●通电导线在磁场中的运动问题

通电导线在磁场力作用下如果发生运动，往往会产生电磁感应现象， 产生的感应电动势使导线中的电流发生变化，从而改变通电导线在磁场中的受力情况，使其运动状态发生变化。可见，这类问题与电磁感应规律密切相关。这里我们只研究两类问题：（1）分析研究通电导线在磁场力作用下的运动趋势、运动方向，而不涉及电磁感应或不需要分析电磁感应作用的问题；（2）分析研究通电导线在磁场力作用下运动时的瞬间受力情况， 以及运动中的动态平衡问题。本丛书的另一分册，《导体在磁场中的运动问题》将详尽讨论与电磁感应有关的问题。

讨论通电导线在磁场力作用下的运动趋势和运动方向问题，除判断磁场力的方向外，还要全面分析通电导线的受力情况。通电导线的运动状态是由它所受的重力、弹力、摩擦力以及安培力共同决定的。安培力作为一个独立的力不仅可以改变通电导线的运动状态，而且还能影响、改变通电导线所受的弹力和摩擦力，从而使其所受的合外力发生变化。可见，通电导线在磁场中的受力情况，要比纯力学问题复杂得多。就我们所要研究的两类问题而言，它们的难点分别是：（1）通电导线在磁场力作用下发生运动后，由于其位置变化，所受磁场力也将发生变化；（2）通电导线在磁场中运动时，电磁感应对导体中的电流、导体的受力情况产生影响。显而易见，难点的核心是通电导线运动中的受力情况分析。抓住这个核心，任何问题便可迎刃而解。

[例题 1]如图 1－18，通电直导线 ab 能自由活动，蹄形磁铁是固定不动的，试分析判断 ab 将如何运动？

[分析与解]首先要弄清楚蹄形磁铁磁场的磁力线在通电导线附近的分布情况（图 1-19）。

在通电导线上靠近 N 极的 P 点，将磁感应强度 B 分解为垂直分量与平行分量（B-、B∥），由于安培力只与垂直分量有关，应用左手定则可知， P 点附近通电导线所受的磁场力是垂直纸面向外的。

在通电导线上靠近 S 极的 Q 点，将该点的磁感应强度矢量分解为垂直分量与平行分量，由图中可以清楚看出，Q 点的垂直分量与 P 点的垂直分量方向相反，用左手定则判断，Q 点附近通电导线所受磁场力是垂直于纸面向里的。所以，通电导线 ab 将转动，a 端向外，b 端向里。当 ab 转过一个角度时，由图 1－20 可以看出，它将受到一个竖直向下的磁场力。因此， 通电导线 ab 的运动，从上向下看，一边逆时针转动，一边向下运动，最终将进入蹄形磁铁的两极之间。

[例题 2]一根导线弯成图 1－21 所示的 形，两端弯曲的一小段分别插在两个水银槽中 形导线的质量 m=10 克，中间一段的长度 l=20 厘米， 电源、电键通过槽中的水银与 形导线组成闭合电路，整个装置处在水平方向的匀强磁场中。磁场方向与 形导线垂直，磁感应强度 B＝0.1 特斯拉。当电键接通后， 形导线便竖直向上跳起来，若它跳起的高度 h=30 厘米，试求通过导线的电量多大？

[分析与解]电键接通后， 形导线中的电流从左向右流过，磁场作用于中间 20 厘米长的一段通电导线的安培力竖直向上，使 形导线竖直向上跳起。

设电键闭合后，从电路接通到 形导线跳离水银面而使电路切断的时间间隔为△t，在△t 时间内，如通过导线的电量为△Q，则流过 形导线的电流强度为i = ∆Q；在△ t这段时间里，作用于形导线竖直向上的安培

∆t

力为 Bil，竖直向下的重力为 mg，它们的合力 F=Bil-mg，方向是竖直向上的。在△t 时间里，合力的冲量为 F△t=（Bil- mg）△t；如 形导线跳离水银时的即时速度为 v，则导线在△t 时间内动量的增加量（方向向

上）为mv，根据动量定理可得：（ Bil - mg）△t = mv，将 ∆Q = i 代入并

∆t

化简，得△Q = m （ v + g△t ）。Bl

Π形导线跳离水银后只有重力做功，机械能守恒： 1 mv² = mgh，故知

2

v = 2gh ，式中h是Π形导线跳离水银的高度。所以通过导线的电量为：

∆Q = m (

Bl

• g∆t)

一般情况下，△t 均较小，h较大，v〉〉g△ t，即 2gh 〉〉g∆t ，这样，

通过导线的电量△Q = m 2gh 。就本题而言，上述条件也是满足的，

Bl

故通过Π形导线的电量为：

∆Q = =

0.01

0.1× 0.2

2 × 9.8 × 0.3 = 1.2 (库仑)

