第十四章 数学向何处去

孱弱无能的理智啊，你该有自知之明！

——帕斯卡

数学家们在试图决定什么是真正的数学，以及在进行新的数学创造时，应当以什么作为基础，其困惑与日俱增。我们前面的长篇大论揭示出数学当前的困难处境，甚至连数学家们的唯一安慰，即数学对科学的巨大适应性，也不复存在了。因为大多数数学家已经放弃了应用，进退维谷， 何去何从？数学家们还指望什么？数学的本质又是什么？

首先，让我们回顾一下数学是如何落到这步田地，其中根本性的问题又是什么。最早创建数学的埃及和巴比伦数学家根本不会有能力预见到他们会建立一个什么样的结构，因此他们没有打下一个坚实的基础，而是直接建立在地面上。那时，地表看起来似乎就提供了一个可靠的基础，他们用来建造数学大厦的材料，即关于数学和几何图形的事实，取自关于土地的一些简单经验。现在我们对术语几何，即土地测量的不断使用就点出了数学的这个起源。

就像一座建筑，其晃动会随着高度增加而愈加明显，而在其上随意添加东西则更加危险。古希腊人不仅看到了这种危险，而且也进行了必要的重建，他们采用了两种方法。头一种方法是选一块坚实的地面，大厦就建在其上，这块坚实地面就是关于空间和正整数的自明真理。第二种方法是把钢筋加入框架之中，这些钢筋就是数学大厦结构中每一部分的演绎证明。

在古希腊时代数学发展的范围内，数学的结构（主要由欧几里得几何构成）被证明是稳固的。暴露出的一个缺陷是：考虑一个直线段，比如说

一个直角边为一个单位长的等腰直角三角形的斜边，它的长度是 2个单位。

因为希腊人只承认正整数，不会接受 2这样的怪物。他们通过排斥无理数，

通过放弃给线段、面积和体积赋予数值的想法摆脱了这种困境。因此，除了整数和可以归入几何学结构的那些以外，他们对算术和代数的发展没有什么贡献。确实，亚历山大里亚时期的希腊人，尤其是阿基米得，确实使用过无理数，但是这些并没有归入数学的逻辑结构之中。

印度人和阿拉伯人为数学大厦增加了新的一层，但他们对大厦的稳固性却充耳不闻。首先，大约在公元 600 年，印度人引入了负数。接着，不像希腊人那样挑剔的印度人和阿拉伯人不仅接受了无理数甚至还搞出了一套关于它们的运算规则。文艺复兴时期的欧洲人在最初接受希腊人、印度人和阿拉伯人的数学时还畏缩不前，然而，科学需要胜过一切，欧洲人克服了他们对数学逻辑上的合理性的焦虑。

通过扩展关于各种数的数学，印度人、阿拉伯人和欧洲人为数学大厦建造了一层又一层：复数，各种代数，微积分，微分方程，微分几何以及许多的学科。然而，他们用直觉和物理论据构成的木质栋梁取代了钢筋， 但这些材料被证明不堪重负，而墙上裂缝已开始出现。到 1800 年，数学大厦再度告危，数学家们又赶紧用钢筋来替换木头。

当数学大厦的上层建筑得以加强之时，其基础——希腊人所选定的公理——却开始塌陷。非欧几何的发明揭示出欧几里得几何公理并非真正坚实的土地，只不过在表面看起来似乎坚实，非欧几何的公理也是如此。数学家们过去认为的自然的真实性——他们相信他们的头脑会对这种认识给出成功的证明——也被证明为不可靠的感觉。更添乱子的是，新的代数学的创立使得数学家们意识到数字的特性比几何的特性并不更真实一些。这样，整个数学大厦包括算术及其扩充：代数与分析就岌岌可危了。现在， 高耸入云的数学大厦面临着即将崩溃和沉入沼泽中的危险。

为使数学大厦免于倾覆，就得采取强有力的措施，数学家接受了这个挑战。很清楚，没有能把数学建于其上的坚实土地，因为自然界看起来坚实的地面已被证明是骗人的。但也许能通过建立另一种类型的坚实基础来使大厦变得稳固，这包括精心措词的定义，一整套的公理和所有结论的精确证明，而无论凭直觉看来它们是多么地明显，还须用逻辑上的相容性取代真实性。各种理论相互之间应该紧密衔接，这样整个大厦将会稳如泰山

（见第七章）。通过 19 世纪后期的公理化运动，数学家们似乎拥有了一座稳固的大厦。因此，虽然数学事实上已经失去其基础，数学却又一次度过了难关。

不幸的是，这种新结构的基础所用的水泥并没有很好地固化，建造者并不保证其坚固性。当集合论的矛盾暴露出来后，数学家们认识到他们的工作面临一个更严峻的危机。当然，他们不打算袖手旁观，坐视几个世纪的努力毁于一旦。因为坚固性依赖于为推理所选定的基础，很明显，只有重建全部基础才能挽大厦于将倾。在重建后的数学基础上，逻辑和数学公理都必须加强，因而建造者们决定将基础打得更深些。不幸的是，在以什么方式，在什么地方加强基础这一点上，他们没能达成一致。每个人都认为自己能确保坚实性，每个人都想按自己的方式重建。结果是产生了一片既谈不上巍然，又无坚实基础，无规无矩，四处展翼的危房，每一翼都自称数学的唯一殿堂，每间房屋都藏有数学思想的奇珍异宝。

