●通电导线在磁场中的平衡问题

通电导线在磁场中的平衡问题要注意两个方面：一是判断通电导线所受磁场力的方向，计算磁场力的大小；二是要分析通电导线在磁场中的受力情况，研究通电导线在磁场中平衡时所受各外力之间的关系。

如果通电导线在磁场中受共点力作用而平衡，则共点力的合力一定为零；如通电导线有固定转动轴，则它在磁场中所受外力对固定转动轴的力矩代数和为零；一般情况则是磁场中的通电导线没有固定转动轴，它所受的外力又不是共点力，这时需要用一般平衡条件。

下面通过具体的例题，分析几种受力情况下的平衡条件。

[例题 1]在竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两根平行的金属导轨与水平方向夹角为θ（图 1－6），有电池、滑线电阻、安培表和两根导轨串联，当质量为 m 的直导线 ab 横跨于两根导轨之上，这时电路便接通，电流由 a 向 b 通过直导线，ab 在水平方向上静止在倾斜的轨导上。调节可变电阻，使通过 ab 的电流在一定范围内发生变化，ab 仍能保持静止。经仔细观测发现：当安培表的读数渐渐增大到 i1 时，直导线开始上滑；当安培表的读数慢慢减小到 i2 时，直导线开始下滑。试分析，i1、i2 与哪些因素有关？关系是什么？（通过分析研究，推导出 i1、i2 的表达式来。）

[分析与解]取导线的剖面图，分析导线的受力情况。当安培表读数为i1 时，直导线有向上运动趋势，两根导轨对它的摩擦作用沿导轨斜向下， 可以认为直导线在共点力作用下而平衡，其受力情况如图 1－7 所示。其中支持力 N、摩擦力 f 是两根导轨对直导线的共同作用。这时平衡方程为：

N1 - mgcosθ - Bi1lsinθ = 0

Bi lcosθ - mgsinθ - f = 0

 1 1

其中 f1=μN1=μ（mgcosθ+Bi1lsinθ），代入上式，经化简后可得：

i =  sinθ + μ cosθ mg

₁  

 cosθ − μ sinθ Bl

当安培表读数为 i2 时，直导线有下滑的趋势，其受力情况如图 1－8 所示，平衡方程为：

N2 - mgcosθ - Bi2lsinθ = 0

Bi lcosθ - mgsinθ + f = 0

 2 2

其中 f2=μN2=μ（mgcosθ+Bi2lsinθ），代入上式，经化简后得：代入上式，经化简后得：

可见 i1、i2 与导线的重量 mg、导轨的倾角θ、两根导轨间的距离 l、

导轨与导线之间的摩擦系数μ、磁场的磁感应强度 B 有关。不难看出，只要通过导线的电流（i）在 i1 与 i2 之间，即

 sin θ − μ cosθ  mg  sinθ + μ cosθ mg

  ≤i≤ 



 cosθ + μ sinθ Bl  cosθ − μ sin θ Bl

导线就能静止在倾斜导轨上不动。当i = mg tgθ时，导线与导轨之间没有

Bl

摩擦作用。

例题 1 的解题方法和结论，与斜面上的物体在水平力 F 作用下的平衡问题是相同的。

倾角为θ的斜面上，质量为 m 的物体，在水平力 F 作用下处于静止状态（图 1－9），若物体与斜面之间的摩擦系数为μ，则水平力 F 必须满足的条件是：

 sin θ − μ cosθ  mg≤F≤ sinθ + μ cosθ  mg.

   

 cosθ + μ sinθ  cosθ − μ sin θ

在例题 1 中，磁场对通电直导线的安培力（F=Bil）与水平力的作用相当。可见，这两个形式上完全不同的问题，确具有相同的力学模型。

[例题 2]“电流天平”是根据通电导体在磁场中受磁场力作用原理制成的一种灵敏的测量仪器。它可以测出通电导体在匀强磁场中所受磁场力的大小，进一步还可求得匀强磁场的磁感应强度。

