三、对数与计算尺

15 世纪以来，随着经济、贸易事业的发展，及金融业和航运业的繁荣，需要进行大量、繁重的复杂计算，这就迫切需要改进数字计算的方法。

许多数学家还曾设法创造先进的计算装置，来完成令人烦恼的计算任务。

那时大量的计算问题，与天文、航海和占星术有关，这些问题促使 16 世纪的许多数学家，专心致力于三角学的研究。

苏格兰数学家纳皮尔，在探索新计算方法方面取得了引人注目的成就。这就是，在 1614 年他提出了对数概念，并发表了一个对数表。

1614 年，纳皮尔的著作的《奇妙对数表的说明书》出版了，书上发表了对数概念，公布了由他编制的正弦函数的对数表。

除了纳皮尔之外，还有其他学者也提出过对数概念，例如瑞士的数学家、天文学家比尔吉，也曾独立发现了对数，时间也许还早于纳皮尔，可惜他迟于 1620 年发表，而那时纳皮尔早已因提出对数慨念，在欧洲名噪一时了。

对数表对当时科学的冲击，就如同电子计算机对现代科技的冲击一样。对数与电子计算机有类似的作用，能大大简化例行的计算，从而使人们在进

行计算时所花费的大量繁琐、重复的劳动大大减轻。

纳皮尔发表对数概念后，立即引起了伦敦格雷沙姆学院数学教授布里格斯的重视。他最先意识到对数是一个非常重要的概念。1616 年，他专程前往苏格兰，拜访纳皮尔，并向纳皮尔建议改用以十为底的“常用对数”，以便于计算。

不幸在第二年纳皮尔溘然长逝，于是年过半百的布里格斯，竭尽晚年的全部精力，独自编制出从 1 到 2 万，从 9 万到 10 万的十位常用对数表，并于

1624 年公开发表。

布里格斯的工作，很自然地引起同校一位同事冈特的兴趣。冈特是一位非常注重实际应用的数学、天文学教授。

冈特 1581 年生于英国哈福德郡，1605 年在牛津大学获得硕士学位，1619 年在格雷沙姆学院任教授。

冈特对天文、航海和日晷制造等感兴趣，这些领域都需要大量的三角计算。由于布里格斯所编制的对数表还不能满足需要，于是冈特亲自完成相隔为（角度）一分的七位正弦对数表和正切对数表，并于 1620 年出版。这本数表的问世，使在进行与航海有关的三角计算时，工作量大大减少。

冈特早年还研制过计算装置，当时常用的一种计算装置是比例规，他曾为改进这种装置的主要设计作出过努力。

比例规是利用比例线段及比例规的尺身上的各种刻度，进行乘除、求比例中项、开方、开立方等运算的一种数学仪器，外形同两脚规相仿。

冈特经常用两脚规在比例规上测量长度，这些经验促使他萌发出对数进行相加的一种革新办法。1621 年，他在一根长约 60 厘米的木尺上，标上对数刻度（对数坐标纸上所用的就是这种刻度）制造出第一把对数刻度尺。冈特是这种刻度尺的首创者，因此后人把它称为冈特尺。利用两脚规，就可以在冈特尺上实现对数的加减，从而实现数的乘除了。使用冈特尺，给数的乘除带来了方便。这样既可免去查对数表的手续，又能够不用花时间口算来作加减。他的这种巧妙方法很快传遍了英伦三岛。由于数学家温盖特（1596— 1656）的宣传，而闻名于全欧洲。

奥特雷德（约 1574—1660）是英国当时第一流的数学家。他在剑桥大学毕业后，先后担任过牧师、主教等宗教职务，但是他只顾钻研数学，几乎把可以利用的全部时间都花在数学上了，有时甚至一个晚上只睡两、三个小时。

按现在的说法，奥特雷德应该算是一位基础数学家。他虽然不大重视计算，但对当时流行的数学仪器却很熟悉。在 1610 年他访问过布里格斯。他还与冈特会见，并同冈特一起对数学仪器进行过仔细的探讨。1631 年，他编写了一本后来广为流传的算术和代数教科书，书中首先倡导用“×”作为乘号，并一直沿用至今。

奥特雷德了解，在使用冈特的对数刻度尺进行乘法时，刻度尺上的长度要用一把两脚规去测量。不久之后，在 1621 年的一天，奥特雷德突然萌发起一个念头，要是做出两根对数刻度尺，让它们相互滑动，不就省得用两脚规去—一度量了吗！于是使乘除计算实现“机械化”的直尺型计算尺就这样问世了。以后，他又灵机一动，想出另一种办法：做两个圆盘，一个比另一个稍大些，再沿每个圆盘的边缘标上对数刻度，在圆心处把它们固定起来，然后让它们相互转动，这样也能取得与两根相互滑动的，直线形对数刻度尺同样的效果。