我们年少的时候肯定读过七个盲人和大象的故事，每个人摸到了象的不同部分，由此得出了自己关于大象的结论。数学，也许可以说是一种比大象更优美的结构，对于从不同角度观察它的基础建造者来说，呈示出不同的知识体系。

因此，数学发展到了这样一个阶段，逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义，哪一种可以被合适地称之为数学，人们各执己见， 而且，每一种数学结构都有某种程度上截然不同的上层建筑。因此，直觉主义者在他们应该接受什么作为基本的、合理的直觉问题上意见不一致： 仅仅只有整数还是也包括一些无理数？排中律只适用于有限集合还是也可用于可数集？还有构造性方法的概念问题。逻辑主义者则单一地依赖逻辑，而且对于可约性公理、选择公理及无穷公理还怀有疑虑。集合论公理化主义者则可以沿几个不同方向中的任一个前进，这取决于他们对选择公理和连续统假设的取舍。甚至形式主义者也能遵循不同的路径，其中一些有别于将用于建立相容性的元数学原理。希尔伯特所倡导的有穷性定理不足以证明即使是一阶谓词的相容性，更不用说去建立希尔伯特的形式数学系统的相容性了，因此，用到了非有穷的方法（见第十二章）。还有，在希尔伯特所界定的范围内，哥德尔证明任何有意义的形式系统都包含不可

判定的命题。它们是独立于公理之外的，我们可以以这样的命题或者它的反命题作为补充公理。然而，在完成了这种选择后，按哥德尔的结果，这个扩大了的系统仍包含不能判定的命题，因而又可以再进行一次选择。事实上这个过程可以无限进行下去。

逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者都依赖于公理化的基础。在本世纪头几十年中，这种基础被拥为建立数学的可以选用的基础。但是哥德尔的理论表明，没有一个公理体系可以包含属于任何一种结构的所有真理，勒尔海姆-斯科伦定理则表明每一个体系包含的真理比预计的要多。只有直觉主义者才能不在乎公理化的方法所提出的问题。

所有这些关于哪个基础最好这一问题的不一致和不确定性以及缺乏相容性的证明，就像达摩克里斯之剑①一样悬在数学家头上。无论一个人接受哪种数学哲学，他都冒着自相矛盾的危险。

对数学大厦这几种相互抵触的方法揭示了这样一个主要事实：不是只有一种而是有很多种数学，数学这个词应从多种意义上进行理解，也许可用于任何一种方法。哲学家桑塔亚那（GeorgeSantayana）曾经说过，“不存在什么上帝，上帝也是凡夫俗子。”今天，人们可以说，不存在这样一种被普遍接受的科学，而希腊人是其奠基者。事实上，数学家现在所面对的选择多样性可以用雪莱的诗句来描述：

看啊，

在这无边无际的荒原上 思维之翼究竟栖身何方。

很显然，我们还得生活在可预见的未来，其中对所需要的数学是什么并无定论。

关于什么是真正的数学，有许多截然不同的观点。如何使它们一致起来的任何希望——最起码也应使得关于什么是合适的数学发展方向这一问题的众多观点相互调和——在于看清楚是什么问题迫使数学家们接受不同观点。最基本的问题是什么是证明，然后是对于这一问题不同观点的后果， 在什么是合理的数学上也有些不一致。

数学证明曾被认为应该总是一个清晰明确、无可辩驳的过程。确实， 这一点已被忽略了几个世纪（见第五～八章），但数学家们总体来说还是知道这一事实的。概念就摆在那里，它一直是数学家们或多或少有意识坚持的标准和范例。

是什么引起人们对证明过程的关注，甚至于互相矛盾呢？过去的逻辑观点被普遍接受了两千年，其中由亚里士多德所限定的各种原理都是绝对真理。长时期的似乎可靠的应用使人们对其正确性信心十足。但是数学家们逐渐意识到这些逻辑原理和欧几里得几何公理一样，都是经验的产物。因此他们对什么是合理的原理开始感到不安。这样直觉主义者觉得应该限制排中律的应用，如果过去没有证明逻辑原理是不变的，我们还会认为现在正确的原理将来也一定如此吗？

在逻辑学派创始后，提出了关于证明的第二个问题：逻辑原理应该包括什么？虽然罗素和怀特海毫不犹豫地在他们的《数学原理》首版中引入了无穷公理和选择公理，他们后来还是理所当然地退缩了。他们不仅承认

① 源出古希腊神话，喻大难临头。——译注

了逻辑原理不是绝对的真理而且承认了这两个公理不是逻辑公理。在《原理》的第二版中，开头就没有列出这两个公理，而需要用它们来证明一些定理的地方都特别地指了出来。

除了关于什么是可接受的逻辑原理这一问题的不同观点之外，逻辑本身能有多大用处这一问题也在争论之中。我们知道，逻辑学家们坚决主张逻辑足以满足全部数学的需要，然而，就像刚提到的那样，他们后来在无穷公理和选择公理的问题上含糊其辞。形式主义者认为只有逻辑是不够的，为了奠定数学的基础，还得在逻辑公理中加入数学公理。集合论公理化主义者则对逻辑原理漫不经心，有些人甚至不愿提及它们。原理上的直觉主义者干脆省略了逻辑。