［例题 3］如图 1－22，水平面中的平行金属导轨相距 l=0.5 米，竖直向下的匀强磁场穿过导轨所处的平面，磁感应强度 B=0.8 特斯拉；电动势ε=1.5 伏，内电阻 r=0.2 欧的电池与两根导轨的左端相连；横跨于导轨之上的直导线 ab 质量 m=0.1 千克，电阻 R=0.8 欧；导轨的电阻与摩擦作用均可不计。求（1）电键接通时，直导线开始运动的瞬时加速度多大？（2） 如果导轨足够长，磁场范围足够大，直导线最终将如何运动？

〔分析与解〕（1）电键接通后的瞬间，直导线 ab 还处于静止状态，

这时电流从a流向b，电流强度为i 0

= ε

R + r

，直导线受到磁场力为F = Bj0 l，

方向向右。由于导轨光滑，直导线不受摩擦力作用，故瞬时加速度由安培力决定，大小为：

a = F m

= Bi 0l =

m

Bεl (R + r )m

= 6( 米/ 秒² )

（2）直导线运动起来以后，由于切割磁力线而产生感应电动势，根据右手定则，感应电动势的方向，在回路中与电池的电动势方向相反，故电流将减小，直导线所受磁场力也随着减小，所以直导线由静止开始，速度不断增大，而加速度不断减小，直到加速度减小到零时，速度达到最大。直导线的速度达到最大时，感应电动势的大小正好与电池的电动势相等， 方向相反，电路中电流为零，导线不受磁场力作用，直导线凭惯性作匀速直线运动。这就是直导线的最终运动状态。

设直导线最终的运动速度为 vm，根据上面的分析，导线以 vm 运动产生

的感应电动势与电池的电动势相等：Blvm=ε，由此可得：

vm =

ε = 3.75（米/秒） Bl

关于例题 3，有下列几个问题值得深入考虑。（1）如果考虑导轨对直导线的摩擦作用，直导线的运动性质仍然是加速度不断减小的加速运动。加速度减小到零时，速度达到最大，这时直导线所受安培力与导轨对它的摩擦力大小相等，方向相反。直导线最终作匀速直线运动的速度将小于

3.75 米／秒。（2）直导线最终作匀速直线运动的动能，是磁场力（安培力）做功的结果。安培力对通电直导线做正功，如存在摩擦力，则摩擦力做负功，通电直导线动能的增量，等于外力功的代数和。对整个系统来讲， 能量来自于电池。电池发出的能量，一部分消耗在电路中，转化为热能， 其余的能量则通过磁场与电流的相互作用，转化为直导线的动能和通过摩擦作用转化为热能。整个物理过程，一定是遵守能量转化与守恒定律的。

[例题 4]如图 1－23 所示，在竖直向上的匀强磁场（B）中，水平放置的平行导轨相距 l，其间串接电动势为ε、内电阻为 r 的电池组；质量为 m 电阻为 R 的直导线 ab，横跨于平行导轨上，它的中点通过水平细线跨过光滑的定滑轮与质量为 m＇的砝码相连。不考虑导轨的电阻与摩擦作用，滑轮的质量与细线的质量也不考虑。在电键闭合的同时，将系统由静止释放， 求：（1）初始时刻，直导线与砝码的瞬时加速度多大？（2）如导轨足够长，磁场范围足够大，直导线与砝码能达到的最大速度多大？（3）在直导线、砝码以最大速度运动时，电池发出的功率多大？电池发出的电能转化为什么能量？

[分析与解] （1）电键闭合后，电路中最初的电流强度为i 0 =

ε ，

R + r

直导线ab受到的安培力水平向左，大小为F0 = Bi0l。

设砝码的质量 m＇较小，它的重量 m＇g 小于安培力 F0=Bi0l，则直导线有向左的加速度，砝码有向上的加速度，它们的加速度相等，设为 a， 如这时连接直导线与砝码的细线的张力为 T，对直导线来讲，它的运动方程为：

砝码的运动方程为：

Bεl

R + r

• T = ma

T - m’g=m’a 两式相加，经化简，可得加速度为：

a = Bεl

( R + r)(m + m′)

− ( m′ )g m + m′

1. 直导线向左运动时，切割磁力线产生的感应电动势在回路中与电池的电动势ε方向相反，电流将减小，直导线所受的向左的安培力也随着减小，系统加速度也逐渐减小，当加速度为零时，系统的速度达到最大值vm。这时细线中的张力 T=m’g，通过直导线的电流强度为：

i = ε − Blv m

R + r

对直导线来讲，这时它在水平方向上所受的合外力为零，即：

 ε − Blv m 

由此可得最大速度为：

B R + r

 l = m′g

vm =

ε − m′g(R + r) Bl B²l ²

1. 直导线以速度 vm 运动时，电路中电流强度为：

i = ε − Blvm

R + r

= m′g

Bl

这时，电池发出的功率为：

P = iε = m′gε

Bl

电路中电流通过电阻转化为内能的功率为：

P = i² ( R + r) = ( m′g )² (R + r)