但是这位热衷于纯理论的数学家，对数学仪器不屑一顾，认为公开去说明怎样把冈特的对数刻度尺改进为计算尺，费时又费力，是不值得的。然而，他却把自己的想法透露给自己的一个学生德拉曼。

在 1630 年，奥特雷德的另一名学生福斯特偶尔提起，在使用冈特的对数

刻度尺时，为了达到高的精确度，他曾改用一根长约 2 米的刻度尺，这样测量长度就得选用长脚规了。

奥特雷德建议，只要改用两根彼此滑动的对数刻度尺，就可以不用长脚规了。奥特雷德还向这个学生展示了自己在 1622 年发明的“比例圆”，—— 一种在圆盘的一个个同心圆上，刻有对数刻度的数学仪器。

福斯特觉得老师的这些设想和发明很有价值，恳切请求老师发表这些发明，但是奥特雷德觉得，对于一个真心搞数学的人来说，重要的是研究数学理论，为这些雕虫小技去费心是不值得的。因此最初他并不理会福斯特的请求。但是在 1632 年他听说，学生德拉曼发表了著作，并在书中自为圆盘形计算尺发明者的时候，奥特雷德才决定公开自己的发明，他正式利用两根相互平行滑动的对数刻度尺做出了能进行计算的装置，这就是计算尺的雏形。奥特雷德还要福斯特把自己所写的拉丁文著作译成英文，以便能让书中的内容更广泛地传播。

以发明蒸汽机闻名于世的瓦特，在 18 世纪末期成功地制造出一把名符其实的计算尺。他原来是一名仪器匠，精通在仪表上准确标示刻度的技术。他在蒸汽机工厂投产后，迫切需要一种计算装置，来迅速算出蒸汽机的功率和气缸体积。

当他设计计算尺时，在尺座上增加了一个滑标，以便用来“存贮”计算的中间结果，使计算更迅速、更方便。他所发明的这种滑标，长久地为后人沿用。由于瓦特的刻度十分准确，因此其他制造厂纷纷要求瓦特为他们复制。为此瓦特曾有过几年从事计算尺生产的经历。

计算尺的制造业，到 1850 年才迅速发展。当时 19 岁的法国炮兵军官曼海姆设计出一种很简单的，类似于瓦特所设计的单面计算尺。曼海姆所作的改进，是增加了可移动的双侧滑标，成为后来流行计算尺的不可缺少的部件，它使相当复杂的计算，在一把做工精巧的计算尺上就能很方便地完成。曼海姆的这种设计，曾被法国炮兵选定为计算尺的规范。几年之后，曼海姆式的样尺已流传到国外好几个国家。在欧洲流行了较长一段时间后，直到 1888

年才传入北美，此后才逐步在北美流行起来，但到 1901 年，美国普及计算尺的工科院校仍然只有一半。此后，许多不同型号的计算尺，由一些工厂制造出来。其中最重大的进展，是在 1891 年开始使用双面标尺，计算尺最终具有了后来流行的形式。后来尽管计算尺的构造再也没有发生什么改变，但标尺的数量却与日俱增。质量上乘的计算尺，竟发展到备有 18 至 20 条不同的标尺。这种计算尺两面都能使用，滑尺也可以更换或翻过来使用，非常灵活，经过组合能实现更多的功能，各种专用计算尺也层出不穷地涌现。

有人为了提高计算尺的精确度，甚至还改变了计算尺的模样。他们把对数刻度等刻在圆柱体上，或螺旋线上。1879 年，英国发明家富勒试制出一咱具有螺旋状刻度的圆柱形计算尺，后来人们把它称为富勒计算尺。这种能握在手中的计算尺，虽然体积不大，但相当于一把尺身为 25 米的直尺形标准计

算尺，精确度可达到 4 位，有时甚至高达 5 位。

进入 20 世纪后，计算尺曾经被看作为是 20 世纪技术进步的一种象征。

在 20 世纪上半叶，它是工程师必不可少，随身携带的一种计算工具，还曾是

50 年代、60 年代工科大学生身份的一种标志，不过它只是一种短暂的标志。

因为，当 70 年代中叶袖珍电子计算器出现之后，计算尺的身价就一落千丈了。

计算工具有两种，一种是模拟式，即通过长度、面积、电流强度等物理量来表示数值，因此它的准确度依赖于模拟物理量的精确度。另一种是数字式，即以数字表示数值，因此它的准确度取决于计算工具所能处理数字的数量。计算尺属于前面那种，是一种模拟计算装置；而算盘则属于后面那种，它是一种数字计算工具。

模拟计算装置，由于在通用性和精度方面有很大的局限性，最终必然被数字计算装置取代。20 世纪中叶，数字计算机取代了模拟计算机。最终，计算尺也未能逃脱被电子计算器取代的命运。