还有一个问题是存在的概念。例如，证明每个多项式方程至少有一个根的过程就建立了一个存在定理。任何证明，如果是相容的，就可以为逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者所接受。然而，即使一个证明不用排中律，它也不会给出计算存在量的方法，因此，这种存在性证明对直觉主义者来说是难以接受的。直觉主义者也不愿意接受超穷基数和超穷序数，因为它们对人的直觉来说并不明显，而且也不能在直觉主义者的构造性或可计算性意义上得到。这是关于什么构成存在这一问题的不同标准的又一个例子。这个问题，即在什么意义上不仅个体，比如说一个方程的一个根的存在，而且整个数学的存在是个极重要的问题，在本章的后面还要详加讨论。

对什么是合理的数学这一问题的关注起源于另一个原因。什么是可接受的数学公理？一个典型的例子是我们是否使用选择公理。在这个问题上，数学家们进退维谷。不用它或者否定它就意味着放弃数学中的大部分； 而用它呢，则不仅导致自相矛盾而且还会导致直觉上不合理的结论（见第十二章）。

数学家们无力证明数学的相容性玷污了数学的理想。矛盾不期而遇， 虽然它们都或多或少用可以接受的方法解决了，但新矛盾还会出现的危险使得一些数学家怀疑为保证严密性所付出的非凡努力。

如果数学不是一个独一无二的、严格的逻辑结构，那么它是什么呢？ 它是人们任何时候都乐于使用，经过逻辑筛选、提炼和组织的一系列伟大的直觉。人们愈是努力尝试提纯这些概念，系统化数学的演绎性结构，数学的直觉性就愈复杂。但数学正是建造在某种直觉之上的，这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。它是一个人为的构造，任何为其寻求绝对基础的尝试注定是要失败的。

数学通过一系列伟大的直觉的进步而发展，这种发展后来通过不断地修正错误，建立起在当时可以接受的证明。终极的证明是不存在的，新的反例总是会逐渐推翻已有的证明。然后这些证明就会得到更正，并且被错误地认为从此可以一劳永逸了。但是历史告诉我们，这仅仅意味着对这个证明关键性的检验尚未来到，这种检验常被人们一厢情愿地推迟。问题不仅在于挑错不会得到什么荣誉，也在于有理由质疑这个定理证明的数学家也许想在他自己的工作中引用这个定理。数学家们更关心建立他们自己的理论而不是找出现有结果的缺陷。

有几个学派曾尽力想把数学纳入人类逻辑的范围之内，但是直觉否认这种思想。在坚实的基础上建立起来的可靠的、无可置疑的一贯正确的数

学的概念当然起源于古希腊人的梦想，体现在欧几里得的成果之中。在二十多个世纪之中，这种梦想一直引导着数学家们的思想，但是很显然，数学家被“鬼才”欧几里得误导了。

事实上，数学家并不像通常所认为的那样依赖于严格的证明。他的创造对他来说，其意义超过任何形式化，这个意义赋予其创造的存在性和现实性。从一个公理结构中推导出一个精确结果的尝试在某些方面是有所帮助的，但并不能真正巩固其地位。

直觉甚至比逻辑更令人满意和放心。当一个数学家问自己为什么某个结果应站得住脚时，他寻求的是一种直觉的理解。事实上，如果所证出来的结果没有直觉意义，那么这种严格证明对他来说就一文不值。如果确实是这样，他就会非常挑剔地检查证明，如果证明看来是对的，他才会努力去找出他自己直觉上的毛病。数学家们总想弄清楚一系列的演绎推理之所以成功的内在原因。彭加勒说过：“当一个比较长的论证导出了一个简单的、惊人的结果后，在我们表明了我们可以预见的，即使不是全部结果， 至少也是主要特征之前，我们是不会满意的。”

很多数学家更是依赖于直觉。哲学家叔本华表达过这样一种态度：“为了改进数学方法，有必要放弃那种认为证明真实性优先于直觉知识的偏见。”帕斯卡创造了术语“几何精神”和“技巧精神”。他用前者表示思维的力量和正确性，例如强有力的逻辑推理所表现出来的那些；用后者表示思维的广阔，表示看得更深、更远的能力。对于帕斯卡而言，即使在科学中，技巧精神也是远在逻辑之上的一种思想水准，逻辑根本不能与之相比。即使从推理的角度来说，无法理解的东西仍然可能是真实的。

很久似前，其他数学家也宣称过直觉的信念胜过逻辑，就像太阳的灿烂光芒胜过月亮的淡淡清辉一样。依赖于基础性的直觉和适度逻辑的笛卡尔评论道：“我发现对逻辑而言，在谈论我们已知的东西或者未知的东西而不作评价时，它的演绎推理和大多数规则是相当有用的。”不管怎样， 笛卡尔喜欢用演绎推理来补充直觉（见第二章）。

那些伟大的数学家在逻辑证明尚未给出以前，就知道某个定理肯定是正确的，有时候只要有迹象表明证明是存在的，他们就满足了。事实上， 费马关于数论的大量经典工作及牛顿关于三次曲线的工作甚至没有给出一个表明证明是存在的暗示。自然，数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而不是由那些长于做出严格证明的人们。

这么说，证明的概念不像普遍认为的那么重要，虽然它在公众的头脑中和数学家们的著作中显得那么突出。这些不同的证明标准，互相矛盾的数学哲学的出现，引起了人们对证明价值的极大怀疑。早在 1928 年，哈代就用他一贯的坦率语气说过：

严格说起来，根本没有所谓的数学证明；⋯⋯归根到底，我们只是指出一些要点；⋯⋯李特伍德（Littlewood）和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。

对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱。 1944 年，杰出的美国数学家怀尔德（Raymond L．Wilder）再次贬低