“电流天平”的原理图如图 1－10 所示。它的平衡臂能绕水平轴 oo＇ 自由转动。平衡臂的右侧，沿边缘为］形的导线 oabo＇，它们处在通电的直长螺线管中，当螺线管中有电流 I 通过时，就有沿螺线管轴线方向水平向左的匀强磁场 B。把平衡臂调成水平状态，如这时有电流 i 通过］形导线，它的与螺线管轴线平行的两条边由于与磁场平行而不受磁场力作用， 只有短边 ab 受竖直向下的磁场力作用；如 ab 边长为 l，其所受磁场力的大小为 F=Bil，则平衡臂将失去平衡。用砝码调节使平衡臂恢复平衡状态， 平衡臂的左右两臂长度相等，则 ab 边所受的磁场力与平衡砝码的重量相等，即 ab 边所受的磁场力大小为 F=mg，m 是平衡砝码的质量。又 F=Bil， 电流 i 与长度 ab 以及砝码的质量均是可以测量的，这样就可以求得螺线管中沿轴线方向磁场的磁感应强度：

B = mg

iab

[例题 3]如图 1－11 所示，粗细均匀的直导线 ab 两端悬挂在两根相同的弹簧下边，ab 恰好处在水平位置。ab 的质量为 m=10 克，ab 的长度 l=60 厘米。水平方向与 ab 垂直的磁场的磁感应强度 B=0.4 特斯拉。（1）要使两根弹簧都处于自然状态（即不被拉长，也不被压缩），ab 中应沿什么方向，通过的电流强度应多大？（2）如导线中由 a 到 b 方向通过 0.2 安培的电流时，两根弹簧被拉长△x＝1 毫米；当沿由 b 到 a 的方向通过 0.2 安培的电流时，两根弹簧被拉长多少？（取 g=9.6 米/秒 2）

[分析与解]（1）弹簧处于自然状态，则通电直导线 ab 应受向上的磁场力作用，且磁场力与导线 ab 的重力相等，即 Bil=mg。

根据左手定则，电流应由 a 向 b ，电流强度的大小为

i = mg

Bl

= 0.01 × 9.6 = 0.4i（安培）。

0.4 × 0.6

（2）由 a 向 b 通过 0.2 安培的电流时，ab 受竖直向下的重力（mg） 和向上的磁场力，两根被拉伸的弹簧对 ab 的拉力也是竖直向上的，这时ab 的平衡方程为：

mg=Bil+2k△x 由此式可得弹簧的倔强系数：

k = mg - Bil = 0.01 × 9.6 − 0.4 × 0.2 × 0.6

2∆x

= 24（牛/ 米）

2 × 0.001

当由 b 向 a 通过 0.2 安培电流时，磁场力方向竖直向下，这时的平衡方程为：

mg+Bil=2k△x’ 由此可得，两根弹簧这时被拉伸的长度为

∆x′ = mg + Bil = 0.01 × 9.6 + 0.4 × 0.2 × 0.6

2k 2 × 24

== 0.003（米）= 3（毫米）

[例题 4]在北京地区，一根东西方向的水平电线长 20 米，自西向东地通过 10 安培的电流；已知北京地区地磁场的磁倾角约为 57°，磁偏角较小，可以不考虑，地磁场磁感应强度的水平分量为 B∥=2.89×10-5 特斯拉， 问地磁场对该通电导线的作用力多大？作用力的方向如何？

[分析与解]图 1－12 是地球通过自转轴的剖面图。地磁场的 N 极在地球南极附近，地磁场的 S 极在地球的北极附近。地球表面处的地磁场的磁力线是由南向北的（不考虑磁偏角）。在赤道上空 A 点，地磁场沿水平方向向北，磁倾角为零；北半球上空的 P 点处，磁力线的方向也是由南向北， 但同时相对水平方向向下倾斜θ角，这就是磁倾角。

图 1-13 是北京地区上空垂直于通电导线方向上的剖面图，导线中的电流自西向东，表明纸面内为西，纸面外为东。由图中可以看出，北京地区地磁场的磁感应强度 B 是由南向北与水平方向夹角θ=57°，斜向下方的。由 B∥=Bcosθ，则可得：

B = B∥ cos57°

通电导线所受磁场力（F）的方向，由左手定则判定，自南向北与水平方向夹角 a=90°-57°＝23°（斜向上），20 米长的通电导线所受磁场力为：

F = Bil =

B∥

cos57°

= 1.1 × 10⁻² （牛顿）

还有另一种解题方法。它的思路是：第一步，分别计算出地磁场的水平分量（B∥）和竖直分量（B-）对通电导线的作用力；第二步，求这两个分力的合力，便得地磁场对通电导线的作用力图 1-14）。

