●安培力的微观本质（霍耳效应原理）

电流是带电粒子运动形成的，磁场对通电导线的作用力，自然会让人们想起磁场对运动的带电粒子（电荷）的作用力。

如导线材料单位体积里含有参与导电的带电粒子数为 n，每个带电粒子的带电量是 q，在电场力的作用下，带电粒子定向运动的平均速率为 v， 则横截面积为 S 的导线中通过的电流强度为 I 时，必存在关系式：

I＝nqSv

如有匀强磁场垂直于该通电导线，且磁场中导线的长度为 l，则该导线所受的磁场力为：

F=Bil=(nSl)Bqv

式中 nSl 是处在磁场中参与导电的带电粒子的总数（N=nSl），可见 F=N

（Bqv），即宏观力 F 是 N 个同方向的微观力 f=Bqv 的合力。f=Bq 就是带电量为 q 的带电粒子以速度 v 垂直于磁感应强度为 B 的磁场时所受的磁场力，又叫洛仑兹力。

引出洛仑兹力的概念不仅可以解释安培力的微观本质，更深刻地理解磁场对通电导线的作用力，而且还可以解释磁场中通电导体的另一宏观现象——霍耳效应。

如磁场中的通电导体是厚度为 d、宽度为 c、长度为 l 的金属薄片，金属薄片按图 1-38 所示的方法放置在 O-xyz 坐标系中，整个薄片都处于沿Ox 轴正方向的磁感应强度为 B 的匀强磁场中；若有电流强度为 i 的电流沿Oz 轴的正方向通过，则该导体受磁场的作用力方向为 Oy 轴的正方向，磁场力的大小为：F=Bil。

电流是带电粒子运动而形成的，在金属导体中定向运动的是自由电子，电子带负电，电流的方向规定为正电荷的运动方向。可见，在上述金属薄片中自由电子的运动方向与 Oz 轴的正方向相反，它所受的磁场力的方向，即安培力的方向，是与 Oy 轴的正方向相同的。因此自由电子在沿 Oz 轴的反方向运动的过程中要向 Oy 轴的正方向偏转，结果自由电子在金属薄片的 b 侧聚集，使侧面 b 带负电，而另一个侧面 a 由于缺少自由电子而带正电，这样，侧面 a 与侧面 b 之间便形成一个电势差（电压），这种现象叫霍耳效应。可见，霍耳效应也是磁场对通电导体中带电粒子作用的一种效应。

设侧面 a 与侧面 b 之间的电势差为 u，这样，a、b 面之间便形成一个由 a 指向 b 的电场，自由电子在受洛仑兹力作用的同时，还要受电场力的作用，不难判断，电场力的方向与磁场力的方向相反，即电场力的方向是指向侧面 a 的。当方向相反的电场力与磁场力大小相等时，自由电子就不再偏转，而只是沿着 Oz 轴的反方向运动，这时 a、b 两个侧面间的电压达到稳定值 uH 叫霍耳电压，a、b 面间的电场强度为 E=uH/c，电子的带电量为 e，所受的电场力为 eE=euH/c，所受的磁场力为 eBv，在动态平衡时， 电场力与磁场力大小相等，即

euH = eBv c

式中 v 是自由电子定向运动的平均速率，根据金属导电的自由电子理论，

有：

i=neSv=nedcv

可见，v=i/nedc，代入电子的动态平衡方程式中，可得霍耳电压的表达式为：

uH =

Bi ned

式中 n 为金属导体的自由电子密度——单位体积内的自由电子数。由

上式可以看出，霍耳电压的大小与导体薄片的厚度（沿磁场方向的厚度） 成反比，而与薄片的宽度和长度无关。霍耳电压的大小还与所加磁场的磁感应强度 B 和所通过的电流强度 i 的乘积成正比。

利用公式 uH=Bi/ned，不仅可以计算霍耳电压值，还可以利用该式测量磁场的磁感应强度。用半导体技术制成的霍耳元件，已经广泛应用于微电子技术的各个领域。

[例题 1]N 型半导体是主要靠自由电子导电的半导体，自由电子是多数载流子；P 型半导体是主要靠空穴导电的半导体，空穴是 P 型半导体的多数载流子。把半导体薄片按图 1-39 所示的方法放在匀强磁场中，并按图示的方向通过电流 i。如发现侧面 b 的电势比侧面 a 的电势高，则半导体是 N 型的还是 P 型的？

[分析与解]为了判断霍耳效应中两个侧面电势的高低，必须首先搞清导体中导电时载流子的带电性质。在不知道截流子的带电性质时，则必须采用假设的方法。

如果是 N 型半导体，载流子是自由电子，自由电子带负电，其运动方向与电流方向相反，在图中自右向左。根据左手定则，自由电子在磁场力作用下向侧面 b 偏转，a 面的龟势应比 b 面的电势高，可见不是 N 型半导体。

如果是 P 型半导体，则多数载流子是空穴，空穴可以看作是带正电荷的载流子，它在图中运动的方向与电流 i 的方向相同，自左向右，根据左手定则，空穴向 b 面偏转，b 侧面上带正电，故 b 面电势高，a 面电势低， 可见该半导体是 P 型的。

从上面的分析可以看出，不论是 P 型半导体还是 N 型半导体，在图示的情况下，载流子都是向侧面 b 偏转的。侧面 b 的电势高，表明偏转的载流子是带正电荷的，由此也可判断半导体是 P 型的，载流子是带正电荷的空穴。

利用霍耳效应可以测量磁场的磁感应强度。测量的方法是把霍耳元件

（薄片导体）放到待测的磁场中，使薄片的大侧面与磁场方向垂直。让稳恒电流 i 通过霍耳元件，测量与电流方向平行的两个侧面间的电压，即霍耳电压，再根据有关公式，通过计算，便可求得磁场的磁感应强度。

[例题 2]如通过霍耳元件的电流强度 i=1 毫安，用电势差计测得霍耳电压 uH=1.5 伏，已知霍尔元件中多数载流子的密度为每立方厘米 2×1010 个，载流子的带电量为 1.6×10-19 库仑，霍耳元件的厚度是 3 毫米，求磁场的磁感应强度多大。

[分析与解]根据公式 uH=Bi/ned，可得公式：

B = nedu H

i

将已知量全部用国际单位表示：i=10-3 安培，uH=1.5 伏，n=2×1016 米-3，d=3×10-3 米，e=1.6×10-19 库仑，将已知量代入上式，得：

2×1016 ×1.6×10-19 ×3×10-3 ×1.5

B =

10− 3

（ 特斯拉）

= 1.44×10-2 （ 特斯拉）。