了证明的地位。他说，证明只不过是

对于我们直觉产物的检验⋯⋯。很明显，我们不会拥有而且

极可能永远不会有任何一个这样的证明标准，其独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。在这种情况下，明智的做法似乎就是承认，一般地来说，数学中根本就没有绝对的真实证明这个东西，而无须考虑公众会怎么想。

证明的价值又被怀特海在一次题为《不朽》的讲演中再次攻击：

逻辑被认为是思想发展的充分分析，事实上并非如此。它是一种绝妙的工具，但它还需要有一些常识作背景⋯⋯。我的观点是：哲学思想的最终形式不能建立在构成特殊学科基础形式的精确阐述之上。所谓精确性本身就是虚假的。

绝对严格的证明以及与它类似的东西都是捉摸不定的，理想化的概念，“在数学的世界中没有它们天然的栖身之地”。什么叫严格？对此本来就没有严格的定义。一个证明，如果被当时的权威所认可，或者是用了当时流行的原理，那么这个证明就可为大家所接受。但现在，并没有一个普遍接受的标准，现在不是数学严密性最辉煌的时代。可以肯定，过去人们认为数学的特征——从明确的公理经过无可辩驳的证明——如今已不复存在了。一切限制人们思维的易谬性和不确定性，逻辑都具备。肯定有人感到惊讶，在数学中，我们习惯性地做了那么多基本假设却从来没有意识到。

哲学家尼采（Nietzsche）曾说过“玩笑是情感的墓志铭”。数学家们为了减轻沮丧的心情，不得不嘲弄他们的学科中的逻辑。“逻辑证明的优点不在于强迫别人相信，而在于提出了怀疑。证明告诉我们何处值得怀疑。”“既要尊重但又要怀疑数学证明。”“我们不再指望一定要是逻辑的，只要不是非逻辑的，就谢天谢地了。”“多些活力，少一些严密。” 数学家勒贝格，一个直觉主义者，于 1928 年说过：“逻辑可以使我们拒绝

某些证明，但它不能使我们相信任何证明。”他在 1941 年写的一篇文章中又说，逻辑不能用来使人信服，不能产生自信，而我们对符合直觉的东西充满信心。他还认为，我们对数学研究得越多，这种直觉就越敏锐。

即使是完全遵循逻辑化纲领的罗素，也对逻辑极尽挖苦之能事。在他著的《数学原理》（1903 年）中，他写道，“证明的一个主要优点，就是它向我们逐渐灌输对所证明的结果的某种怀疑。”他又说，人们尝试把数学建立在一个由没有明确定义的概念和命题所组成的系统上，正是从数学的这一本质推知：结论可以被矛盾否认，但绝不会被证明。一切都最终依赖于直觉的理解。略后（1906 年），由于当时悖论的困扰，他在他的著作中所说的比他后来所做的要正确得多。当自相矛盾的事物表明那时的逻辑证明并非可靠时，他说：“不确定的因素总是存在的，就像在天文学中的那样。在某个时候，也许这种不确定因素会大大削弱，但对凡人来说永远不犯错是不可能的⋯⋯”

在这些对证明的嘲弄中，我们也许可以加上波普（Karl Pop－per）， 一位杰出的数理逻辑研究者的话：“对一个证明有三种不同层次的理解。最低的一层是抓住了论据后的喜悦之情；其次是再现它的能力；第三层或者说最高的一层是要能反驳它。”

更具讽刺意味的是海维赛所说的相互矛盾的观点。他一贯瞧不起数学家对严密性的过分关注：“逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还必须使

用逻辑。”

哥廷根大学是本世纪头 25 年数学界的中心；其领导人物克莱因尽管基本上不涉及基础问题，但他看出了关于数学发展的一些东西。在他写的《高观点下的初等数学》（1908 年）中，克莱因对数学发展做了如下描述：

事实上，数学已经长得像棵大树，但它不是从最细的根部开始生长的，也不是只向上生长的，相反，在枝、叶扩展的同时， 它的根向下扎得越来越深⋯⋯。那么，我们就能看出，数学中的基础是没有最终结局的，从另一方面讲，也没有一个最初的起点。

虽然彭加勒属于一个不大相同的学派，但他也表达了一个类似的观点：没有完全解决了的问题，只有或多或少解决了的问题。

数学家们一直在崇拜一个金犊①——严密、普遍接受的证明，在所有可能的世界中都是正确的——他们相信它就是上帝。但他们现在意识到这是个假的神，而真神拒绝显露真身。现在他们必须质问，上帝是否存在。然而，可以发话的摩西②还未露面，有理由问为什么。

还有一些人，如拉卡托斯（ImreLakatos）对数学基础工作者关于数学基础所做的工作极不耐烦，因而严加批评说，如果数学最终是靠直觉，那为什么我们的研究工作可以一直深入下去呢？

然而，我们为什么不早一点结束这一步呢？为什么不说“最终检验一种方法在算术中是否可接受，必然等于它在直觉中是否有说服力的。”⋯⋯为什么不老实承认数学的易谬性呢？为什么要尽力保护易谬知识的尊严不受冷嘲热讽的伤害，而不是自我欺骗地说什么我们能够悄悄地修补我们的“最终”直觉的构造中的最后裂缝呢？

有个故事恰当地说明了与证明相对的直觉的价值。故事是这样的：一个物理学家在他实验室的门上挂了一块马蹄铁，一个吃惊的参观者问他这有没有给他和他的工作带来好运，“没有”，这个物理学家回答说，“我不搞迷信，但这样似乎有点用。”