地磁场的水平分量对通电直导线的作用力竖直向上，大小为：

F1=B∥il

地磁场的竖直分量（竖直向下）对通电直导线的作用力沿水平方向指向正北方，大小为：

F2=B-il=(B∥tgθ)il

地磁场对通电直导线的作用力，是 F1 与 F2 的合力，合力的大小为 F， 其方向与水平面夹角为 a，根据图 1－14，可知：

F = ＝B il = B il / cosθ）

tgα = F1

F2

∥ ∥

= ctgθ

即α+θ=90°，表明 F、B、i 三者彼此垂直。

[例题 5]在图 1－15 中，M、N 是同一水平面上的两个金属接触面，它们与电源、安培表、电键、滑线变阻器串联成为闭合电路的一部分，该装置处在水平方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度 B=0.6 特斯拉。一根边长分别为 80 厘米和 60 厘米的直角金属折导线 aob 的两端，分别放在 M 和N 上，折导线处于竖直面中，两边都与磁场垂直。闭合电键，调节滑线电阻，使安培表的读数 i=2 安培。

1. 求磁场对通电的折导线的作用力。

2. 再调滑线电阻，当安培表的读数为 2.2 安培时，电路突然断开，

   求折导线的重量。

[分析与解]如图所示，电键闭合后，电流由 a 经 o 到 b 通过折导线， ao 边所受磁场力 F1 与 ao 垂直，与竖直方向夹角为α，bo 边所受磁场力 F2 与 bo 边垂直，与竖直方向夹角为β；显然，α+β=90°（图 1－16）。

根据安培公式，F1、F2 的大小分别为：

F1 = Bao = 0.6×2×0.8（牛顿）= 0.96（牛顿） F2 = Bbo = 0.6×2×0.6（牛顿）= 0.72（牛顿）

由于 F1 与 F2 垂直，它们的合力，也就是磁场对通过 2 安培电流的折导

线的作用力 F 是竖直向上的，合力的大小为：

F = = （牛顿）= 1.2（牛顿）

从图 1－16 可以看出 F1、F2 的反向延长线相交于 ab 连线的中点。ab 间的直线距离为 100 厘米，如有 100 厘米长的直导线在 ab 方向上通过 2 安培的电流，所受的磁场力竖直向上，大小为：

F′ = Biab = 0．6×2×1（牛顿）= 1.2（牛顿）

可见，水平方向上 100 厘米长的直导线 ab，与 140 厘米长的折导线 aob所受的磁场力相同。

根据上述原理，当折导线通过 2.2 安培的电流时，所受磁场力为： F′ = Biab = 0．6×2×1（牛顿）= 1.32（牛顿）。这就是折导线aob的重量。

应用有效长度的模型，分析、计算曲线导体在磁场中所受的磁场力，

既简单又明确，在分析、思考问题时，可以广泛应用。有效长度概念的引用，是基于等效原理，是在慎密分析物理过程的基础上提出的一种简化模型。任何一种模型的提出，首先必须与实际作用过程具有相同的效果，即等效；其次还应简单明确，便于掌握，且具有普遍意义。

就例题 5 来看，我们可以改变放置在接触面上折导线的形状（如图1-17），并就一般情况证明，折导线 aob 通电时所受的磁场力，与 a、b 间的直导线通电时所受磁场力相同。

设电流为i，方向由a经o向b流动。则ao段所受磁场力为F1 = Biao， bo段所受磁场力为F2 = Bibo，方向如图所示。

F1 的水平分量为Biao sinα，方向向左；F2 的水平分量为Bibo sin α

（180°-β），方向向右；由于ao sinα = bo sinα（180°-β），所以，

水平分量互相抵消，通电折导线所受磁场力由竖直分量决定。

F1 的竖直分量方向向上，大小为Biao cosα； F2 的竖直分量方向向

下，大小为Bi bo cosα（180°-β）；通电折导线aob所受磁场的合力为：

F = Biaocosα - Bibocos（180°-β）

= Bi[aocosa - bocos（180°-β）]

= Biab

可见，通电的折导线 aob 所受的磁场力，与 a、b 间的通电直导线所受磁场力相同。这种等效长度的概念可推广到一般曲线而被广泛应用。