¹ Bl

系统匀速运动，动能不变，砝码向上运动，速度为 vm，其重力势能每秒的增加量为：

P = m′gv

= m′ 

ε − m′g(R + r )

_{2 m} g ( Bl

B2l 2 

= m′gε − ( m′g )² ( R + r)

Bl Bl

根据上面计算的结果，可以看出 P=P1＋P2，即电池发出的功率等于电路中内能的转化率与砝码重力势能的增加率之和。表明该物理过程是遵守能量转化与守恒定律的。

[例题 5]如图 1－24，在竖直放置的平行金属导轨上，套有一根水平的金属杆 ab，金属杆 ab 的两端能上下自由滑动，整个装置处在匀强磁场中， 磁场方向与轨道面垂直。已知 ab 的长度 l=0.2 米，质量 m=0.02 千克，电池电动势ε=1.5 伏，内阻 r=0.3 欧，定值电阻 R1=1.2 欧，R2=1 欧，导轨和金属杆的电阻均可不计。（1）当单刀双掷开关 K 掷向 1 时，金属杆恰好平衡，求磁场的磁感应强度。（2）把 K 掷向 2，金属杆由静止开始向下作加速运动，试推导金属杆下落运动中加速度随速度变化的表达式。（3）如导轨足够长，磁场范围足够大，求金属杆下落的最大速度。

［分析与解]（1）金属杆平衡时，所受安培力竖直向上，大小与其重力相等：

B( ε

R1 + r

)l = mg

B = mg(R1 + r) = 1（ 特斯拉）

εl

（2）K 投向 2 时，ab 向下作加速运动。当 ab 的速度为 v 时，感应电动势为 Blv，感应电流 i=Blv／R2。电流方向由 a 向 b，金属杆受重力与安培力作用，向下的加速度为：

mg − B( Blv)l

a = R2

m

B2 l 2

= g − ( ) v mR ²

表明加速度随着速度增大而减小。开始时 v=0，加速度最大：am=g。

（3）当加速度减小到零时，金属杆的速度最大：

B2 L2

g - (

mR 2

)v m = 0

v = mgR 2

= 5（米／秒）

m B2 l2

[例题 6]如图 1－25 所示，两根光滑的曲线金属导轨平行放置，直线部分处在同一水平面中，金属杆 cd 横跨在两根导轨上，静止在水平面中。另一根金属杆 ab 从弧形轨道上与水平面相距 h 高的地方，由静止开始下滑，进入轨道的水平部分后，在竖直向上的匀强磁场 B 中运动。设轨道的直线部分足够长，匀强磁场分布在直线轨道所处的整个空间里。又 ab 与cd 杆的质量相等。试分析金属杆 ab 与 cd 的运动过程。

[分析与解]由于轨道是光滑的，金属杆 ab 从 h 高处下滑过程机械能守恒，设质量为 m，它进入水平轨道时速度为 v，则：

mgh = 1 mv² v = .

2

ab 以速度 v 进入匀强磁场后切割磁力线，产生感生电动势，两根金属杆与导轨构成的闭合回路中便有感应电流通过；ab 中的电流由 b 向 a，cd 中的电流由 c 向 d；有电流通过时，磁场对它们就有作用力 F=Bil；通过ab 与 cd 的电流强度相等，方向相反，处在同一匀强磁场中，导线的长度也相等，所以 ab 与 cd 所受磁场力大小相等，方向相反（图 1－26）。

在磁场力作用下，ab 作减速运动，cd 作加速运动，由于磁场力相等， 经相同时间，ab 动量的减小量与 cd 动量的增加量相等，即 ab 与 cd 的动量是守恒的。当 ab 与 cd 的速度相等时，感应电流消失，ab 与 cd 以相同的速度向右作匀速直线运动，这时的速度 v’可由动量守恒定律求得：

vm = (m + m) v′

v′ = v =

2

2gh =

2

ab 与 cd 以相同的速度作匀速直线运动时，总动能为

E′ = 2 × 1 mv ′² = mgh 。系统原来的能量，即系统的总能量是 mgh，可见

2 2

ab进入磁场后损失的机械能，即转化为内能的能量是 mgh = mgh 。

2 2

从上述分析可以看出，ab 进入磁场后，ab 与 cd 的运动过程是复杂的： 由于 ab 切割磁力线产生感应电流，导致磁场对 ab、cd 的作用，从而改变ab 与 cd 的运动状态，直至最后 ab 与 cd 均达到新的平衡状态（匀速直线运动）。

ab 与 cd 变化，是从分析它们的受力情况入手，根据动量的变化等于

冲量的原理，得到系统动量守恒的结论，再根据能量转化与守恒定律，整个物理过程便一目了然。