爱丁顿（Arthur Stanley Eddington）曾说过，“证明是数学家自己折磨自己的幽灵。”为什么他们还继续这么做呢？我们不妨问：如果他们知道他们的学科不再是相容的，尤其是他们如果不能再就什么是正确的证明达成一致，那么他们强调推理又有什么用呢？他们真该对严密性漠不关心吗？举起手认输，并且说作为一个体系完好的数学只是一个幻觉？他们难道该放弃演绎证明，而只求助于使人信服的、直觉上合理的论证吗？毕竟，自然科学中用了这样的讨论，甚至于他们在使用数学的地方也不太在意数学家们对严密性的热情。弃而舍之不是可取的路，任何人，只要看到了数学对人类思想的贡献就绝不会牺牲证明的概念。

我们必须承认逻辑也有一定的作用。如果直觉是主人，逻辑是仆人， 那么这个仆人对主人有一定的影响力，它制约着如同无缰之马的直觉。虽然直觉确实起着主要的作用，但它也会导致太一般化的结论，所需的适当的限制条件由逻辑来施加。直觉把谨慎抛入云霄，而逻辑则教人要有节制。

① 古代以色列人崇拜的偶像。——译注

② 《圣经》中传说率领希伯来人摆脱埃及人奴役的领袖，犹太教的教义、法典多出自其手。——译注

确实，对逻辑的坚持通常需要用很多的理论和证明，慢条斯理地达到那些用强有力的直觉一下子就能征服的目标。但是直觉所控制的桥头堡，必须通过彻底地清扫那些充满敌意、有可能包围并破坏桥头堡的敌人来进行巩固。

直觉可能是具有欺骗性的。在 19 世纪的绝大部分时间中，包括严密性奠基人柯西在内的数学家们认为一个连续函数必有导数，但是维尔斯特拉斯给出了一个无处可导的连续函数而震惊数学界。这样的函数过去不能现在也不能为直觉所接受，数学推理不仅补充直觉——确认或校正它，而且还能偶尔地超过它。

数学推理在数学中的作用也许可以用一个比喻说得更清楚些。假设有一个农夫在荒野中圈了一片地，准备用来耕种。但他注意到四周的树林里有野兽出没，随时都有可能袭击他，因此他决定把这片树林清掉。他这样做了，于是野兽移到了紧靠着新开辟的土地的树林中。这个过程没完没了地进行下去，农夫开出了越来越多的地，但野兽仍在土地边缘徘徊。这个农夫得到了什么呢？最起码，当他开的地越大，野兽被赶得越远时，只要他在地中央耕种，他就越安全。同样的，当我们用逻辑解决一个又一个基础问题之后，我们使用数学的核心的安全性就越大。换句话说，证明保证了我们相对安全。如果我们能证明某个理论是建立在关于数和几何图形合理叙述的基础上（它比那些证明结果在直觉上更易于接受），我们就能确保其正确性。用怀尔德的话来说，证明是我们对于由我们的直觉所提出的思想的检验过程。

不幸的是，一代人给出的证明在下代人眼中总是错误的。就像一流的美国数学家穆尔（E．H．Moore）早在 1903 年就说过的那样，“包括逻辑和数学在内的所有科学，都是时代的产物——这里指理想中的各种科学以及它们的成就。”“当时的苦恼就够人受了。”今天，证明的概念还取决于人们坚持什么思想学派。如果一个证明在可以看到的范围内，不涉及矛盾而且在数学上是有用的，那么怀尔德也就心满意足了。例如，他会把连续统假设当成公理使用。他批评多种思想流派的分野降低了证明的重要性。那些人恪守一种流派教条而排斥其他，不就类似那些宣称自己代表了真正的上帝而排斥其他教派的宗教分子吗？

我们现在被迫接受一个这样的事实：没有所谓的绝对证明或者普遍接受的证明。我们知道，如果我们对我们在直觉基础上接受的论述有疑问， 那么我们只有接受直觉基础上的其他论述，才能证明它们。如果我们不打算陷入自相矛盾或者其他未克服的困难之中，我们就不能对这些终极的直觉过分深钻，因为其中有一些就是逻辑方面的问题。大约 1900 年，著名的法国数学家阿达马说过：“数学中严密性的目的只是承认和整理直觉的成果。”我们已不能再接受这样的判断了。还是魏尔说的更为恰当：“逻辑是数学家用来保持他思想健康强壮的卫生手段。”证明确实起到了一定的作用，它减小了矛盾出现的危险。

我们必须认识到绝对的证明只是个目标而不是现实，是一个我们所追求但很可能永远达不到的目标，它可能只不过是一直为人们所追寻而永远捉摸不定的幽灵。我们应做出不懈的努力加强我们已有，但却没打算加以完善的东西。我们从证明的历史中得到的教训就是：即使我们追求的是一个达不到的目标，我们仍能像过去的数学家一样，取得辉煌的成就。那么

如果我们改变对待数学的态度，尽管我们的幻想破灭了，我们仍会更乐于探索这门学科。

这种认识——直觉在保证数学真实性上起了基础性的作用，而证明起了支撑的作用——表明在更大的意义上，数学走了一个大圆圈。这门学科从直觉与经验的基础上开始发展，后来，证明成了希腊人的目标，直到 19 世纪，才又幸运地回到出发点。这似乎晚了点，但是追求极端严密性的努力却突然把数学引入了死胡同，就像一只狗追逐自己的尾巴一样，逻辑打败了它自己。帕斯卡在他的《感想录》中说得好：“理性所走的最后一步就是承认有无穷多的事物超出了其认识范围。”

