纷纷进入数学，这门学科由于人们大脑深处的概念而处于统治地位。特别是导数或瞬间变化率的概念，尽管速度这个物理现象有直观基础，但还远不是理性的产物， 它在本质上完全不同于数学三角形。同样对希腊人谨慎避开的无穷大量和巧妙地防止其出现的无穷小量，以及负数、复数在理解时所做出的努力也是勉为其难的。这是因为数学家们没有认识到这些概念不是来自于直接经验，而是心智的创作。
换句话说，数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想， 究其成因，他们是将感性知识转变为理性知识。由于这些概念被证明越来越实用，数学家们起初还忸怩作态，后来就变得肆无忌惮了，久而久之， 人们也就认为这是无可指责且理所当然的了。从 1700 年起，越来越多的从自然中提取和在人思想中产生的观念进入数学领域并几乎被毫不怀疑地接受，由此引起的不良后果终于促使数学家们不得不从现实世界之上去审视他们的这门学科。
因为他们没有认识到新概念特征的变化，他们也没有认识到他们所需要的是公理化发展的基础，而不是那些自明的真理。当然，新概念要比旧概念精致得多，而且就我们目前所了解的情况看，合适的公理基础并不容易建立。
那么，数学家们如何知道他们该往何处去呢？同时，考虑到他们的证明传统，他们怎么敢只用规则就能保证结论的可靠性呢？毫无疑问，解决
物理问题就是他们的目标，一旦物理问题被数学公式化后，就可利用精湛的技巧，从而新的方法和结论就出现了。数学公式的物理意义引导着数学的步骤，也经常给数学步骤提供部分论据，这个过程在原理上同一个几何定理的论证没有什么差别。在证明几何定理时，对图形中一些显而易见的事实，尽管没有公理或定理支持它们，还是被利用了。
除了物理思维，在所有新的数学工作中，还有强烈的直觉作用，基本概念和方法总是在对结论合理的证明以前很久就被直觉捕捉到了。杰出的数学家，不管他们怎样恣意妄为，都有一种本能，即保护他们自己免遭灭顶之灾。伟大人物的直觉比凡人的推演论证更为可靠。
由于某些数学公式能抓住物理问题的本质，18 世纪的数学家们特别热衷于公式。显然，对他们来讲公式是如此的富有吸引力，以至于他们认为仅通过用像微分和积分这样的形式化运算，从一个公式到另一个公式的推导就足以证明它的正确性了。符号的魔力泛滥，耗尽了他们的理性。18 世纪被称为数学史上的英雄时代，因为这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。
但是我们仍然心存疑问，尽管数学家们，特别是在 18 世纪知道微积分的概念不清而且证明不充分，他们却那么自信他们的结果是正确的。部分答案是由于有许多结果被经验和观测所证实，其中最突出的是天文学的一些预言（见第二章）。但是另一个有关的因素导致 17 和 18 世纪的人们相信他们的工作，那就是他们确信上帝已经数学化地设计了世界，而数学家们正在发现和揭示这种设计（见第二章）。尽管 17 世纪和 18 世纪的人们的发现是不完全的，但他们认为它是基本真理的一部分。他们正在展示上帝的杰作并将最终达到永恒真理的彼岸。这样一种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则是养育他们的心智和使他们能够不懈追求的精神食粮。
数学家们所发现的只是寻觅中的宝物的一部分，但却富含着更多宝物将被发现的启示。如果应用起来如此精确的数学规律却缺乏精确的数学证明的话，那么还需不需要诡辩了呢？由科学论据支持的宗教信仰代替了虚弱的或者根本不存在的逻辑力量，他们渴望维护上帝的真理，致使他们不断地建造没有牢固基础的空中楼阁。他们用成功来安抚良心，的确，成功是如此地令人陶醉，以致于人们在大多数时间里忘记了理论和严密性。偶尔向哲学和神秘教义的求助掩盖了一些困难，以便它们不再显现。从逻辑上讲，17 世纪，18 世纪及 19 世纪早期的工作肯定是粗糙不堪的，但也不乏独创性。为了贬抑这些工作的成就，其中的错误和不准确处被 19 世纪后