康德也承认理性的局限。在他的《纯粹理性批判》中，他说： 我们所具有的理性都非常奇特，它总是被一些不能忽视的问

题困扰着，因为这些问题源于理性的本质，所以也是无法回答的，它们超出了人类理性的能力。

或者按乌纳穆诺（Miguel de Unamuno）在《人生的悲剧感情》中所说的， “理性的最高成就是引起了人们对其有效性的怀疑。”

魏尔对于逻辑所起的作用更为悲观。1940 年他说过，“尽管，或者说因为，我们具有深刻的洞察力，今天我们却比以往任何时候都不能确定数学应建立在什么样的终极基础上。”1944 年，他详述道：

数学的终极基础和终极意义这一问题尚未解决，我们不知道沿着什么方向上可以找到最终答案，或者甚至于不知道是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言和音乐，其历史观点否认完全客观的合理化。

按魏尔所说的，数学是一种思维活动，而不是精确知识体系，这一点在历史上看得很清楚。基础的理性构造和重建现在只是对历史的滑稽模仿。

最极端的观点是由波普，一位著名的科学哲学家，在《科学发现中的逻辑》中表述的，数学推理永远不能证实，而只能证伪，数学理论不能以任何方式加以保证。如果没有一个更好的理论，人们就会继续使用已有的理论，就像在相对论出现之前的二百多年，人们一直用牛顿的力学理论， 或者说就像在黎曼几何出现之前，人们一直是用欧氏几何。但是要确保正确性是做不到的。

历史支持这种观点：没有固定的、客观的、唯一的数学体系。进一步说，如果历史具有某种指导作用，将会不断有新的内容添入数学之中，因而呼唤新的基础。在这方面，数学就像任何一门自然科学。当与先前的理论相抵触的新现象或新的实验结果出现时，就必须修改这些理论，而且必须将这些新现象、新结果纳入其内，没有时限的对数学真理的描述是不可能存在的。想把数学建造在稳固基础上的尝试都以失败而告终，从欧几里得到维尔斯特拉斯一直到现代的基础学派，不断地试图提供一个坚实的基础，但没有任何迹象能允诺最终的成功。

这些对直觉和证明的作用的陈述表明了数学在今天的景象，但它并不反映关于将来的所有观点。一群以笔名布尔巴基写作的数学家对逻辑重新加以肯定，在《数学原理》（第一卷）的引论中，他们评论道：

历史地讲，认为数学与矛盾无缘肯定是不对的，不自相矛盾

是作为一个要达到的目标，而不是向我们保证过的一劳永逸、天赋的特性。从最早的时候起，所有对数学原理的重大更改几乎都是紧跟在一些不确定的时期之后。此时，矛盾暴露出来而且必须加以解决⋯⋯。经过了 25 个世纪，数学家们已经有了改正错误的经验，从而看到数学是更加丰富多彩，而不是逐渐贫乏，这使他们有权利安详地展望未来。

面对历史也许会有某些安慰，但是历史也告诉我们新的危机将会出现。然而，这种前景并未减少布尔巴基派的乐观主义。狄多涅，法国数学家的领袖人物，布尔巴基派的一员，确信出现的逻辑问题总是可以解决的：

有人可能又会说，如果有一天发现数学是自相矛盾的，我们应知道是哪一条规则导致了这个结果，然后我们可以取消这条规则或对它进行适当的修改从而避免这种矛盾。简单地说，数学将会改变一下方向但仍不失为一种科学。这不全是一种推测，在发现了不合理之处后，人们总是这么做的。今天，我们把它看作人类精神的最高胜利之一，而远不是对在毕达哥拉斯派数学中发现的矛盾的悲叹。

狄多涅有可能又会提起莱布尼茨关于微积分方法的例子（见第七章），在接受了 18 世纪所有对这种方法的批评之后，非标准分析（见第十二章）使它在逻辑主义、形式主义和集合论公理化相容的基础上变得严格起来了。除了布尔巴基派表示出对数学逻辑的修正拥有信心之外，还有些数学

家相信存在着一种唯一的、正确的、永恒的数学体系，虽然它也许不能应用于客观世界。他们的观点是：证明的不一致和不确定性源于人类理性的限制，进一步说，人们现有的不一致只是会被逐渐克服的暂时的障碍。

康德主义者是这些人中的一部分，他们认为数学深深植根于人类理性之中，以至于对什么肯定是正确的不存在任何问题。例如，哈密尔顿，虽说他发明的这个尤物——四元数——导致了对算术的自然真实性的质疑， 但他在 1836 年坚持非常类似于笛卡尔的见解。他说：

代数和几何这些纯数学化的科学，是纯粹理性的科学，其从经验中取之甚少，它是孤立的或者至少是孤立于外部世界的偶然现象⋯⋯。它出自于我们内心的思想。拥有它们只是我们先天能力的结果，是我们特有的人性的展现。

凯莱，一位 19 世纪顶尖的代数学家，在英国科学促进会的一次讲演中

（1883 年）说“我们⋯⋯拥有先验认识，它不仅不依赖于某一经验，而且独立于一切经验⋯⋯。这些认识是思维对于经验的解释做出的贡献。”

虽然像哈密尔顿和凯莱这些人认为数学植根于人们头脑中，其他人却认为数学存在于人以外的世界之中。存在一个独立于人的数学真理的客观世界，这种信念可以追溯至柏拉图（见第一章），且被人们一再确认，尤其是莱布尼茨，他区分了理性真理和事实真理，前者适用于所有可能的世界。最先称赞非欧几何重要性的高斯，也确信数和分析的真实性（见第四章）。

优秀的 19 世纪分析学家埃尔密特也相信存在一个客观的数学真实世界。在给数学家斯蒂杰斯（Thomas Jan Stieltjes）的一封信中，他说：

我相信，数和分析中的函数不是我们精神的任意产物，它们在我们之外存在着，并且和客观实在的对象一样，具有某种必然

性的特征。我们找到或发现它们、研究它们，就和物理学家、化学家及动物学家所做的事情一样。

在其他场合他又说过，“在数学中，我们是仆人而不是主人。”

尽管有基础上的各种矛盾，许多 20 世纪的学者坚持同样的主张。康托尔，集合理论及超限数的创始者，认为数学家不是发明而是发现概念和理论，它们独立于人类思想之外。他把自己只看作一个报告人和秘书。虽说哈代对人类的证明充满疑虑，但他还是在 1929 年的一篇文章中说：

在我看来，如果一个数学家不以这种或那种方式承认数学真理的不变性和绝对正确性，那就不会有一种哲学同情他。数学理论是对还是错，它们的真理性或谬误性是绝对独立于我们对它们的认识的。在某些意义上，数学真理是客观现实的一部分。

在他名为《一个数学家的自白》的书中，他表达了同样的观点：

为了避免引起误会，我将不客气地陈述我自己的立场。我确信，数学的现实性不依赖于我们而存在，我们的作用是揭示或观察它，而我们所论证和夸张地命名为我们的“创造”的定理，实际上只是我们观察的记录。

本世纪法国数学家的领袖人物阿达马在他的《数学领域中的发明心理学》中宣称：“尽管这真理还不为我们所知，但它是先验地存在的，而且必然影响我们应该遵循的路径。”

哥德尔也坚持一个超验的数学世界的存在。就集合理论来说，他宣称把所有集合都看成是实体是合理的：

在我看来，假设这样一种实体与假设物理实体一样合理，并且有同样多的理由相信它们是存在的。同样地，它们迫切需要一个令人满意的数学理论，就像自然物体对于一个令人满意的人类感性知觉理论一样必要。在这两种情况下，都不可能把一个人关于这些实体的主张解释为关于“数据”——即后一种情况中突然产生的感性知觉——的主张。

这些断言的一部分来源于本世纪那些对基础不甚关心的人们。使人感到惊讶的是甚至于一些基础工作的领袖们，希尔伯特、丘奇，还有布尔巴基学派的成员都宣称数学概念和命题存在于某些客观意识中，且可以为人类思维所领悟。因此，数学真理就是被发现而不是被发明，逐步完善的不是数学，而是人们的数学知识。

持这种观点的人常被称为柏拉图主义者。虽然柏拉图确信数学存在于独立于人类之外的某种理想世界中，但他的学说中包含很多与当前观点相悖的东西，而且“柏拉图主义者”这个名称不尽相宜。

这些声称一个客观的、唯一的数学体系的断言，没有说清楚数学存在于何处。它们只是说数学存在于某一超常世界中，恰似海市蜃楼，只能为人所感知。公理和定理并不是纯粹的人类创造，它们更像是深藏在地下的珍宝，只有耐心地挖掘，才能使它们重见天日，但它们的存在就像行星的运转一样是独立于人的。

那么，数学究竟是藏在宇宙深处、逐渐被发现的一堆钻石，还是一堆光怪陆离的人造宝石，洋洋自得的数学家们也被弄得眼花缭乱。

更进一步，如果存在一个超感知的、绝对的、本质的世界，而且如果我们在逻辑和数学上的命题只是对这些本质观察结果的记录，那么矛盾和

错误的命题不就在同样的意义上与真实的命题相提并论了吗？谬误和自相矛盾的毒草就会与真、善、美的鲜花同样欣欣向荣，也许魔鬼和真理之神一道播种收获。柏拉图主义者当然反驳说，只是因为人类的能力不足以抓住真理，所以才产生了荒谬的命题和矛盾。

第二种观点认为数学纯粹是人类思想的产物，其当然为直觉主义者所支持，这可以追溯至亚里士多德。然而，有些人宣称真理是由思维保证的， 而其他人则坚持数学是易谬的人们的创造物，而不是固定不变的知识体。早在现代的争论出现之前，帕斯卡就在他的《思想录》中就这一观点作过一段经典论述：“真理是如此微妙的一个尤物，我们的工具太愚钝了，以至于对它难以捉摸。而当触摸到它时，又将它碰倒并使其偏向于一边，但更多的是偏向错误而不是真实。”海丁（Arend Heyting），一位主要的直觉主义者，宣称今天没有人能谈及真正的数学，正确的、唯一的知识体意义上的真正数学。

汉克尔、戴德金和维尔斯特拉斯都认为数学是人类的创造。戴德金在给韦伯的一封信中宣称：“此外，我们通过数所理解的并不是事物本身， 而是一种新的东西，⋯⋯它是思维所创造的。我们是上帝的儿子，我们拥有⋯⋯创造的能力。”维尔斯特拉斯用下面这些话表示了他对这种思想的认同，“真正的数学家是诗人。”还有维特根斯坦（Lnding Wittgenstein），罗素的一个学生，凭借自己的能力而成为一位权威，认为数学家是发明者而不是发现者。所有这些人和其他人认为数学是远超出经验的发现和理性推断的束缚的某个东西。支持他们这种立场的是如下事实：比如说无理数、负数这样的基本概念，既不是经验发现的推断，也不是明显存在于某个外部世界的本质东西。