期和 20 世纪的人们不公平地强调了。
17、18 世纪的数学就像一个经营大宗业务、却由于管理不善而招致破产的大公司。当然，顾客——购买并利用数学商品的科学家们和债权人—
—那些毫不犹豫地向数学股票投资的大众，并不知道真正的财政状况。 所以，我们发现了极其荒谬的事情，在今天高度发展的数学的逻辑，
当时却处于一种十分可怜的窘境。但数学在描述和预测自然方法上的成功给人的印象太深刻了，所以不仅仅是希腊人，所有 18 世纪的知识分子都公然支持宇宙是按数学设计的，且把数学作为人类理性的壮丽庄严的成果而极力颂扬。正如约瑟夫·艾迪生在《赞美诗》中对天体的赞美一样（见第三章），人们都沉浸在收获颇丰的喜悦之中。
现在我们回溯一下这种对数学推理的赞颂似乎令人难以置信，确切地讲，它们只是用到了推理的细枝末节。但特别在 18 世纪，当关于复数的意义和性质、负数和复数的对数，微积分的基础、级数的求和以及其他我们还没有描述的问题的热烈论战充斥文献时，我们称其为“战国”时代是比较合适的。 到 1800 年，较之于逻辑合理性，数学家们更热衷于结果的确定性。从证明的观点来看，有结果，就能产生信念，我们将很快看到，正是 19 世纪后期的工作使其无愧于理性时代这个名称（见第八章）。
当大多数数学家满足于寻求新事物而忽视几何时，一些领袖人物醒悟到了数学的逻辑困境，杰出的挪威天才阿贝尔强调指出，分析正濒临绝境。在 1826 年给汉森教授的一封信中，他抱怨道：
人们可以在分析中轻易找到大量模糊不清的东西，你也许很奇怪会有那么多人去研究分析，那是因为它完全没有计划性、系统性。最糟糕的是它从来没有使人信服过。即使在高等分析中， 也少有用逻辑上站得住脚的方式证明过的定理。人们可以到处发现这种从特殊到一般而得出结论的蹩脚方式，罕见的是这种方式却很少得出矛盾。
阿贝尔在1826 年1 月给他以前的老师霍姆伯的信中特别提到了发散级数：
发散级数是魔鬼的发明，把不管什么样的证明都建立在发散级数基础上是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论，而这也是为什么发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因。⋯⋯对所有这一切我变得异常关心，因为除几何级数外，在全部数学中曾被严格地确定出和的单个无穷级数是不存在的。换句话说，数学中最重要的问题也就是那些基础最不牢固的事情，尽管这种级数令人非常惊奇，但它们中的大多数都是正确的，我正试图为这种正确性寻找理由，因为这是一件饶有趣味的事情。
就像对一般人来说，借酒消愁并不能真的化解烦恼一样，数学在物理学中取得的成就也不能使某些数学家漠视其逻辑困境，许多大胆的探索者坚信他们所发现的是上帝的设计，但是由于 18 世纪后期这种信念被人们所抛弃，所以他们从中获得的安慰也变得毫无价值（见第四章）。失去了信念的支持，他们不得不重新检验自己的工作，可是他们面对的是模糊不清、证据不足、自相矛盾，甚至是完全的是非混淆。他们认识到数学并不像过去所认为的是推理的典范，不过是用直觉，几何图形，特别是形的永恒性原理之类的原理和求助于被证明可以接受的形而上学来取代推理而已。
建立逻辑结构的理想是由古希腊人明确提出来的，为数不多的几个在算术、代数和分析方向上为之努力的数学家都被这样一种信念所激励着， 即数学家们至少已经在某一重要领域——欧几里得几何上做出了成绩。他们认为既然别人能够丈量奥林匹克山，那么他们也可以做到。他们并没预见到，为所有现存数学提供严格基础的任务，远比 1850 年时数学家们所想象的要困难得多，他们更不会预见到另外一些麻烦。