魏尔对于永恒的真理也颇多讽刺。在他的《数学和自然科学的哲学》中，他说：

哥德尔绝对相信先验逻辑。他喜欢认为我们的“逻辑透镜” 只是有点散焦，他希望在略加调整之后我们会看得清楚，那时， 每个人都会同意我们看到的是正确的。但是不具备他这种信念的人则会被策梅罗系统，甚至希尔伯特系统中的高度武断所困扰⋯⋯。没有能永远确保我们的相容性的希尔伯特；对能满足现有精巧数学实验的测试的简单公理系统，我们应该感到满意，即使以后出现不一致时，改变基础也为时不晚。

诺贝尔奖获得者、物理学家布里奇曼（Percy W ．Bridgman）在《现代物理学的逻辑》中（1946 年），断然否认存在任何客观的数学世界。“认为数学是人类的发明纯属无稽之谈，这只要稍加观察即可明白。”理论科学是一种制造信念的数学游戏，所有人坚持认为数学不仅是人造的而且深受在它发展中的文化的影响。它的“真实性”就像对颜色的感知那样，是独立于人类的。政治、经济和宗教的信条总是竭力诱使我们相信，它们是客观存在的，是独立于人类的真理体系。相比之下，数学只是部分地使人接受了这一点。它也许独立于任何一个人而存在，但不独立于它所存在的那种文化。魏尔说过，就数学的总体来说，它不是一个孤立的技术成果， 而是人类存在的一部分，由此它找到了自己的证明。

支持这种认为数学是人造物观点的人们从本质上说是康德主义者，因为他们将数学的源泉归结于头脑的组织能力。然而，现代主义者却认为数

学并非起源于头脑的形态或生理，而是源于头脑的活动，它是用发展的方式组织的。头脑的创造性活动不断形成更新、更高的思想形式。在数学中， 人类的头脑有能力清楚地看到它可以自由地创建它认为有意义或有用的知识体系。而且，创造的领域不是封闭的，人们将创立一些适用于现存的或新出现的思想领域的见解。人的头脑有能力设计出这样的结构，并提供一种整理经验数据的模式。数学的源泉就在于思维自身的不断发展。

现有的关于数学自身本质的各种矛盾以及今日数学不再是一个被普遍接受的、无可辩驳的知识体系这一事实毫无疑问支持了这样一种观点，即数学是人为的。就像爱因斯坦所说，“谁把自己当作是真理和知识领域的法官，谁就会在众神的哄堂大笑中毁灭。”

颇具讽刺意味的是，理性时代的知识分子却将数学作为人类理性力量和他获知真理能力的证据，满怀信心地宣称推理会解决人类的所有问题。20 世纪的知识分子，虽然他们相信推理力量的作用，但他们不能把数学指定为范例和标准。这一系列事件简直是一场智力的灾难。数学是人类为获得精确而有效的思维而做出的最广博和最深刻的努力，这一点仍是对的； 而且数学所取得的成就是人类思维能力的量度，它代表在所有理性领域我们有望获得成果的上限。但在今天，面对着关于什么是有效的数学这一混乱局面，我们颇感不安。这就是为什么希尔伯特如此绝望地试图从客观的、不容置疑的推理意义上重建真理的原因。就像他在 1925 年的论文《关于无穷》中所说的：“如果连数学思考都失败了，那么哪里还能找到可靠和真实的东西呢？”

在波伦亚召开的国际数学家大会的报告中，他又重申了这种担心： 就我们所有的知识的真理和科学的存在及进步而言，如果数

学中没有真理，那么它们究竟会变成什么样子呢？实际上，在今天，专业文献和公开讲演中经常出现对知识的怀疑和失望，这是一种神秘主义，我认为是有害的。

看起来，一种连续不断、永不停息的追求正如很早以前歌德所指出的， 这正是人类的可取之处：自救者终将得救。

虽然魏依（André Weil）对绝对真理的存在并不那么有信心，但他坚持认为对数学的探求必须进一步深入，即使数学并非人类理性的高塔。正如他所说：

对我们——就是那些被希腊思想遗产的重担压弯了肩膀的人，那些走在由文艺复兴时期的英雄们所开辟的道路上的人—— 来说，没有数学的文明是不可想象的。正如平行公理，数学得以为继的假设已被抽去“证据”，但是，前者不再必需，而没有了后者我们将寸步难行。

数学的未来从未有更多的希望，其本质也从来没有如此清楚。对于这些明显的东西所进行的微妙分析使得情况越来越复杂，且永不休止。但数学家们将为解决这些基本问题而不懈努力，就像笛卡尔所说的，“我将继续前进，直到我找到某种确定的东西——或者，最起码，直到我能确信没有什么是确定的。”

按照荷马(Homer)所说，在科林斯(Corinth)的国王西西弗斯(Sisyphus) 死后，诸神罚他推一块巨石上山，而在他接近顶峰时，又使石头滚落山底， 于是重新再推，如此劳作不已。他没有想过有那么一天，他的苦役会结束。

数学家有这个意志和勇气，他们几乎是本能地去完善和加固其学科的基础，他们的奋斗也许会永不停息，他们也许将永不会成功。但是现代的“西西弗斯们”将会坚持下去。